离散作业 内蒙古大学

离散作业
命题逻辑：
1.命题符号化：
1)小张不仅能吃苦，而且很能干。

2)吃一堑长一智。

3)除非小明努力学习，否则他就不能取得好成绩。

2.当P、Q的值为0，R、S的值为1时求下列公式的值。

1)（P∨(Q∧R)）→（R∨S）
2)（P↔R)∧(¬Q∨S）
3.设A、B、C为任意的命题公式，若A∨C=B∨C，则A=B一定为真吗？试说明原因。

4.列出命题公式(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))的真值表
5.证明：(P↔Q)∧(Q↔R)⇒P↔R
6.求解((P∨Q)∧¬(¬ P∧(¬ Q ∨¬ R) ) )∨(¬ P ∧¬ Q ) ∨(¬ P ∧¬R ) 的公式类型？
（永真、永假、可满足？）
7.试将P→Q化成与之等值的并仅含联结词↓的公式.
8.试将(P→Q)→R化成与之等值的并仅含{¬，∧}的公式.
9.试用推理方式求解(P∧Q)∨(¬P∧R)的主合取范式，并根据其主合取范式写出其对应的主析取范式。

10.列出公式(P∧(Q↔R))∨⌝(P∨Q∨R)的真值表，根据真值表写出其对应的主合取范式和主析取范式。

11.用演绎法证明
前提：P→(Q→S) ，R→P，Q
结论:：R→S
12.运用CP规则证明
前提：P→(Q→S) ，R→P，Q
结论:：R→S
13.用归结法证明下面推理：
前提：P→(Q→S) ，R→P，Q
结论:：R→S
14.在形式系统L中证明：⌝B→(B→A).
谓词逻辑：
1.谓词符号化：
1)所有的鱼都生活在水中。

2)没有大于2的偶素数。

3)并不是每个人都聪明。

2.设个体域D={a,b}，将一阶公式(∀x)(F(x)→(∃y)G(y))中的量词消除
3.设个体域为整数集，令P(x,y)：x+y=1；Q(x,y)：xy>0，试求解下列命题的真假。

1)(∀x) (∃y)P(x,y).
2)(∃x) (∀y)Q(x,y).
4.求前束范式：
1)(∃x)F(x)→(∀x)R(x).
2)((∀x)P(x)∨(∃y)Q(y))→(∀x)R(x).
5.证明：
前提：(∀x)(A(x) →B(x)∧C(x))，(∃x)(A(x)∧D(x))
结论：(∃x)(C(x)∧D(x))
6.所有的整数均为有理数并且为实数，存在是整数又是奇数的数，因而存在是奇数又是实数的数。

写出上面推理的证明。

(用谓词逻辑，写出用谓词表示的前提、结论和证明过程)
集合论：
1.A⊆B，A∈B能否同时成立，说明原因
2.求集合A＝{a，{a}}的幂集
3.证明：若B⊆C，则P(B)⊆ P(C)
4.如果A∪B=A∪C，是否有B=C？
如果A⊕B=A⊕C，是否有B=C？
5.试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数.
6.列出所有从A={a,b,c}到B={s}的关系，并指出恒等关系和全域关系.
7.给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.{<x,y>|0≤x-y＜3} A={0，1，2，3，4}
8.已知S={a,b}. R⊆ ={〈x,y〉|x,y∈A∧x⊆y∧A为集合族ρ(S)}.试写出关系R⊆.
9.已知：A={a,b,c}, R={〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,c〉}该关系具有什么性质？
(自反，反自反，对称，反对称，传递性)
10.设A={a,b,c},R={〈a,b〉,〈a,c〉} 计算：r(R)，sr(R)，tr(R)，str(R).
11.设A是含有4个元素的集合，试求：
(1)在A上可以定义多少种对称关系？
(2)在A上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？
(3)在A上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？
12.设集合A={0，1，2，3，4}. R={<x,y>|x+y=4,x,y∈A} ，R={<x,y>|y-x=1,x,y∈A}.
试求：R◦S，R◦R，(R◦S)◦R，R◦(S◦R).
13.证明：R是A上的传递关系⇔R◦R⊆R.
14.A={1,2,3,4,5},R={<x,y>|x,y∈A∧x-y可被2整除}，试问R是否是A上的等价关系？如果是，求出R的各等价类.
15.A={1,2,3,4,5},A上的划分∏={{1,2},{3,4},{5}}，给出由∏所诱导出的A上的等价关系R的集合表达式.
16.试给出一个单射但非满射的函数.(对某一集合而言)
17.设f：N→N×N，f(n)=<n,n+1>,则：
(1)说明f是否为单射和满射，并说明理由.
(2) f的反函数是否存在？并说明理由.
(3)求ranf.
18.已知如果从无限集合A到集合B存在单射f，则B也是无限集合。

设X是无限集合，集合Y≠φ，证明：X与Y的笛卡儿积X×Y是无限集合。

代数系统：
1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.
1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.
2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：
2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？
3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.
1)列出B的元素.
2)给出代数系统V=<B,∩>的运算表.
3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.
4)说明V是否为半群、独异点和群？
4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.
1)给出关于*运算的一个运算表.
2)*运算是否满足结合律，为什么？.
5.设<R，*>是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).
证明：:<R，*> 是独异点.
6.如果<S,*>是半群，且*是可交换的.
证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.
7.设<G,·,–1,e>是一个群,则∀a,b,c∈S。

试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.
8.求循环群<Z16，+>的所有生成元和子群.
9.设<G，*>是群，a∈G .
现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，∀x,y∈G .
证明：<G，⊙>也是群.
10.试写出模6加法群<Z6，+6>的每个子群及其相应的左陪集.
11.试aH和bH是子群H在G中的两个左陪集.
证明：aH=bH或aH∩bH=∅.
12.试写出群和环的定义.
13.证明偏序集与格的等价。

14.设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.
1)A关于整除关系是否构成偏序集？
2)如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.
3)如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？(分配格、有界格、有补格、布尔格).
图论：
1.已知无向图G有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均小于3，问G至少有几个顶点？并画出满足条件的一个图形.
2.是否存在7阶无向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.
3.设d1、d2、…、d n为n个互不相同的正整数. 证明：不存在以d1、d2、…、d n为度序列的无向简单图.
4.求下图的补图.
5.
1)试画一个具有5个顶点的自补图
2)是否存在具有6个顶点的自补图，试说明理由。

6.设图G为n(n>2且为奇数)阶无向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.
7.无向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否一定连通.给出说明或证明。

8.图G如下图所示：
1)写出上图的一个生成子图.
2)δ(G)，κ(G)，λ(G).
说明：δ(G)=min{ d(v) | v V } ；κ(G)=min{ |V’| |V’是图G的点割集} ；λ(G)=min{ |E’| |E’是图G的边割集}
9.在什么条件下无向完全图K n为欧拉图？
10.证明：有桥的图不是欧拉图.
11.证明：有桥的图不是哈密尔顿图.
12.树T有2个4度顶点，3个3度顶点，其余顶点全为树叶，问T有几片树叶？
13.证明：最大度Δ（T）≥k的树T至少有k片树叶。

14.已知具有3个连通分支的平面图G有4个面，9条边，求G的阶数.
15.给出全部互不同构的4阶简单无向图的平面图形。

16.如果G是平面图, 有n个顶点、m条边、f个面，G有k个连通分支。

试利用欧拉公式证明:：n-m+f=k+1.。