第0章 数学模型与数学建模

问题的关键 *圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？ 冲撞速度 英尺/ 英尺/秒); *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：求这一种桶沉入 英尺的海 新问题：求这一种桶沉入300英尺的海 底时的末速度. 原问题是什么? 底时的末速度.（原问题是什么?）
罗宾*巴德与迈克尔*帕金（ 罗宾*巴德与迈克尔*帕金（国际最流行 的《宏观经济学原理》和《微观经济学原 宏观经济学原理》 编者） 理》编者）论述经济学含义和研究方法时 指出： 指出： “经济科学的任务就是找到与我们在现实中的 经济科学的任务就是找到与我们在现实中的 观察相一致， 观察相一致，并能够帮助我们理解现实世界的 实证性论述，同时将这些陈述分类编目。 实证性论述，同时将这些陈述分类编目。这是 一项庞大的任务，其中包括三大步骤：观察与 一项庞大的任务，其中包括三大步骤： 测量、建立模型、检验模型” 测量、建立模型、检验模型”.
数学模型(E.A.Bendar 定义 ： 定义)： 数学模型 关于部分现实世界为一定目的而做的抽 简化的数学结构。 象、简化的数学结构。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 简化而本质的描述 是用数学符号、数学公式、程序、 是用数学符号、数学公式、程序、图、 表等刻画客观事物的本质属性与内在联系 的理想化表述. 的理想化表述
dT T 与 − m成正比 dt
建立微分方程
dT = −k(T − m), dt T(0) = 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为 其中参数 ， ln(T－m) = －k t+c, −kt
或
T = m + ce
Hale Waihona Puke Baidu
, t ≥ 0,
1 16 代入条件，求得c=42 ，k =－ ln , 最后得 代入条件，求得 － 3 21
可帮助我们明确大夫的决策取决于目标的 设定及治疗原则等. 设定及治疗原则等 数学模型是思考的工具
构造一个数学模型可帮助我们进行交流、 构造一个数学模型可帮助我们进行交流、 获得理解、 获得理解、加强对所采取的行动及结果的 预测能力，它应有助于思考过程. 预测能力，它应有助于思考过程
6.厂长经理们筹划出一个合理安排生产 和销售的数学模型， 和销售的数学模型，是为了获取尽可能高 的经济效益. 的经济效益 7.生物医学专家有了药物浓度在人体内 7.生物医学专家有了药物浓度在人体内 随时间和空间变化的数学模型后， 随时间和空间变化的数学模型后，可以用 来分析药物的疗效， 来分析药物的疗效，从而有效地指导临床 用药. 用药.
对于四条腿等长， 结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形 的桌子，在光滑地面上做原地旋转， 的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不 大于π/2的角度内 必能放平. 的角度内， 大于 的角度内，必能放平 思考题：任意矩形的桌子会怎样？ 思考题：任意矩形的桌子会怎样？
一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 美国原子能委员会（现为核管理委员会） 美国原子能委员会（现为核管理委员会） 处理浓缩放射性废物， 处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封 性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英 性能很好的圆桶中，然后扔到水深 英 尺的海里.他们这种做法安全 安全吗 尺的海里.他们这种做法安全吗？ 联想： 联想：安全 、危险 分析： 分析：可从各个角度去分析造成危险的 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能. 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.
可利用的数据条件： 可利用的数据条件： W=527.327（磅） 圆桶的总重量 （ 圆桶受到的浮力 B =470.327（磅） （ 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 ， = 可利用牛顿第二定律， 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位 移满足的微分方程： 移满足的微分方程：
1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21
, t ≥0.
1 16 ln ×10 结果 ：T(10)=18+42e 3 21 =25.870，
该物体温度降至300c 需要 需要8.17分钟 分钟. 该物体温度降至 分钟
稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的 地面上, 地面上 问是否总能设法使它的四条腿同时 着地？ 着地？ 假设 *1 地面为连续曲面 （在Oxyz坐标系中，地 地面为连续曲面.（ 坐标系中， 坐标系中 表示） 面可用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示） 表示 *2 相对于地面的弯曲程度 方桌的腿足够长 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长. *3 将与地面的接触看成几何上的点接触 将与地面的接触看成几何上的点接触.
固定汇率和浮动汇率的货币动力学； 固定汇率和浮动汇率的货币动力学； 金融衍生品定价Black-Scholes公式； 公式； 金融衍生品定价 公式 考虑技术进步的生产函数……. 考虑技术进步的生产函数
数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。 与数学世界的理想桥梁。
五、建模范例 作案时间的确定 一个较热的物体置于室温为180c的房间 一个较热的物体置于室温为 的房间 该物体最初的温度是60 ， 分钟以后 内，该物体最初的温度是 0c，3分钟以后 降到50 想知道它的温度降到 想知道它的温度降到30 降到 0c .想知道它的温度降到 0c 需要多 少时间？ 分钟以后它的温度是多少 分钟以后它的温度是多少？ 少时间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为 的 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的 的介质中时， 的变 物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变 化速率正比于T与周围介质的温度差 与周围介质的温度差。 化速率正比于 与周围介质的温度差。
建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心 点 旋转，转动角度记为θ. 旋转，转动角度记为
B A′ θ
C C′
O
A
D
引进函数变量： 引进函数变量： f(θ) — A、C 两腿到地面的距离之和； 、 两腿到地面的距离之和； g(θ) — B、D 两腿到地面的距离之和； 、 两腿到地面的距离之和； 由假设* 都是连续函数。 由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数。 、 都是连续函数 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能 ，方桌腿足够长， 同时着地， 同时着地，故有 f(θ) g(θ)=0，θ∈[0，2π] ， ∈ ， 不妨设 f(0)=0、g(0)＞0. 、 ＞
3. 怎样安排性急的游客？ 怎样安排性急的游客？ 在大型游乐场里如何安排游客, 让他们乐意等待， 在大型游乐场里如何安排游客 让他们乐意等待， 乐意花钱？ 乐意花钱？ 4. 人的指纹是否惟一？ 人的指纹是否惟一？ 人们普遍相信每个人的指纹都是不同的. 人们普遍相信每个人的指纹都是不同的 请建 立并分析一个模型， 立并分析一个模型，来评估这种说法是正确的 可能性, 可能性 然后把你们在这个问题中发现的指纹 识别错误率与DNA识别错误率相比较 (04) 识别错误率相比较. 识别错误率与 识别错误率相比较
分析：假设房间足够大， 分析：假设房间足够大，放入温度较低或 较高的物体时，室内温度基本不受影响， 较高的物体时，室内温度基本不受影响，即 室温分布均衡,保持为m， 室温分布均衡,保持为 ，采用牛顿冷却定律 是一个相当好的近似。 是一个相当好的近似。 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 建立模型： T(t)，t≥0， ， ， “T的变化速率正比于 与周围介质的温度差” 的变化速率正比于T与周围介质的温度差 的变化速率正比于 与周围介质的温度差” 翻译为
方桌问题归结为数学问题： 方桌问题归结为数学问题： 数学问题 都是连续函数, 已知 f(θ) 和 g(θ) 都是连续函数 f(0)=0、g(0) 、 且对任意θ∈ 都有f(θ)g(θ )=0， ＞0,且对任意 ∈[0, 2π], 都有 且对任意 ， 求证：存在 使得f(θ 求证：存在θ0，使得 0) = g(θ0). 分析： 互换位置, 分析：当θ=π/2时，即AC 和 BD互换位置 时 互换位置 故有 令 f(π/2)＞0， ＞ ， g(π/2)=0
* 对实体某些属性的模拟 对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象 任何一个模型仅为一个真实系统某一 方面的理想化，决不是真实系统的重现 方面的理想化，决不是真实系统的重现.
5. 大夫的决策问题 状态（可能） 状态（可能） 治愈 等待 行动 人能控制） （人能控制）治疗 此模型(数学结构 表达了大夫能做什么 此模型 数学结构)表达了大夫能做什么 数学结构 表达了大夫能做什么, 可能出现的结果. 可能出现的结果 瘫痪 死亡
现 实 世 界
建立数学模型 翻译为实际解答
数 学 世 界
推理 演绎 求解
实际解答：如对现实对象的分析、预报、 实际解答 如对现实对象的分析、预报、 如对现实对象的分析 决策、控制等结果。 决策、控制等结果。 始于现实世界并终于现实世界
二、 计算机技术与数学的应用 世纪后半叶， 在20世纪后半叶，计算机与信息技术突飞猛进的 世纪后半叶 高速发展，给予处理解决的复杂问题（数学模型） 高速发展，给予处理解决的复杂问题（数学模型） 以强有力的支持工具。 以强有力的支持工具。给了建立数学模型这一技术 以极大的推动，不仅重新焕发了数学建模的活力， 以极大的推动，不仅重新焕发了数学建模的活力， 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。 通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。 通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。 甚至在抵押贷款和商业谈判等日常生活中都要用到 数学建模的思想和方法。 数学建模的思想和方法。
21世纪高端人才应具备的数学素质与能力 世纪高端人才应具备的数学素质与能力 使 用 抽 象 思 维 能 力 逻 辑 推 理 能 力 数 学 运 算 能 力 空 间 想 象 能 力 数 学 建 模 能 力 数 据 处 理 能 力 数 学 软 件 能 力 更 新 数 学 知 识 能 力
三、数学模型与数学建模初略介绍 数学模型( ):重结果 数学模型(Mathematical Model):重结果； ):重结果； 数学建模(Mathematical Modeling):重过程 重过程. 数学建模 重过程 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟, 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟, 具有事物中感兴趣的主要性质。 具有事物中感兴趣的主要性质。 * 对实体本身的模拟 飞机形状进行模拟的模型飞机； 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；
第0章 章 数学模型与数学建模
----从现实世界谈起 从现实世界谈起
一、引例 1. 世界的末日？ 世界的末日？ 当一个直径约为1000米的小行星正好与南极洲大 米 当一个直径约为 陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？（99） 是否会产生灾难性的影响？（ ） 是否会产生灾难性的影响？（ 2. 如何控制喷泉的高度？ 如何控制喷泉的高度？ 如何智能控制广场中央的喷泉高度， 如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免 水雾浸湿游客的衣衫？（ ？（02） 水雾浸湿游客的衣衫？（ ）
h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有 － ，
h(0)＜0，h(π/2)＞0， ＜ ， ＞ ， 上连续， 因 h(θ) 在 [0, π/2]上连续，根据闭区间 上连续 上连续函数的介值定理，存在θ 上连续函数的介值定理，存在 0∈[0,π/2]， ， 使 h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0 － f(θ0) = g(θ0) 因对任意θ有 因对任意 有, f(θ)g(θ)=0 f(θ0)g(θ0)=0 f(θ0)=g(θ0)=0
诺贝尔经济学奖获得者建立的数学 四、 诺贝尔经济学奖获得者建立的数学 模型 人类时间价格模型； 人类时间价格模型； 教师与毕业生的增长模型； 教师与毕业生的增长模型； 房屋出售问题模型； 房屋出售问题模型； 最优消费和组合投资问题； 最优消费和组合投资问题； Selton 连锁店博弈模型； 连锁店博弈模型； 平稳人口模型； 平稳人口模型；