量子物理习题课(1)

三、问题讨论
1. 黑体是否总是呈黑色? 黑色的物体是否都是黑体? 太阳光照射下黑体是否能无限制地升温? 答：单色吸收率恒等于1的物体称为黑体， 这是一个理想模型。
作为理想模型的黑体，只是说它的单色反射率恒为零。 它不反射由外界辐射来的能量，但它本身仍要辐射能量。 黑体并不一定是黑色的， 它的颜色是由它自身所发射的辐射频率所决定的。 如果黑体的温度很低，则它辐射的能量很少， 辐射的峰值波长会远大于可见光波长，则呈现黑色。 如果黑体温度较高，辐射的能量大， 峰值波长处于可见光波段范围内，就会呈现各种颜色。 例如金属炼炉上的小孔可近似视为黑体， 而在高温工作条件下该小孔看上去十分明亮。
Ek
6．图中直线AB，表示光电子的
B
初动能 Ek 与入射光频率 的关系 （1）图中A点的频率表示什么? （2）对于不同的金属， 直线AB的斜率是否相同?
2
答：爱因斯坦的光电效应方程 mVm / 2 h A Ek (1)对于A点，E
k
O
A

0
0 A/ h
☆
所以图中A点的频率表示光电效应的红限频率。 (2) AB直线的斜率为 h 是普朗克常数，与金属的种类无关， 所以对于不同的金属，直线AB斜率是相同的
☆
呈黑色的实际物体， 由于它的单色吸收率并不恒等于1， 或者说它的单色反射率并不是恒为零， 一般不能称为黑体。
☆
在太阳光照射下的黑体的温度也不会无限制地升温。 由基尔霍夫定律可知： 对某种波长的辐射吸收强烈的物体， 对这种波长的辐射本领也大。
在太阳光照射下的黑体吸收辐射能量使其温度升高的同时，
向外辐射的能量也增大。 当黑体的温度上升到某一值时， 吸收的辐射能量与发射能量处在动态平衡时， 温度就不再上升
☆
受激辐射的过程是处于激发态的原子，
☆
受到外来能量满足 E2 E1 h 的光子的刺激作用， 从高能级 E2 跃迁到低能级 E1，同时辐射一个光子， 辐射出的光子与外来光子的 频率、相位、偏振态和传播方向均相同。 一个光子入射原子系统后， 可以由于受激辐射变为两个全同光子， 两个光子又可变为四个……， 这就实现了光的放大。 受激辐射光放大是激光产生的基本机制。
34
8．自发辐射与受激辐射有何区别? 答：处于激发态的原子是不稳定的， 在没有任何外界作用下， 激发态原子会自发地辐射光子返回基态， 这一过程称为自发辐射。 自发辐射的过程是一个随机过程， 各个原子的辐射都是自发地、独立地进行的。 因而各个原子辐射出来的光子的相位、 偏振态以及传播方向之间没有确定的关系。 对大量原子来说，其所处的激发态也不尽相同， 因而辐射光子的频率也不同。 所以自发辐射的光是不相干的。 普通光源发光属于自发辐射。
而对于波长为 0.1nm 的X射线，
在同样的散射角
/ 2 的情况下，
/ 0.0024 / 0.1 2.4%
0.0024nm
这个波长偏移是可以测出来的。
4．根据量子力学解出的氢原子角动量量子化条件 与玻尔理论的量子化条件有何区别? 答：量子力学解出的氢原子角动量量子化条件为
因此，自由电子吸收光子的过程不可能发生， 对自由电子不能有光电效应。 光子与自由电子的相互作用只能产生康普顿效应。
3．X射线通过某物质时会发生康普顿效应， 而可见光则没有，为什么? 答：硬X射线光子
(波长比 0.1nm 小的X射线称为硬X射线)
☆
其质量与电子静止质量差别不大， 而可见光光子的质量比电子静止质量小得多。 这样，按弹性碰撞理论， 可见光光子与自由电子碰撞后， 光子能量不会转移给电子， 即散射波长不会改变。 而可见光光子与束缚电子发生碰撞， 光子能量更不会转移给电子了。
N 2 小于基态上的原子数目N1
要使受激辐射胜过吸收占优势， 这种分布称为粒子数的反转分布。
☆
必须使高能态的原子数 N 2 大于低能态的原子数 N1
要形成粒子数的反转， 首先要有能实现粒子数反转分布的激活介质。 激活介质要有亚稳态的能级结构， 所谓亚稳态是原子处于该态寿命较长的激发态， 这样才能实现
m 2
Lz
Lz 2
5．粒子a，b的波函数分别如图所示， 若用位置和动量描述它们的运动状态， 两者中哪一粒子的位置不确量较大? 哪一粒子的动量不确量较大，为什么? a
☆
不确定关系式
xp x 2
b
答：由图可知，a粒子的波列长度大，其位置的不确定量较大。 可知，a粒子的动量不确定量较小。 b粒子的波列长度小，则b粒子的位置不确定量较小， 动量不确定量较大
按玻尔兹曼分布律，原子系统达到热平衡时，
☆
处于 En 能级上的原子数 N n 遵从
En N n exp( ) kT
设激活介质中基态能级为 E1 ，激发态能级为 E2 两能级上的原子数之比为
N2 E2 E1 exp( ) 1 N1 kT
激发态的原子数目 这叫粒子数的正常分布。
E2 E1
7．质量为 40 g 的子弹，以1000m / s 的速度飞行， 它的德布罗意波长是多少? 当子弹穿过小孔时，能否观察到衍射效应? 答：子弹德布罗意波长为
☆
h h 6.63 10 40 10 10
根据衍射理论， 只有当入射波波长与缝宽或障碍物的线度可比拟时， 衍射现象才明显。 子弹的德布罗意波长与缝宽或障碍物线度相比极小， 衍射效应无法观测，波动性显示出来， 子弹表现为粒子性
Lz ml ml 0, 1, , l
Lz 2
玻尔氢原子理论的角动量量子化条件为
☆
Ln n (n 1, 2, 3, )
角动量的最小值不为零而是
n2
L 2
Lz
Lz 0
z
角动量分量
m2
Lz 2
m 1 m0 m 1
2
Lz m m 0, 1, , n
9．在激光激活介质中，如果只用基态和某一激发态， 能否实现粒子数反转?为什么? 答：不能实现粒子数反转。 因为光和原子相互作用时， 同时存在吸收、自发辐射和受激辐射三种过程。 达到平衡时， 单位体积单位时间内通过吸收 从基态跃迁到激发态上的原子数，等于从激发态通过 自发辐射和受激辐射跃迁回基态的原子数。 故原子系统达到热平衡时，光的吸收占主导地位。 而激光是通过受激辐射来实现光放大的光， 产生激光的必要条件是 受激辐射过程胜过吸收和自发辐射， ☆ 在三个过程中占据主导地位。
半导体的禁带宽度较窄(
0.1eV ~ 2eV
)，
在常温下， 满带电子激发到上邻空带的概率较大， 在电场作用下， 空带中的电子和满带中的空穴可以形成电流。 但导电性仍较导体为差而优于绝缘体
12．本征半导体与杂质半导体，在导电性上有怎样的区别?
☆
答：对于本征半导体， 导电特征是参加导电的正、负载流子的数目相等， 总电流是电子流和空穴流的代数和。 至于杂质半导体， n型半导体主要导电的载流子是电子， P型半导体主要导电的载流子是空穴。 这两种类型都是由杂质原子起主要导电作用， 杂质半导体中的电子跃迁到导带中去(n型半导体)， 或满带中的电子跃迁到杂质能级中来(p型半导体)， 都较本征半导体满带中的电子直接跃迁到导带容易， 所以少量的杂质就会 显著地影响导带中的电子数或满带中的空穴数。 因而少量杂质将会显著地影响半导体的导电性。
对完全自由的电子不能有光电效应可作如下讨论
如果光子与电子作用后，被电子吸收。 在系统的质心系中看来： 作用前的光子和运动的电子， 作用后变成静止的电子。
☆
P h/
P mv
(吸收前)
m0
(吸收后)
2 2
按能量守恒定律：
这意味着， m
0
m
h mc m0c
这违背相对论
m
m0 1 v2 / c2
由康普顿散射
h 0 (1 cos ) m0 c 如果入射光是波长 400nm 的可见光，
☆
由上式可算出，当散射角
/2
时，
0.0024nm
/ 0.0024 / 400 0.0006%
如此小的波长偏移是不容易观察出来的。 所以可见光观察不到康普顿效应。
四、解题指导
例1 在加热黑体过程中，
☆
其最大单色辐射本领的波长由 0.8m 变到 0.4m
则其总辐射本领增加了几倍? 分析： 最大单色辐射本领的波长是指峰值波长 m 由于黑体加热过程中， 最大单色辐射本领的波长由 0.8m 变到 0.4m 相应的温度由 T 增加到 T
1
2
总辐射本领随温度的升高而变大， 并且与热力学温度的4次方成正比。
☆
L l (l 1) l 0, 1, 2, 3, , (n 1)
角动量的最小值可以为零。 角动量分量为
l2
L 6
Lz 2
ml 1
z
ml 2
6
(角动量在某特殊方向如磁场方向)
ml 0 ml 1 ml 2
Lz Lz 0
Lz
☆ 2．光电效应和康普顿效应都包含有 电子与光子的相互作用过程， 这两种过程有什么不同?
答：参与光电效应的金属电子是金属中的自由电子， 它不是完全自由的，而是被束缚在金属表面以内。 在光电效应中，通常是一个电子吸收一个光子的过程， 电子与光子的相互作用是非弹性碰撞。 在碰撞过程中能量守恒，动量不守恒， 金属材料必取走部分动量。 参与康普顿效应的散射物中的电子 在光子能量较大时可看做是完全自由的。 散射物中电子与光子的相互作用可近似看成 弹性碰撞过程，满足动量和能量守恒定律。 光子把一部分能量传给电子后，光子散射出去， 所以散射光波长比入射光波长大。
☆
亚稳态 上能级
而且，粒子处于上能级的概率 比粒子处于下能级的概率大。
由上能级（亚稳态） 到下能级的跃迁， 才有可能产生激光。
激光
下能级 基 态
10．激光谐振腔在激光形成过程中起哪些主要作用? 答：激光谐振腔的主要作用有三： 一是进一步得到光放大； 二是使激光的方向性好； 三是使激光单色性好。
在激光谐振腔内，受激辐射发出的光， 沿轴线方向传播经过谐振腔反射在腔内形成光振荡，每次往复， 都会使处于反转状态的高能级上的粒子 受激辐射出更多的 同频率、同相位、同偏振态、同传播方向的光， 即进一步得到光放大。 而不沿轴线传播的光，经谐振腔有限次反射将逸出腔外， 从而只有沿轴向传播的光输出，即方向性好。 又因为在受激辐射的基础上，在腔内要形成稳定的振荡， 波长必须满足一定的条件，不满足条件的光将很快被衰减掉， 还要受选模条件的限制，所以输出光具有良好的单色性。 ☆
解： 由维恩位移定律
mT C
知
☆
T2 m1 0.8 2 T1 m 2 0.4
根据斯忒藩一玻尔兹曼定律，总辐射本领
E (T ) T
0
4
E (T2 ) T2 4 4 ( ) 2 16 0 E (T1 ) T1
即总辐射率领增大为原来的1 6倍。
0
例２ 光电效应中光电子的 最大初动能与 入射光频率的关系如图所示。 根据图，求：
11．从能带的观点来看， 绝缘体、导体和半导体有什么区别? 答： 一般说来， 绝缘体满带与空带的间隔即禁带宽度较大 (约
☆
3eV ~ 10eV
)。
满带中虽然有自由电子，但满带是不导电的。 在常温下，满带电子激发到上邻空带的概率很小， 对导电作用的贡献极微。 因此绝缘体几乎不具导电性。
☆ 导体具有未满带(如Li) 或满带和空带交叠也形成一个未满带(如Mg) 或者有未满带同时也有与空带交叠(如K)。 在外电场的作用下， 电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较高能级， 从而形成电流，具有导电性
☆
Ek
(1)逸出功； (2)红限；
处于亚稳态的原子数多于处于下能级上原子数的反转分布。
原子处于亚稳态上，自发辐射的概率小， 自发辐射和受激辐射相比较，自发辐射是次要的， 可见选用具有亚稳态能级结构的激活介质 就可以使受激辐射最终处于优势。
由于基态能级十分稳定， 粒子处于基态的概率比处于任何激发态的概率都大， 不可能实现激发态与基态之间的粒子数反转。 如果要实现粒子数反转， 只能在除了基态以外的两个能级之间进行。 因此，如果要实现粒子数反转， 必须至少是三能级系统。