几何公理和公理系统

几何公理和公理系统

1．几何公理

公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定．

在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为根据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止．因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理．

数学区别于其他学科的主要特征之一是它的推理论证的演绎性质．为了建立某种理论或得出某个结论，天文学家必须借助观察，化学家必须借助于实验，但数学却不行．三角形内角之和等于180°不是通过测量得出和证明的，它的真实性是经事先假定为真实的命题，按逻辑的原则推证出来的．几何的其他命题也是如此．

公理是怎样选定的呢?有的是从历史上延续下来的，它们是人们经过反复实践从客观世界总结出来的规律，是人们公认的，如“两点确定惟一直线”这条公理；有的就是为了建立某种理论体系的需要，作为出发点而被规定下来的，它们不甚直观显然，甚至暂时不被人们接受，如罗巴切夫斯基几何中的平行公理．公理总是直接或间接地来源于实践，绝非科学家随心所欲的空想．譬如罗氏平行公理的出现，它首先是以欧氏几何的某些事实(概念、理论、方法)作为基础，受试证欧氏第五公设的启示；其次是受科学认识论的支配，克服认为公理是先验的唯心主义思想，承认公理的正确性必须靠实践来验证；再次是生产力和科学技术的不断革命所决定的，这些都为罗氏平行公理的出现做了必要的准备．这就是为什么到19世纪才产生罗氏几何的原因．理论的产生以实践为基础，但随着实践的发展和水平的提高，它也往往走在实践的前头，“虚数”和“非欧几何”等等都是这样．判断一个理论或公理是否正确，不是依据主观上觉得如何而定，而是依据客观上社会实践的结果如何而定．只有实践才是检验真理的惟一标准．2．几何公理系统

用公理化方法建立一门几何学演绎体系时，最根本的是确立该几何学的公理体系．

作为一门集合学基础的原始概念和全部公理称该几何学的公理系统，满足公理系统的几何图形的集合称为几何空间．

例1欧几里得几何学中的几种不同的公理系统．

（1）希尔伯特（D.Hilbert，公元1862年～1943年，德国人）给出的公理系统．

希尔伯特公理系统纲要：

几何基础

五组公理计20条，其中连续公理组和平行公理组与希尔伯特给出的顺序不同，根据需要这里把他们的顺序作了对调．

其中平行公理是：

欧氏平行公理平面上通过已知直线外一点最多有一条直线与已知直线不相交．

（2）欧几里得《几何原本》和学几何中的公理系统．

（3）别列标金著《初等几何教程》（上卷马忠林译，下卷赵慈庚等译，高等教育出版社）中的公理系统．

（4）科士青著《几何学基础》（苏步青译，商务印书馆）中的公理系统．该公理系统以运动公理组代替希尔伯特公理系统中的合同公理组，原始概念采用“运动”，用运动关系定义“合同”关系．

（5）伯克霍夫（G．Birkhoff,1884年～1944年，美国人）在1932年提出以“距离”和“角度”作为原始概念的公理系统．其欧氏平面几何的公理系统大意如下：

原始元素为“点”“直线”;

原始关系为“距离”：两点A、B的距离是一个非负的实数，记做d(A,B);

“角度”：三个不同的有序点A、O、B的角度是一个实数，记做，其值域为

≤≤

公理1（刻度尺公理）任意直线上的点与实数一一对应，任意两点A、B所对应的数、之差的绝对值称为A、B两点间的距离，即

d(A,B)=

公理2通过两已知点有且只有一条直线

公理3（量角器公理）通过一点O的射线l、m…与实数α一一对应，≤α≤．若异于O的点A、B，分别在l、m上，则l、m 所对应的数、之差

就是,即

变动．

公理4（相似公理）若与，对于某一常数k>0，有，

，且夹角，则必有，

，．

这个公理系统不再需要顺序、合同、连续、平行等公理．相似形的存在是与平行公理等价的．

例2罗巴切夫斯基（1793年～1856年，俄国人)几何的公理系统．

罗氏几何是非欧几何之一，产生于19世纪30年代，主要是围绕着对欧几里得第五公设的研究和证明中逐步形成的．我们在下一章及第五章里将详细地叙述罗氏几何的基本内容．

这里仅给出罗氏平面几何的公理系统，其纲要如下

罗巴切夫斯基平行公理在平面上，过直线外一点至少有两条直线与已知直线不相交．

以上纲要表与欧氏平面几何的希尔伯特公理系统纲要表相比较，绝对公理系统部分完全相同，所演绎出来的全部内容为两种几何所共有，称为绝对几何，所差的是平行公理不同．

在罗氏几何产生后不久，又产生了一另一种非欧几何，即黎曼(B．Riemann，1826年～1866年，德国人)几何．它不是完全建立在绝对公理系统之上的，需对合同公理等加以改造，其平行公理是：

黎曼平行公理在平面上，过直线外一点不存在直线与已知直线不相交(即平面上任何两条直线都相交)．

由于欧氏、罗氏、黎氏三条平行公理的差异很大，根据它们所推出的几何命题也有很大的差异，例如

欧氏平面上，三角形内角之和等于180°．

罗氏平面上，三角形内角之和小于180°．

黎氏平面上，三角形内角之和大于180°．