微分方程选择题及答案

选择题（50）

（1）知识、概念层次，难度等级1

1、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.

（1）43

322320d y d y y dx dx ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（2）3

36x dy dy x y e dx dx ⎛⎫++= ⎪

⎝⎭ （3）1

3

2

3y

d y y

e dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

（4）3

3sin d y

dx dy e y dx +=

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C

难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义

分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （）

(A)

1

12

y x =+ (B) 2

x y Ce = （C ）

2

12

1

2

x y C e x C =++ (D)

2

1

12

x y Ce x =++

答案 D

难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义

分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ）

3、 下列等式中（）是线性微分方程.

(A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B)

20y x ''+= (D) 2y y xy '-=

答案： B

难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2

y ,故应选（B ）

4、 微分方程(1)2(1)

(2)(1)

n n x

x n

n n x n n d y d y

dy e e e e y e dx dx dx

-++-++++= 是（）.

（A ）n 阶常系数非齐次线性常微分方程 （B ）n 阶常系数齐次线性常微分方程

（C ）n 阶变系数非齐次线性常微分方程 （D ）n 阶常变系数齐次线性常微分方程 答案： C

难度等级1 知识点：齐次线性常微分方程的定义

分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x 的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)n x e +,因此是非齐次方程，故应选（C ） 5、 微分方程633x

y dy

e e y x y dx

=+- 的一个解为（ ）. （A ）6y = （B ）6y x =- （C ）y x =- （D ）y x = 答案： D

难度等级1 知识点：常微分方程解的定义 分析：将（A ），（B ），（C ），（D ）所给函数代入所给方程，易知只有y x =满足方程，故应选（D ）

6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.

(A)

2

,x x (B) ln(),ln()x x x （C) cos(2),sin(2)x x (D)

sin(2),cos()sin()x x x

答案： D

难度等级1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A ），（B ），（C ）中所给的两个函数的比值不为常数，而

sin 22sin cos x

x x

= ，因此应选（D ）

7、 下列（ ）不是全微分方程.

(A)

32

(3)0ydx x x

y dy +-= (C) 3()()0x y dx x y dy ++-=

(B)

2210xy y x

dx dy y y

+-+= (D) 0ydx xdy += 答案： A

难度等级1 知识点：全微分方程的判定

分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充要条件是

M N y x ∂∂=∂∂ ，因此（B ），（C ），（D ）均满足此条件，而22119M N

x y y x

∂∂=≠-=∂∂ ，因此应选（A ）

8、 方程2

2

()0ydx x y x dy -++= 的积分因子为（ ）.

（A ）2

1

()x x

μ=

（B ）21()y y μ= （C ）221(,)x y x y μ=+ （D ）1

(,)x y x y

μ=

+ 答案： C

难度等级1 知识点：积分因子的定义

分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 不是全微分方程时，若存在二元函数(,)x y μ ,使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程，则称(,)x y μ为方程的积分因子，因此代入(A),（B ），（D ）所给函数均不满足条件，因此应选（C ）

9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）

（A ）sin dy y dx x = (B) 1dy y dx x x =+ (C) 2

dy y y

dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (D)

1dy y dx x

=+ 答案： D

难度等级1 知识点：齐次方程与线性方程的判定

分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B ）不是齐次方程，因此应选（D ）

10、 试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程

20,(0)y y ωω''+=>的通解.(式中

12,C C 为任意常数).

(A) 1cos 2sin y C x x ωω=+ (C) 12cos sin y C x C x ωω=+ (B)

11cos 2sin y C x C x ωω=+ (D) 212cos sin y C x C x ωω=+

答案： C

难度等级1 知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义

分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，

故(A),(B)不符合要求，（D ）中虽有两个独立常数，但2

10C > 不是任意常数，故应选

（C ）

11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为

12x x y C e C e -=+,其中12,C C 为

独立的任意常数，则该方程为（）. (A)

x

y y e ''-= (B)

20y y ''-=

（C)

0y y ''+=

(D)