硬球径向分布函数解析表达式的研究
径向分布函数
实验一 径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制一、实验目的1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。
2．了解计算机绘图方法。
二、实验原理1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中 ，n 为主量子数，=0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表1.1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表2－2中。
②角度分布函数图：的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表3－3中。
02na Zr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm322232,),(,,,,spd sp yzxzzzz YY fffpp 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。
③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2maxψ的最大值，求出相对几率密度2max2/ψψ=P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
径向分布函数图
（三）径向分布函数图
2. 径向分布函数图中的峰值有（n-l）个。 例如：1s有1个峰；2s有2个峰； 3s有3个峰； 2p有1个峰；3p有2个峰；3d有1个峰等等。 峰所在位置就是电子出现概率大的位置。继续
令drnlr4r2命名为径向分布函数可作继续继续三径向分布函数图设想薄球壳夹层的厚度dr趋向于0则径向分布函数图表示电子在离核距离为r处的球面上出现的概率注意这里讲的是的概率
（三）径向分布函数图
一个以原子核 为中心，半径为r 、 微单位厚度为dr的同 心圆薄球壳夹层内 的体积是4πr 2dr。 若将角度波函数视为常数，则核外电子在 该薄球壳出现的概率为R2 n ,l (r) 4πr 2 dr。令D(r) = R2 n ,l (r) 4πr 2，命名为径向分布函数，可作 出D(r)- r图，如图9-7。
（三）径向分布函数图
3. 角量子数 l 相同，主量子数 n 不同时，主 峰离核的距离不同。 n 越小，主峰离核越近；n 越大，主峰离核 越远；好象电子处于某一电子层中。 继续
（三）径向分布函数图
4. 主量子数n 相同，角量子数l 不同时，ns比 np多一个离核较近的峰，np比nd多一个离核较近 的。第一个峰离核的距离是ns<np<nd<nf，说明l 不同，“钻穿”到核附近的能力不同。钻穿能力 继续 的顺序是ns>np>nd>nf。
继续
（三）径向分布函数图
设想薄球壳夹层的厚 度dr趋向于0，则径向分 布函数图表示电子在离核 距离为r处的球面上出现 的概率。注意这里讲的是 概率而不是概率密度。概 率 = 概率密度×体积。 图中峰值所对应的横坐标，就是电子出现概率 大的区域离核的距离。从径向分布函数图可以看出：
应用链式硬球模型计算流体的自扩散系数
（ 华大 学化 学 Ｔ程 系， 清 摘 北 京 １ ０ ８ ） ００４
要 将 链 式硬 球模 型流 体 方程用 于 计算 实 际高 密度 流 体 的 自扩 散 系数 ，并 与流 体 的试 验数 据 或模 拟数 据 相 比较。使
用 该方程 计算 碳链 长度 在 １ ０以下 压 力在 ２ ０ＭＰ ５ ０ ａ以下，平均温 度 在 ｉ ０Ｋ 以上 时，非极 性 自扩 散系数 的平均绝 对 偏差 ０ 多为 ５ 左 右 ％ 关键 词 模 型；链 式硬 球模 型 方程； 自扩 散系 数
Ａ ｂｓ ｒ ｔ Ｔｈｅ ｓ ｌ－ ｆｕ ｉ ｎ ｃ 伍 ｃｅ ｔ ｆｔ ｅ ｌｃ ｍ ｐｒ ｓｅ ｕ ｄ ｔ ｈｉｈ ｄｅ ｉｉ ｓ ｉ ｈｅ ｈ ｒ ｔ ａｃ ｅｆｄｉ ｓｏ ｏｅ ｉｎ ｓ ｏ ｈｅ ｒ ａ ｏ ｅ ｓ ｄ ｆ ｉ ｓ ａ ｇ ｎｓｔｅ ｎ ｔ ａ ｄ ｌ ｓ ｐｈｅ ｅｃ ｉ ｅ ａ ｉ ｎ ａ ｅｃ ｌｕｌｔ ｄ．Ｃｏ ｐａ ｅ ｔ ｈ ｔ ｆｅ ｒ ｈａｎ ｑｕ ｔｏ ｒ ａ ｃ ａ ｅ ｍ ｒ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅｄａ ａｏ ｘｐｅ ｉ ｅ ｔ ｒｍ ｏ ｅ ｕ ａ ｉ ｕｌ ｔｏ ， ｒｍ ｎ ｓｏ ｌｃ ｌ ｒｓｍ ａ ｉｎｓ
ｔ ｎ １ ０Ｋ ． ｈａ ０
Ｋ ｅ ｗ ｏ ｄｓ ｍ ｏｄ ｌ ｅｆｄ ｆｕ ｉｎ ｏ ｆ ｃｅ ｔ ｙ ｒ ｅ ；ｓ ｌ－ ｉ ｓｏ ｃ ｅ ｉ ｉｎ ；ｈａ ｄ ｓ ｅ ｅ ｃ ａ ｎ ｅ ｕａ ｉｎ ｒ ｐｈ ｒ ｈ ｉ ｑ ｔｏ
ｌ 前 言
由于 分子 热 运动 而 产 生 的流体 扩 散 现 象导 致 了 不 同流体 之 间完 全 混合 ， 因此表 征 扩 散现 象 的物理
ｔ ｅｒｓ ｌ ｓ ｏ ｈ ｔｍｏ ｔ ｆ ｖ ｒ ｇ ｂ ｏｕ ｅｄｆｅｅ ｔｆ ｈ ｅｕｔ ｈ ｗｓｔ ａ ｓ ｅａ ｅａ ｓ ｌｔ ｉ ｒｎ ＡＡＪ １ ｆ ｈ ｅｆｄｆ ｓｏ ｏ 伍ｃｅ ｔｃ ｌｕ ａ ｅ ｏａ ［ ｅｓ ｌ ｉ ｕ ｉｎ ｃ ｅ ｉｎ ａｃ ｌｔｄ ）ｏ ｔ － ｂ ｈ ｔ ｏ ｓａ ｏ ｔ５ ｗｈ ｎ ｔ ｅｐ ｅ ｓ ｒ ｓｌｗｅ ｈ ｎ ３ ０ Ｍ Ｐａａ ｄ ｔ ｅｔｍ ｐ ｒ ｔ ｒ ｓｈ ｇ ｅ ｙ ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｉ ｂ ｕ ％ ｅ ｈ ｒ ｓｕ ｅ ｉ ｏ ｒｔ ａ ０ ｎ ｈ ｅ ｅａ ｕ ｅ ｉ ｉｈ ｒ
径向分布函数与分子间的作用力
径向分布函数与分子间的作用力
径向分布函数是描述分子在空间中分布的一种方法。
它是指在给定半径范围内分子的概率密度分布。
径向分布函数可以通过实验或计算获得，通常是通过光散射、中子散射或分子动力学模拟等技术获得。
分子间的作用力是导致分子在空间中分布的原因。
它包括各种力，如范德华力、静电力、共价键力等。
这些力的大小和方向取决于分子之间的相互作用。
在化学反应和物理过程中，了解分子间作用力对分子行为和结构的影响非常重要。
径向分布函数和分子间作用力之间存在密切的关系。
通过分析径向分布函数，可以揭示分子间作用力的性质和趋势。
例如，如果在一定半径范围内的径向分布函数值很高，则意味着分子之间的相互作用很强。
这可能是由于范德华力或共价键力等作用力引起的。
因此，研究径向分布函数和分子间作用力的相互关系，可以增进我们对分子行为和结构的理解，有助于设计新的材料和制定更有效的化学反应方案。
- 1 -。
振动形成的单一尺寸硬球晶的结构表征及其动力学的离散元模拟
的力 ， 中后者 小于前者 ；３ 其 （ ）晶体形成过程 中的速度 场和力场 等动力学信息的变化表明粒子在堆积过程 中 一
旦 形成有序 ， 它将作 为一个 整体运动 ， 并为后续粒子 的有序化提供模板 ， 起到 了结晶 的晶核 的作用．
关 键 词 ：颗 粒 堆 积 ；致 密 化 ；振 动 ；离 散 元 模 拟 ；硬 球 晶 中 图 分 类 号 ：Ｔ ２ ；Ｔ ４ ５ Ｆ１２ Ｂ４ ；Ｏ７ ６ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１７ —６０ ２ １ ）４ １ — ６ １ ２ （０ １ ０ ￣３ ８０ ６ ７
Ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ｃ ａ ａ ｔ ｒｚ ｔ０ ｎ ｔ ｉ ａ ｉ ｎ ｉ ｕｃ ｄ ｍ ｏ ｔ ｕ ｔ ｒ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ｖｂｒ ｔｏ ｎｄ ｅ ｎｏ —ｓｚ ｄ ｈ ｒ ｉｅ ａ ｄ ｓ ｅ ｅ ｃ ｙ ｔ ｌａ ｄ ｔ ｙ ａ ｉ ｓｂ ｐｈ ｒ ｒ ｓａ ｎ ｉｓ ｄ ｎ ｍ ｃ ｙ ＤＥＭ ｏ ｅｉ ｍ ｄ ｌｎｇ
料 条件下堆积的有序化 （ 晶） 通过对 晶体 的结构 表征 、 结 ， 数值仿 真 中的微观性 能如 配位数 （ Ｎ） 径 向分 布 函 Ｃ 、 数 （ Ｄ ） 角分布函数 （ Ｄ ） Ｖ ｒｎｉＤ ｌｕａ Ｌ Ｒ Ｆ、 Ａ Ｆ 、 ｏ ｏ ｅ ｎｙ孑 的尺寸分布 、 ｏ ／ ａ 力的 网络分析 以及 晶体形成过程 中的动力学分 析 ， 出如下结论 ：１ 得 （ ）数值仿真和物理实验 中所获得 的均 为 ｛１ ｝ 向 Ｆ Ｃ晶体 ， １１ 取 Ｃ 晶体 中粒子 的最大堆 积密 度可达 ０７ （ ）晶体 中粒子 的配位数分 布在 Ｃ ．４；２ Ｎ＝１ ２处 出现峰值 ， 表明每个粒子具有 １ ２个近邻 ； Ｄ Ｒ Ｆ和 Ａ Ｆ Ｄ 分布表明堆积粒子之 间分别在径 向具有长程相关性及 角度上具 有相关性 ， 这是 晶态结构 的典型特 征 ； ｏｏｏ Ｖ ｒｎｉ ／ Ｄ ｌｕ ａ ｅａｎｙ孔的尺寸分布与非 晶态相 比表现为高且 窄的曲线 ， 向左移 ， 明所 获得 的硬球晶中孔 隙很 小且分布 且 表 均匀 ； 粒子 间力 的网络更 直观地表明了晶体的结构 ， 时还 指 出在 Ｆ Ｃ硬 球 晶中分别存 在着面 内的力 和面 问 同 Ｃ
径向基函数求导
径向基函数求导
径向基函数是一种常用的数学工具，用于描述空间中的数据分布和模式识别问题。
它在机器学习、图像处理、信号处理等领域都有广泛的应用。
在机器学习中，径向基函数常用于解决非线性分类和回归问题。
它通过将输入数据映射到高维特征空间中，从而使原本线性不可分的问题变得线性可分。
这种映射的方式通常是通过选择合适的核函数来实现的。
常见的核函数有高斯核函数、多项式核函数等。
高斯核函数是一种常用的径向基函数，它的表达式为：
K(x, x') = exp(-γ ||x - x'||^2)
其中，x和x'是输入数据的特征向量，||.||表示向量的范数，γ是高斯核函数的参数。
高斯核函数的特点是在输入数据的特征空间中呈现出以x为中心的径向对称性。
使用高斯核函数可以将输入数据映射到无穷维的特征空间中，从而实现非线性分类和回归。
在这个特征空间中，数据的分布形式更加复杂，可以更好地拟合非线性关系。
同时，高斯核函数具有平滑性，可以有效地抑制噪声和异常值的影响。
径向基函数的求导问题是一个常见的研究方向。
对于高斯核函数来说，它的求导可以通过链式法则和导数的定义来进行推导。
具体的推导过程可以参考相关的数学教材和论文。
径向基函数是一种重要的数学工具，它在机器学习和模式识别中有广泛的应用。
通过选择合适的核函数，可以将非线性问题转化为线性可分的问题，从而提高模型的拟合能力和泛化能力。
径向基函数的求导问题是一个重要的研究方向，对于理解和优化径向基函数模型具有重要的意义。
径向分布函数D(r)的概念及讨论
。 。＿Ｈ 仁础（Ｉ ｒ ）
Ｊ０ Ｊ０ Ｊ ＾
Ｉｉ ＆ ｍｄｏ ｓ ｔ ￣
Ｊ Ｉ
ｌｒ （）ｒＯ ｆ（）ｉ ｄ Ｊ ｌ ｌ ‘Ｒ ｌ ｄＪ Ｏｓ ＯＯ ｌ ｒ ｌ Ｈ ｎ ０
根据波函数的归一化条件： ｌ
（ ｓ Ｏ ＝１ｌ ｌ ｌ Ｏ ｉｄ ）ｎ Ｏ ， 如＝１ Ｐ ＝ Ｉ ２ （ ｄ． ．ｔ ‘Ｒ １ ）ｒ令Ｄ（ ＝ ｒ ｒ ｒ ）
一
Ｒ （） ｚ ） 易看 出 电子 云 的径 向分 布 函数应 为 Ｒ （）即径 向密 度函数 ）它 反 映 的是 在 同一 方 向上 ｚｒｙ （， 容 ｒ（ ，
离 核不 同距 离 ｒ 时 的相 对大小 ， 与 Ｄ（） 这 ｒ 的物 理 意义完 全不 同． 又因 电子 云 的实 际形 状应 为 电子 云 的
径 向 分 布 函 敷 ， 函 敷 ， 子 云 ， 率 波 电 几
向分布 函敷 ） ．
中图分 类 号
Ｏ６ １ ４
文献标 识码
Ａ
文章编 号 １ ０ — ３ ４ ２ ０ ） １０ ４ —２ ０ ７８ ０ （ ０ ２ ０ —０ ８０
原子轨道是量子化学和结构化学中极其重要的基本概念， 因此 ， 有关原子轨道的讨论有诸多报导 “． 然而 与原 子 轨道 相 关联 的极为 重要 的 径 向分布 函数 Ｄ（） ｒ 的概念 并 未统 一起 来 ，大致 有 三种 ：第 一 ， 称
Ｒ ｒ， 一Ｊ１ ｒ ｒ此式表明， ｒｄ 是电子在半径为ｒ ｒ ） ：（）则尸 ｌＤ（） ． ｄ Ｄ（）ｒ 和（＋ 的两个薄层球壳空问出现
的几率 ， Ｄ（） 而 ｒ 实际 就是 指在 半径 ｒ 处单位 厚度球 壳 夹层 内找到 电子的几 率 ． 因推导 Ｄ（） ｒ 时对 空 间各个 方向进行 了积 分 ， ｒ 仅 与 ｒ有关 ， Ｄ（） 故定 义 Ｄ（） 径 向分 布 函数 ． 不 同的原子 轨道 （ ｒ为 又 或波 函数 ） ｒ 表 Ｄ（）
径向分布函数法关联过量
第18卷第1期 青 岛 化 工 学 院 学 报Jour nal of Qingdao Institute of C hemical T echnology Vo1.18No.11997收稿日期:1996-02-02径向分布函数法关联过量焓 方晨昭 王武谦 (青岛化工学院,青岛266042) (浙江大学化工系,杭州310027) 摘 要:通过求解PY 积分方程,得到了Sutherland 位能模型径向分布函数式。
由纯物质的蒸发热数据确定位能模型参数,采用二次型混合法则,将导出的径向分布函数和上述参数关联了二元物系的过量焓。
关联过程引入两个相互作用参数。
计算结果优于局部组成模型。
关键词:Sutherland 位能模型;径向分布函数;蒸发热;过量焓 中图法分类号:O 642.40 引言径向分布函数是研究流体性质的基本内容之一。
原则上,确定了径向分布函数,就可以求出流体的热力学性质。
困难在于径向分布函数的求取。
求解径向分布函数,目前主要有两种方法:定标粒子理论法和积分方程法。
积分方程法又可分为二类,第一类方法有:Kirkw ood 方程和YBG 方程法;第二类有:PY 方程和HNC 方程法。
前人的研究结果表明[1,2,3],积分方程法中以第二类方法较优,其中的PY 方程又以其简单而精度高得到广泛关注和应用。
60年代中期T hiele [4]首先求出硬球势PY 方程的解析解;90年代初吴速芳[5]求得了方阱位能模型的解析解;而其它研究工作的结果一般均为数值解。
关于数值解,Barker 和Hender-son [4]有较详细的评述。
到目前为止,硬球势和方陷井的径向分布函数已得解析解,其它更近似的位能摸型径向分布函数解析解尚未见报导。
作者针对Sutherland 位能模型,通过数学上的适当简化,得到PY 方程的解析式。
1 径向分析函数g (r )的求解 按Sutherland 位能模型的假设,分子是具有直径为 的硬球,分子间距不得小于 。
python计算径向分布函数的代码
python计算径向分布函数的代码Python是一种功能强大的编程语言，拥有广泛的应用领域。
其中一个重要的应用领域是科学计算和数据分析。
在这篇文章中，我们将探讨如何使用Python计算径向分布函数（Radial Distribution Function，简称RDF）。
径向分布函数是描述分子或原子之间距离分布的函数。
它可以用于研究固体的结构、液体的密度分布以及气体的分子运动等。
径向分布函数的计算方法相对简单，但对于大量的原子或分子数据，手动计算是不现实的。
因此，使用Python编写计算径向分布函数的代码是非常有必要的。
我们需要明确计算径向分布函数的原理。
给定一组原子的坐标，径向分布函数描述了不同距离范围内的原子对数密度。
具体来说，径向分布函数表示了每个距离范围内原子对数密度的变化情况。
通过计算不同距离范围内的原子对数密度，并将其归一化，我们可以得到径向分布函数。
在Python中，我们可以使用numpy和matplotlib等库来计算和绘制径向分布函数。
首先，我们需要将原子的坐标数据导入到Python中。
可以使用pandas库来读取和处理数据文件，以便我们能够方便地进行后续的计算和分析。
接下来，我们需要计算不同距离范围内的原子对数密度。
可以使用numpy库中的函数来计算两个原子之间的距离，并将其分为不同的距离范围。
然后，我们可以使用numpy的histogram函数来计算每个距离范围内的原子对数密度。
一旦我们计算出了不同距离范围内的原子对数密度，我们可以对其进行归一化。
通过除以总原子数和体积元素，我们可以得到每个距离范围内的归一化原子对数密度。
我们可以使用matplotlib库来绘制径向分布函数的图形。
通过将距离范围作为x轴，归一化原子对数密度作为y轴，我们可以得到一个描述原子之间距离分布的曲线图。
在实际的应用中，我们可能会遇到一些问题。
例如，如何选择合适的距离范围和间隔，以便得到准确的径向分布函数。
径向函数的积分公式及其应用
径向函数的积分公式及其应用陈建亮（东海科学技术学院数理与信息系，浙江舟山 316004）[摘要]：径向函数是一种非常特殊的函数，具有本质上的一维性，通过径向映射将任意高维问题转化为一维问题，从而高维问题处理中的繁琐、冗长的计算得到避免．基于球坐标变换和球面面积公式（用Gamma函数表示），本论文推出径向函数的积分公式，利用该公式得到了一些多重积分问题的简单计算方法．[关键字]：径向函数；球坐标变换；积分公式The Radial Function Integral Formula andIts ApplicationChen Jianliang(Donghai Science & Technology School, Department of Mathematics，Physics and Information,Zhoushan Zhejiang 316004)[Abstract]:Radial function is a very special function, with the one-dimensional nature. By radial mapping,the high-dimensional problem are transformed to one-dimensional problem such that the cumbersome and lengthy calculations in high-dimensional problem are avoided. Based on the spherical coordinate transformation and the formula for area of sphere (using that Gamma function), this paper introduced the radial function integral formula. By using this formula, some of the high-dimensional integral problem are simplified.[Keyword]: Radial function; Spherical Coordinate Transformation; Integral formula;1. 前言重积分的具体计算十分繁琐，数学分析中，直至大型的工程计算中都会涉及到大量的重积分的具体计算，因此简化积分是十分必要的．重积分的具体计算除了跟函数的具体表现形式有密切关系之外还与积分区域的形状存在紧密关系，基于此，产生了各种积分变量变换方法，例如：极坐标变换，球坐标变换，柱坐标变换等．本文在Lebesgue 测度和积分的意义下研究径向函数的积分，基于球坐标变换和球面面积公式（用Gamma 函数表示），本论文推出径向函数的积分公式．利用该公式得到了一些多重积分问题的简单计算方法．由于Riemann 可积的函数必定Lebesgue 可积，因此在Lebesgue 积分意义下研究Riemann 积分是有意义的．所以数学分析中的许多重积分问题可以利用公式加以简化，具体见例子：计算221Dd I x yσ=--⎰⎰其中D 为圆域：221x y +≤外测度和外测度构成了Lebesgue 积分的测度，由于外测度和内测度具有次可加性和距离可加性，因此是可测集．对于定义在可测集上的函数()f x ，若对于任意的实数t ，点集是可测集，则()f x 是E 上的可测函数，因此()f x 在E 上Lebesgue 可积．在径向函数中利用积分变换，进行球坐标变换并求出球面面积公式，从而得出径向函数的积分公式的积分公式．由于221Dd I x yσ=--⎰⎰Riemann 可积，由Riemann 可积则Lebesgue 可积，所以221Dd I x yσ=--⎰⎰Lebesgue 可积，因此根据径向函数积分公式得出2I π=．2.Lebesgue 测度与积分2.1 Lebesgue 测度定义 2.1.1[1]设E 是nR 中一点集，1I ,2I ,… ,n I ,…是nR 中一列开长方体，且1n n E I ∞=⊆ ，则1n n I ∞=∑确定一个非负的数a (或+∞)，所有这样的数a 组成的数集显然是下方有界的，因此有下确界，则称此下确界为E 的外测度，记作*1inf nn m E I ∞=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑ 外测度有下列四个基本性质：（1）非负性：*0m E ≤≤+∞；E φ=，则有*0m E =； （2）单调性：如果A B ⊇,则**m A m B ≥；（3）次可加性**11n n n n m A m A ∞∞==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑（4）若A 、B 之间的距离(),0A B ρ>.则 ()***mA B m A m B =+定义2.1.2[1] 设E 是nR 中一点集，I 是包含R 的长方体：1I ,2I ,… ,n I ,…是nR 中一列开长方体，且1nn I E I∞=-⊆，则称此上确界为E 的内测度，记作*1inf nn m E I I ∞=⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑ 由内测度的定义可知：（1）因为1n n I I ∞=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑得上确界是对所有包含I-E 的开长方体{n I }取得的，且显然1nn I∞=∑的值越小，1nn I I∞=-∑的值越大．所以有()**11sup inf nn n n m E I I I I I m I E ∞∞==⎧⎫⎧⎫=-=-=--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑ (2)内测度也具有和外测度基本相应的一些简单性质．定义2.1.3[1] 设E 是nR 的有界集，若**m E m E =，则称E 为有界可测集此时并称E的外测度值（或内测度集值）为E 的测度，记作**mE m E m E ==定义2.1.4 设E 是无界点集，若对任何长方体I ，E I 都是有界可测集，则称E 为无界可测集．有界和无界两种可测集统称为可测集．2.2 Lebesgue 积分定义2.2.1[3] 设()f x 是定义在可测集nE R ⊂上的广义实值函数．若对于任意的实数t ，点集(){}:x E f x t ∈>是可测集，则称()f x 是E 上的可测函数．定义2.2.2[3]设nE R ⊂是可测集，mE <∞,f : E R →是有界可测函数，(),A f x B x E <<∀∈在[],A B 之间插入分点01n A= y <y << y =B ,记()1k k k E E y f y -=≤<，即集合{}1:k k x E y f y -∈≤<,则k E 是可测集，k E 互不相交并且1nk k E E == ．做和数()s f =11nk k k y mE -=∑，并且记∆=()11max k k k ny y -≤≤-是此分划相邻点间距离的最大者，若11limnk k k k ymE -→=∑存在，则称f 在E 上Lebesgue 可积，称其值为f 的(L)积分,记为()()EL f x dm ⎰.为了简便通常记之为()Ef x dx ⎰.如果[]E=,a b ,则记为()()b aL f x dx ⎰.3．积分变换3.1积分换元公式引理3.1.1[3] 若E U ⊂是可测集，则 ()()()EmE J t dt ϕϕ=⎰证明：设E K Z = ．()0m Z =, 1ii K K∞==，其中每个i K 都是紧集且有()11,2,i i K K i +⊂= ，从而由()()()()()K Kf x dx f t J t dt ϕϕϕ=⎰⎰ ，()1f ≡可得()()()()()()lim i i m E m K m K ϕϕϕ→∞==()()limiK Ei J t dt J t dt ϕϕ→∞==⎰⎰．定理3.1.1(积分换元公式) [1]设()f x 是V 上的可测函数，我们有 (ⅰ)()f t ϕ⎡⎤⎣⎦是U 上的可测函数； (ⅱ)()f L V ∈,当且仅当()()()|ft J t ϕϕ是U 上的可积函数；(ⅲ)若()f L V ∈或()0f x ≥，则()()()()||VUf x dx f t J t dt ϕϕ=⎰⎰证明：（i ）的证明是简明的。
均方位移与径向分布函数
均方位移与径向分布函数
均方位移和径向分布函数是在物理学和化学领域中常用的概念，用于描述粒子在物质内部运动的特性和分布情况。
我们先来看看均
方位移（mean square displacement，MSD）的概念。
均方位移是描述粒子在物质中运动的平均距离平方随时间的变化。
它是一种统计物理学中的概念，通常用于描述液体或固体中的
分子或原子在时间t内的平均位移的平方。
均方位移可以通过实验
或者模拟计算得到，可以帮助我们了解粒子在物质中的扩散行为以
及物质的性质。
而径向分布函数（radial distribution function，RDF）则是
描述粒子在物质中的分布情况的函数。
它表示了在给定距离下粒子
的密度，即在距离r处找到另一粒子的概率。
径向分布函数在凝聚
态物理学中有广泛的应用，可以用来表征原子或分子在固体或液体
中的排列方式，以及物质的结构和相互作用。
这两个概念在研究物质的性质和行为时起着重要作用。
均方位
移提供了关于粒子扩散和运动方式的信息，而径向分布函数则提供
了关于粒子在物质中分布和相互作用的信息。
它们的应用涉及到材
料科学、化学、生物学等多个领域，对于理解和改进材料的性能以及研究分子运动和相互作用具有重要意义。
总的来说，均方位移和径向分布函数是描述物质内部粒子运动和分布的重要工具，通过它们可以深入了解物质的性质和行为，为相关领域的研究和应用提供重要参考。
微扰理论
第六章微扰理论式中，6.1 引言上章介绍了分布函数理论和积分方程方法，可以研究流体的结构和流体热力学性质。
但求解径向分布函数时，即使引入PY 近似和HNC 近似，但除了最简单的硬球系统外，往往得不到解析式，且计算复杂，从而影响了它的实际应用。
微扰理论方法是将位能Ep 的系统，看成Ep (0)—参考体系的位能Ep (1)—位能微扰项(0)(1)p p pE E E =+则实际体系的自由能、径向分布函数或其他性质，可微扰参考体系的相应性质展开为Taylor级数，它的一阶、二阶的微扰项只涉及位能微扰项和参考体系的径向分布函数。
如何选择参考体系呢？流体的微扰理论基于这样一个重要的事实：流体的结构主要决定于短程的斥力，见下图：图6-1. L-J 流体的径向分布函数与硬球流体的比较3.02.01.001.02.03.04.0L-J 流体硬球流体*/r r σ=g (r *)故工程上常取硬球流体作为参考体系。
微扰理论更精细的研究是考虑实际斥力的柔软性，即实际流体不像硬球那样，一旦∞接触，位能即变为，从而又发展了以软球流体作为参考体系的微扰理论。
6.2微扰理论的统计力学基础0(,)()()P u r u r u r λλ=+(1)将实际体系的分子对位能u (r ) 写作参考体系的位能u 0(r ) 和微扰部分u P (r ) 之和，即微扰理论的偶合参数(Coupling parameter) λ展开法：微扰理论主要应用到流体平衡性质的计算，利用微扰理论求出Helmholtz 自由能。
[]{}∫∑+−Λ=)()(exp !1)(03ij P ij N N N r u r u dr N Z λβλ当λ＝0，为参考系统，当λ＝1即为实际系统。
λ为偶合参数（0 ≤λ≤1）,则实际体系的配分函数为(2)(3)(4)11111...,...N N N dr dr dr dr dx dy dz dz ==Helmholtz Q 自由能为()ln ()N A kT Z λλ=−式(2)中，实际体系的内能为各个分子对的加和。
【转帖】径向分布函数程序与简单说明（小木虫）
【转帖】径向分布函数程序与简单说明（⼩⽊⾍）径向分布函数g(r)代表了球壳内的平均数密度为离中⼼分⼦距离为r，体积为的球壳内的瞬时分⼦数。
具体参见李如⽣，《平衡和⾮平衡统计⼒学》科学出版社：1995CODE:SUBROUTINE GR(NSWITCH)IMPLICIT DOUBLE PRECISION(A-H,O-Z)PARAMETER(NM=40000,PI=3.141592653589793D0,NHIS=100)COMMON/LCS/X0(3,-2:2*NM),X(3,-2:2*NM,5),XIN(3,-2:2*NM),XX0(3,−2:2∗NM),XX(3,−2:2∗NM,5),XXIN(3,−2:2∗NM)COMMON/MOLEC/LPBC(3),MOLSP,MOLSA,NBX,NBY,NBZ,NPLA,LPBCSM,NC,NN,MCCOMMON/WALLS/HI(3,3 YIJ*(G22*YIJ+G23D*ZIJ)+G33*ZIJ*ZIJRRR=SQRT(RSQ)RRR=RRR/H(1,1)C====================================================================C 以上⽤数组G和H的结果与下同C RRR=SQRT(XIJ**2+YIJ**2+ZIJ**2)C G11=H(1,1)**2C====================================================================IF(RRR.LT.HALF)THENIG=INT(RRR/DELR)GG(IG)=GG(IG)+2ENDIFENDDOENDDOELSE IF(NSWITCH.EQ.2)THENDO I=1,NHISR(I)=DELR*(I+0.5D0)ENDDODO I=1,NHISVB=(4.D0/3.D0)*PI*(((I+1)**3-I**3)*(DELR**3))GNID=VB*DEN_IDEALGG(I)=GG(I)/(NGR*MOLSP*GNID)ENDDOOPEN(UNIT=31,FILE="GR.DAT")DO I=1,NHISWRITE(31,*)R(I),GG(I)ENDDOCLOSE(31)ENDIFRETURNEND这样的代码看着不够明了。
势函数解读
例如，如果每个原子的结合能准确给出，则空位形成能就 不能准确知道；反之亦然。
此外，经典对势的主要缺点还表现在，其用于金属柯西偏 差的模拟预测时给出了不恰当的结果。
为了描述立方系金属的线性各向异性弹性性质，我们需要 知道三个常数：C1111(C11)， C1122(C12)和C2323(C44)。
7.1 原子间作用势模型
金属键、共价键及离子键三种主要键型是对实际系统的唯 象简化，因为在实际系统普遏存在着混合结合键。例如， 对子大多数过渡金属来说，方向性共价键与金属键形成互 补。任何定量成键理论都应该包括那些与原子结合在一起 的价电子的非经典特性。预测计算原子之间的结合键，必 须求解多体(约1023个粒子)问题的薛定谔方程。要实现这 一方法是非常困难的。因此，人们提出了各种不同的原子 间作用势近似模型，这些模型或多或少都带唯象的痕迹。
7.3 各向同性多体对泛函势
在二次矩和Finnis-Sinclair势中，嵌入函数F是一个平方根。 这是由电子态密度的紧束缚简化模型推出来的。
在嵌入原子方法及其相似的近似方法中，嵌入函数可由嵌
入原子能量导出，其嵌入原子被埋入局域电子密度为ρi的 均匀自由电子气中。
不论哪种情况，嵌入函数都是ρi 的负值凹型函数。
已用于晶格缺陷的模拟的原子间作用势包括：通用的径向 对称经验对相互作用；非径向对称键，它在有关的过渡金 属晶格缺陷的模拟中很有用；更为基本的近似方法诸如半 经验紧束缚近似，能给出与真实原子轨道相同的角动量以 及局域密度泛函理论。
7.1 原子间作用势模型
应当强调指出，建立合理的公式化势模型不仅是分子动力 学方法的需要，而且在迈氏蒙特卡罗和集团变分等模拟方 法中其重要性也在日益增加。
径向分布函数
实验一 径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制一、实验目的1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分2．了解计算机绘图方法。
二、实验1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。
式中，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表1.1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。
①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。
其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表2－2中。
②角度分布函数图：的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表3－302na Zr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm),(φθψlm322232,),(,,,,sp d sp yz xz z z z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。
角度分布函数图中，③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2max ψ的最大值，求出相对几率密度2max 2/ψψ=P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。
径向分布函数
可知 表示如下
上式即二重相关函数与位形积分的关系。
对于由球星对称分子构成的液体， 仅取决于分子1和2的距离，即 可写成g(r)，所以就有
故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。
因 ，即第一个分子是任意分布的。由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度 ，相应的二重分布函数 为
所以：
（体系的位能函数）
任一项的正则系统平均为：
1：
2：所以，
（粒子数密度 ）
所以： （液体能量公式）
上式就是单原子分子流体的能量与径向分布函数的关系称之为能量方程。
已知正则系统中，体系压力可用下式表示
式中，QN为位形积分，QN= 。
又
（压力公式）
3、应用举例：
Van der Waals 方程中，a，b 常数与T，无关，
三、径向分布函数法
中心分子
第一层：第一配位圈
第二层：第二配位圈
.
.
.
短程有序，远程无序
1、基本概念，基本定义
首先定义一个新的函数---n重相关函数 为
当系统的位能EN= 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式
可得到：
因此对于分子相互独立的系统， ，
对于分子间有相互作用的系统， 相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。
（n重标明分布函数）
（n重分布函数）
数密度
径向分布函数定义由式子 得到，与一指定分子相距r处，分子局部密度与平均数密度之比；
的定义：
所以：
对关联函数和径向分布函数的理解 -回复
对关联函数和径向分布函数的理解-回复关联函数和径向分布函数是概率论和统计学中常用的两个工具，用于描述和分析不同变量之间的关系。
关联函数是用来度量两个变量之间的相关性，而径向分布函数则是对某个点周围的数据进行分布性质的描述。
本文将分步回答关联函数和径向分布函数的概念、计算方法以及实际应用。
一、关联函数1.1 关联函数的概念关联函数是用来描述两个变量之间的相关性的统计量。
在实际应用中，经常需要了解两个变量之间是正相关还是负相关，或者是完全没有相关性。
关联函数提供了一种度量两个变量之间相关性的方式。
1.2 关联函数的计算方法关联函数的计算可以使用协方差或相关系数。
协方差衡量的是两个变量的总体偏离均值的程度和方向，可以用以下公式表示：Cov(X,Y) = E[(X-µ_X)(Y-µ_Y)]其中Cov(X,Y)表示变量X和Y之间的协方差，E[ ]表示期望值，µ_X和µ_Y 分别表示变量X和Y的均值。
相关系数是用来衡量两个变量之间相关性的度量，其范围在-1到1之间。
相关系数越接近1表示正相关关系越强，越接近-1表示负相关关系越强，而接近0表示两个变量之间没有相关性。
相关系数的计算可以使用协方差来表示：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / σ_Xσ_Y其中ρ(X,Y)表示变量X和Y之间的相关系数，Cov(X,Y)表示协方差，σ_X 和σ_Y分别表示变量X和Y的标准差。
1.3 关联函数的实际应用关联函数在实际应用中有广泛的应用，尤其是在金融领域和社会科学研究中。
例如，在股市分析中，可以使用关联函数来分析某只股票与市场指数之间的相关性，从而判断该股票的风险和收益。
在社会科学研究中，可以使用关联函数来分析某个因素对另一个因素的影响程度，例如分析教育水平与收入之间的关系。
二、径向分布函数2.1 径向分布函数的概念径向分布函数是对某一点周围的数据进行分布性质的描述。
它可以反映数据在某一点上集中程度和离散程度。
硬球径向分布函数解析表达式的研究
800
四川大学学报 ( 自然科学版)
1
第 41 卷
1 将被积函数中的分母一项写成 : S ( t ) + 12η L ( t) e
t
S ( t) 12η L ( t) e= - t , 然后以 S ( t) 12η L ( t) e 1 + S ( t)
∞
t
为宗量在 0
附近作泰勒级数展开 , 并代入 ( 4) 式 , 可得
( 2) ( 3)
L ( t) =
1 +
δ+ i ∞
η ) t + ( 1 + 2η 2
G ( t ) 的拉氏逆变换为
rg ( r) = 2πiδ1
∫
i∞
t ( x - 1) tL ( t ) e - td t S ( t ) + 12η L ( t) e
( 4)
收稿日期 :2004202216 ; 修回日期 :2004203226 基金项目 : 中国工程物理研究院院内基金 ( 42105) 作者简介 : 袁长迎 ( 1965 - ) ,男 ,2000 级博士研究生 .
第4期
袁长迎等 : 硬球径向分布函数解析表达式的研究
附表 Throop 计算的径向分布函数数值表
801
r
ρ R3
0. 1 1. 14271 1. 12844 1. 11480 1. 10180 1. 08947 1. 07784 1. 06691 1. 05670 1. 04724 1. 03854 1. 03061 1. 02346 1. 01710 1. 01156 1. 00684 1. 00294 0. 99989 0. 99769 0. 99635 0. 99589 0. 99631 0. 99711 0. 9