概率论第二版第3章习题答案讲解

习 题3.1

1． 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品．从这10件产品中任意抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数，求(,)X Y 的分布列．

解 X 的可能取值为0，1，2；Y 的可能取值为0，1，2，3，因此(,)X Y 的可能取值为{(,):0,1,2;0,1,2,3}i j i j ==，且有

217131021(0,2)120C C P X Y C ⋅====， 373

1035

(0,3)120C P X Y C ====， 11127131014(1,1)120C C C P X Y C ⋅⋅====，12273

1042

(1,2)120C C P X Y C ⋅====， 21

213101(2,0)120C C P X Y C ⋅====， 21273

107

(2,1)120

C C P X Y C ⋅====． 由此，(,)X Y 的分布列可以由下表给出

4． 设(,)X Y 的密度函数为e 0(,)0y x y f x y -⎧

<<=⎨⎩，；

，其它.，求(1)P X Y +≤．

解 1111

22

10(1)e d d d e d 1e 2e x

y

y x

x y x y

P X Y x y x y --

---+<<+=

==+-⎰⎰⎰⎰

≤≤．

5． 设(,)X Y 的密度函数为, 04,0(,)Axy x y f x y

⎧⎪=⎨⎪⎩

≤≤≤；

0, 其它. ，

求：(1)常数A ；(2){1,1}P X Y ≤≤．

解 （1）由联合密度函数的性质(,)d d 1f x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

，有

4

d d 1x Axy y =⎰

，得 3

32

A =

．

（2

）1001,104,0331

(1,1)d d d d 323264

x y x y P X Y xy x y x x y y =

==

⎰⎰

⎰≤≤≤≤≤≤≤． 10． 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只． 定义下列随机变量：

1, 0, X ⎧=⎨

⎩第一次取到白球；第一次取到黑球. 1, 0, Y ⎧=⎨⎩

第二次取到白球；

第二次取到黑球. 分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) (,)X Y 的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率．

解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得(,)X Y 的联合分布列为

339(0,0)5525P X Y ===⋅=， 326

(0,1)5525P X Y ===⋅=

， 236(1,0)5525P X Y ===⋅=

， 224

(1,1)5525P X Y ===⋅=． 如下表

两次摸到同样颜色球的概率为

9413

(0,0)(1,1)252525

P X Y P X Y ==+===

+=

． （2）无放回抽样：由乘法定理得(,)X Y 的联合分布列为

326(0,0)5420P X Y ===⋅=

， 326

(0,1)5420P X Y ===⋅=， 236(1,0)5420P X Y ===⋅=

， 212

(1,1)5420P X Y ===⋅=． 如下表

两次摸到同样颜色球的概率为

(0,0)(1,1)0.30.10.4P X Y P X Y ==+===+=．

习 题3.2

2． 已知(,)X Y 的联合分布函数为

()1e e e 0,0(,) 0x y x y x y F x y ---+⎧--+>>=⎨

⎩， ；

， 其它.

　， 求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断X 与Y 的独立性．

解 （1）1e ,(0())lim (,)X y x F x F x y x →+∞

-=->=

1e ,(0())lim (,)Y x y F y F x y y →+∞

-=->=

即有 1e ,0;()0,0.x X x F x x -⎧->=⎨⎩≤， 1e ,

0;

()0,

0.

y Y y F y y -⎧->=⎨

⎩≤． （2）(2)(,e ,0,0;

0)(,),

x y F x y f x x y x y y -+⎧>>⎨

=∂∂=∂⎩其它. ()

0e

d e

e d e ()(,,)d ()0x y x

x X y y y f x f x x y y +∞-+∞

+∞

+--∞--===>=⎰⎰⎰ ()

e

d e

e d e ()(,,)d ()0x y y

y Y x x x f y f x y y x +∞

-+∞

+∞

+--∞

--===>=⎰⎰

⎰

故 e ,0;()0,0.x X x f x x -⎧>=⎨⎩≤， e ,

0;

()0,

0.

y Y y f y y -⎧>=⎨

⎩≤． （3）由于 (,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立．

3． 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的任取两次，每次取一只，以X ，Y 分别表示第一次、第二次取到球的颜色．求：（1）X 和Y 的联合分布列；（2）X 和Y 的边缘分布列；（3）判断X 和Y 的独立性．

解 定义下列随机变量：

1, 2, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球;第一次取到黄球. 1, 2, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球;

第二次取到黄球.

（1）在有放回取球条件下

111(1,1)339P X Y ===⋅=， 122(1,2)339P X Y ===⋅=，

212(2,1)339P X Y ===⋅=， 224

(2,2)339

P X Y ===⋅=．