缆索吊装系统基于悬链线理论的解析精确算法3

方程中只有两个未知数[S0,V]T，其实质就是一个非线性方程组求解的问题。当然，也可用将公式中的V用T、H 代换构建方程组，求解[S0,H]T。 通过上述分析，缆索吊装系统重载作用下中、边跨承重索线形各项参数全部求出，中、边跨塔顶水平力可推算 出塔顶不平衡力，塔顶不平衡力作为设置索塔抗风绳的依据。 4 缆索吊机承重索空载线形的计算 4.1 缆索吊机承重索空载线形的计算 跨中空索垂度是缆索吊机安装线形的一个重要控制指标。在缆索吊装重载线形的计算中，承重索线形边、中跨 的无应力长度已经求出。此处需要在总无应力索长不变的情况下，求出承重索在空载下塔顶满足索力连续条件的最 终索张力。本文流程图（见图4）说明了，采用二分法进行塔顶索力调整，并最终使塔顶索端张力在索鞍两侧相差
图1
自重作用下的索段单元
图 2 集中荷载作用下的柔索
2.2 缆索吊装系统承重索线形计算公式推导（见图2） 缆索吊装系统承重索相当于N个索段相连, 并在连接点作用N-1个竖向集中荷载Pi和横向集中荷载Fi。竖向集中 荷载Pi用于模拟缆索吊装系统中的吊点竖向荷载，水平集中荷载Fi用于模拟吊点纵向荷载。
2 2 2 2 Vi 1 Vi 1 H i1 (Vi 1 WS 0 i1 ) (Vi 1 WS 0i 1 ) H i 1 ......(7)
ln(Vi 1 V 2 H i21 ) ln(Vi 1 WS 0 i 1 (Vi 1 WS 0i 1 ) 2 H i21 ) ......(8)
Z n1 Z n ( F ' ( Z n )) 1 F ( Z n ) ......（11）
3.2.2 数值延拓法 数值延拓法迭代公式为：
k k 0,1,..., N 1 ； Z k 1 Z k ( F ' ( Z k )) 1 F ( Z k ) (1 ) F (Z 0 )， N
Z k 1 Z k ( F ' ( Z k )) 1 F (Z k )， k N , N 1,...
......(12)
它本质上就是牛顿法，前面N步只是为了求得解Z的一个足够近似ZN，数值延拓法可以克服用牛顿法求解时的 局部收敛的缺陷，是一种大范围收敛的算法，对初值没有严格的限制。 3.4左端H0、V0值的修正 由于H0、V0是通过比较悬索Y坐标的值进行修正的，H0、V0的修正值dH、dV和高差变化量dY之间的关系可由式 （2）推导求出。由式（2）求Y对H、V的偏微分：
f1 S f 0 1 F S 0 F ; Z ； F ' (Z ) Z f 2 f2 Y S 0 f1 Y f 2 Y


牛顿法的迭代公式为（要求求出一个雅可比矩阵和矩阵的逆） ：
X
HS 0 H ln(V V 2 H 2 ) ln(V WS 0 (V WS 0 ) H 2 ) EA W
WS 2 2VS0 0 2 EA 1 ( V 2 H 2 (V WS 0 ) 2 H 2 ) W


（1） （2）
Y
式中： EA-索的抗拉刚度；W-索的每延米自重；X-两支点跨度；Y-支点高差；V'-索右端竖向力。
dY
由此可知：
Y Y dV ; dY dH ......（13） V H
dH dY /(
Y ); H
dV dY /(
Y ) ......(14) V
由于悬索的高度非线性，实际计算中引入了K1、K2修正系数，H0=H0+K1。dH，V0=V0+K2。dV（0< K1 、K2 ≤1) ， 避免在计算中不收敛的情况出现。 为避免出现计算不收敛的问题，也可采用其他方法进行H0、V0的修正。比如采用二分法，这时需先估计一个 H0、V0的上、下限范围。 3.5 缆索吊装系统边跨承重索线形计算 前面缆索吊机承重索中跨线形的计算，已给出承重索塔顶中跨的水平力和竖向力，即给出了悬索在塔顶的索力 T。吊装系统边跨的计算，需满足索力在塔顶连续的条件。将公式（10）中H用T、V进行代换构建f（S0,V)一组非线 性程组。
基于悬链线理论的缆索吊装系统解析准确算法
邓亨长
1
陈良春
2
张艳丽
2
卢伟
2
唐茂林
3
（1、四川路桥华东建设有限责任公司；2、四川公路桥梁建设集团有限公司； 3、西南交通大学） 摘要：缆索吊机以承重索跨中重载垂度作为控制设计的重要依据。介绍了以跨中重载垂度为起始条件，基于悬链线方程， 采用分段悬链线的数值迭代算法进行缆索吊机重载线形的计算方法；并在索的无应力长度已知的基础上，介绍了采用索力连续 算法，进行缆索吊机的空载线形和施工阶段计算的方法。编制了缆索吊装程序验证了计算方法的可靠性和正确性。 关键词பைடு நூலகம்缆索吊装 悬链线 线形 施工阶段计算 数值迭代法 索力连续算法
对于给定的一组H0、V0，吊装系统承重索存在一个唯一线形与之对应。左端第一段索的[S00,Y0]T值，根据给定 H0、V0值采用式（1）和（2）求得；其他索段按照从左到右的顺序，先采用式（3） 、 （4）代入前一索段求得的S0i-1 值计算出左端Hi、Vi，然后通过式（5） 、 （6）依次求出对应索段的[S0i,Yi]T值。 初始给定的 H0、V0 求得的[S0i,Yi]T 值并不满足吊装线形通过跨中点和右端点的要求，必须对 H0、V0 的值不断进 行修正，直到右端点高差和跨中点垂度(即相应的 Y 坐标)的容差足够小。H0、V0 的修正对应两层循环迭代过程，在 内层循环中，修正左端竖向力 V0=V0+dV 使其线形通过右端点，在外层循环中，修正左端点水平力 H0=H0+dH，使 主跨线形通过跨中点。通过两层嵌套循环计算，当计算线形同时满足通过跨中点和右端点时，其线形就是所需的承 重索线形，此时的 H0、V0 值，就是求得的承重索左支点水平力和竖向力 H、V。H、V 一经确定，整个悬索线形就 完全确定。 3.2 悬链线线形长度的计算 悬索的线形长度在吊装线形计算中不是必须的，其计算公式如下：
WS 02i 1 2Vi 1 S 0i 1 1 2 2 2 2 ( Vi 1 H i 1 (Vi 1 WS 0 i 1 ) H i 1 ) ......(6) 2 EA W


Yi Yi 1
Vi为承重索i连接点右侧索段起点的竖向张力, V0=V；Hi为承重索i连接点右侧索段的水平张力, H0=H；S0i、dS0i、 Si分别为i连接点右侧索段的无应力长度、伸长量和形状长度。 3 缆索吊装系统承重索重载作用下的线形计算 3.1 缆索吊装中跨重载线形计算(见图3)
足够小的一种循环迭代算法的计算过程。 已知塔顶索力求索无应力长度可通过(15)式变换求解[S0,V]T，已知索无应力长度求塔顶索张力采用式（15）变 换未知数求[T,V]T。 4.2 缆索吊机承重索跨中空载垂度的计算 由于承重索空载线形[T,V]T值已知，即中跨H值已知，由于H、V和跨中点X坐标已知，采用式（1）可计算出左 支点到跨中的S0，将S0代入式（2）就可求出跨中点的Y坐标，跨中点的垂度就可以推算出来了。 5 施工阶段计算 施工阶段计算是在已知索无应力长度的基础上进行的， 其实质是在分跨计算上基础上满足承重索在塔顶索力连 续的条件，其索力调整方法与承重索空载线形计算相同。不同的是此处考虑了施工荷载作用，施工荷载作用跨需采 用分段悬链线数值迭代法求解。对应每一次循环计算，此处承重跨无应力索长和跨径已知，而跨中垂度未知，水平 力修正比较变量由跨中垂度变为索无应力长， H0、V0的值修正，直到右端点高差和无应力索长的容差足够小为止。 施工阶段计算占用的计算资源将大大增加。 施工阶段计算的分段悬链线法，可以方便的进行水平荷载施加，可以模拟吊点有偏拉力的情况。在双吊点或多 吊点分析中，滑轮在索上的爬升角可以准确给出，吊点的牵引力也可以准确求得。在下例双吊点吊装算例中，前吊 点距塔顶10m吊机满载起吊时， 两个双轮跑车吊点计算总牵引力为6.379t， 两个单轮跑车吊点计算总牵引力为7.746t。 如采用单吊点模拟，两个吊点荷载折算到一个吊点荷载，单轮跑车满载距塔顶15m时，经精确计算，吊点牵引力为 9.361t（爬坡斜率0.576） ，与实际施工中多采用的两个双轮跑车吊点相比，牵引力差值超过46.7％，已远远超出工程 可接受的范围。这也说明了吊点牵引力的计算，模拟方法的不当，会造成重大偏差。 6 算例（见图5）
图3
中跨重载承重索的线形和内力计算流程图
图4
空载承重索的线形和内力调整计算流程图
从式（1） 、 （2）可以看出，一条悬索由各索段的无应力长度S0，左端点的H、V三个参数确定。在缆索吊装初始 线形计算中，索的无应力长度S0是未知的，各索段的X值和跨中垂度、左右端点高差值（即跨中点和右端点的Y）是 已知的。缆索吊装系统承重索由多段悬索组成，其线形的计算，实质就是通过修正左端点H0、V0，联立式（1） 、 （2） 和（5） 、 （6）依次对各索段进行求解，使索线形通过跨中点和右支点，最终求得各索段的H、V、S0。
i 1
dS0
3.3 悬链线非线性方程组的求解[8]
1 ( H i21 ) ; S i S 0i dSi ......(9) 2EAW
在悬索线形计算中，对应一组H0、V0的值，荷载位置X值已知，在式（1） 、 （2）的联立方程组中，只有S0，Y 的值是未知的，[S0,Y]T的求解方法很多，文献对于非线性方程组的迭代算法有大量论述。下面介绍牛顿迭代法和数 值延拓法。 3.2.1 牛顿迭代法 将式（1） 、 （2）转换为:
f 3 ( S 0 ,V )
T 2 V 2 S0 T 2 V 2 ln(V T ) ln(V WS0 (V WS0 ) 2 (T 2 V 2 ) X 0 EA W ...(15) 2 WS 0 2VS0 1 f 4 ( S 0 ,V ) (T (V WS0 )2 (T 2 V 2 ) Y 0 2 EA W
f1 ( S 0 , Y )
HS 0 H ln(V V 2 H 2 ) ln(V WS 0 (V WS 0 ) 2 H 2 ) X EA W 2 ......(10) WS 0 2VS 0 1 2 2 2 2 f 2 (S 0 , Y ) ( V H (V WS 0 ) H ) Y 2 EA W
缆索吊装系统承重索是一根连续索，索力满足在塔顶索鞍两侧索力相等的连续条件，文献[1～3]分别提 出了一种通过调整索鞍两侧索长而使索力连续的算法。在缆索吊装精确计算方面，文献[4,5]提供了一种基于 有限元分析的索－滑轮的平面3节点单元，单元可以模拟缆索吊装系统承重索在索鞍和荷重跑车处的滑动， 文 献[6]利用此单元进行了实桥吊装计算分析。采用索－轮单元进行缆索吊装计算，考虑了滑轮效率和轮径的影 响，是一种准确高效的算法；但由于索结构的复杂性，这种分析方法依然存在一定局限，其一，计算需要的 索无应力长度参数是未知的，其二，对于多吊点吊装，其使用受到限制。 缆索吊装系统最基本的计算内容是：已知重载作用下承重索跨中垂度求出空载承重索的跨中垂度；在已 知索无应力长度的情况下，进行施工阶段的计算，求出荷载在跨内移动时承重索线形、内力，吊装系统牵引 力等。本文回归基于悬链线方程的思路，提出了采用分段悬链线数值迭代法[7]和塔顶索力连续算法，进行缆 索吊装系统重载线形和施工阶段精确计算的方法。 1 基本假定 在缆索吊装系统计算中，忽略滑轮直径和滑轮摩擦力的影响。承重索的自重恒载沿索为恒量，承重索在 自重作用下呈悬链线，且满足线性应力应变关系，其基本计算假定见相关文献。 2 基本方程的引用[7] 2.1 悬链线方程（见图1） 自重作用下的柔性索曲线可表示为左端水平力H、左端竖向力V分量和无应力索长S0的方程。
Vi Vi 1 Pi WS 0i 1 ......(3) H i H i 1 Fi ...... (4)
X i X i 1 H i 1 S 0i 1 H i 1 2 2 2 2 ln(Vi 1 Vi 1 H i 1 ) ln(Vi 1 WS 0 i 1 (Vi 1 WS 0 i 1 ) H i 1 ) ... (5) EA W