导数单元测试(含答案)doc资料

导数单元测试
【检测试题】
一、选择题
1. 设函数y二f(x)可导，则lim丄I x)-f(1)等于( ).
I 3A x
1
A . f '(1)
B . 3f'(1) C. — f '(1) D .以上都不对
3
2. 已知函数f(x)=ax2+ c,且f (1)=2,则a的值为( )
A.1
B. 2
C. —1
D. 0
3 . f (x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x), g(x)满足f'(x) = g'(x),则
f (x)与g(x)满足( )
A f(x) =2g(x)
B f(x)-g(x)为常数函数
C f(x)=g(x)=0
D f(x) g(x)为常数函数
4. 三次函数y=ax3在内是增函数，贝U ( )
1
A. a 0
B. a 0
C. a=1
D. a=—
3
3
5. 已知函数y = x -3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c=( )
(A ) -2 或 2 ( B) -9 或 3 ( C) -1 或 1 ( D) -3 或 1
6. f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在点x=X0处有极值的()
A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .非充分非必要条件
7.曲线f (x) = x3+ x- 2在p0处的切线平行于直线y = 4x- 1，贝U P0点的坐标为( )
A (1,0)
B (2,8)
C (1,0)和(-1,旳D
&设函数f(x)
在R上可导，其导函数为f'(X)，且函数y=
(1_x)f'(x)的图
像如题(8)图所示，则下列结论中一定成立的是( )
(A )函数f(x)
有极大值
f (2)
和极小值
f(1)
(B)函数f
(X)有极大值f(—
2
)和极小值
f(1)
(C) 函数f (x)
有极大值
f
⑵和极小值
f ( _2)
(D) 函数f(x)
有极大值口一
2
)和极小值彳⑵
9.已知函数y = f (x), y二g(x)的导函数的图象如下左图，那么y = f (x) , y二g(x)的图象可能是
二、填空题
13.函数y =x 3 -x 2 -x 的单调区间为
14•已知函数f(x) =x 3 ax 在R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是
15•已知函数f(x)=ax —lnx ，若f(x )A1在区间(1,址)内恒成立，则实数 a 的范围为 ___________________________
3
16. f (x ) = ax — 3x +1 对 x € [ —1,1]总有 f (x ) >0 成立，则 a = ____________ . 三、解答题： 17.
如图，一矩形铁皮的长为 8cm,宽为5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形，
制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？
3
18•已知函数 f(x)二 ax 3
(a 2)x 2 6x-3 2
(1)当a 2时，求函数f (x)极小值；
2
=2x 上两点A(x 1, y 1) > B(x 2, y 2)关于直线y = X ■ m 对称，且
x 1 x 2
于( )
C .
11.设点P 在曲线
点Q 在曲线y = ln(2x)上，则PQ 最小值为(
(A)1 -I n2
(C) 1 In 2
(D)辽(1 In2)
12.已知函数f(x) =
ax 3-3x 2 • 1，若f (x)存在唯一的零点X o ，且X o > 0，则a 的取值范围为(
A . (2, + g)
B . (a, -2)
C . (1, + g)
D . (a, -1)
10 .抛物线 『即
CM
(2)试讨论曲线鸟二f(X)与X轴公共点的个数。

2
伯.已知函数f (x) = x3 - ax2 bx c在x 与x=1时都取得极值
3
(1)求a,b的值与函数f (x)的单调区间
2
(2)若对［-1,2］，不等式f (x) ::: c恒成立，求c的取值范围
20. 已知函数f (x) = x2 xsin x cosx .
(i)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值;
(n)若曲线y = f(x)与直线y二b有两个不同交点，求b的取值范围.
2 2
21. 设函数f(x)=x -ml nx, g(x)=x -x a .
⑴当a =0时，f(x)_g(x)在(1,v)上恒成立，求实数m的取值范围；
⑵当m=2时，若函数h(x)二f(x)「g(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a取值范围；
⑶是否存在实数m ,使函数f(x)和g(x)在其公共定义域上具有相同的单调性，若存在，求出m的值;
若不存在，请说明理由.
补充经典题：
1. 若函数y= x3—3x + 4的切线经过点(一2, 2)，求此切线方程.
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1 2
2. 已知函数f (x) = 2X + In x.
(1) 求函数f (x)在区间［1，e］上的值域;
2 3
(2) 求证：x> 1 时，f (x) v 3X .
3. 已知函数f(x) = x2—ax—aln(x —1)(a € R)，求函数f(x)的单调区间
3
4. 定义在R上的函数y= f (x)，满足f(3 —x) = f (x) , (x —-) f (x) v 0,若XY X2,且X1 + X2> 3，则有( )
A. f(xj v f(X2)
C. f(xj = f (X2)
参考答案
一、选择题
DABAA BCDDA BB
二、填空题
13 •递增区间为：
1 1
(-g, —)，(1, +8)递减区间为(一一，1)
3 3
B. f (X1) > f (X2)
D.不确定
(注：递增区间不能写成：
14. (_：：,0)(-m,
1
)U( 1, +^))
3
15. ( 1, +1 16. 4
三、解答题：
17.解：设小正方形的边长为x厘
米，
则盒子底面长为8 - 2x，宽为5 - 2x
V = (8 -2x)(5 -2x)x = 4x3 -26x2 40x
2 人，10 10
V =12x2 -52x 40,令V =0,得x = 1，或x , x (舍去)
3 3
V极大值二V⑴=18，在定义域内仅有一个极大值，
-V最大值=18
2 a
18•解：(1) f (x) = 3ax2 -3(a 2)x 6 = 3a(x )(x -1), f (x)极小值为f (1)=
a 2
(2)①若a =0，则f(x) - -3(x-1)2, f (x)的图像与x轴只有一个交点；
②若a ：0, . f (x)极大值为f(1)-_a . 0 , f (x)的极小值为f(2)：：：0,
2 a
-f (x)的图像与x轴有三个交点；
③若0 ::: a ：：： 2 , f (x)的图像与x轴只有一个交点；
④若a =2，贝V f (x) = 6(x -1)2 - 0 , f (x)的图像与x轴只有一个交点；
2 1
3 3
⑤若a 2，由(1)知f (x)的极大值为f( ) = -4( )20 , • f (x)的图像与x轴只有一个交
a a 4 4
占；
八、、\
综上知，若a _0, f (x)的图像与x轴只有一个交点；若a 0, f (x)的图像与x轴有三个交点。

19•解：(1) f (x) =x3 ax2 bx c, f (x) =3x2 2ax b
,'2124 ' 1
由f( ) a b=0, f(1)=3 2a b=0 得a ,b = —2
3 9 3 2
2
f (x) =3x -x-2 =(3x • 2)(x-1)，函数f (x)的单调区间如下表：
1
2 2 22
(2) f (x) = x 3 x 2
-2x c, x [ -1,2]，当 x 时，f (
) c 2 3
3 27
为极大值，而f(2) = 2 c ，则f(2) =2 c 为最大值，要使f (x) ：：： c 2,x ・[-1,2] 恒成立，则只需要c 2 ■ f(2) =2 c ，得c ：：：-1,或c 2
20. (I )解:(I) f '(x) =ax 2 -3x (a -1),由于函数 f (x)在 x =1 时取得极值，所以 f '(1) = 0 , 即 a -3 a 1 = 0,
二 a =1 .
(n)方法一：由题设知：ax 2 -3x • (a • 1) • x 2 -x -a • 1对任意a (0, •:：)都成立，即 a(x 2 • 2) -x 2
-2x - 0对任意 a • (0, •：：)都成立.
设g(a) =a(x 2 2^x^2x(^ R),则对任意R , g(a)为单调递增函数(a ，R). 所以对任意a ，(0,七),g(a) 0恒成立的充分必要条件是g(0) _ 0 . 即- X 2-2X _0 , •••-2空x 空0 于是x 的取值范围是fx|-2空x 乞0?.
方法二：由题设知：ax 2 -3x • (a • 1) • x 2 - x - a • 1对任意a (0^ :：)都成立
即 a(x ，2)-x -2x 0对任意 a - (0, •：：)都成立.
2 2
于是a - x 2 2x 对任意a (0, •：：)都成立，即x 2 2x 乞0 . 二-2 一 x 一 0 .
x +2
x +2
于是x 的取值范围是「XI -2乞x 冬0?.
21.
r (x )
+
+
f(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的递增区间是 (----,--)与(1,::),递减区间是
3
•解（1）当"0时J3耳如总（奩）
由肌‘匕）>0=>.x > e 由 E’（jt ） <0=^0 <x <e
所以，函数砒（兀）在（o,e ］上单调递减、在［e, + 8 ）上单调還増, .故盅之时* ［之 所以，机We 所以，实数殛的取值范围是（-cc ，訂.
（D ） m=2 时』（工）二代戈）-駁（玄）-21n x-a
由 h <0=>x<2,考虑到 1
知联巧徑〔屛2］上单调递减，在［2,3］上草调递增
A （l ） =1
<2 -21n2-M3） =3 -2hB -5九（3） <A （1）
结合函数旅灯的图象，知h （2）c0卫想）MO 得2 -2Ln2 <a^3 -21n3 所以，实数«的取值范围是（2-21n2,3-21n3］
5）在公共定义域内，g （灯在⑴占］上单调递陽在 * +8 ）上单调递増, 故若存在m ,符合题意
令m （兀）
只供学第骏袖在（0占〕上集调递减，在［寺，2 ）上单调递增，故厂（寺）-0。