二次函数的对称性在解题中的运用PPT课件
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
专题—二次函数图像平移对称与旋转PPT课件
D．y=x2−2
分析：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为 相反数∴ y=（-x）2-2（-x）即：y=x2+2x 答案：B
8
.
3．与y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称
的函数图象的解析式是（ D ）
A．y=（x-1）2-4
B．y=-（x+1）2-4
C．y=（x+1）2+4
D．y=-（x+1）2+4
分析：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐 标都互为相反数”得变化后解析式: - y=（-x）2-2（-x）-3 即： y=-（x+1）2+4 答案：D
9
.
4.在平面直角坐标系中，函数图象A与二次函数y=x2+x-2 的图象关于x轴对称，而函数图象B与图象A关于y轴对称， 那么函数图象B对应的函数关系式为__y_=_-_x_2_+_x_+_2_______
.
二次函数图像平移,对称与旋转
1
.
图像平移
沿Y轴平移
向上平移n个单位： 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为_y_=_a_(x_-_h_)2_+_k+_n_ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 _y_=_a_x_2_+_bx_+_c_+_n 向下平移n个单位： 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为_y_=_a_(x_-_h_)2_+_k-_n_ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 __y_=_ax_2_+_bx_+_c_-n_
简称：“左加右减”
3பைடு நூலகம்
二次函数的对称性
（一）、教学内容1.二次函数的解析式六种形式① 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点）③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2 (a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax 2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上) ⑥y= ax 2 +bx (a ≠0) (图象过原点)2.二次函数图像与性质 对称轴：2bx a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小☆ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)y xO当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。
2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x =（C ）2x = （D ）3x =3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。
4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ） 5、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x6、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）A. 0B. －1C. 1D. 2题型2 比较二次函数的函数值大小1、、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）cy–1 1 3 Oxy–1 3 3 O xP12、 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小题型3 与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____2、与y= 212x -3x+25关于Y 轴对称的抛物线________________3、求将二次函数3x 2x y 2+--=的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数专题-图象对称性
二次函数图象对称性在解题中的应用一、一些基本概念和性质：1、抛物线的对称轴是直线。
2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。
3、若抛物线与轴的两个交点是A （，0），B（，0），则抛物线的对称轴是4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。
二、在解题中的应用：例1、二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。
总结：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。
例2、已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足. （1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。
例3、已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。
例4、已知抛物线的顶点A在直线上。
（1）求抛物线顶点的坐标；（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标；例5、若函数，则当自变量取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是（）（A）540（B）390（C）194（D）97三、做后反思通过以上几个例子可得到这样的经验：（1）在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式；（2）在解答有关函数问题的题目时要尽可能地去画出函数图象，那怕是它的草图，这样有利于寻找解题的思路；（3）在解答有关二次函数的问题时，若能充分、合理地应用二次函数图象的对称性，就能使解题过程顺畅简捷，提高解题效率。
巩固提高1、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（21，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0）3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3 Ｄ．44、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值（ ） A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y =m6、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧y–1 13Ox与x 轴交点的坐标是( )A ．(0.5，0)B ．(1，0)C ．(2，0)D ．(3，0)7、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截 得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x +时，函数值为（ ） Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c9、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。
二次函数的图象和性质对称性
反之，如果对于函数 定义域内任意的x，都有 = ，就说明点A 关于y轴的对称点 可改写为 ，这标志着点C在函数图象上。
例2．已知定义在R上的偶函数 ，它在区间 上递增，比较 ， ， 的大小。（ = ， = ，由此， < < ）
2．讨论二次函数 图象的对称性
上节课我们已经得出二次函数 图象的顶点与对称轴方程分别是（m,n）和x=m, 二次函数 图象的顶点与对称轴方程分别是 和x= 。
一般地考虑，如果函数 的图象有一条平行于y轴的对称轴，对称轴与x轴的交点坐标为(s,0)，则对于任意的h，有 ，反之亦然。如下图。
1．从解析式看函数的奇偶性。
从练习（1），我们看到函数 的图象关于y轴对称。想想看，可以把图象具有这种性质的函数叫什么函数？（偶函数）
让我们看看二次函数 在什么情况下是偶函数？二次函数 。通过计算机演示，把m调到0，得到 的图象。把b调到0，得到 的图象。
由图象看，它关于y轴对称，此函数为偶函数。现在问，不画图能不能从函数的解析式看出一个函数是偶函数？类似地，我们知道，如果一个函数的图象关于原点对称，这个函数叫奇函数。能不能从函数的解析式看出一个函数是奇函数？如果能，函数图象画出了一半，另外一半也就清楚了。知道了函数在x正半轴的变化情况，也就能知道函数在x负半轴的变化情况。因此，有必要研究怎样从从解析式看函数的奇偶性。
如果把条件改为对任意实数 都有 ，函数图象的对称轴在哪里？你能猜出一般规律吗？（函数图象的对称轴依然为直线x=2）
例4．求函数 ， 的最大值。
二次函数的应用ppt课件
∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
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◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
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①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);
6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
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◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数二次函数的图象与性质课件ppt
对称轴
直线$x = - \frac{b}{2a}$。
判别式
$\Delta = b^{2} - 4ac$，决定图象 与$x$轴的交点个数。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与a的关系
当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下。
对称轴两侧的函数单调性
在对称轴的两侧，函数单调性相反。
二次函数二次函数的图象与 性质课件ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 特殊形式的二次函数 • 二次函数的应用 • 结论与总结
01
引言
课程背景
二次函数是数学学科中的重要内容 提高学生数学素养
为后续数学学习和应用打下基础
课程目的
掌握二次函数的图 象和性质
二次函数的图象绘制
绘制方法
通过描点法，将自变量与函数值的对应关系标在坐标系中，连成曲线。
绘制步骤
• 确定自变量取值范围，- 分别代入函数解析式求出函数值，- 描点，- 连线 。
二次函数图象的性态
开口方向
由$a$的正负决定，$a > 0$时，开 口向上；$a < 0$时，开口向下。
顶点坐标
$( - \frac{b}{2a},\frac{4ac b^{2}}{4a})$。
图象特征
二次函数的图象是一条抛物线， 有最高点(顶点)和最低点(顶点)， 图象的形状取决于$a$的值。
性质
二次函数在自变量$x$的特定范 围内具有单调性，且单调性取决 于$a$的值。
二次函数的研究展望
更深入的研究
可以进一步研究二次函数的性质、图象和在实际问题中的应用。
二次函数图象中的“对称性” ppt课件
（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。
（3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。
（4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)
y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.
变式训练:已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0）,且函数有最小值-8，试求二次函数 解析式.
y 2(x 1)2 8
ppt课件
12
巧用“对称性” 化繁为 简
6、求代数式的值
▲ 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且
经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ B ）
（1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n
抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n
（2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵p坐pt标课件为n
14
则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)=-ax²-bx+2n-c
最短路径：“将军饮马” 问
y
1
M
A O1N
Bx
C
D
▲ 若点N（n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC的值最小时，求n的值.
▲在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△ACQ周长最小？
▲在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点Ppp到t课B件、C两点距离之差最大？
16
感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形，充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想.
2023年中考数学专题复习：二次函数对称性的应用课件
X=1
(-1,0) A O
M
(0,-3) C
B (3,0)
x
数学学习知了识本：节课，你有什么收获？ 1请.抛说物出线来对与称大点家的分纵享坐吧标！相同， 反之纵坐标相同的两个点是对称点。 （特：抛物线与x轴的交点是对称点）. 2.若抛物线两对称点横坐标为x1,x2,
则抛物线的对称轴为 x x1 x2 2
B(x2,m)y=m （2）抛物线的对称轴为 ＿x ＿＿2ba .（用a,b表示） （3） x1,x2是方程＿a＿x2＿+＿bx＿+c＿＝＿m 的两个根。 b
x （ （45） ）.由对根称与轴系X数=的 2关ba系与得x1x+1x+2x的2=关＿系＿为＿＿a＿x.＿＿x＿1；2.x2
总结抛物线的对称性性质：
练习：A（－2，y1），B(1,y2),C(2,y3)在抛物线y=-(x+1)2+a上的三点，
则y1,y2,y3的大小关系为（ A ）.
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y1＞y2 D.y3>y2>y1
四.利用抛物线的对称性解决问题
（三）求线段和最小值
例3：已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1， 且图象经过A（-1,0）,C(0,-3)两点，与x轴交于另一点B. （1）.求抛物线所对应的函数关系式； （2）.在抛物线的对称轴x＝1上求上点M，求MA＋MC的最小值。
配方为：＿y＿＿a＿(x＿ ＿2ba＿)2＿ ＿4a＿c4a＿b＿2 ＿＿＿＿＿.
x b 2.图象为抛物线：对称轴为＿＿＿＿2a＿＿；
( b , 4ac b2 ) 顶点坐标＿＿2＿a ＿＿4＿a ＿＿＿.
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
二次函数图象对称性的应用(完美版)
二次函数图象对称性的应用摘要：二次函数图象具有对称性，充分、合理地使用这一特性，对于解决有关二次函数的问题，会使问题得到的正确、高效的解答，同时它也是一种重要的解题途径。
关键词：二次函数，抛物线，对称。
我们知道二次函数图象是一条具有对称性的抛物线，合理使用抛物线的这一特征，对于解答有关二次函数的一类问题，会取得很好的效果，近年的中考命题及初中数学竞赛，涉及这方面的题目不断出现，并产生了不少的上佳题目。
本文试就初中毕业班总复习阶段，在二次函数这部分内容教与学上，如何引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题，谈谈教学感想和体会。
一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线。
2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。
3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。
4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。
5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC 是等腰三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的对称轴上。
二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。
解题分析：注意到图象所过的两个点A、B，都在x轴上，故可由性质3，容易得到该抛物线的对称轴是直线x=1，进而得出该抛物线的顶点坐标是（1，-8），所以，可以用顶点式先设出所求的二次函数形式，再用待定系数法，求得结果。
从本题可得到这样的经验：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。
例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。
第五讲：二次函数系数(对称轴公式)应用 ppt课件
。
3、如图3：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 直线x=－2 。
4、二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点A(1，3)和B(7，3)，则 此拋物线的对称轴是 直线x=4 。
结推论广：
设 抛设抛物AA物((线x线x11，的，的0对y对）a）称称，，轴轴BB为为(x(直x2直，2，线线0y）xbx）是是抛xx11抛物22 xx物线22 线与上x轴的的两两点个，交且点ya，=y则b，则
则此拋物线的对称轴是（ D ）
A．x＝4
B. x＝3 PPT课件 C. x＝－5 D. x＝－114
只给出一种情况证明：
y
AB xb xa xb xa
PO
xb
2
xa
xa
xb
2
xa
P
xa
P xa xb , 0 2
对称轴是x xa xb 2
y
2
令x1=－1
-1 O 1 3 x
设抛物线与x轴另一交点的坐标为（x2，0）
1 1 x2 2
-3
∴x2=3
x=1
函数的增减性 ---确定对称轴。
已知抛物线y＝x2+bx+c 的图象如图所示，当函数值y随x的增大
而减小时，x的取值范围是___x_P＜_PT_课1_件___。
9
重要结论：
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交（点3）的4x横2+4坐x+1标=0 x1、x2是 一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
a 看开口方向；
c 看抛物线与y轴交点位置；
b 看对称轴（：左同右异）
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2、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a≠0)与x 轴 交于A(x1,0)、B(3,0) 两点，则线段AB的长度 为（ D） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
x1 31, 2
x1
1
(三)求代数式的值(函数值)
1、抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是
直线 x=1 ，且经过点 P（3，0），则a－b+c
a
A( x2 x2 ,0) 2
B(x1+x2,0)
点O与点B关于点A对称
即：0与x1+x2关于
ห้องสมุดไป่ตู้
b 2a
对称。
AB
5、若二次函数y=ax2+c ，当 x 取x1 ，x2 （x1 ≠x2 ）时，函数值相等，则当x取 x1 +x2 时，函数值为（ D ）
A、a+c B、a－c C、－c D、c
0与x1+x2关于
x x1 x2 2
4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是 A(x1,0)，且其对称轴是x=m，则另一个交点B的坐 标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处 在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）
x1 x2 m 2
x2=2m-x1
x2=2m-x1
5、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴
对称的点，0与x1+x2关于 对称轴 对称
如图： xb(x1x2)0
2a
2
巧用“对称性” 化繁为简
抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,该抛物线
在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是 _(_1_,0__) _
(一)求点的坐标(函数值)
1、如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点，
B的坐标为（ 3 ，0），则点A的坐标是_(_2____3,0)
x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该
抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为(_-_1_,0_)_;
函数解析式为
y1x2 2
2x。52
2、已知二次函数的图像经过A（-1,0）、
抛物线上一点 (m,n) 关于对称轴对称的点为：(2-m, n)。
几个重要结论：
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线： y b 2a
2、若抛物线与轴的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)， 则抛物线的对称轴是：
x x1 x2 2
3、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：
2
x2；
④的若对点称(x轴1, n可),表( x示2 ,n为)在_x_抛__物x_1_线_ 上x2，则抛物线 2
温故知新 探究总结
1、抛物线的顶点坐标为（0，4），与x轴的一个 交点坐标为M（－2，0），请写出抛物线与x轴的
另一个交点坐标N( 2,0 ) y=-x2+4
若抛物线上有一点A的坐标为( -1 ，3)，在抛物线
若抛物线上有一点A的横坐标为2， 则A点坐标为( 2, 3 ).
在抛物线上与点A关于对称轴 对称的点B的坐标是 ( 4, 3 )
如果有一点C在抛物线上,横 坐标为x(x>3)，则C点坐标为 C（ x, -(x-3)2+4 ）
在抛物线上，点D与点C关于对称轴 对称，点D的坐标是( 6-x, -(x-3)2+4）
上与A关于对称轴对称的点B的坐标是( 1,3 ).
如果有一点C的横坐标为x，则C点坐标怎么表示？ C（ x,-x）2+. 4
在抛物线上与C点关于对称轴对称的点D的坐 标是D（-x,-x2+x ） 总结：在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征
纵坐标相等
2.如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象 与x轴的一个交点坐标为M（1，0），请写出抛物线 与x轴的另一个交点坐标N( 5, 0 ) y=-(x-3)2+4
x1 x 3 2
明察秋毫 快速反应
如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的 函数值y与自变量x的对应值.
x … -5 -3 -2 0 3 5 6 ... y … 27 7 0 -8 -5 7 16 …
找出抛物线上关于对称轴对称的两点 (-3,7)、(5,7) 。 写出抛物线的对称轴 x=1 。 抛物线与x轴的交点坐标是(-2,0)、(4,0) 。
2、已知关于x的方程ax2+bx+c=3的一个根为 x1=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线是x=2，
则抛物线的顶点坐标是（C）
A．(2，-3 ) B．(2，1) C．(2，3) D．(3，2)
3、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，
那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( B )
的值为 ( A )
A. 0
B. －1
C. 1
D. 2
若将对称轴改为直线x=2，其余条件不变， 则 a+b+c= 0 .
2、若y=ax2+5 与x轴两交点分别为（x1 ,0), (x2 ,0) ，则当x=x1 +x2时，y值为__5__
(四)求函数解析式
1、已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线
二次函数图象对称性在解题中的应用
基础知识点回顾
二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数且a≠0) ①此函数的对称轴为直线__x_____2b_a_（用a、b表示）
②若函数图象与x轴相交于点A（1，0）、B( 5，0)，
则对称轴可表示为直线 x=3 ；
③B若（函x2数，图0）象，与则x轴对相称交轴于可点表A示（为x1直，线0）x， x1
A．(0.5，0)
B．(1，0)
C．(2，0)
D．(3，0)
xb 2a1 2a 2a
4、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数
y=ax2+bx+5(a≠0)的图象上两点,则当x=x1+x2时,
二次函数的值是( D )
A. 5－ b 2
B、5+ 2 b 2 C. 2013
D. 5
4a
b 2a
对称。
6、抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-2,7), B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8 的另一点坐标是(_1_，__-8)
(二)求方程的根
1、已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点 坐标为（-1，-3.2）及部分图象如图，由图象 可知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根 分别为x1=1.3，x2=_-_3_._3_