【精品】高中数学 9.9《棱柱与棱锥》备课资料 旧人教版必修

【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：9.9棱柱与棱锥(备课资

料)

一、对几种棱柱的理解

1.斜棱柱的底面可以是正多边形,此时侧棱不垂直于底面,所以它不是直棱柱.

2.直棱柱的底面可以是正多边形,所以正棱柱是直棱柱的特例.

3.在斜棱柱的侧面中,有的可以是矩形,如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形,那么它们的公共侧棱垂直于底面.此棱柱一定为直棱柱.

二、对于四棱柱中关系的理解

底面是平行四边形

平行六面体

侧棱垂直于底面直四棱柱

直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱

边相等

正方形

三、参考例题

［例1］在直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD =3,A 1A =4,AB =5,∠DAB =60°,那么这个直平行六面体的对角线AC 1与BD 1的长分别是

A.65和35

B.35和65

C.17和35

D.35和17

分析：将“空间问题平面化”的思想应用到解题中,再结合平面几何中的勾股定理、余弦定理使问题获解.

1解析：∵AD =3,AB =5,∠DAB =60由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos60°. ∴BD =19. 而BD 12=AA 12+BD 2,

∴BD 1=35.同理可求得AC 1=65.

答案：A

［例2］用一个过四棱柱底面一边的平面截正四棱柱,截面是 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般平行四边形

分析：充分利用已知正四棱柱的性质以及线线、线面、面面之间的平行、垂直关系的性质、判定定理.

1

1

1

1

A B B C

C D

D F E

解析：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,过棱AB 的平面ABEF 交对面CDD 1C 1于点E 、F . ∵平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1, ∴AB ∥EF .

∵AB ⊥平面BCC 1B 1,且BE ⊂平面BC 1, ∴AB ⊥BE .

∴ABEF 是矩形. 答案：B

评述：灵活地将正四棱柱性质应用于解题中,可使问题变得简单易求.

［例3］四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面ABCD 是菱形,且A ′B =A ′D ,求证：

'

'

''A

B D

D （1）对角面AA ′C ′C ⊥截面A ′（2）对角面D ′DBB ′是矩形. 分析：（1）中通过寻求线面垂直去实现面面垂直. （2）中依据矩形的判定方法证得. 证明：（1）连结AC 与BD 交于点O ,连结A ′O . ∵A ′B =A ′D ,∴A ′O ⊥BD . ∵底面ABCD 是菱形,

∴AC ⊥BD .∴BD ⊥平面A ′ACC ′. 又BD ⊂平面A ′DB ,

∴对角面AA ′C ′C ⊥截面A ′BD .

（2）由（1）知BD ⊥A ′A 且A ′A ∥BB ′, ∴BD ⊥BB ′.

∴对角面D ′DBB ′是矩形.

评述：此题是以正棱柱为载体考查了空间线线、面面、线面等问题,需对四棱柱的有关性质熟练掌握,否则思维受阻,无法继续做下去.

四、参考练习题

在长方体AC 1中,CC 1=15,CD =20,求线段B 1D 和BC 之间的距离. 解：连结AB 1、DC 1, ∴BC ∥平面AB 1C 1D .

∴BC 与B 1D 之间的距离转化成了BC 与平面AB 1C 1D 之间的距离. 又∵平面BB 1A ⊥平面AB 1C 1D , 过点B 作BH ⊥AB 1于点H ,

∴BH ⊥平面AB 1C 1D . ∴BH 的长为所求距离. ∵在Rt △AB 1B 中,有 BH =

2

2

20

152015+⨯=12,

∴B 1D 和BC 间的距离为12.

注意：在多面体中,利用线线关系、线面关系,把空间问题转化为平面问题,最终化为解三角形问题,是立体几何中的常用技巧.

●备课资料

一、教学中应重视平面图形立体化思想

平面图形立体化与立体图形平面化是两个相反的过程,也是互逆的思想.在平面图形立体化过程中,应要求学生认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质,并且在将一个平面图形折叠或剪拼成立体图形后,能分清已知条件中哪些变化了,哪些未发生变化,而这些未发生变化的已知条件都是分析和解决问题的重要依据,试举两例.

［例1］下图是正方体的一个展开图,当用它合成原来的正方体时,与边P 重合的边是哪一条？

P L

K J

I H G

F E D C B A

Q

分析：此题可先将正方体合成,问题很快得到解决,若只考虑边的重合,会更快地得出结论. 解：首先有L 和K 重合,其次有I 和J 重合,则P 与H 重合.

［例2］如图,在正方形SG 1G 2G 3中,E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个由四个三角形围成的几何体（以后要学习的四面体）,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G ,那么在这个几何体中必有

1

2

3

(1)S E

F D

G G

G (2)

A.SG ⊥△EFG 所在平面

B.SD ⊥△EFG 所在平面

C.GF ⊥△SEF 所在平面

D.GD ⊥△SEF 所在平面 分析：题目中的SG 1⊥G 1E ,EG 2⊥G 2F ,FG 3⊥G 3S ,这些条件在折叠后仍然不变,应从这一点入手解决此问题.

解析：∵SG 1G 2G 3是一个正方形, ∴SG 1⊥G 1E ,EG 2⊥G 2F ,FG 3⊥G 3S . ∴折叠后的几何体中一定有

SG ⊥GE ,且SG ⊥GF ,即SG ⊥△EFG 所在平面.