平面向量中的最值范围(偏难 带答案)

平面向量中的最值范围（偏难 带答案）

1、设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→

)的最大值是( ) A ．1＋2 B.1－ 2 C.2－1

D ．1

解答：如图，作出OD ―→，使得OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)＝OC ―→2－OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＋OA ―→·OB ―→＝1－(OA ―→＋OB ―→)·OC ―→＝1－OD ―→·OC ―→，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD ―→·OC ―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A.

2、如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为( )

A.21

16 B.32 C.2516

D ．3

解答：如图，以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC . 由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°， ∠ACD ＝∠ACB ＝30°，

则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝⎛⎭

⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，

则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋21

16，

∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116

. 选A

3、已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π

3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则

|a －b |的最小值是( )

A.3－1

B.3＋1 C ．2

D ．2－ 3

3解答∵b 2－4e ·b ＋3＝0，∴(b －2e )2＝1，∴|b －2e |＝1.

如图所示，把a ，b ，e 的起点作为公共点O ，以O 为原点，向量e 所在直线为x 轴，则b 的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a －b |就是线段AB 的长度．

要求|AB |的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M 到直线OA 的距离减去圆的半径长，因此|a －b |的最小值为3－1.

4、如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ―→·AN ―→

的最大值为( )

A ．3 B.23 C ．6 D ．9

解析：选D 由平面向量数量积的几何意义知，AM ―→·AN ―→等于AM ―→与AN ―→在AM ―→方向上的投影之积，所以(AM ―→·AN ―→)m a x ＝AM ―→·AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12 AB ―→＋AD ―→ ·(AB ―→＋AD ―→)＝12AB ―→2＋AD ―→2＋32

AB ―→·AD ―→

＝9. 5、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→

)的最小值是( ) A ．－2 B.－32 C ．－43

D ．－1

5解答：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→

＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→

)取得最小值，为－32

.

6、 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，求OP ―→·FP ―→

的最大值．

由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，

则有x 204＋y 203

＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP ―→＝(x 0＋1，y 0)，OP ―→＝(x 0，y 0)， 所以OP ―→·FP ―→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14

(x 0＋2)2＋2，

因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP ―→·FP ―→

取得最大值6.

7、在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )

A ．3 B.22 C.5 D ．2

选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为2

22＋12

＝25

，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋

255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→

＝(λ，2μ)，