第0章 数学模型与数学建模
数学建模课程教学大纲(可编辑修改word版)
《数学建模》课程教学大纲英文名称：Mathematical Modeling课程编号：适用专业：理工科类（专科）总学时数：30学分：2一、课程的性质、目的与任务本课程是联系数学与实际的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介。
通过本课程的教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决实际问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力。
二、课程教学内容及要求第一章建立数学模型（2 学时）1、教学内容数学模型与数学建模、数学建模的基本方法和步骤、数学模型的特点和分类2、重点、难点重点：数学模型与数学建模难点：数学建模的基本方法和步骤3、教学基本要求（1）了解数学模型与数学建模过程。
（2）了解数学建模竞赛规程。
（3）掌握几个简单的智力问题模型。
第二章初等模型（2 学时）1、教学内容双层玻璃窗的功效、动物的身长与体重2、重点、难点重点：初等方法建模的思想与方法难点：初等方法建模的思想与方法3、教学基本要求了解比例模型及其应用。
第三章简单的优化模型（2 学时）1、教学内容存贮模型、最优价格2、重点、难点重点：存贮模型难点：存贮模型教学基本要求（1）掌握利用导数、微分方法建模的思想方法。
（2）能解决简单的经济批量问题和连续问题模型。
第四章数学规划模型（4 学时）1、教学内容线性规划建模、奶制品的生产与销售、接力队的选拔与选课策略、钢管和易拉罐下料2、重点、难点重点：线性规划方法建模难点：线性规划方法建模、Lindo 软件的使用。
3、教学基本要求（1）掌握线性规划建模方法。
（2）了解对偶单纯形的经济意义。
（3）了解 Lindo 和Lingo 数学软件在解决规划问题中的作用。
第五章微分方程模型（4 学时）1、教学内容传染病模型、药物在体内的分布与排除、人口的预测和控制。
2、重点、难点重点：微分方程方法建模难点：微分方程方法建模。
3、教学基本要求（1）掌握微分方程建模的基本方法。
数学模型第五版
数学建模的能力
想象力
洞察力
判断力
比较广博的数学知识
深入实际调查研究的决心和能力
创新意识
• 如何学习数学建模
学别人的模型学习 分析、改进、推广
做自己的模型实际题目;参加竞赛
学别人的模型
对于案例——椅子能在不平的地面上放稳吗; 在学懂的基础上可以作哪些研究
1 模型假设中哪些条件是本质的, 哪些是非本质的 地面高度连续 是 椅子至少三只脚着地 是
用 x 表示船速;y 表示水速，列出方程：
(x y)30750
x=20
(x y)50750 求解 y =5
答：船速为20km/h
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设船速 水速为常数 • 用符号表示有关量x, y分别表示船速和水速 • 用物理定律匀速运动的距离等于速度乘以
时间列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答x=20, y=5
章 13 建模示例之一 包饺子中的数学
14 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
15 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
16 数学建模的基本方法和步骤 17 数学模型的特点和分类
型 18 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1 1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具 照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型
结论：在模型假设条件下;将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点
1 6 数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法
对客观事物特性的认识
机理分析
内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
数学建模介绍
数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
数学建模概述
• 在国民经济中的数学模型：
产品的设计与制造 系统的控制与优化 质量控制 预报与决策
• 数学模型和数学技术 ：
资源环境 其它：气象预报等
在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术。 高技术本质上是一种数学技术。
课程简介
1 现状： •数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十 年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 •80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学 建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学 建模课程、数学建模竞赛(1992,每年9月)和数 学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来 越受到重视。
从智力游戏到数学建模 ——人、狗、鸡、米过河问题
问题： 某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需 要人划外，最多只能载一物过河，而当人不 在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如 何过河才能将狗、鸡和米都带过河。
第1章 数学建模概述
1.1 数学建模介绍 1.2 数学建模的一般步骤 1.3 数学建模示例
根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（Mathematical Modeling)：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 现实对象的 信息
证验 解释 表述
数学模型
求 解
（ 演 绎 ）
（归纳）
现实对象的 解答
数学模型的 解答
现实对象与数学模型的关系
§1.3 数学建模示例
我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建 模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分 方程是十分常用的数学工具之一。
我们来建立如下的一些问题的模型：
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型是对实际问题的一种抽象表示，通过数学语言和符号来描述问题的特征、关系和规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程，它依靠数学模型来分析和研究问题，得到问题的解决方案或优化结果。
数学模型与数学建模在各个领域都得到了广泛应用，成为解决实际问题的强有力工具。
一、数学模型的分类数学模型分为确定性模型和随机模型两大类。
确定性模型是指模型中的所有参数和变量的取值都是确定的，不存在随机性；随机模型则是指模型中的某些参数或变量的取值是随机的，存在一定的概率分布特性。
1.1 确定性模型确定性模型是最常见的模型类型，它包括数学分析模型、代数模型、几何模型等。
确定性模型主要用于描述具有确定关系的事物，其中最典型的就是几何模型。
例如，平面几何中的三角形和圆形可以用确定性模型来描述其属性、关系和性质，进一步进行几何推理和证明。
1.2 随机模型随机模型是描述随机现象的数学模型，其中包括概率模型、统计模型、随机过程模型等。
随机模型常用于处理实际问题中的不确定性和随机性因素。
例如，在金融领域，股票价格的变动通常具有一定的不确定性，可以用随机模型中的随机过程来描述和预测。
二、数学建模的步骤数学建模通常包括问题定义、建立数学模型、求解模型和验证模型这四个步骤。
2.1 问题定义在数学建模中，首先需要明确问题的定义和目标，包括问题的背景、需求和约束条件等。
问题定义阶段需要对问题进行细致的分析和抽象，确保问题的本质特征能够被准确地反映在数学模型中。
2.2 建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤，它需要将实际问题转化为数学语言和符号来描述。
建立数学模型时，需要进行参数选择、变量定义、关系建立等操作，以确保模型能够客观、准确地反映问题的特征和规律。
2.3 求解模型求解模型是通过数学方法和技术来实现对问题解决方案的确定。
根据具体问题的不同，求解模型的方法可以采用数值计算、符号计算、优化算法等不同的技术手段。
数学建模第三版习题答案
数学建模第三版习题答案数学建模是一门应用数学的学科，通过建立数学模型来解决实际问题。
《数学建模第三版》是一本经典的教材，其中的习题对于学生来说是非常重要的练习材料。
在这篇文章中，我将为大家提供《数学建模第三版》习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用数学建模的知识。
第一章：数学建模的基础知识1. 数学建模的定义：数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来解决问题的过程。
2. 数学建模的基本步骤：问题的分析与理解、建立数学模型、求解数学模型、模型的验证与应用。
3. 数学建模的分类：确定性建模和随机建模。
4. 数学建模的特点：抽象性、理想化、简化性和应用性。
第二章：线性规划模型1. 线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划模型的求解方法：图形法、单纯形法和对偶理论。
3. 线性规划模型的应用：生产计划、资源分配、运输问题等。
第三章：整数规划模型1. 整数规划模型的基本形式：目标函数是线性的，约束条件中包含整数变量。
2. 整数规划模型的求解方法：分枝定界法、割平面法、动态规划法等。
3. 整数规划模型的应用：项目选择、装配线平衡问题、旅行商问题等。
第四章：动态规划模型1. 动态规划模型的基本思想：将一个大问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
2. 动态规划模型的求解方法：递推法、备忘录法和自底向上法。
3. 动态规划模型的应用：背包问题、最短路径问题、最长公共子序列问题等。
第五章：非线性规划模型1. 非线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件中包含非线性函数。
2. 非线性规划模型的求解方法：牛顿法、拟牛顿法、全局优化法等。
3. 非线性规划模型的应用：经济增长模型、生态系统模型、医学诊断模型等。
第六章：图论模型1. 图论模型的基本概念：顶点、边、路径、回路等。
2. 图论模型的求解方法：深度优先搜索、广度优先搜索、最短路径算法等。
数学建模基本概念资料
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运
动看作一天两人同时分别从山下和山 顶沿同一路径相反运动，因为两人同 时出发，同时到达目的地，又沿同一 路径反向运动，所以必在中间某一时 刻t两人相遇，这说明某人在两天中的 同一时刻经过路途中的同一地点。
怎样用数学方法解决？
7
解法二： 以时间t为横坐标，以沿上山路
11
由零点定理知在区间[8,17]内至少存在
一点使
H (t0 ) 0,
即 F(t0) G(t0).
(t0 是唯一的吗？为什么？) 这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻
t t0使得路程相等，
即这人两天在同一时刻经过路途中的同一 地点。
x0 F(t0) G(t0)
12
思考题：
1、若下山时，这人下午3点就到达山 下旅店，结论是否成立？
15
这样得三元一次方程组
x y l
yzຫໍສະໝຸດ mx z n由三元一次线性方程组解出 x,y,z即得三根电线的电阻。
16
说明：
此问题的难点也是可贵之处是用 方程“观点”、“立场”去分析， 用活的数学思想使实际问题转到新 创设的情景中去。
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问题４ 气象预报问题
问题：在气象台A的正西方向 300km处有一台风中心，它以 40km/h的速度向东北方向移动； 根据台风的强度，在距其中心 250km以内的地方将受到影响， 问多长时间后气象台所在地区将遭 受台风的影响？持续时间多长？
23
通过以上几个简单问题的解决可以 看 出 ，在 我 们 周 围 的 许 多 实 际 问 题 ，甚 至有些实际问题看起来好象与数学无 关，但通过细致的观测、分析及假设， 都可以应用数学方法简捷和完美的解 决 。这 说 明 只 要 善 于 观 察 和 分 析 ，数 学 的应用是非常灵活和十分广泛的.
数学建模简介
数学建模与数学建模竞赛一. 什么是数学模型二. 为什么要学数学建模三. 如何建立数学模型_建立数学模型的步骤和方法四. 全国大学生数学建模竞赛简介1. 竞赛的由来及现状2. 数学建模竞赛的特点。
3. 如何写作数学建模竞赛论文一. 什么是数学模型？⑴厡型与模型厡型与模型是一对对偶体，厡型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
而模型是指为了某个特定目的将厡型的某一部分信息简缩、提炼而构造的替代物。
模型不是厡型，它既简单于厡型，又高于厡型.例如飞机模型，虽然比飞机厡型简单，而且也不一定会飞，但是很逼真，足以让人想像飞机在飞行过程中机翼的位置与形状的影响和作用。
一个城市的交通图是城市的一种模型，看模型比看厡型清楚，此时城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状都不重要。
但是，城市的街道、交通钱路和各单位的位置等信息都一目了然，这比看厡型清楚得多。
模型可以分为形象模型和抽象模型，抽象模型最主要的就是数学模型。
⑵数学模型数学模型并不是新事物，自从有了数学，也就有了数学模型。
即要用数学去解决实际问题，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题，这就是数学模型。
事实上，人所共知的欧几里得几何、微积分、万有引力定律、能量转化定律、夹义相对论、广义相对论等都是很好的数学模型。
那么，什么是数学模型呢？目前没有确切的定义，但可以这样讲：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构式。
也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现像的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对像。
应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系式，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。
⑶数学模型无处不在目前，数学的应用已经渗透到了各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学，在人们日常生活的各种活动中，数学无处不在。
数学建模简介word文档-华南师范大学数学科学学院
1.1 关于数学建模一、数学、数学模型、数学建模的定义二、数学建模过程流程图三、数学建模的特点和分类四、数学建模的应用和现代科学五、历年全国和美国大学生数学建模竞赛六、如何学好数学建模七、数学建模的例子：火炮的射击、椅子能在不平的地上放稳吗、人中预报问题一、数学、数学模型、数学建模的定义数学――是一门研究数量关系和空间变化关系的学科数学模型――对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
数学建模――构造数学模型的过程，利用数学方法解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。
例1：火炮的射击―――数学建模的大致全过程模型一：假设不考虑空气的阻力、重力影响――抛物运动模型二：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度成正比。
模型三：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。
――适用于火炮的射击模型四：考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。
―――适用于卫星的发射。
二、数学建模过程流程图众多的因素（主要和次要）－－合理的假设――建立数学模型――用数学方法(或数学软件)求解模型――检验（得解与实际问题作比较）――修改完善模型。
上述数学建模过程可用流程图表述如下：三、数学建模的特点和分类数学建模是一个实践性很强的学科，它具有以下特点：1．应用领域广，如物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学、体育运动学等．而不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的模型是相同或相似的．这就要求我们培养广泛的兴趣，拓宽知识面，从而发展联想能力，通过对各种问题的分析、研究、比较，逐步达到触类旁通的境界．2．需要各种数学知识，应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，进行合理的抽象及简化的能力如微分方程、运筹学、概率统计、图论、层次分析、变分法等，去描述和解决实际问题．3．需要各种技术手段的配合，如查阅各种文献资料、使用计算机和各种数学软件包等．4．与求解数学题目的差别．求解数学题目往往有唯一正确的答案，而数学建模没有唯一正确的答案。
数学模型与数学建模课程设计
数学模型与数学建模课程设计一、引言数学是一门极具实用性的学科，数学模型和数学建模则是数学在实际问题中的一种应用。
因此，针对数学模型与数学建模的课程设计尤为重要。
本文将介绍一种适用于高中数学课程的数学模型与数学建模课程设计，旨在增强学生的数学应用能力。
二、目标和意义2.1 目标本课程设计的目标是：•让学生了解什么是数学模型和数学建模•让学生掌握构建简单数学模型的方法和技巧•让学生能独立处理简单数学建模问题•提高学生的数学分析能力和推理能力2.2 意义•增加学生的数学知识面，提高数学素养•帮助加强学生数学应用能力，为将来走向创新型社会打下坚实的基础•提高学生的自主学习和创新能力三、教学内容3.1 数学模型数学模型又称数学建模，是用数学方法来表达实际问题的方法。
本课程的第一部分将主要介绍什么是数学模型、数学模型的分类和构建数学模型的步骤。
范例分别为：高空抛物运动的建模、燃油消耗量的建模、成本与效益之间的建模等。
3.2 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题，并用数学工具和方法来求解问题的过程。
本课程的第二部分将主要介绍如何进行数学建模，包括问题分析、建立数学模型、数学模型求解和模型验证等。
范例分别为：物品运输路径规划问题、信贷评级问题等。
3.3 数学软件本课程的第三部分将主要介绍常用的数学软件及其使用方法和实现原理等，包括Microsoft Excel、Mathematica等。
范例为利用数学软件解决数学问题并验证业务假设的应用案例。
四、教学方法本课程主要采用“理论联系实际”的教学方法，即讲授理论知识同时注重实例分析，并通过案例的形式来讲解掌握课程中的方法和技巧。
同时，本课程借助互联网技术，针对具体题目，要求学生自主查阅相关的文献和使用数学软件进行求解。
此外，本课程还采用“拓展阅读”、“自主实践”、“小组研究”等教学方法，促进学生的全面发展。
五、评价方法教师将按照以下方面对学生的知识、能力、主动性进行评价：•具备数学模型与数学建模的基本知识和方法•能够独立分析解决简单的数学建模问题•能够熟练地使用常见的数学软件和工具•能够运用数学模型在实际问题中进行创新性的解决方案六、总结本课程以数学模型和数学建模为主题，旨在培养学生的创新思维和实际解决问题的能力。
数学模型课件数学模型与数学建模
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
第1章数学模型与数学建模
第1篇 绪 论第1章 数学模型与数学建模1.1 数学与数学的应用数学，这门古老而又常新的科学，已阔步迈进了21世纪。
回顾过去的一个世纪，数学科学的巨大发展，比以往任何时代都更牢固地确立了它作为整个科学技术的基础的地位，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，并越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献。
同时，数学作为一种文化，已成为人类文明进步的标志。
数学与人类文明同样古老，有文明就必须有数学，缺乏数学就不可能有科学的文明，数学与文明同生并存以至千古。
数学是什么呢？ 恩格斯说：数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。
因而数学科学的特点首先是：内容的抽象性、推理的严谨性和结论的明确性。
数学虽然不研究事物本身的质，但任何一种事物必有量和形，所以数学是无处不在、无时不用的。
两种不同的事物，即使从表面上来看它们具有不同的质，但如果具有相同的量或形，就可用相同的数学方法来解决，因而数学必然、也必须是抽象的。
比如方程2y ax =，这里不妨设常数0a >，那么它既可用来表示平面内的一条抛物线、空间中的一个旋转抛物面，也可表示经济学中总收入和产量之间的一种对应关系等等。
数学中严谨的推理和一丝不苟的计算，使得每一个数学结论不可动摇。
这些特点也是各位读者在学习数学的过程中感受特别明显的。
其次，数学科学的另外一个特点是应用的广泛性，这一特点确是在以往的数学教学和学习中往往不被重视的。
历史地来看，数学科学的绝大多数分支都来源于实际，都是对实际的抽象。
如 “几何”一词最早出现于希腊，意思是“测地术”，意味着几何学渊源的实践性；再如促使微积分学产生的主要因素：物体运动时的速度和距离；设计透镜时需要确定光线通过透镜的通道（引出了曲线的切线研究）；炮弹从炮筒射出时运行的水平距离（引出函数的最大最小值问题的研究）以及行星在已知时间段内移动的距离（引发了如何求曲线长度的研究）等。
当然，几何学创立后并不只限于“测地”；微积分学创立后也并不只限于研究和解决上面的四个问题。
数学模型与数学建模
1. 1数学模型与数学建模
• 从而解释或描述某一系统或过程.数学模型对我们其实并不陌生.如牛 顿第二定律F=ma就是一个典型的数学模型;欧姆电路定律I=U/R也是 一个数学模型;历史上著名的七桥问题的答案更是一个巧妙的数学模 型。
• 七桥问题18世纪东普鲁士哥尼斯误被普列格尔河分为四块.它们通 过七座桥相互连接(图1. 2).当时.城里的市民热衷于这样一个游 戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发.经每座桥一次且仅一次到 出发点?实时控制，其控制过程原理方框图 如图8-1所示。由A/D转换器把由传感器采集来的模拟信号转 换成为数字信号，送计算机处理，当计算机处理完数据后， 把结果或控制信号输出，由D/A转换器转换成模拟信号，送 执行元件，对控制对象进行控制。可见，ADC和DAC是数字 系统和模拟系统相互联系的桥梁，是数字系统的重要组成部 分。
科的专门知识外.还常常需要较广阔的应用数学方面的知识.以开拓思 路.
• N模型求解本环节对建立的模型可以采用解方程、问图形、证明定
理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法.特别是计
算机技术进行求解.确定模型所涉及关键参量的结果.
• V模型分析对模型结果及算法进行理论上的分析.
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1. 1数学模型与数学建模
• 初始状态:x(0)=0,y(0)=h.x‘(0)=vcos0,y'(0)=vsin0.但如果考虑空气 阻力.问题的理解似乎并不那么简单.比如:空气阻力和什么因索有关? 关系如何?阻力对投掷距离的影响怎样?如果考虑这些附加问题会对建 立模型
• 那么.为什么还要再根据实际问题不断去修正、完善数学模型呢?实 际中.建立问题的模型不一定一次就能成功.不成功时自然需要根据实 际问题对模型加以改进、调整.最终让模型接近现实原形.否则.建立不 能反映实际状况的模型又有什么用呢?然而·模型只能近似描述实际问 题.不能苛求与真实事物完全吻合.
数学模型与数学建模教学设计
数学模型与数学建模教学设计概述数学模型和数学建模是数学学科中的两个重要领域。
数学模型指的是利用数学方法描述实际问题，并进行数学计算得出相应结果的过程。
而数学建模则是指利用数学模型来解决实际问题的过程。
数学模型和数学建模的学习可以提高学生的数学思维能力、计算能力和科学素养，是提高学生数学综合素质的有效途径。
在数学模型和数学建模的学习中，教师应该合理地设计课程，使学生能够从实际问题出发，建立数学模型，并运用数学知识进行求解。
因此，本文将探讨数学模型和数学建模教学设计的方法和技巧。
课程设计在数学模型和数学建模的教学设计中，需要贯彻“问题驱动、过程性、综合性、探究性”等原则，充分调动学生的积极性和创造性。
1.选择适当的教材在教学中，首先需要选择适当的教材。
教材选用应考虑到教学的实际需要和教学对象的实际情况，使其既符合教学大纲要求，又符合学生的认知和理解能力。
2.确定教学目标在教学设计中，需要明确教学目标，以鼓励学生充分发挥自主学习的主体性，提高学习效果。
教学目标应该包括：•深入理解数学模型和数学建模的重要性；•熟练掌握数学知识，并能够运用于实际问题；•培养对实际问题的分析和解决问题的能力；•培养创新思维和团队合作精神。
3.设计教学过程在教学过程中，应该注意以下几点：•通过具体的实例来引导学生理解和掌握构建数学模型的方法；•通过课堂讨论、小组讨论等形式来激发学生的兴趣，加深学生对数学模型和数学建模的了解；•利用网络、多媒体等现代化教学手段来丰富教学内容，提高教学效果；•在教学中体现数学思想的发展历程，培养学生的科学素养和理性思维。
4.评价与反馈教师需要进行评价与反馈来检验学生所掌握的知识和技能。
教师可以通过课堂作业、小组讨论、测验等方式来检验学生的学习成果，并及时进行有针对性的反馈。
教学方法教学方法在数学模型和数学建模的教学中起着至关重要的作用。
以下是一些常用的教学方法：1.案例分析法案例分析法是目前数学模型和数学建模教学中最常用的教学方法之一。
数学模型与数学建模 简介
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至 少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就 化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只 要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
了三十并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十分钟到家，问此人共步换 显行然一了是种多由想长于法时节，省问了题从就相遇迎点刃到而会解合了点。，假又如从
间？
请思他 那 分 会到会考合会合的 么 钟一点合点妻 这 时下返点，子 一 间，回需故遇 天 从本相开相到 他 何题遇5遇分他 就 而解点时钟答后 不 来这他。中似仍 会 ？一已而隐段步载 提乎此含路行着前条人了的了他回提哪件缘二开家前些故十不往了了假，五够三会。设故分十合提哦由钟分地前相。钟？。点的遇到点，十。达
间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说， 在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没 被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线
的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。
D
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样
清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水 温不能太高，否不则妨可会以烫提手出以，下但简也化不假设能：太低，否则不干净。由 于想节省开支，（子餐1的）大馆水小老池、、板材空料想气相了吸同热解不一计池，只热考水虑到盘子底吸可热以，盘洗多少盘 子，请你帮他建（模2）分盘析子初一始下温这度与一气问温题相同。，洗完后的温度与
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模一、引言在科学的广阔天地中，数学无疑是一座高耸入云的山峰，它的高峰俯瞰着整个科学领域。
数学模型和数学建模，则是攀登这座高峰的重要工具。
数学模型是对现实世界中的现象、问题或过程进行抽象、简化、假设和形式化的一种数学结构。
而数学建模，则是通过数学模型来模拟、预测、优化或控制现实世界中的现象、问题或过程的过程。
二、数学模型：理论的基础数学模型是一种理论工具，它能够将现实世界中的问题转化为数学问题，从而使得我们可以利用数学工具进行分析和解决。
例如，在物理学中，我们可以通过建立微分方程或积分方程来描述物体的运动规律；在生物学中，我们可以通过建立种群增长模型来预测生物种群的未来发展趋势。
三、数学建模：实践的桥梁数学建模是将数学模型应用到实际问题中的过程。
它是一种桥梁，连接了理论和实践。
数学建模的过程通常包括问题的定义、模型的建立、模型的求解和结果的解释等步骤。
在这个过程中，我们需要对问题进行深入的理解和分析，然后选择合适的数学工具来建立模型，最后通过计算机软件或者其他工具进行求解。
四、数学模型与数学建模的应用数学模型和数学建模的应用广泛存在于各个领域。
例如，在经济学中，我们可以通过建立计量经济学模型来预测经济走势；在医学中，我们可以通过建立生物统计学模型来分析疾病的数据。
数学模型和数学建模还在计算机科学、工程学、社会学等许多领域中发挥着重要的作用。
五、理论和实践的融合数学模型和数学建模是理论和实践的融合。
它们不仅是解决实际问题的重要工具，也是推动科学发展的重要动力。
通过建立和应用数学模型，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题，推动科学的进步和发展。
通过实践中的应用和反馈，我们也可以不断改进和完善我们的数学模型和理论。
这种理论和实践的相互促进，正是科学进步的重要动力。
数学模型数学建模模型思想数学模型与数学建模：理论与应用数学模型和数学建模是现代数学应用中的重要概念。
数学模型是对现实世界中的某个特定对象、现象或过程的抽象描述，而数学建模则是建立这种模型的过程。
数学模型与数学建模6.3节ppt课件
（6.3.1）
其中i N(0, 2)，独立同分布。多元线性回归样本方程为
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆmxm
,
式中
0, 1, 2,
,m
为0, 1, 2,
m 的估计值。
为方便起见，令
y1
y
y2
yn
yˆ1
，yˆ
yˆ2
yˆn
1
2
n
ˆ
ˆ1 ˆ2
影响是否显著，从而找出哪些自变量对 y 的影响是重要的，
哪些是不重要的。
对于多元回归方程，回归系数的显著性检验，即检验假设
Hi0 : i 0 (i 0,1,2, , m) ，在假设成立的条件下，T统计量
T ˆi cii t(n m 1) ，式中c jj为C (xT x)1 的对角线上第j个
在多元线性逐步回归中，“最优”的含义是指从可供选择的 所有变量中选出对Y有显著影响的变量建立方程，且在方程中 不含对Y无显著影响的变量。R软件提供了较为方便的“逐步回 归”计算函数step( )，它是以信息统计量为准则，通过选择最小 的AIC信息统计量，来达到删除或增加变量的目的。我们通过 一个例子来说明如何通过R软件来实现逐步回归的过程。
yˆ 27516.477 105.125x 54.203x
（3）回归系数的区间估计
由参数 的统计性质可知：
Ti ˆi i sd(ˆi ) t(n m 1), i 0,1, 2, , m.
因此 i，的区间估计为：
（6.3.6）
[ˆi sd(ˆi )t 2(n m 1), ˆi sd(ˆi )t 2(n m 1)], i 0,1,2, ,m.
• 编程如下： • new<-data.frame(x1<-900,x2<-1300) • lm.pred<-predict( lm.sol, new, interval="prediction", level=0.95) • lm.pred • fit lwr upr • 1 51668.3 28980.95 74355.66 • 因此，当x=(900, 1300)T时，得到相应的预测值为51668.3，
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h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有 － ，
h(0)＜0，h(π/2)＞0， ＜ ， ＞ ， 上连续， 因 h(θ) 在 [0, π/2]上连续，根据闭区间 上连续 上连续函数的介值定理，存在θ 上连续函数的介值定理，存在 0∈[0,π/2]， ， 使 h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0 － f(θ0) = g(θ0) 因对任意θ有 因对任意 有, f(θ)g(θ)=0 f(θ0)g(θ0)=0 f(θ0)=g(θ0)=0
第0章 章 数学模型与数学建模
----从现实世界谈起 从现实世界谈起
一、引例 1. 世界的末日？ 世界的末日？ 当一个直径约为1000米的小行星正好与南极洲大 米 当一个直径约为 陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？（99） 是否会产生灾难性的影响？（ ） 是否会产生灾难性的影响？（ 2. 如何控制喷泉的高度？ 如何控制喷泉的高度？ 如何智能控制广场中央的喷泉高度， 如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免 水雾浸湿游客的衣衫？（ ？（02） 水雾浸湿游客的衣衫？（ ）
固定汇率和浮动汇率的货币动力学； 固定汇率和浮动汇率的货币动力学； 金融衍生品定价Black-Scholes公式； 公式； 金融衍生品定价 公式 考虑技术进步的生产函数……. 考虑技术进步的生产函数
数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。 与数学世界的理想桥梁。
五、建模范例 作案时间的确定 一个较热的物体置于室温为180c的房间 一个较热的物体置于室温为 的房间 该物体最初的温度是60 ， 分钟以后 内，该物体最初的温度是 0c，3分钟以后 降到50 想知道它的温度降到 想知道它的温度降到30 降到 0c .想知道它的温度降到 0c 需要多 少时间？ 分钟以后它的温度是多少 分钟以后它的温度是多少？ 少时间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为 的 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的 的介质中时， 的变 物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变 化速率正比于T与周围介质的温度差 与周围介质的温度差。 化速率正比于 与周围介质的温度差。
分析：假设房间足够大， 分析：假设房间足够大，放入温度较低或 较高的物体时，室内温度基本不受影响， 较高的物体时，室内温度基本不受影响，即 室温分布均衡,保持为m， 室温分布均衡,保持为 ，采用牛顿冷却定律 是一个相当好的近似。 是一个相当好的近似。 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 建立模型： T(t)，t≥0， ， ， “T的变化速率正比于 与周围介质的温度差” 的变化速率正比于T与周围介质的温度差 的变化速率正比于 与周围介质的温度差” 翻译为
21世纪高端人才应具备的数学素质与能力 世纪高端人才应具备的数学素质与能力 使 用 抽 象 思 维 能 力 逻 辑 推 理 能 力 数 学 运 算 能 力 空 间 想 象 能 力 数 学 建 模 能 力 数 据 处 理 能 力 数 学 软 件 能 力 更 新 数 学 知 识 能 力
三、数学模型与数学建模初略介绍 数学模型( ):重结果 数学模型(Mathematical Model):重结果； ):重结果； 数学建模(Mathematical Modeling):重过程 重过程. 数学建模 重过程 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟, 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟, 具有事物中感兴趣的主要性质。 具有事物中感兴趣的主要性质。 * 对实体本身的模拟 飞机形状进行模拟的模型飞机； 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；
1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21
, t ≥0.
1 16 ln ×10 结果 ：T(10)=18+42e 3 21 =25.870，
该物体温度降至300c 需要 需要8.17分钟 分钟. 该物体温度降至 分钟
稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的 地面上, 地面上 问是否总能设法使它的四条腿同时 着地？ 着地？ 假设 *1 地面为连续曲面 （在Oxyz坐标系中，地 地面为连续曲面.（ 坐标系中， 坐标系中 表示） 面可用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示） 表示 *2 相对于地面的弯曲程度 方桌的腿足够长 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长. *3 将与地面的接触看成几何上的点接触 将与地面的接触看成几何上的点接触.
诺贝尔经济学奖获得者建立的数学 四、 诺贝尔经济学奖获得者建立的数学 模型 人类时间价格模型； 人类时间价格模型； 教师与毕业生的增长模型； 教师与毕业生的增长模型； 房屋出售问题模型； 房屋出售问题模型； 最优消费和组合投资问题； 最优消费和组合投资问题； Selton 连锁店博弈模型； 连锁店博弈模型； 平稳人口模型； 平稳人口模型；
问题的关键 *圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？ 冲撞速度 英尺/ 英尺/秒); *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：求这一种桶沉入 英尺的海 新问题：求这一种桶沉入300英尺的海 底时的末速度. 原问题是什么? 底时的末速度.（原问题是什么?）
数学模型(E.A.Bendar 定义 ： 定义)： 数学模型 关于部分现实世界为一定目的而做的抽 简化的数学结构。 象、简化的数学结构。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 简化而本质的描述 是用数学符号、数学公式、程序、 是用数学符号、数学公式、程序、图、 表等刻画客观事物的本质属性与内在联系 的理想化表述. 的理想化表述
建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心 点 旋转，转动角度记为θ. 旋转，转动角度记为
B A′ θ
C C′
O
A
D
引进函数变量： 引进函数变量： f(θ) — A、C 两腿到地面的距离之和； 、 两腿到地面的距离之和； g(θ) — B、D 两腿到地面的距离之和； 、 两腿到地面的距离之和； 由假设* 都是连续函数。 由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数。 、 都是连续函数 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能 ，方桌腿足够长， 同时着地， 同时着地，故有 f(θ) g(θ)=0，θ∈[0，2π] ， ∈ ， 不妨设 f(0)=0、g(0)＞0. 、 ＞
可利用的数据条件： 可利用的数据条件： W=527.327（磅） 圆桶的总重量 （ 圆桶受到的浮力 B =470.327（磅） （ 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 ， = 可利用牛顿第二定律， 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位 移满足的微分方程： 移满足的微分方程：
现 实 世 界
建立数学模型 翻译为实际解答
数 学 世报、 实际解答 如对现实对象的分析、预报、 如对现实对象的分析 决策、控制等结果。 决策、控制等结果。 始于现实世界并终于现实世界
二、 计算机技术与数学的应用 世纪后半叶， 在20世纪后半叶，计算机与信息技术突飞猛进的 世纪后半叶 高速发展，给予处理解决的复杂问题（数学模型） 高速发展，给予处理解决的复杂问题（数学模型） 以强有力的支持工具。 以强有力的支持工具。给了建立数学模型这一技术 以极大的推动，不仅重新焕发了数学建模的活力， 以极大的推动，不仅重新焕发了数学建模的活力， 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。 通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。 通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。 甚至在抵押贷款和商业谈判等日常生活中都要用到 数学建模的思想和方法。 数学建模的思想和方法。
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罗宾*巴德与迈克尔*帕金（ 罗宾*巴德与迈克尔*帕金（国际最流行 的《宏观经济学原理》和《微观经济学原 宏观经济学原理》 编者） 理》编者）论述经济学含义和研究方法时 指出： 指出： “经济科学的任务就是找到与我们在现实中的 经济科学的任务就是找到与我们在现实中的 观察相一致， 观察相一致，并能够帮助我们理解现实世界的 实证性论述，同时将这些陈述分类编目。 实证性论述，同时将这些陈述分类编目。这是 一项庞大的任务，其中包括三大步骤：观察与 一项庞大的任务，其中包括三大步骤： 测量、建立模型、检验模型” 测量、建立模型、检验模型”.
* 对实体某些属性的模拟 对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象 任何一个模型仅为一个真实系统某一 方面的理想化，决不是真实系统的重现 方面的理想化，决不是真实系统的重现.
5. 大夫的决策问题 状态（可能） 状态（可能） 治愈 等待 行动 人能控制） （人能控制）治疗 此模型(数学结构 表达了大夫能做什么 此模型 数学结构)表达了大夫能做什么 数学结构 表达了大夫能做什么, 可能出现的结果. 可能出现的结果 瘫痪 死亡