上海市高二(下)数学期末复习(含答案)
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（C） MN ＞ 1 ( AB ＋ CD ) ； 2
1 （ B） MN ＜ ( AB ＋CD ) ；
2 1 （ D） MN 与 ( AB ＋CD ) 的大小关系不确定． 2
14．命题甲： “双曲线
C 的方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝ 1(
a ＞0， b ＞ 0 ) ”，命题乙：“双曲线
C的
渐近线方程为 y ＝± b x ”，那么甲是乙的（ a
25 9
11 5
一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：
椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1 与双曲线
x2 c2
－
y2 d2
＝ 1 (a 2
b2
c2
d 2 ) 的焦距相等
．
二．选择题：
13．设 M 、N 是空间四边形 ABCD 的边 AD 、BC 的中点， 则下列答案中正确的是 （ B ）
（A ） MN ＝ 1 ( AB ＋ CD ) ； 2
16．在实数集 R 上定义运算 ： x y 2 x2 y2 1 y ，则满足 x y y x 的实数
对 ( x， y) 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（
D）
（A ）一个圆； （ B ）双曲线； （ C）一条直线； （ D）两条直线．
三．解答题：
17．已知 z 、 为复数， (1 3i ) z 为实数，
则 AD 、BC 所成角为
60 o
．
11．正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、N 分别是 AA 1 和 BB 1 的中点，则异面直线 C 1 M 与
DN 所成角的大小为
1
arccos
．
9
12．已知命题：椭圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 与双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 的焦距相等．试将此命题推广到
是：
y ＝ x ± 55
．
4
7．若 | 2 2ai | ＝ 2 ，则实数 a 的值是：
±3
．
a 2i
8．已知复数 z1 ＝ 3＋ 4 i ， z2 ＝ t ＋ i ，且 z1 z2 是实数，则实数 t 等于
3 4
．
9．直线 a ∥平面 ，直线 b 平面 ，则 a 、 b 的位置关系是
平行或异面
．
10．在空间四边形 ABCD 中， AD ＝ BC ＝ 2， E、 F 分别是 AB 、CD 的中点，若 EF＝ 3 ，
（ 2）因为 OP⊥OQ ，设直线 OP 的方程为 y ＝ kx ，则直线 OQ 的方程为 y ＝－ 1 x ， k
解得点 P、 Q 的坐标分别为
(
2 k2
，
2 k
) ， ( 2k 2 ，2k 3 ) ．
由 OP＝ OQ ，得：
4 k2
＋
4 k4
＝4 k 4 ＋ 4 k 6 ， k 8 ＝1，
可得点 P、 Q 坐标分别为 ( 2， 2 ) ， ( 2，－ 2 ) ．
∴
S
POQ ＝
1 2
| OP
|2 ＝4．
20．如图： 在长方体 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB ＝ 4，BC＝ 6，AA 1 ＝2，M 、N 分别是 A 1 B 1 和 BC 的中点．求：
（1） A 1 B 与 B 1 C 所成的角； （2） MN 与 AC 所成的角； （3） MN 与平面 ABCD 所成的角．
19．已知动圆过定点 F ( 1 ， 0 ) ，且与定直线 l ： x ＝－ 1 相切．
2
2
（1）求动圆圆心 M 的轨迹方程；
（2）设点 O 为坐标原点， P、Q 两点在动点 M 的轨迹上，且满足 OP⊥ OQ，OP＝OQ，求
等腰直角三角形 POQ 的面积．
解：（ 1）根据抛物线定义可得动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ＝ 2 x ；
A）
（A ）充分不必要条件； （B ）必要不充分条件； （ C）充要条件； （D ）非充分非必要条件．
15．设 z1， z 2 为复数，则下列四个结论中正确的是（
D）
（A ）若 z12 z22 0 ，则 z12
z22 ； （ B）若 z12 z22 0 ，则 z1 z2 0 ；
（C） z1 z2
( z1 z2) 2 4z1z2 ； （D ） z1 z1 是纯虚数或零．
z
＝
，且 |
| ＝ 5 2 ，求复数
．
2i
解： 设 ＝ x ＋ yi （ x ， y ∈ R）， (1 3i) z＝ (1 3i )(2 i ) ＝ ( 1
＝z 2i
z ＝ (2 i) ．
7i )( x yi ) ＝－ x － 7 y ＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(7x
y)i ，
依题意 (1 3i ) z 为实数，且 | | ＝ 5 2 ，
7x y 0
x1 x
∴
，解之得
或
x2 y 2 50
y7 y
1 ，∴ ＝ 1＋ 7 i 或 ＝－ 1－ 7 i ．
7
18．已知 z1 、 z2 是实系数一元二次方程 x 2 ＋ px ＋ q ＝ 0 的两个虚根，且 z1、 z2 满足方程
2 z1 ＋ (1 i )z2 ＝ 2 8i ，求 p 、 q 的值． 1i
解： 2 8i ＝ 3＋ 5 i ． 1i
设 z1＝ a ＋ bi （ a ， b ∈ R），则 z2 ＝ a － bi ． 代入并化简得： ( 3 a － b ) ＋ (b a)i ＝ 3＋5 i ，解得 a 4 ．
b9
∴ p ＝－ ( z1 ＋ z 2 ) ＝－ 2 a ＝－ 8， q ＝ z1 z2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＝97．
解：（ 1） arccos
2
；
10
2 13
（ 2） arctan
；
13
2 13
（ 3） arctan
．
13
为：
3 x － y ＋3＝0
．
4．在复平面上， 满足条件 2＜| z | ≤ 4 的复数 z 所对应的点 Z 组成的图形的面积是 12 ．
5．一条渐近线方程
3 x ＋ 4 y ＝ 0，且经过点是 ( 4，6 ) 的双曲线标准方程是
2
2
y － x ＝1．
27 48
6．与直线 y ＝ x ＋1 平行，被椭圆 x2 4 y2 4 截得的弦长为 2 的直线 l 的方程
高二（下）数学期末复习
一．填空题：
2
1．计算： (1 2i )(3 2i )
＝
8＋ 3 i
．
1i
3
2． ∈ ( ， ) ，直线 l ： x sin ＋ y cos ＋1＝ 0 的倾角 ＝ 2 －
．
2
3. 与两平行直线 l1 ：3 x － y ＋9＝ 0 与 l 2 ： 3 x － y － 3＝0 等距离的直线方程
1 （ B） MN ＜ ( AB ＋CD ) ；
2 1 （ D） MN 与 ( AB ＋CD ) 的大小关系不确定． 2
14．命题甲： “双曲线
C 的方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝ 1(
a ＞0， b ＞ 0 ) ”，命题乙：“双曲线
C的
渐近线方程为 y ＝± b x ”，那么甲是乙的（ a
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一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：
椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1 与双曲线
x2 c2
－
y2 d2
＝ 1 (a 2
b2
c2
d 2 ) 的焦距相等
．
二．选择题：
13．设 M 、N 是空间四边形 ABCD 的边 AD 、BC 的中点， 则下列答案中正确的是 （ B ）
（A ） MN ＝ 1 ( AB ＋ CD ) ； 2
16．在实数集 R 上定义运算 ： x y 2 x2 y2 1 y ，则满足 x y y x 的实数
对 ( x， y) 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是（
D）
（A ）一个圆； （ B ）双曲线； （ C）一条直线； （ D）两条直线．
三．解答题：
17．已知 z 、 为复数， (1 3i ) z 为实数，
则 AD 、BC 所成角为
60 o
．
11．正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、N 分别是 AA 1 和 BB 1 的中点，则异面直线 C 1 M 与
DN 所成角的大小为
1
arccos
．
9
12．已知命题：椭圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 与双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 的焦距相等．试将此命题推广到
是：
y ＝ x ± 55
．
4
7．若 | 2 2ai | ＝ 2 ，则实数 a 的值是：
±3
．
a 2i
8．已知复数 z1 ＝ 3＋ 4 i ， z2 ＝ t ＋ i ，且 z1 z2 是实数，则实数 t 等于
3 4
．
9．直线 a ∥平面 ，直线 b 平面 ，则 a 、 b 的位置关系是
平行或异面
．
10．在空间四边形 ABCD 中， AD ＝ BC ＝ 2， E、 F 分别是 AB 、CD 的中点，若 EF＝ 3 ，
（ 2）因为 OP⊥OQ ，设直线 OP 的方程为 y ＝ kx ，则直线 OQ 的方程为 y ＝－ 1 x ， k
解得点 P、 Q 的坐标分别为
(
2 k2
，
2 k
) ， ( 2k 2 ，2k 3 ) ．
由 OP＝ OQ ，得：
4 k2
＋
4 k4
＝4 k 4 ＋ 4 k 6 ， k 8 ＝1，
可得点 P、 Q 坐标分别为 ( 2， 2 ) ， ( 2，－ 2 ) ．
∴
S
POQ ＝
1 2
| OP
|2 ＝4．
20．如图： 在长方体 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB ＝ 4，BC＝ 6，AA 1 ＝2，M 、N 分别是 A 1 B 1 和 BC 的中点．求：
（1） A 1 B 与 B 1 C 所成的角； （2） MN 与 AC 所成的角； （3） MN 与平面 ABCD 所成的角．
19．已知动圆过定点 F ( 1 ， 0 ) ，且与定直线 l ： x ＝－ 1 相切．
2
2
（1）求动圆圆心 M 的轨迹方程；
（2）设点 O 为坐标原点， P、Q 两点在动点 M 的轨迹上，且满足 OP⊥ OQ，OP＝OQ，求
等腰直角三角形 POQ 的面积．
解：（ 1）根据抛物线定义可得动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ＝ 2 x ；
A）
（A ）充分不必要条件； （B ）必要不充分条件； （ C）充要条件； （D ）非充分非必要条件．
15．设 z1， z 2 为复数，则下列四个结论中正确的是（
D）
（A ）若 z12 z22 0 ，则 z12
z22 ； （ B）若 z12 z22 0 ，则 z1 z2 0 ；
（C） z1 z2
( z1 z2) 2 4z1z2 ； （D ） z1 z1 是纯虚数或零．
z
＝
，且 |
| ＝ 5 2 ，求复数
．
2i
解： 设 ＝ x ＋ yi （ x ， y ∈ R）， (1 3i) z＝ (1 3i )(2 i ) ＝ ( 1
＝z 2i
z ＝ (2 i) ．
7i )( x yi ) ＝－ x － 7 y ＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(7x
y)i ，
依题意 (1 3i ) z 为实数，且 | | ＝ 5 2 ，
7x y 0
x1 x
∴
，解之得
或
x2 y 2 50
y7 y
1 ，∴ ＝ 1＋ 7 i 或 ＝－ 1－ 7 i ．
7
18．已知 z1 、 z2 是实系数一元二次方程 x 2 ＋ px ＋ q ＝ 0 的两个虚根，且 z1、 z2 满足方程
2 z1 ＋ (1 i )z2 ＝ 2 8i ，求 p 、 q 的值． 1i
解： 2 8i ＝ 3＋ 5 i ． 1i
设 z1＝ a ＋ bi （ a ， b ∈ R），则 z2 ＝ a － bi ． 代入并化简得： ( 3 a － b ) ＋ (b a)i ＝ 3＋5 i ，解得 a 4 ．
b9
∴ p ＝－ ( z1 ＋ z 2 ) ＝－ 2 a ＝－ 8， q ＝ z1 z2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＝97．
解：（ 1） arccos
2
；
10
2 13
（ 2） arctan
；
13
2 13
（ 3） arctan
．
13
为：
3 x － y ＋3＝0
．
4．在复平面上， 满足条件 2＜| z | ≤ 4 的复数 z 所对应的点 Z 组成的图形的面积是 12 ．
5．一条渐近线方程
3 x ＋ 4 y ＝ 0，且经过点是 ( 4，6 ) 的双曲线标准方程是
2
2
y － x ＝1．
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6．与直线 y ＝ x ＋1 平行，被椭圆 x2 4 y2 4 截得的弦长为 2 的直线 l 的方程
高二（下）数学期末复习
一．填空题：
2
1．计算： (1 2i )(3 2i )
＝
8＋ 3 i
．
1i
3
2． ∈ ( ， ) ，直线 l ： x sin ＋ y cos ＋1＝ 0 的倾角 ＝ 2 －
．
2
3. 与两平行直线 l1 ：3 x － y ＋9＝ 0 与 l 2 ： 3 x － y － 3＝0 等距离的直线方程