2015春 西南大学《离散数学》第1次作业

《离散数学》第1次作业

一、填空题

1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( mn )，A 到B 的2元关系共有(2mn )个，A 上

的2元关系共有(2m ²

)个.

2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( g )是单射，( g )是满射，( g )是双射.

3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( (1),(2),(4) )(选择正确答案的番号).

(1)q q p p →→∧)(；

(2))(q p p ∨→；

(3))(q p p ∧→；

(4)q q p p →∨∧⌝)(；

(5)q q p →→)(.

4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( 8 )，4的补元( 不存在 )，6的补元( 不存在 ).

5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( 连通 )图，且其每个面恰由( 3

)条边围成，G 的面数为( 10 ).

二、单选题

1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( C ).

(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C .

(C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C .

2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( A ).

(A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.

(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的.

(C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的.

(D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.

3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( B ).

(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀

(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀

(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃

(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀

4. 域与整环的关系为( A ).

(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环

5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( D ). (A)2

n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂； (2)A B B A -=-；

(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.

证：

(1) 显然，B A A B A ⊆⇔=⋂.

(2)可以证明：B A A B B A =⇔-=-.

(⇐)当A = B 时，A – B = ∅且B – A = ∅, 于是A B B A -=-.

(⇒)假定A B B A -=-，先证明B A ⊆: 对于任意A x ∈，若B x ∉，则B A x -∈，进而A B x -∈，根据差运算定义知B x ∈，与B x ∉矛盾. 所以B x ∈，因此B A ⊆. 同理可证A B ⊆. 故A = B.

(3)容易证明：=⇔=-⋃-B A A B B A )()(∅.

(⇐)显然.

(⇒)(反证)若B ≠ ∅，则存在B x ∈. 分两种情况讨论：若A x ∉，则A B x -∈，由于A A B B A =-⋃-)()(，于是A x ∈，矛盾；若A x ∈，则B A x -∉且A B x -∉, 进而A x ∉，矛盾. 证毕.

四、设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下

∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y

x -是整数}，

证明: S 是R 上的等价关系.

证 ：

1. 对于任意x ∈ R, 因为0

3=-x x 是整数，所以(x, x) ∈ S ，即S 是R 上的自反关系.

2. 对于任意x, y ∈ R, 若(x, y) ∈ S ，则3y x -是整数，而33

y x x y --=-也是整数，于是(y, x) ∈ S.

3. 对于任意x, y, z ∈ R, 若(x, y) ∈ S 且(y, z) ∈ S ，则3y x -是整数且3z

y -是整数. 由于333z y y x z x -+-=-是整数，由此得出(x, z) ∈ S.

综上所述，知S 是R 上的等价关系.

五、求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.

解 ：

)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃

= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝→→∃

= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝→∃

= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝∨⌝∃

= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ⌝∀∧∃∨⌝∨⌝∃

= )))()(()(()(x D x y yC y B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀

= )))()(()(()(z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀

= ))))()(()(()((z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀

= ))))()(()(()((z D z y C t B x A y x ⌝∃∧∨⌝∨⌝∃∀

= )))()(()()((z D y C t B x A z y x ⌝∧∨⌝∨⌝∃∃∀.