高中数学分类讨论

例 1 (1)(2014·浙江)设函数 f(x)＝x－2＋x2，x，xx≥<00，， 若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取值范围是________.
解析 f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥－2，而满足 f(a)≥－2 时，得 a≤ 2.
答案 a≤ 2
(2)在等比数列{an}中，已知 a3＝32，S3＝92，则 a1＝
(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的 问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值 不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要 运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中， 特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.
3.分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一，层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原 则地讨论.
当 q＝－12时，a1＝aq32＝6.综上可知，a1＝32或 a1＝6. 答案 32或 6
(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵
与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论
有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为
思
维 非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算
升 华
中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负
2
2.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类 的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的 数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件 下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的 单调性等.
(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中 除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的 要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以 一个正数、负数，三角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类 型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、 线、面的位置关系等.
常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅的讨论. (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分 a>1和0<a<1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝ 0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论. (3)数列：由Sn求an分n＝1和n>1的讨论；等比数列中 分公比q＝1和q≠1的讨论.
思想方法概述 1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思 路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基 础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问 题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于 增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综 合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思 路，降低问题难度.
直线方程为 3x－4y＋6＝0.
综上，直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0.
8．在△ABC中，已知a＝5，b＝5，A＝30°，解三角形．
【解析】在△ABC 中，据正弦定理sina A＝sinb B，得 sin B＝5
3sin 5
30°＝
3 2.
∵b＞a，∴B＞A＝30°，∴B＝60°或 120°.
若a＜0，则log(－a)＞log2(－a)，即2log2(－a)＜ 0－答，1案＜所a以C＜00＜. －a＜1，
所以实数a的取值范围是a＞1或－1＜a＜0，即
a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．
5. 设直线l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上 的截距相等，求直线l的方程．
【分析】解题时注意对直线是否过原点进行分情况 讨论，否则会漏解．
6.已知直线l经过点P(－4，－3)且被圆(x＋1)2＋ (y＋2)2 ＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．
【解析】圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心为(－1，－2)，半
径 r＝5.
①当直线 l 的斜率不存在时，则 l 的方程为 x＝－4，由题
意可【知分直析线】x＝解－决4 符本合题题需意要．先设出直线方程，解决问题 时②应当分直线斜率l 的存斜在率与存在不时存，在设两其种方情程为况进y＋行3＝讨k(论x＋．4)，即
解 由(1)可得bn＝n·qn－1， 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1. 若q≠1，将上式两边同乘q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
＝nqn－qqn－－11＝nqn＋1－qn－＋11qn＋1. 于是，Sn＝nqn＋1－q－n＋112qn＋1. 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1.
变式训练1
(1)已知函数 f(x)＝l2oxg－23＋x＋1，1，xx>≤33， 满足 f(a)＝3，
则 f(a－5)的值为( )
17
3
A.log23
B.16
C.2
D.1
a≤3 解 析 分 两 种 情 况 分 析 ， 2a－3＋1＝3 ① 或 者
a>3 log2a＋1＝3
②，①无解，由②得，a＝7，
4a)．，设则函实数数f{a(x的)l＞ loo＝取gg012值x/2，范(－围x)是(xx
若f(a)＞f(－
)．
A．(－1,0)∪(＜0,01) ，
B.(－∞，－
1解)∪析(1，＋∞)
C若1；．a＞(－01，,0则)∪lo(g1，2a＞＋l∞og) aD，.(－即∞2l，og－2a1＞)∪0(，0,所1)以a＞
【解析】当 2－a＝0，即 a＝2 时，直线经过原点，满足条 件，此时直线的方程为 3x＋y＝0.
当 a＝－1 时，直线在 x 轴上无截距，不符合题意． 当 a≠－1 且 a≠2 时，由题意得aa－＋21＝a－2，解得 a＝0. 此时直线的方程为 x＋y＋2＝0. 综上，直线 l 方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.
(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相 等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起 的讨论； (7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直 线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时 曲线类型及形状的讨论.
所以 f(a－5)＝22－3＋1＝32，故选 C.
答案 C
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则 数列{an}是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对
解析 ∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列； 当p＝1时，{an}是等差数列； 当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是 等差数列也不是等比数列.
2.已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R ），且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）=f（x）-2tx在区间[-1，5]上是单调 函数，求实数t的取值范围； （3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有 唯一实数根，求实数m的取值范围（注：相等的实数根 算一个）．
nn＋1 2
q＝1，
综上，Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1 q－12
q≠1.
本讲规律总结
分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”. 用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明 确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行 讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类 对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对 象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏 ”的分析讨论.
答案 D
5.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式；
解 设数列{an}的公差为d，
由已知，得38aa11＋＋328d＝d＝6，－4， 解得ad1＝＝－3，1.
故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的 前n项和Sn.
kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知|－k＋12＋＋k42k－3|2＋822＝52，
解得 k＝－43，即所求直线方程为 4x＋3y＋25＝0.
综上所述，满足题设的 l 方程为 x＝－4 或 4x＋3y＋25＝0.
7. 如图，已知以点 A(－1,2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y ＋7＝0 相切．过点 B(－2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两 点．
________. 解析 当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝32， S3＝3a1＝92，显然成立；
a1q2＝a3＝32， 当 q≠1 时，由题意，得a111－－qq3＝S3＝92.
所以a1q2＝32，
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①
a11＋q＋q2＝29， ②
由①②，得1＋qq＋2 q2＝3，即 2q2－q－1＝0，
所以 q＝－12或 q＝1(舍去).
(8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.
数，三角函数的定义域等.
1.设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a} ． （1）若a=-2，求B∩A，B∩∁UA； （2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
试题解析 （1）利用已知条件求出A的补集，然后直接求解 即可． （2）分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解 即可． 本题考查集合的基本运算，补集以及并集的求法 ，考查分类讨论思想的应用.
当 B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝sina A＝sin530°＝10；
当 B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，
∴c＝assiinnAC＝5ssiinn3300°°＝5.
综上，B＝60°，C＝90°，c＝10 或 B＝120°，C＝30°，c＝5.
(1)求圆 A 的方程； (2)当|MN|＝2 19时，求直线 l 的方程．
(2)设 MN 的中点为 Q，连接 AQ，则
AQ⊥MN.
【∵解|M析N|】＝(21)设19圆，A∴的|A半Q径|＝为2r.0－19＝1. 由①于当圆直A线与l直与线xl1轴：垂x＋直2时y＋，7易＝知0相x＝切－， 2 符合∴②题r当＝意直|－．线1＋l 5与4＋x7轴|＝不2垂5直. 时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)， 即 kx∴－圆y＋A的2k方＝程0. 为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. 则由|AQ|＝|－k－k2＋2＋12k|＝1，得 k＝34.
4.解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进 行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决. (4)归纳总结，将各类情况总结归纳.
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需 要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解， 这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种 重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体 现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有 关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性 、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高 考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的 定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型 可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有 范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的 前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论