模糊数学模型

第四讲 模糊数学模型（Fuzzy ）

过份的精确反而模糊；适当的模糊反而精确。

起源：1965年 L.A.Zadeh 在杂志“ Information and Control ”上发表著名论文，首先提出模糊集合的概念，标志着模糊理论的产生。

一、模糊综合评判法 （一）模糊集合：

1、X 上的模糊集合A ，由()A U x 表示的隶属函数的集合。

()A U x 表示X 隶属集合A 的程度，()A U x 越接近1 ，表示X 属于A 的程度越大。 当()A U x =1时，X 肯定属于A ； 当()A U x =0时，X 肯定不属于A ；

2、若X 为离散空间，则X 可以表示为：{}12,,

,n X x x x =,则模糊集合A 可以表示为：

{}1122(,()),(,()),,(,())A A n A n A x U x x U x x U x =。

{}:1,2,

,9Eg X =,A=“大体上与5接近的数”，

模糊集合A 可以表示为A ={（1，0），（2，0），（3，0.4），（4，0.8）,(5,1),(6,0.8),(7,0.4),(8,0),(9,0)}。

3、若X 为连续空间，则X 可以表示为：{},,X x x R R =∈为某连续区域，模糊集合

{}(,()),A A x U x x R =∈。

Eg:若建立年轻人的隶属函数，可以根据统计资料，作出年轻人的隶属函数的大致曲线，发现与柯西分布接近。

21 ()()1

1()11

(30)0.3 1

3.51(3025)10

A A x a

U x P x x a x a U βαβα≤⎧⎪

==⎨>⎪+-⎩===+-1

取a=25,=2,＝

10

不合理

1

1

()0.8125100

A U x αα==⇒=

+进行反推，

A 2

U )

1 x 25

1 x>25()()25110A x U x P x x ≤⎧⎪⎪

==⎨-⎛⎫

⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩

从而得到（ 例：为解决某一地区的交通运输问题，有两个方案可供选择：

评价准则有如下四个： ①费用效益

②对区域发展的贡献 ③对社会安全的贡献， ④对环境保护的贡献，

评价的结果为： 满意，较满意，不太满意，不满意

因素集合（准则）U ={ 费用效益， 区域发展， 社会安全， 环境保护 } 评语集（结论集）V ={ 满意， 较满意， 不太满意， 不满意 }

AHP 法。 借用矩阵乘法的运算法则，进行指标权重与模糊判断矩阵R 的乘法。 模糊矩阵的乘法运算法则：“两两相乘取小者，两两相加取大者。

()0.7

0.20.100.20.70.1

00.40.30.20.100.20.70.10.1

0.20.50.10.40.70.30.20.200.10.10.40.20.30.70.20.20.10.3 0.40.10.30.10.20.70.10.50.400.300.20.10.10.1A R ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭

⨯+⨯+⨯+⨯⎛ ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⎝T

⎫⎪

⎪ ⎪ ⎪⎭

10.40.200.10.40.20.30.20.10.3 0.10.10.20.10.2000.10.10.1T T

T V +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭

0.10.30.50.10.20.70.10(0.4,0.3,0.2,0.1)

0.20.70.1000.20.70.10.40.10.30.20.20.20.100.40.30.30.70.20.70.10.2 0.40.50.30.10.20.10.10.70.40.10.300.200.10A R ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪

⎝⎭

⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯

+⨯212.10.10.20.200.20.30.30.20.10.3 0.40.10.10.10.40.1000.10.1T

T T

T T T V V V ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭

∴>∴选择方案I

（二）常见的模糊分布

（1）矩形分布型

1 0≤x ≤a

U （x ）=

0 其他

（2）Γ分布型

()() () 1 ,0

k x a k x b e x a U x a x b k e x b ---⎧<⎪

=≤≤>⎨⎪>⎩

（3）正态分布 中间型：2

()x a b U x e

-⎛⎫- ⎪⎝⎭

=

偏小型：

2

1, () x a b x a U x e

x a -⎛⎫- ⎪

⎝⎭≤⎧⎪

=⎨⎪>⎩

偏大型

2

() 1

x a b e x a U x x a -⎛⎫-

⎪⎝⎭

⎧⎪<=⎨⎪≥⎩

2

0, ()1 x a b x a U x e

x a -⎛⎫

- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪->⎩

(4)k 次曲线分布型