信息光学复习笔记.doc

矩形函形

rect =⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 0⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤-其他

,

021

0,

1a x x 函数以x0为中心，宽度为a （a >0）高度为1的矩形，当x0=0，a =1时，矩形函数形式变成rect (x),它是以x=0为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形。当x0=0, a =1时，矩形函数形式变成rect (x)，它是以x=0

为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形，二维矩形函数可表为一维矩形函数的乘积⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y y a x x rect 00，

a ，b>0

c sin 函数

()()a x x a

x x a x x c /0/0sin 0sin --=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ππ a >0，函数在x=x0处有最大值1。零点位于()Λ2,10=±=-n na x x .对于x0=0，a =1，函数图像

三角函数

⎪⎩

⎪⎨⎧

-=⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ,

0,

1a

x a x a >0

符号函数

()⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 阶跃函数

()⎩⎨⎧<>=0,00

,1x x x step

圆柱函数

在直角坐标系内圆柱函数定义式 ⎪

⎩⎪⎨⎧<+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+其它

,0,1222

2a

y x a y x circ

极坐标内的定义式为 ⎩⎨⎧><=⎪⎭⎫ ⎝⎛a

r a

r a r circ ，，01

卷积的定义

函数()x f 和函数()x h 的一维卷积，有含参变量的无穷积分定义，即

()()()()()x h x f d x h x f x g *=-=

⎰∞

∞

-αα

定义()x f 和()x h 的二维卷积：()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--=⎰⎰∞

∞

-βαβαβα

卷积的基本性质 线性性质 交换律

平移不变性 ()()()()() *21

2

1

21⎰∞

∞

---=---=--x x

x g d x x h x f x x h x x f ααα

结合律

坐标缩放性质 ()()()ax g a

ax h ax f 1

*=

函数()y x f ,与δ函数的卷积()()()()()⎰

⎰∞

∞

-=--=y x f d d y x f y x y x f ,,,,*,βαβαδβαδ

即任意函数()y x f ,与δ函数的卷积，得出函数()y x f ,本身，而()()()0000,,*,y y x x f y y x x y x f --=--δ 互相关 两个函数()y x f ,和()y x g ,的无相关定义为含参变量的无穷积分，即 ()()()()()y x g y x f d d g y x f y x R fg ,,,,,*☆=--=⎰⎰

∞

∞-βαβαβα

或 ()()()()()y x g y x f d d y x g y x f y x R fg ,,,,,*

☆=++=⎰

⎰∞

∞

-βαβα

互相关卷积表达式：()()()()y x g y x f y x g y x f ,*,,,*--=☆

性质：（1）()()y x R y x R fg gf ,,≠，即互相关不具有交换性，而有()()y x R y x R fg gf --=,,*

（2）()()()0,00,0,2

gg ff fg R R y x R ≤

自相关 当()()y x g y x f ,,=时，即得到函数f 的自相关定义式

()()()()()y x f y x f d d f y x f y x R ff ,,,,,*☆=--=⎰

⎰

∞

∞

-βαβαβα

和 ()()()y x f y x f y x R ff ,*,,*--=

性质：（1）自相关函数具有厄密对称性()()y x R y x R ff ff --=,,* 当()y x f ,是实函数时，()y x R ff ,是偶函数

（2）()()0,0,ff ff R y x R ≤

傅里叶变换基本性质 线性性质 ()=ηξ,F (){}()=ηξ,,,G y x f (){}b a y x g ,,,为常数，则()(){}()()ηξηξ,,,,gG aF y x bg y x af +=+ 对称性 设()=ηξ,F (){},,y x f 则(){}()ηξηξ--=,,f F

迭次傅里叶变换

以两次连续傅里叶为例，则有{{()y x f ,}}=()y x f --,对二元函数连续作二维傅里叶变换，即得其倒立像

坐标缩放性质

a,b 为不等于零的实常数，若

(){}=y x f ,()ηξ,F ，则(){}⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

b a F ab by ax f ηξ,1, 函数()y x f ,的图像变窄，其傅里叶变换()ηξ,F 的图像将变宽变矮；()y x f ,的图像变宽，则()ηξ,F 的将变窄变高 平移性 设

(){}=y x f ,()ηξ,F ，且00,y x 为实常数，则有(){}(){}00002ex p ,y x j y y x x f ηξπ+-=--()ηξ,F

体积对应关系 设

(){}=y x f ,()ηξ,F ，则有()()dxdy y x f F ,0,0⎰⎰∞

∞

-=，()()ηξd d y x F f ,0,0⎰⎰∞

∞

-=

复共轭函数的傅里叶变换 设

(){}=y x f ,()ηξ,F ，则

(){}()ηξ--=,,*

*

F y x f ，(){}()ηξ,,*

*

F y x f =--

若()y x f ,为实数，显然有()ηξ,F ()ηξ--=,*F 此时称()ηξ,F 具有厄米对称性 傅里叶变换基本定理 卷积定理 设

(){}=y x f ,()ηξ,F ，设(){}=y x g ,()ηξ,G ，则有

()(){}=y x g y x f ,*,()ηξ,F ()ηξ,G 和()(){}=y x g y x f ,,()ηξ,F ()ηξ,*G

相关定理（维纳——辛钦定理） （1） 互相关定理 设

(){}=y x f ,()ηξ,F ，(){}=y x g ,()ηξ,G ，则有

()(){}=y x g y x f ,,☆()ηξ,*F ()ηξ,G

()ηξ,*F ()ηξ,G 为函数()y x f ,和()y x g ,的互谱量密度或简称互

谱密度

（2） 自相关定理 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，则有

()(){}()2,,,ηξF y x g y x f =☆ ()2,ηξF 为()y x f ,的能谱密度

巴塞伐定理 设

(){}=y x f ,()ηξ,F ，且积分设()

()⎰⎰⎰

⎰

∞

∞

-∞

∞

-ηξηξd d F dxdy y x f 2

2

,,与都存在，则有

()()⎰⎰

⎰

⎰

∞

∞

-∞

∞

-=ηξηξd d F dxdy y x f 2

2

,,