第八章_玻色分布和费米分布

⑷ 熵:
S k(ln Ξ ln Ξ ln Ξ ) (8.1.14)
⑸ 巨热力势:
J kT ln Ξ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
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第八章 玻色统计和费米统计
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻耳 兹曼分布来处理。
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§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
3/
2
VkTe
1
1 25/ 2
e
将上面两式相除，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
e
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考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
N Zl
N h2
V
2 mkT
3/ 2
1 g
代入前面的公式中，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
⑴ 平均粒子数:
N ln Ξ
(8.1.10)
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⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
p 1 ln Ξ
V
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(8.1.11) (8.1.12) (8.1.13)
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
D( )d g 2V (2m)3/2 1/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
N
l
al
l
l
e l 1
(8.1.6)
U
l
all
l
ll (8.1.7)
e l 1
式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
引入函数：
Ξ
1 e l l
l
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(8.1.8)
其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:
ln Ξ l ln(1 el ) (8.1.9) l
相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
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由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
N V
h2
2 mkT
3/
2
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U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；
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在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
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al
l
e l
1
（8.1.1)
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
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有
N
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/2d
e 1
3
U
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
N
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x1/ 2dx e x 1
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3
U
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x 2 dx e x 1
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式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻 色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分函 数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
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由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。
1.巨配分函数:
wk.baidu.com
由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配 分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配 分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统 的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。
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将(8.1.2)中的两个式子分别写为；
al
el l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
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第八章 玻色统计和费米统计
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
将被积函数的分母展开：
1 e x
1
1 e x (1
e x )
在e小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
1 1 ey
1 ey
e2 y
只取头两项，可得：
e
1
x
1
e
x
1
e x
利用附录C的积分公式可得：
N
g
2 mkT
h2
3/ 2
Ve
1
1 23/ 2
e
U
3 2
g
2 mkT
h2
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系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
l D( )d
l
0
代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
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