二重积分部分练习题

题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D
xydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2
,0≤x ≤1)的值为
（A ）
16 （B ）112 （C ）12 （D ）14
答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2
,|x |≤2,则2D
xy dxdy =⎰⎰=
·
（A ）0； （B ）
323 （C ）64
3
（D ）256 答 ( )
(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分
22(,)D
f x y dxdy =⎰⎰
__________1
22(,)D f x y dxdy ⎰⎰
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）
12
答 ( ) ]
(3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分
1
1
(,)x dx f x y dy -+⎰
(A)11
2
111
(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰
⎰
(B)11
1
(,)y dy f x y dx --⎰
⎰
(C)11
1
1
1
(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰
⎰
(D)
2
1
(,)dy f x y dx -⎰
⎰
答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2
≤－x ,y ≥x 2
上连续，则二重积分(,)D
f x y dxdy
⎰⎰可化累次积分为 '
(A)
20
1
(,)x dx f x y dy -⎰
(B)2
1
(,)x dx f x y dy -⎰⎰
(C)
2
1
(,)y dy f x y dx -⎰⎰
(D)21
(,)y dy f x y dx ⎰
答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y )
为连续函数，则二次积分
21
10
2
(,)y dy f x y dx ⎰⎰
可交换积分次序为
(A)
1
010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰
(B)
11
210
2
(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰
⎰⎰
(C)
1
(,)dx f x y dy ⎰
(D)
222cos 0
sin (cos ,sin )d f r r rdr π
θθ
θθθ⎰
⎰。

答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分
2
1
220
1
(,)(,)x x
dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰
⎰⎰
可交换积分次序为 (A)12
20
1
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰
⎰⎰
(B)2
1
2200
1
(,)(,)x x
dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰
⎰⎰
(C)120
(,)y dy f x y dx -⎰
(D)
2
1
20(,)x
x dy f x y dx -⎰⎰
!
答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2
+y 2
≤1,则二重积分(,)D
f x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为
(A)
2cos 0
(,)d F r dr π
θ
θθ⎰
⎰
(B)2cos 0
(,)d F r dr πθ
π
θθ-⎰⎰
(C)
2cos 2
2
(,)d F r dr π
θ
πθθ-
⎰
⎰
(D)2cos 20
2(,)d F r dr π
θ
θθ⎰⎰
其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .
答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2
+y 2
≤2x
，则二重积分
(D
x y +⎰⎰化成累次积分为
(A)
2cos 20
2
(cos sin )2cos d r rdr π
θ
πθθθθ-+⎰⎰
、
(B)
2cos 30
(cos sin )d r dr π
θ
θθθ+⎰
⎰
(C)2cos 320
2(cos sin )d r dr π
θ
θθθ+⎰⎰
(D)2cos 32
2
2
(cos sin )d r dr π
θ
πθθθ-
+⎰
⎰
答 ( ) (4分)[11]设777
123[ln()],(),sin ()D
D
D
I x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =
+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,1
2
x y +=
,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.
答 ( ) ~
(5分)[12]设221
1cos sin x y dxdy
I x y +≤=
++⎰⎰，则I 满足
(A)
2
23
I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)1
2
D I ≤≤ (D)10I -≤≤
答 ( ) (4分)[13]设1
2
x y +=
其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，
I 2，I 3的大小顺序为
(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.
答 ( ) 《
(3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分
2
(,)D
f x y dxdy =⎰⎰
(A)1
22
(,)D f x y dxdy ⎰⎰
(B)2
24(,)D f x y dxdy ⎰⎰
(C)1
24
(,)D f x y dxdy ⎰⎰
(D)
2
21
(,)2D f x y dxdy ⎰⎰
答 ( )
(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则
cos()sin()xy D
xe xy dxdy =⎰⎰ (A) e; (B) e －1
;
(C) 0; (D)π. !
答 ( )
(4分)[16]设D ：x 2
+y 2
≤a 2
(a ＞0),当a =___________时，
.
D
π=
答 ( ) 二、填空 (6小题,共分)
(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 0
1
lim
(,)n
i
i
i
i f λξησ
→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极
限值为______________的二重积分。

(
(4分)[2]若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知
(1)D
x y --⎰⎰=___________.
(3分)[3]设:00D y x ≤≤≤，由二重积分的几何意义知
D
=___________.
(3分)[4]设D ：x 2
+y 2
≤4,y ≥0,则二重积分
32
sin()D
x y d σ=⎰⎰__________。

(4分)[5]设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2
≤2x 的公共部分，试写出(,)D
f x y dxdy ⎰⎰在极坐标系
下先
对r
积
分
的
累次积分
_
2cos 1
2cos 3
3
2
2
3
3
(,)(,)(,)d F r dr d F r dr d F r dr π
π
π
θ
θ
πππθ
θθθθθθ-
-
--++⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
_.
(3分)[6]设D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2(1－x ),由二重积分的几何意义知
/
12D y x dxdy ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭⎰⎰=_______________. 三、计算 (78小题,共分)
(3分)[1]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分
2
10
2(,)y
y
dy f x y dx ⎰
⎰
的积分次序。

(3分)[2]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分
2
20
(,)x
x
dx f x y dy ⎰
⎰
的积分次序。

】
(3分)[3]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分
1
2
21
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx ---+---+⎰
⎰
⎰⎰
的积分次序。

(3分)[4]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分
2
1
1
1
11
ln (,)(,)e x x
dx f x y dx dx f x y dy -+⎰
⎰
⎰⎰
的积分次序。

(4分)[5]计算二重积分
2
()D
x y dxdy -⎰⎰ (
其中D ：0≤y ≤sin x ,0≤x ≤π. (3分)[6]计算二重积分
D
xydxdy ⎰⎰
其中D 是由曲线y =x 2
,直线y =0,x =2所围成区域。

(3分)[7]计算二重积分
D
x ydxdy ⎰⎰
其中D 为由y =x ,y =2x ,x =4所围成的区域。

(3分)[8]计算二重积分 ￥
D
xydxdy
⎰⎰
其中D ：x ≤y ≤x ,1≤x ≤2.
(3分)[9]计算二重积分
cos()D
x y dxdy +⎰⎰
其中D 是由直线x =0,y =π和y =x 围成的区域。

(4分)[10]计算二重积分
22()D
x y y dxdy +-⎰⎰ 其中D 是由直线y =x ,y =x +1,y =1及y =3所围成的区域。

【
(3分)[11]计算二重积分
cos(2)D
x xy dxdy ⎰⎰
其中D:0,114
x y π
≤≤
-≤≤
(3分)[12]计算二重积分
()D
x y dxdy +⎰⎰
其中D 为由y =x ,x =0,y =1所围成的区域。

(3分)[13]计算二重积分
(6)D
x y dxdy +⎰⎰
：
其中D 是由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成的区域。

(3分)[14]计算二重积分
D
xydxdy ⎰⎰
其中D 是由双曲线1
y x
=
，直线y =x 及x =2所围成的区域。

(3分)[15]计算二重积分
D
y
dxdy x
⎰⎰
其中D 是由直线y =2x ,y =x ,x =2及x =4所围成的区域。

(3分)[16]计算二重积分 ；
D
y dxdy
⎰⎰
其中D ：|x |+|y |≤1. (3分)[17]计算二重积分
D
xy d σ⎰⎰
其中D ：|x |+|y |≤1. (4分)[18]计算二重积分
2
xy dxdy ⎰⎰
其中1
D:
,12x
y x x ≤≤≤≤ )
(4分)[19]计算二重积分
22()D
x y dxdy +⎰⎰ 其中D 是由直线y =x ,y =x +a ,y =a 及y =3a (a >0)所围成的区域。

(4分)[20]计算二次积分
3
30
(2)x
dx x y dy -+⎰
⎰
(4分)[21]计算二重积分
D
xydxdy ⎰⎰
其中D 是由y =x ,xy =1,x =3所围成的区域。

！
(4分)[22]计算二重积分
22()D
x y x dxdy +-⎰⎰ 其中D 是由y =2,y =x ,y =2x 所围成的区域。

(4分)[23]计算二重积分
(1)D
x ydxdy -⎰⎰
其中D 是由曲线1x y =+,y =1－x 及y =1所围成的区域。

(4分)[24]计算二重积分
41
1D
dxdy x +⎰⎰ …
其中D 是由y =x ,y =0,x =1所围成的区域。

(4分)[25]计算二重积分
2D
xy dxdy ⎰⎰ 其中D 为与x =0所围成的区域。

(4分)[26]计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰
其中D 是由抛物线2
12
y x =
及直线y =x +4所围成的区域。

(4分)[27]计算二重积分 |
x y
D
e
dxdy +⎰⎰
其中D 为由y =x ,y =0,x =1所围成的区域。

(4分)[28]计算二重积分
2
2D
x dxdy y
⎰⎰
其中D 是由曲线xy =1,y =x 2
与直线x =2所围成的区域。

(5分)[29]计算二重积分
24sin()D
y xy dxdy ⎰⎰ 其中D 是由x =0, 2
y π
=
,y =x 所围成的区域。

?
(4分)[30]计算二重积分
2()D
x y dxdy -⎰⎰ 其中D ：0≤y ≤sin x , .
(5分)[31]计算二重积分
22cos()D
x y xy dxdy ⎰⎰ 其中D ：, 0≤y ≤2.
(4分)[32]计算二重积分
D
x
ydxdy ⎰⎰
;
其中D 是由抛物线y x =y =x 2所围成的区域。

(4分)[33]计算二重积分
D
y dxdy ⎰⎰
其中22
22:1x y D a b
+≤
(4分)[34]计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰
其中2:211,01D x y x x -≤≤-≤≤ (5分)[35]计算二重积分
—
2
D
r drd θ
⎰⎰
其中:cos ,0(0)2
D a r a a π
θθ≤≤≤≤
>
(4分)[36]利用极坐标计算二次积分
2
2
4222
x dx x y dy --+⎰
(5分)[37]利用极坐标计算二重积分
y
x D
arctg dxdy ⎰⎰ 其中D ：1≤x 2+y 2
≤4,y ≥0,y ≤x .
(4分)[38]利用极坐标计算二重积分
D
y arctg dxdy x ⎰⎰ （
其中D ：a 2
≤x 2
+y 2
≤1,x ≥0,y ≥0,a ＞0,x =0处广义。

(5分)[39]试求函数f (x ,y )=2x +y 在由坐标轴与直线x +y =3所围成三角形内的平均值。

(6分)[40]试求函数f (x ,y )=x +6y 在由直线y =x ,y =5x 和x =1所围成三角形内的平均值。

(4分)[41]由二重积分的几何意义，求
221
1)x y dxdy +≤⎰⎰
(4分)[42]计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰
，
其中D ：x 2
+y 2
≤2及x ≥y 2
. 原式=
2
1
1
1240
(2)2215
y dy xdx
y y dy -=--=⎰
⎰ (3分)[43]计算二重积分
2
x D
e dxdy ⎰⎰
其中D 是第一象限中由y =x 和y =x 3
所围成的区域。

2
322
1
1
30
()112
x
x x
x x e dx dy
xe x e dx e ==-=-⎰⎰⎰
…
(4分)[44]计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰
其中D ：x 2+(y －1)2≥1,x 2+(y －2)2
≤4,y ≤2,x ≥0.
2
2
2
dy ydy
===⎰⎰
(5分)[45]计算二重积分
2D
xy dxdy ⎰⎰ 其中D ：x 2
+y 2
≤5, x －1≥y 2
.
~
(5分)[46]计算二重积分
D
xydxdy ⎰⎰
其中D 是由(x －2)2
+y 2
=1的上半圆和x 轴所围成的区域。

3
1
3
211(43)243
xdx ydy
x x x dx ==--=⎰⎰ (4分)[47]计算二重积分
D
⎰⎰
其中D 是由直线x =0,y =1及y =x 所围成的区域。

!
(3分)[48]计算二重积分
32D
x y dxdy ⎰⎰
其中D ：x 2+y 2≤R 2
.
(5分)[49]计算二重积分
22D
x
dxdy x y +⎰⎰ 其中区域2
12,2x D x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
(4分)[50]计算二重积分
~
2
2D
x dxdy y
⎰⎰
其中D 是由直线x =2,y =x 和双曲线xy =1所围成的区域。

(4分)[51]计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰
其中D ：x 2+y 2≤a 2,y ≥0.
(5分)[52]计算二重积分
（
D xdxdy
⎰⎰
其中D ：22
221x y a b
+≤ (5分)[53]计算二重积分
224D x y dxdy --⎰⎰
其中D 为由y =0,x =1,y =2x 围成的区域。

(5分)[54]计算二重积分
%
xy D
ye dxdy ⎰⎰
其中D 是由y =ln2,y =ln3,x =2,x =4所围成的区域。

(5分)[55]计算二重积分
2D
xy dxdy ⎰⎰
其中D 是由抛物线y 2=2px 和直线x =p (p >0)所围成的区域。

(6分)[56]计算二重积分
|
2()D
x y dxdy +⎰⎰
D 是由抛物线y =x 2和y 2=x 所围成的区域。

(6分)[57]计算二重积分
x y D e
dxdy ⎰⎰
其中D 是由抛物线y =
(x ≥1)和直线y =x ,y =2所围成的区域。

(5分)[58]计算二重积分 2D xy y dxdy -
其中D 是以O (0，0)，A (10，1)和B (1，1)为顶点的三角形区域。

>
(5分)[59]计算二重积分
233(1216)D x
x y dxdy +⎰⎰
其中D 是由x =1,y =x 3,y =
所围成的区域。

(8分)[60]计算二重积分
22D x y dxdy -
其中D 是以O (0，0)，A (1，－1)和B (1,1)为顶点的三角形区域。

(3分)[61]计算二重积分
sin D x dxdy x ⎰⎰ ]
其中D 是由y =x ,y =0,x =1所围成的区域。

(4分)[62]计算二重积分
sin D
x dxdy x ⎰⎰ 其中D 是由y =x 2,y =0,x =1所围成的区域。

(5分)[63]计算二重积分
22ln(1)D x y dxdy ++⎰⎰ 其中D ：x 2+y 2≤4,x ≥0,y ≥0.
(5分)[64]计算二重积分
*
22D x y dxdy + 其中D ：x 2+y 2≥2x ,x 2+y 2≤4x .
(5分)[65]计算二重积分
22D x y dxdy + 其中D ：x 2+y 2≤2x .
(4分)[66]利用极坐标计算二重积分
22sin()D
x y dxdy +⎰⎰ 其中D ：π2≤x 2+y 2≤4π2
[
(4分)[67]计算二重积分
221D
x y dxdy -- 其中D ：x 2+y 2≤1,x ≥0,y ≥0.
(7分)[68]设区域D ：x 2+y 2≤a 2 (a >0),计算二重积分
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰
其中220,0(,)0
x
y e x y f x y +⎧>>⎪=⎨⎪⎩当其它点 (4分)[69]利用极坐标计算二重积分
D
ydxdy ⎰⎰ 、 其中D ：x 2+y 2≤a 2,x ≥0,y ≥0. (a >0)
(3分)[70]利用极坐标计算二重积分
221()3D
x y dxdy +⎰⎰ 其中D ：1≤x 2+y 2≤8.
(3分)[71]计算二重积分
22(4)D x
y dxdy --⎰⎰
其中D ：x 2+y 2≤4.
《
(5分)[72]计算二重积分
D xydxdy ⎰⎰ 其中D ：x 2+y 2≥1,x 2+y 2≤2x ,y ≥0.
(5分)[73]计算二重积分
22x y D xye d θ--⎰⎰，其中区域D 为x 2+y 2≤1在第一象限部分。

(5分)[74]将二重积分
(,)D
f x y d θ⎰⎰化为在极坐标系中先对r 积分的累次积分，其中D ：0≤x ≤,0≤y ≤1. (6分)[75]利用极坐标计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰
-
其中D ：x 2+y 2≤2x ,x 2+y 2
≥x .
(5分)[76]计算二重积分
其中D ：y ≤x 216y -,0≤y ≤22y ≥0.
(6分)[77]计算二重积分
22ln(1)D x y dxdy ++⎰⎰ 其中D ：x 2+y 2≤R 2 (R ＞0),x ≥0,y ≥0.
(5分)[78]利用极坐标计算二重积分
、
⎰⎰
D
其中D：1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0.
====================答案====================
答案部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分)
一、选择 (16小题,共分)
(2分)[1][答案]
B.
>
(3分)[2][答案]
B.
(3分)[3][答案]
A.
(3分)[4][答案]
(B).
(3分)[5][答案]
(C).
！
(3分)[6][答案]
C.
(3分)[7][答案]
B.
(3分)[8][答案]
C
(4分)[9][答案]
C.
，
(3分)[10][答案]
D.
(4分)[11][答案]
C.
(5分)[12][答案]
A. (4分)[13][答案]
B.
~
(3分)[14][答案]
(A).
(3分)[15][答案]
C.
(4分)[16][答案]
B.
二、填空 (6小题,共分)
(4分)[1][答案]
《
函数f (x ,y )在D 上 (4分)[2][答案]
16
(3分)[3][答案]
16
πa 3
(3分)[4][答案]
0. |
(4分)[5][答案]
记F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r ,
2cos 12cos 3
32
00233(,)(,)(,)d F r dr d F r dr d F r dr πππθθπππθθθθθθθ----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(3分)[6][答案]
13
三、计算 (78小题,共分)
(3分)[1][答案]
原式=
122201(,)(,)x x x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰ 《
(3分)[2][答案]
原式=2
42
110222(,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰
(3分)[3][答案]
原式=22
12(,)x x dx f x y dy ---⎰⎰ (3分)[4][答案]
原式=1
0(,)y e dy f x y dx ⎰
(4分)[5][答案]
原式
^
3sin 2001(sin sin )3
()4
9
x x x x dx x y dy
dx πππ-=-==-⎰⎰⎰ (3分)[6][答案]
原式
2
200250
12163x xdx ydy x dx ===⎰⎰⎰
(3分)[7][答案]
原式
4204
032
3847x dx x ===⎰⎰⎰ (3分)[8][答案]
(
原式
212
313
34
x xdx ydy
x dx ===⎰⎰ (3分)[9][答案]
原式
00cos()(sin()sin 2)2
x dx x y dy x x dx ππ
π
π=+=+-=-⎰⎰⎰ (4分)[10][答案] 原式
()322113
3321321()1(1)3122310y
y dy x y y dx y y y y dy y y dy -=+-⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰ $
(3分)[11][答案] 原式
1
4
0140cos 2sin 21
2
dx x xydy xdx π
π
-==⎰⎰⎰
(3分)[12][答案] 原式
100112
22000310=()11()(2)2
2
1122x
y dy x y dx x y dy y y dy y ⋅+=+=-==⎰⎰⎰⎰ 或解原式
11
01
20=()13()22
12x dx x y dy x x dx +=+-=⎰⎰⎰ 【
(3分)[13][答案] 原式
1
501
20(6)761
253x x
dx x y dy x dx
+==⎰⎰⎰
(3分)[14][答案] 原式
211222111()2151ln 282x
x xdx ydy x x dx x
==
-=-⎰⎰⎰ (3分)[15][答案] 原式
（
4
2242132
9x x
dx ydy x xdx ===⎰⎰⎰ (3分)[16][答案] 原式
110
01
2042(1)2
3
x dx ydy x dx -==-=⎰⎰⎰
(3分)[17][答案] 原式
110
01
2042(1)1
6
x xdx ydy x x dx -==-=⎰⎰⎰
(4分)[18][答案] <
原式
2
211242111()39110x
x xdx y dy
x dx x
=
-=⎰⎰⎰ (4分)[19][答案] 原式
32232234
()1(2)314a y
a y a a a dy x y dx ay a y a dy a -+=-+=⎰⎰
⎰ (4分)[20][答案] 原式
32093(3)22272
x x dx =+-=⎰ @
(4分)[21][答案] 原式
31133111()2110ln 32x
x xdx ydy x dx x
==
-=-⎰⎰⎰ (4分)[22][答案] 原式
222022320()193248136y
y dy x y x dx y y dy =+-⎛⎫=- ⎪⎝
⎭=⎰⎰⎰
(4分)[23][答案] 原式
*
11011201)1()2
124ydy x dx
y y y dy =-=
-=⎰⎰⎰ (4分)[24][答案] 原式
1
40014
021401111()218
x dx dy
x x dx x d x x π
+=+=+=⎰⎰⎰⎰ (4分)[25][答案] 原式
2
2202
220(4)64
15
y dy y y dy -=-=⎰⎰
(4分)[26][答案] 】
原式
24412
242321(4)218
x x xdx dy x x x dx +--==+-=⎰⎰⎰ (4分)[27][答案] 原式
1001
02(1)122
x
x y x x e dx e dy e e dx e e ==-=-+⎰⎰⎰ (4分)[28][答案] 交点为1(1,1)2,(2,4)2⎛⎫ ⎪⎝⎭
原式
)
21324x dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰221=x
(5分)[29][答案]
原式
00204sin()4(1cos )2
y ydy y xy dx y y dy π==-=-⎰
(4分)[30][答案]
原式
sin 2200320()1(sin sin )3
79
x dx x y dy
x x x dx π
π=-=-=⎰⎰⎰ (5分)[31][答案]
…
原式
2
222
0020cos()sin 42
16
dx x y xy dy x xdx π
ππ
===-⎰⎰⎰ (4分)[32][答案]
交点为(0，0)，(1，1)
原式
2010
1(2655
y xdx
y dy ===⎰⎰ (4分)[33][答案]
由对称性知，此积分等于D 域位于第一象限中的部分D 1上积分的4倍，在第一象限|y |=y . |
原式
0022220242()43
a a ax ydy
b a x dx a ab ==-=⎰⎰
(4分)[34][答案]
原式
110
21
0(1
6
x xdx x x dx -==+=⎰⎰⎰
(5分)[35][答案]
原式
22
0cos 3320
31(1cos )32()323
a a d r dr
a d a π
θπθθθπ==-=-⎰⎰⎰ 、
(4分)[36][答案]
原式
2
200230
383d r dr r πθππ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰
(5分)[37][答案]
原式
2
40122
1(41)322
364
D
rdrd d rd π
θθ
θθππ===⋅-=⎰⎰⎰⎰
(4分)[38][答案]
原式
/
1
2
0222
2182(1)
16D
a rdrd d rdr a a π
θθ
θθππ==-=
⋅=-⎰⎰⎰⎰ (5分)[39][答案]
330
0320(,)(2)(2)12(3)(3)2272x D D f x y d x y dxdy x y dy x x x dx σ-=+=+⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
而D 的面积9=2
σ ∴所求平均值=3. (6分)[40][答案] ∵1501
220(,)()(472)76
3
x x D f x y dxdy dx x by dy
x x dx
=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 而D 的面积
—
110=42
dy xdx σ==⎰⎰⎰5x
0x dx ∴所求平均值2=12
3
(4分)[41][答案]
原式
=222211x y x y dxdy +≤+≤⎰⎰⎰⎰
23213
πππ=+= (4分)[42][答案]
(3分)[43][答案]
(4分)[44][答案]
-
(5分)[45][答案]
交点为(2，1)与(2，－1)
2121
11
2240(43)62
105
y y dy y y y dy -+==--=⎰⎰
(5分)[46][答案]
(4分)[47][答案]
100130
13112
y
dy y dy ===⎰⎰⎰ (3分)[48][答案]
原式
=
23R R y dy dx -⎰ 、
对于3x dx 被积函数x 3为奇函数
∴积分为零。

故原式=0. (5分)[49][答案]
原式=222212
21(arctan )4
218arctan ln 254x
x x dx dy x y x dx ππ=+=-=+-⎰⎰⎰ (4分)[50][答案]
2212122111()94x
x
x dx dy y x x dx x
==-=⎰⎰⎰ (4分)[51][答案]
00032223
a a xdx a ===⎰⎰ (5分)[52][答案]
由对称性知，此积分等于D 域位于第一象限中的部分D 1上的积分的4倍，在第一象限|x |=x .
0022220242()43
b b dy a b y dy b a b ==-=⎰⎰
(5分)[53][答案]
220
02
2083
dx x dx
ππ===⎰⎰⎰ (5分)[54][答案]
ln34
ln 2
2ln342ln 2()3
134
xy y y dy ye dx e e dy ==-=⎰
⎰⎰
(5分)[55][答案]
2
2
2
4
22
2
5
1
()
28
21
p
y
p
ydy xdx
y
y p dy
p
p
=
=-
=
⎰
(6分)[56][答案]
22
11
2
00
11
43
00
()()
33
140
x y
x dx xdy
x x dx y dy
=+
=+
=
⎰⎰
⎰⎰
(6分)[57][答案]
2
2
1
2
1
2
()
3
2
x
y
y
y
y
dy e dx
ye ye dy
e e
=
=-
=-
⎰⎰
⎰
(5分)[58][答案]
110310
2 00
12
)
18
6
y
y
y
dy x y dy
y dy
==-
=
=
⎰⎰⎰
⎰
(5分)[59][答案]
3
1233
1233122
1515
16)
12(4()
(1284)
1
5
84
x
dx x x y dy
x x x x x dx
x x x dx
=+
⎡⎤
=-
⎣⎦
=+
=
⎰⎰
⎰
⎰
(8分)[60][答案]
10210120arcsin )226
x x
x dx x y dx x
x dx ππ
--===⎰⎰
⎰⎰
(3分)[61][答案] 1
0010sin sin 1cos
x x dx dy x xdx ===-⎰⎰⎰
(4分)[62][答案]
21
0010sin sin sin1cos1
x x dx dy x x xdx ===-⎰⎰⎰
(5分)[63][答案]
2
220051
ln(1)ln 4(5ln 54)4
d r rdr udu π
θππ=+=
=-⎰⎰⎰ (5分)[64][答案]
4cos 32
2cos 2420
260cos 452
d r dr
d πθπθπ
θθθπ-===⎰⎰⎰ (5分)[65][答案]
2cos 2202322
320
8cos 316cos 316232339
D
r rdrd d r dr
d d π
θππ
ππ
θ
θθθθθ--=⋅====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (4分)[66][答案]
原式=2220sin d r rdr π
ππ
θ⋅⎰⎰ =π(cos π2－cos4π2).
(4分)[67][答案]
2
006
D
d π
θ
θπ
===⎰⎰
(7分)[68][答案]
2222222
0,02000
122(1)4x y x y a x y a r a r a e dxdy
d e rdr e e π
θππ++≥>>=
=⎡⎤=⋅⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰
(4分)[69][答案]
22003
3
sin sin 13
3
D
a
r rdrd d r dr a a π
θθ
θθ=⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰
(3分)[70][答案]
532018
332()8
454d dr
r πθππ==⋅=⎰⎰
(3分)[71][答案]
2222224
422300
4
()16161624
8x y x y dxdy x y dxdy
d r dr ππθπππ+≤+≤=-+=-=-⋅
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (5分)[72][答案]
2cos 3301530cos sin 1(4cos sin cos sin )4
196
d r dr
d π
θπ
θθθθθθθθ==-=⎰⎰⎰ (5分)[73][答案] 2
2
22132001220
sin cos sin cos 11()22111(1)412(1)4r D r r r e rdrd d r e dr r e d r e e
e π
θθθθθθ---=⋅==
⋅=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰
(5分)[74][答案]
原式
=6
20006(cos ,sin )(cos ,sin )ces d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰ (6分)[75][答案]
2cos 22cos 23322
420
cos cos 1cos (8cos cos )314cos 378
D
r rdrd d r dr
d d π
θπθπ
ππ
θθ
θθθθθθθθπ--=⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (5分)[76][答案]
21sin cos 8D
r rdrd θθθ=⎰⎰原式 404340
040
4
1sin cos 81sin 2148241140844
d r dr r π
π
θθθθ=⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==⎰⎰
(6分)[77][答案] 2ln(1)D
r rdrd θ=+⎰⎰原式
()()()()22002220222ln(1)11ln 1221ln 14R R d r rdr r r r R R R π
θππ=+⎡⎤=
++-⎣⎦⎡⎤=++-⎣⎦⎰⎰ (5分)[78][答案]
sin D
r rdrd θ=⎰⎰原式
()22
0122
11sin [cos ]cos 2(cos12cos 2sin 2sin1)2r rdr
d r r rdr π
θπ
π
==-+=-+-⎰⎰⎰
用直线,i j x y n n
=
= (i ,j =0,1,2,…,n －1,n )把矩形D ：0≤x ≤1,0≤y ≤1分割成一系列小正方形，则二重积分D
xydxdy ⎰⎰ 2211121111()lim ;()lim ;1111()lim ;()lim ().n n n n n i j i n n n n i i i i i j A B n n n n n n i i i i C C n n n n n n n n →∞→∞===→∞→∞==-∑∑∑∑∑ 答 ( )。