锐角三角函数1
《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)
BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
1锐角三角函数课件
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体 你能比较两个梯子哪个更 陡吗？你有哪些办法？
驶向胜 利的彼
岸
生活问题数学化
驶向胜 利的彼
岸
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
小明的问题，如图:
A
E
5m
5m
B2.5m C F 2m D
有比较才有鉴别
驶向胜 利的彼
6.如图， ∠C=90°CD⊥AB.
tan
B
( (
))
( (
))((
)).
A
驶向胜 利的彼
岸
C
┌ DB
7.在上图中，若BD=6，CD=12.求tanA的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得
八仙过海，尽显才能
驶向胜 利的彼
岸
8.如图，分别根据图 (1)和图(2)求tanA的值.
A
你能根据图中所给数据求出tanC吗？
B
驶向胜 利的彼
岸
1.5
┌
A
D
C
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达
山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是
B
55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
┌
A
C
八仙过海，尽显才能
3.鉴宝专家--是真是假：
(1).如图 (1)tan A BC (假)
岸
梯子AB和EF哪 个更陡？你是怎
样判断的？
小颖的问题，如图:
A
E
？
4m
3.5
m
B 1.5m C F 1.3m D
永恒的真理 变
锐角三角函数(1)
第1课时 锐角三角函数（1）
课 前 小 测 课 堂 精 讲
课 后 作 业
Page 1
课 前 小 测
关键视点 1.如图，在 中，如果锐角A确定，那么 的对边与邻边的 比 便随之确定，这个比叫做 的 正切 ，记作 即
2.坡面的 铅直高度 与 水平宽度 的比称为坡度 (或坡比).常用来描述山的坡度.
Page 6
课 堂 精 讲
考点2 坡度 【例2】（2016闵行区一模）已知一条斜坡， 向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比 为 1：0.75 .
【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后 根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前 进的距离，即可解题. 【解答】解：如图所示： AC=5米，BC=4米， 则AB= =3米， 则坡比= = =1：0.75.
Page 4
课 堂 精 讲
解：（1）tan∠BOA= = = ；
（2）点C的坐标是（﹣2，4）
类 比 精 练
1.如图，△ABC的三个顶点 都在正方形网格的格点上， 则tan∠A的值为（ B ）
A.
B.
C.
D.
Page 5
课 堂 精 讲
【分析】在正方形网格中构造一个∠A为锐角的 直角三角形，然后利用正切的定义求解. 【解答】解：如图， 在Rt△ADB中， tan A= 故选B. = .
Page 3
课 堂 精 讲
考点1 正切 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 B（4，2），BA⊥x轴于A. （1）求tan∠BOA的值； （2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点 C，求点C的坐标. 【分析】（1）根据正切的定义 ，对边与相邻的斜边的比，即 可求解； （2）根据图形，确定旋转以后 的位置，可以直接写出坐标.
28.1锐角三角函数(1)精选
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
a 对边
b
C
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2
当∠A＝定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
∠A＝∠A‘＝ ，那么
B
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，
2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___. 2
练一练 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
C.不变
B 3.如图 A 3
D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______
.
300 7
练习 如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB， 图中sinB可由哪两条线段比求得。
B B 3 5 A
试着完成图（2）
13
C
4 C A
(1)
(2)
解：如图（），在RtABC中， 1 AB AC2 BC 2 4 2 32 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ， B sin . AB 5 AB 5
练一练
1.判断对错:
BC √ 1) 如图 (1) sinA= （ ） AB
锐角三角函数(1)ppt
注意： 注意：
BC tanα 即tanα= AC
1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写 在三角函数的表示中， 英文字母表示的角前面的“ 一般省略不写． 英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写． sinα cosα tanα是一个完整的符号， 2、sinα、 cosα、 tanα是一个完整的符号，单 独的“sin”没有意义 没有意义. 独的“sin 没有意义.
H
D
动手实验
已知一个50 ∠MAN,在边AM上任意取一点 在边AM 取一点B 已知一个50 的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作 BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１ BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫 C.用刻度尺先量出BC 的长度 的值(结果保留2个有效数字), ),并将所得 米),再计算 BC 的值(结果保留2个有效数字),并将所得 ),再计算 的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？ 的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？ M
三角函数的由来
“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二字构成的， 三角学”一词，是由希腊文三角形 测量二字构成的 三角形与 二字构成的， 三角学 原意是三角形的测量 也就是解三角形． 三角形的测量， 原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围逐渐 扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支． 扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支． 三角测量在我国出现的很早．据记载， 三角测量在我国出现的很早．据记载，早在公元前两 千年，大禹就利用三角形的边角关系， 千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地 α 势的测量． 势的测量． A C
1 2 sinA=______
.
练一练
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
初三 锐角三角函数(一)
A C锐角三角函数(一)知识要点1.锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C=90°。
∠A 的正弦：sin aA c=（对边比斜边） ∠A 的余弦： cosA=bc （邻边比斜边） ∠A 的正切： tanA=a b（对边比邻边） cotA=a b（邻边比对边）2．特殊角度的三角函数值113.三角函数的范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1。
引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？典型例题例1.（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．（2）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，︒341米10米?(1)3A(2)sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例2:在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°，BC=6， 53sin =A ，求cos A 和tanB 的值.例3:(1)如图(1), 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,6=AB ,3=BC ,求A ∠的度数.(2)用一片半径为2，面积为π2的扇形纸片围成如图(2)的圆锥，求圆锥的高OA 及α.例4.计算下列式子的值(1)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(2)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 222例5．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例6．（四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB=45°，则sinC 的值为（ ）A.22B.222-C. 222+ D.42经典练习1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．2.因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 3（滨州，第11题3分）在Rt △ACB 中，∠C =90°，AB =10，sinA =53，cosA =54，tanA =43，则BC 的长为（ ）4．（江苏宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ）ABCD A. 5 B.552 C. 55 D.325．﹙黑龙江﹚ 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 56.﹙成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D.已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）A ．35B ．32 C ．552 D ．257.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（ ） A．B． C ． D ．8.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3． 则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．9.（广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA = ．10.（广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME =EF 且EF ∥MN ，则cos ∠E = ．11．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB和cos B ．AB12．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．13.已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．巩固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 2.求下列各式的值：（1）︒︒+︒+︒45sin 30sin 245cos 60cos 22CB A（2）︒+︒︒-︒+︒-︒︒+︒45cos 30sin 45cos 60cos 45sin 60cos 45sin 60cos3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．4．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．。
28.1锐角三角函数
感悟新知
知3－练
例 7 (1)已知α=45°，求2sin2α－2 2 sinα·tanα+tan2α；
(2)计算
1 4
tan2
45＋
sin
1 2 30
－3 cos2
30－
sin cos
45 45
.
解题秘方：用“代入法”求值.
感悟新知
解:(1)原式 2 sin－tan 2
2
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示 tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数
AB 3k 3k
AB 3k 3
tan B AD 2 2k 2 2. BD k
感悟新知
知1－练
3-1. 将一副三角尺(Rt△ ABC 与Rt△BDC)按如图所示的方 式摆放在一起，连接AD， 试求∠ ADB 的正切值.
感悟新知
解：过点 A 作 AM⊥DB，交 DB 的延长线于点 M. 知1－练
3
sin A－sin B的值.
知2－练
，求
解：∵sinA＋sinB＝43，∴(sinA＋sinB)2＝196.
∴sin2A＋sin2B＋2sinA·sinB＝196.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴sinB＝cosA，
感悟新知
∴sin2A＋cos2A＋2sinA·sinB＝196， ∴1＋2sinA·sinB＝196，∴2sinA·sinB＝79， ∴sin2A＋sin2B－2sinA·sinB＝1－79＝29， ∴(sinA－sinB)2＝29，∴sinA－sinB＝± 32.
1.锐角三角函数课件(浙教版)
课堂小结
B
看图说话:
c
直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. A
a
┌
b
C
特殊角300,450,600角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
300
同角之间的三角函数关系
450
450 ┌ 600 ┌
锐角α 30° 45° 60°
正弦sinα
1 2
2
3
2
2
这张表还可以 余弦cosα 3
看出许多知识之间
2
21 22
的内在联系?
正切tanα
3
1
3
3
巩固新知
提示:
例2 求下列各式的值： Sin2450表示(sin450)2,
(1)2sin300-3cos600;
cos2450表示(cos450)2, 其余类推.
回顾旧知
直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻
边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , c
cos A b , c
sin B b , c
cosB a , c
tanA=
a b
tanB= b A
a
B
c
a
┌
b
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数。
(2)cos2450+tan600·sin600.
(3)
课内练习1 (1)2cos300·sin600; (2)sin2450-2sin450·cos600.
(3)sin2 300 cos2 300.
1锐角三角函数
前提是在直角三角形中找边比：
五种表示方式：
sinA、sin56°、sinα（sinβ， sinθ）；sin∠1、sin∠DEF，角的 表示为数或三个大写字母时不能 省略角的符号“∠”；
小资料 三角函数符号最早的使用
sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导
人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”， 1“9c4s9c年”至。便今直，到由1于74受8年前，苏经联过教数材学的家影欧响拉的，引我用国后数，学才书逐籍渐中通“用c起o t来”。改 为 “ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市 场上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。
铅
直
高ห้องสมุดไป่ตู้
倾斜角
度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
有什么关系?
相等
C
(3)如果继续改变 B2C2的位置呢?
想一想
B3
当 固定不变时
B
(1)Rt△AB3C3和Rt△ABC 有什么关系? 相似
(2) BC 和 B3C3 , AC 和 AC3 ,
AB
AB3 AB AB3
BC 和
AC
BA3CC33有什么关系?
1锐角三角函数的计算
4.下列各式中一定成立的是（ A ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°<sin15°
5.sin80°，cos80°，tan80°的大小关系是( D ) A．tan80°＜cos80°＜sin80° B．cos80°＜tan80°＜sin80° C．sin80°＜cos80°＜tan80° D．cos80°＜sin80°＜tan80°
第一步：按计算器 tan 键；
第二步：输入角度值30，分值36 (使用 ° ′ 键″ )；
屏幕显示结果为 0.591 398 351
练一练：用计算器求sin24°37′18″的值,以下按键顺
序正确的是( A )
A. B. C. D.
例1 求下列各三角函数值: (结果保留两位小数) (1)sin 36°; (2)tan 50°26'37″.
1
60°
3 2
1 2
3
新课导入
问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时, 它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹 角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?
在Rt△ABC中,BC=ABsin 16°.
°..
思考： sin 16°如何求呢？
要解决这个问题，我们可以借助科2ndF
DEG
显示结果为58□45□2.83.
即β≈58°45‘ 3″.
知识讲解
例3 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.
(1)求sin A的值; (2)求∠B的度数.(结果精确到1″) 解:(1)在Rt△ABC中, sin A BC 4 0.8 .
锐角三角函数ppt1
sin A = A的对边 = a 斜边 c
斜边c
A
b
∠A的对边 a C
注意：“sinA”是一个完整的符号，不要误解成 “sin×A” 。
正弦的表示：sinA 、sin39 °、sinβ（省去角的符号）
sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号）
想一想
在直角三角形中，对于锐角 ∠A 取确定的值， AC1 , B1C1 , AC1 都是一个定值吗？ AB1 AC1 B1C1
结论
斜边 c
B ∠A的对边 a
A∠A的邻边 b C
在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做锐角∠A的余弦， 记作cosA，即
cosA=A斜 的边 邻边=bc
结论
斜边 c
B ∠A的对边 a
A∠A的邻边 b C
在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做锐角∠A的正切， 记作tanA，即
tanA = BC = 8 = 4 AC 6 3
cosA
= BC AB
=
6 10
=
3 5
cotA = AC = 6 = 3 BC 8 4
牛 刀
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
小 AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦,
试 余弦,正切和余切.
B
A
C
拓展
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠BB
在Rt△ABC中
sin2A+cos2A=1．
tan A•cot A=1
sinA= A的对边 = a A的斜边 c
cosA= A的邻边 = b A的斜边 c
tanA= A的对边 = a
微型课锐角三角函数1
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
.教师寄语
只有不断的思考， 才会有新的发现； 只有量的变化， 才会有质的飞跃。
恳请各位评委、专家老师提出宝贵意见 谢谢！
汝南县第二初级中学 邓晓迁
2分
a
2分
3.如图 A 300
B
3 7 C
1 2 则 sinA=______ .
3分
B组题（能力关：闯一闯，你能行）
4.如图, ∠C=90°CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比?
若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
A
C
┌ D
B
5分
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，
还可以转化为求和它相等角的正弦值。
自研共探（共探）
以上问题如果有疑问，先各小组对子之间交流，对子之间不能解决 的，再由小组内相互讨论得出结果。 2分钟后展示成果，比一比看那一 组展示的最好。
1.Rt△ 中，300 角的对边与斜边的比是多少？ 2.Rt△ 中，450 角的对边与斜边的比是多少？ 3.问题1、2中的结果与三角形的大小有关吗？ 4.解决62页探究问题。
归纳
总结
畅所欲言谈收获
B 斜边 ∠A的对边 A ┌ C
1.锐角三角函数定义: sinA=
∠A的对边 斜边
1 Sin300 = 2
sin45°=
2 2
2.sinA是∠A的函数.
3.锐角固定时，它的正弦值是定值。
巩 提 固 升
A组题（基础关：试一试，你能行）
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜 边同时扩大3倍，sinA的值（ ） A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.不能确定
5．如图（3），已知 是⊙ 的直径，点 C、D 在⊙ 上，且 AB=5,BC=3， 则 sin ∠BAC 是多 少？ sin ∠ABC 是多少？
锐角三角函数(1)
9.1
授课时间
9.3
课型
新授
教学目标
知识与技能：1、理解锐角的正切的意义，并能够举例说明
2、能够利用tanA表示直角三角形中两边的比，并进行简单计算。
过程与方法：经历探索直角三角形中边角关系的过程
情感与价值：培养学生的小组合作意识与探究精神，注重数形结合思想方法的渗透
一、运用多媒体展示课本第2页开始的图片，提问：
图中哪个梯子更陡些？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
二、新知探究：
由复习提问中“梯子的倾斜程度”导课：我们有很多方法能比较出两个梯子哪个更陡，若只有一个梯子，你能知道它的倾斜程度吗？这节课我们就来学习“锐角三角函数”。
请同学门自学课本第3页“想一想”解决课本提出的问题。
教学重点
正切函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识。
教学难点
正切函数的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组tanA来表示，学生过去未接触过，所以正切的概念是难点
教学关键
网络多媒体应用
教学方法
启发式教学
教具
白板课件、投影机
教学过程
二次备课
一、复习导入（课件出示）
学生自学后，小组讨论、质疑，教师点拨释疑。
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边BC与邻边AC的比值便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即
tanA=∠A的对边/∠A的邻边
小组讨论，完成课本第4页“议一议”：
在“想一想”的图中，你发现梯子的倾斜程度与tanA有怎样的关系？
学生讨论：
在教学设计中，针对学生思维的多样性，集备时对课本中的探索进行改动。探索1得出直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比值是唯一确定的。在此基础上，设计一个开放性的探索
26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点 正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第 二十六章 解直角三角形
锐角三角函数1
AC 12 ∴ sin B = = . AB 13
想一想
如图, 如图 ∠C=90°CD⊥AB. ° ⊥ sinB可以由哪两条线段之比 可以由哪两条线段之比? 可以由哪两条线段之比
A
C
的值. 若ＡC=5,CD=3,求sinB、cosB的值 求 、 的值 ∵∠B=∠ 解: ∵∠ ∠ACD ∴sinB=sin∠ACD ∠ 在Rt△ACD中，AD= AC 2－CD 2 = 52－32 =4 △ 中 AD 4 sin ∠ACD= AC = 5 4 ∴sinB= 5
3
用一用
要想使人安全地攀上斜靠 在墙面上的梯子的顶端,梯子 在墙面上的梯子的顶端 梯子 与地面所成的角α一般要满足 与地面所成的角 一般要满足 0.77≤ sinα ≤0.97.现有一个长 现有一个长 6m的梯子 问使用这个梯子能 的梯子,问使用这个梯子能 的梯子 安全攀上一个5m 高的平房吗 高的平房吗? 安全攀上一个
a = c
对边
b
A 邻边
┌ C
注意：
1、sinA 不是一个角 、 2、sinA不是 sin与A的乘积 2、sinA不是 sin与A的乘积 3、sinA 是一个比值 、 4、sinA 没有单位 、
余弦
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫 做∠A的余弦,记作cosA,即
∠A的邻边 b cos A = ＝ 斜边 c
4、sin2A+cos2A=1
?
34°
1米 米 10米 米
我们已经知道，直角三角形 我们已经知道，直角三角形ABC可以简 可以简 记为Rt△ 所对的边AB称 记为 △ABC，直角∠C所对的边 称 ，直角∠ 所对的边 为斜边， 表示， 为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫 表示 的对边与邻边， 表示. ∠A的对边与邻边，用a、b表示 的对边与邻边 、 表示
锐角三角函数(1)
A B 6 C
又AC AB2 BC 2 102 6 2 8, AC 4 AC 4 cos A ， tan B . AB 5 BC 3
课堂练习
3、 在Rt△ABC中,∠ACB=90°sinA= 求AC 、tanB 解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，
类型一.直接利用定义来求解。
求出图19.3.3所示的Rt△ABC中∠A的四个
三角函数值.
8
15
图 19.3.1
类型二.利用等角来代换。 在Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，AC=4 BC=3 CD⊥AB 求∠BCD的四个三角函数值
A
D B C
看看谁最厉害！
如图：在三角形ABC中，∠C=Rt ∠,CD⊥AB，垂足是D， BD=3,CD=4 求:角A 的四个三角函数值． 解:由勾股定理得
12
3
能力提升
7、如图，将边长为2的正方形ABCD沿EF和ED折 叠，使得B、C两点折叠后重合于点G，求∠FEG 的正切值.
A的对边 sin A= 斜边
A的邻边 cos A= 斜边
A的对边 tan A= A的邻边 A的邻边 cot A= A的对边
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切， 统称为锐角∠A的三角函数.
注意：
1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.
2. 三角函数的实质是一个比值，没有单位，也不能为负， 而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.
4 5
,AB=10 .
B
AB=10
4 ∵sinA= BC =
AB
∴BC=AB×
1.1《锐角三角函数(1)》参考教案
《锐角三角函数（1）》参考教案【教学目标】知识与技能目标：通过实例，了解三角函数的概念，掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数。
掌握在直角三角形中锐角三角函数与边之比的关系，了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值；过程与方法目标：经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，体验数学问题的分析与解决；情感、态度与价值观目标：培养多思考的学习习惯；学会用数学的眼光看世界，用数学来分析和解决生活中的问题。
【重点难点】教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念；教学难点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦和正切三类函数的意义、符号、以及函数中以角为自变量是教学中的难点。
【教学过程】一、创设情境引入主题利用几何画板演示一垂直于地面的旗杆在一天阳光的照射下，影长发生了变化这一情境。
（设计意图：通过学生观察生活中实物影长变化这一自然现象，结合多媒体展示旗杆影长变化过程，可提高学生的兴奋点，激发学习兴趣和欲望，有利于引导学生进行数学思考。
导入主题：直角三角形中，边角之间的关系。
）二、师生互动探求新知1.从一个含30度角的直角三角形为例,通过回忆直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半,得到30度的对边与斜边比值固定，不随点的变化而变化;2.再从含45度角的直角三角形讨论45度的对边与斜边比值固定，不随点的位置而变化；3.任意角∠α是否同样存在对边与斜边比值固定这一结论？通过猜测、验证、归纳的手段来分析和解决数学问题。
4.通过以上探索，边角之间的关系是什么？5.学习锐角三角函数的概念，表示方法及自变量取值范围和函数值取值范围。
（设计意图：建立在学生原有认知的基础上，发现问题，从而寻求方法解决问题。
通过回忆熟悉的定理，让学生明白直角三角形中锐角与边比值存在关系，并大胆猜测直角三角形中任意角∠α的对边与斜边比值是否固定？通过叠放含有∠α的直角三角形，从而作出图形，易让学生用所学过的相似三角形的知识来解决问题，得到比值固定。
1锐角三角函数
6．已知：如图，△ABC中，AC＝10， 4
图24－2
E
3 5.已知α是锐角，且 sin(α＋15°)＝ 7. 2 1 －1 0 计算： 8－4cosα －(π －3.14) ＋tanα ＋ 3 的值．
·新课标
8.已知∠ A是锐角且tanA=3,则
4 BC=14,AD=12, sinB= 5
(2) tan ∠ EDC的值.
A
12
E C
B
14
D
例3.已知,如图：在Rt△ABC中， ∠C=900.AD=2AC=2BD,且DE⊥AB (1)求tan B; (2) 若DE=1,求 EC的长.
A： │
点随堂练
考
2 1.如果△ABC 中，sin A ＝cosB ＝ ， 2 则下列最确切的结论是( C ) A．△ABC 是直角三角形 B．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D．△ABC 是锐角三角形
B
图 24－1 1 A. 2 1 B. 3 C. 4
图 1 24－1 1
.
1
B.
1
2 D. 4
C.
·新课标 D.
2
4.正方形网格中， ∠AOB如图放置， 则cos ∠AOB= 。
A B
O
B
5.正方形网格中， ∠AOB如图放置， 则cos ∠AOB= 。
A
B D O
－2，△ABC中，AC＝10，sinC＝ ， 5
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4
3 tanA= ,则b= 2
.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，3a= 3 b 则sinA= .
4.计算:cos60°-tan45°+sin30°
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教师备课稿
学科_ 数学__ _九_年级第_下册教师朱晶_
课
题
1.1锐角三角函数（1）第课时
教学目标1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念.
2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.
3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.
4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.
重难点教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念. 教学难点：锐角三角函数的概念.
教具、学
具准备
ppt课件
学教安排教法及学法指导、反思
课前准备一、创设情境，引入新课
小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？
她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢?
（通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.）
定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比
值BC
AB,
AC
AB,
BC
AC都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因
此，比值BC
AB,
AC
AB,
BC
AC都是锐角α的三角函数.
比值BC
AB叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
比值AC
AB叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
30°
B
45°
西东
比值BC
AC叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．
2、sinα、cosα、tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.
如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有
sin cos tan
A
A
A
A
A
A
A
∠
=
∠
=
∠
=
∠
的对边
斜边
的邻边
斜边
的对边
的邻边
那么B
∠呢？追问：你能求出sinA 与cosA
的取值范围吗？.
三、新知运用
用一用
1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=1
2.
判断：（1）sinA=
5
13（√）（2）tanB=
5
12（×）
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
⑴若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;
⑵若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;
⑶若sinA=
5
13, 求sinB的值.
解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=90ο,AC=200, sinA=0.6.求BC的长.
解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用.
练一练：
1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值.
四、课堂小结
1.正弦，余弦和正切的概念；
2.三角函数的概念；
3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系.
4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？
课后
反思
感谢您的阅读，祝您生活愉快。