大学文科数学期末考试复习要点及练习题

2008级“大学文科数学”课《基本要求与补充练习题》

一. 微积分部分

1. 掌握函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域

2. 掌握函数的单调性、奇偶性

3. 掌握复合函数、基本初等函数、初等函数的概念

4. 掌握数列极限、函数极限（x →a 和x →∞）、函数在一点的左右极限的概念

5. 掌握极限的性质，会计算有理式的极限，会使用两个重要极限公式

6.

掌握函数在一点连续的定义、知道间断点的概念，会判断函数的连续性，知道连续与可导的关系

7. 掌握导数的定义，掌握导数的几何意义和物理意义，知道导函数的概念，掌握二阶导数的概念 8. 掌握下列导数的基本公式：

9. 掌握导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握二阶导数的计算 10. 掌握微分的概念与计算公式

11. 会用导数判断函数的单调性、求函数的极值和最值，知道驻点的概念，会用导数判断曲线的凹

向性，知道用导数画函数图形的方法，会利用极限求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 12. 掌握原函数和不定积分的概念、掌握不定积分的性质 13.

14. 掌握“凑微分”和分部积分的方法

15. 掌握定积分的概念和几何意义，掌握定积分的性质

16. 知道牛顿-莱布尼兹公式，会用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，知道定积分的换元法和分部积

分法

17. 会利用定积分计算简单的平面图形面积 18. 掌握无穷限广义积分的概念和计算

二. 线性代数部分

19. 掌握矩阵的概念与表示，知道零矩阵、n 阶矩阵、单位矩阵

20. 掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算，掌握矩阵的初等变换

122(1),'0;(2),';(3)sin ,'cos ;(4)cos ,'sin ;

11(5)tan ,';(6)cot ,';cos sin 11(7)log ,'log ;(8)ln ,';(9),'ln ;(10),'a a x x x x

y c y y x y x y x y x y x y x y x y y x y x x y x y e y x y x x y a y a a y e y e ααα-========-====-========

21. 掌握逆矩阵的定义、性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法 22. 掌握矩阵秩的概念和用初等变换求矩阵秩的方法

23. 会用线性方程组的消元法（初等行变换）求解非齐次和齐次线性方程组 24. 掌握非齐次线性方程组和齐次线性方程组解的判定定理

三. 概率统计部分

25. 掌握随机事件的概念（包括：基本事件、不可能事件、必然事件）及表示

26. 掌握随机事件的运算（包括：包含、并、交、互斥、对立），掌握两个随机事件相互独立的概

念

27. 掌握概率的定义和性质（教材188页）

28. 掌握概率的计算公式，包括：古典概型、加法定理及其两个推论、乘法定理（教材195页）、

条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式、贝努里概型

29. 掌握随机变量的概念，知道离散型随机变量和连续型随机变量

30. 掌握离散型随机变量概率分布的概念，掌握两点分布、二项分布、泊松分布

31. 掌握连续性随机变量概率密度的概念，知道概率密度的性质，知道分布函数的概念，掌握均

匀分布、指数分布、正态分布，特别是正态分布要会查表计算概率 32. 掌握离散型和连续型随机变量期望和方差的定义和计算，知道期望和方差的实际意义，掌握两

点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的期望和方差 33. 掌握总体、样本的概念，了解直方图的做法和直方图与概率密度函数的关系

34. 掌握样本均值和样本方差的概念，知道样本均值和样本方差可以用来估计总体期望和总体方

差

35. 了解一元线性回归的统计方法

四. 补充练习题60道

22223323

1122

21

0220635

635

6351.lim 2.lim 3.lim 21

21

21

13544.lim

5.lim

6.lim

35

12

32

7.lim 8.lim

1sin(4)t 10.lim 11.lim 2

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x →∞→∞→∞→→→→→→∞

→→++++++----+-+---+---21

0an 2312.lim sin

1

3

1113.lim(1)14.lim()15.lim(

)11

x x

x

x

x x x x x

x x x x x x

x x →∞

→∞→→∞

⋅-+++--

016.()0

x f x k x ≠=⎪=⎩

问k 为何值时f(x)在x=0点连续

17.求函数的间断点 1

()(1)(2)

x f x x x -=

--

18.求函数的间断点 10

()10x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩

19.求函数的间断点 sin 0()2

0x

x f x x x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

20.已知f(x)在x=a 点可导，求极限0

(2)()

lim

x f a x f a x

→+-

21.求曲线31y x x =+-在x=1处的切线方程

22351

2

33sin 22.ln 1'?23.?

24.2?25.()'(0)?26.tan '?27.tan '?

x x x

y x x y y dy x

d y ax b

y f x f dx c d

y x y y x y +-=

++===+===

=+====

28.求函数的单调区间 422y x x =-+ 29.求函数的单调区间x

y x e =- 30.求函数的极值

2x y x e -= 31.求曲线的凹向和拐点x y xe =

32.求曲线的渐近线1

x

y e

-=

2

2

26

232012

2

1

1

33.(321)34.35.44

1

36.37.38.sin cos cos (35)

39.40.sin 241.ln 42.x

e

x

x x

x x dx dx

dx x x dx

xe

dx

x xdx

x e x xdx

xdx

dx x π

π

-+∞

+-+++⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

43.求曲线

3y x =与y 轴和直线y=1所围成的封闭图形的面积

44.矩阵135710

310

1230162001200310

0011

100A B -⎛⎫

⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

== ⎪

⎪ ⎪

⎪

-⎝⎭

⎝⎭ 求：A-2B, AB 45.求矩阵A 的逆矩阵1

130011216A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

46.解矩阵方程AX=B ， 130100*********A B ⎛⎫

⎛⎫

⎪

⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

47.解矩阵方程XA=B ， 130101*********A B ⎛⎫

⎛⎫ ⎪

=-= ⎪ ⎪⎝⎭

⎪⎝⎭