量子力学讲义第八章

第8章 自 旋 与 全 同 粒 子

Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。

1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验

2、自旋的提出

(1)、每个电子具有自旋角动量s

（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mc

μ=-

，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=±

=± 2B e mc

μ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量

（2） 2

z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mc

μ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。

§8.1 电子自旋态与自旋算符

一、自旋算符

通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数

ˆˆˆˆ(,)F

F r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s

它是角动量，满足同样的角动量对易关系ˆˆˆs s i s ⨯=

轨道角动量ˆl 自旋角动量s ˆˆˆl l i l ⨯= ˆˆˆs

s i s ⨯= ˆˆˆ[,]x y z

l l i l = ˆˆˆ[,]x y z s s i s = ˆˆˆ[,]y z x l l i l = ˆˆˆ[,]y z x

s s i s = ˆˆˆ[,]z x y l l i l = ˆˆˆ[,]z x y s s i s = 2ˆˆ[,]0i l l = 2ˆˆ[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±ħ/2 两个值， 所以

(1)ˆˆˆ,,x y z s

s s 三个算符的本征值都是有两个2 ±； (2)它们的平方就都是22

224

x y z s s s === ； (3)2ˆs 的本征值为：222223ˆˆˆˆ4x y z s s s s =++= 依照22(1)l l l =+ ， ,2,1,0=l 2223(1)4

s s s =+= 2

1=⇒s s 称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，l 为角量子数，可取各种各样的值 1,2

z s s m =±= z l m = ， ,2,1,0±±=m 2

1±=⇒s m m s 自旋磁量子数±1/2 二、含自旋的状态波函数

电子的含自旋的波函数需写

(,)z r s ψψ=

由于 s z 只取 ±ħ/2 两个值， 所以上式可写为两个分量 12()(,)2()(,)2

r r r r ψψψψ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 写成列矩阵 (,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

规定列矩阵第一行对应于s z = ħ /2， 第二行对应于s z = - ħ /2。

若已知电子处于s z = ħ /2或s z = - ħ /2的自旋态，则波函数可分别 12(,)20r ψφ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭ 120(,)2r φψ-⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭

三、自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵

1、s z 的矩阵形式

在s 2-s z 表象中，s z 的矩阵形式 10012z s ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

s z 是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±ħ /2。

2、Pauli 算符

(1). Pauli 算符的引进

令ˆˆ2

s σ= 分量形式 ˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2x x y y z z s s s σ

σσ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 对易关系：ˆˆˆs

s i s ⨯= ⇒ˆˆˆ2i σσσ⨯= 分量形式： z y x i σσσ

ˆ2]ˆ,ˆ[=，x z y i σσσˆ2]ˆ,ˆ[=，y x z i σσσˆ2]ˆ,ˆ[= ⇒ˆˆˆ[,]2i αβαβγγσ

σεσ= 因为s x , s y , s z 的本征值都是±ħ /2， 所以σx , σy , σz 的本征值都是±1；σx 2, σy 2, σz 2的本征值都是1 。即：

2221x y z σσσ⇒===

(2). 反对易关系

基于σ的对易关系，可以证明σ各分量之间满足反对易关系:

0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ

反对易 0]ˆ,ˆ[=+y x σσ（证明） ˆˆˆˆ0y z z y σ

σσσ+= 反对易 ˆˆ[,]0y z σσ+=（证明） ˆˆˆˆ0z x x z σ

σσσ+= 反对易 ˆˆ[,]0z x σσ+=（证明） (3)、i z y x =σσσ

ˆˆˆ（证明） (4). Pauli 算符的矩阵形式

根据定义

10ˆˆ0122z z s σ⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ⇒ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1001ˆz σ 其他两个分量，令

x a b c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭

利用反对易关系ˆˆˆˆz x x z σ

σσσ=-，得 01011010a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

→a b a b c d c d -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

⇒00

a d =⎧⎨=⎩ σx 简化为：00x

b

c σ⎛⎫= ⎪⎝⎭

由力学量算符厄密性

x x σσ+=⇒**0000b c c b

+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 得：*b c =或*c b =