行列式测试题(高等代数)
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000100200100-= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2)1(n n n -- （C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x x x f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题1．8171160451530169144312----- 2．dc b a10011001101---3．abbba b bbaD n=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a xa a a a x a a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n。
(完整版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。
高等代数行列式
a2
a 1
2
a 2
2
a 3
2
(5)计算 D
b2 c2 d2
b 1 b 2 b 3 2 2 2 c 1 c 2 c 3 2 2 2 d 1 d 2 d 3
2 2 2
解：将行列式D看作 a 的多项式，按第一列展开可 知D是关于 a 的至多二次多项式。
an
0
0
(1)
2 n 1
bn
0
a b c d
1 1
0
cn 1 0
d n 1 0
0 dn
c
c
n
n 1
d
0
n 1
0
都按最后一行展开
由此得递推公式：
an d n D2 n2 bn cn D2 n2
D2n (an dn bncn )D2n2
即 而 得
D2 n (ai di bi ci ) D2
假设对于 (n 1) 阶行列式命题成立，即
Dn1 xn1 a1xn2
an2 x an1 ,
则Dn按第1列展开 :
Dn xDn 1 an (1) n 1 1 0 x 1 1 1 0 0 x 0 0 1
xDn1 an 右边
所以，对于 n 阶行列式命题成立.
n ( n 1) 2
n 1i j 1
n ( n 1) 2
[(a i 1) (a j 1)]
[(i j)] (1)
n ( n 1) 2
(1)
n 1i j 1
(1)
n ( n 1) 1 2
n 1i j 1
行列式测试题(高等代数)
《高等代数》行列式（单元测试）学院： 班级： 姓名： 学号： 教师：一、填空题（每小题 3 分，共18 分）1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列.2．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =则._____122122211121=n n nnn n a a a a a a a a a3．设123,,x x x 是方程30x px q ++=的三个根，则行列式123231321x x x x x x x x x 的值是-____________.4．行列式11111111---x 的展开式中,x 的系数是_____.5．设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M6. 行列式12340000000000a a a a 的所有代数余子式之和为__________________________.二、判断说理（每小题5 分，共15 分）1．排列 j i 与排列 i j 排列的反序数相差1. ( )2．D=0, 则互换D 的任意两行或两列,D 的值仍为零.. （ ）3．ij ij A a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . （ ）三、计算题（共47分）1（16分）、xa a a a xaa a a xa a a a x D------=2、（16分）ba ab ba b a abb a ab b a D +++++=100000100010003.（15分） nn n n nn x a a a a a a a x a a a a a a a x a D +++=221222212121121四、证明题（20分）1、证明：1111100000000434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a2．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
高中数学行列式试题及解析
高中数学行列式试题2 .下列以行列式表达的结果中，与 sin （a- 3）相等的是（316|3 .三阶行列式3 5 7中，元素9的代数余子式的值为4 g 2I6.定义行列式运算:f （x ）的图象，只需将 y=2cos2x 的图象（2兀A.向左平移上“个单位, 2兀IC.向右平移己一个单位'J七口百e -sine .口 A =（）sino cosA . cos2 0B. sin2 04.定义行列式运算次］a 2a4=a t a 4-a 2a 3,将函数 f (x) = V3式回 1 CDEx|的图象向左平移A. 38B. - 38C. 360D. - 360n（n>0）个单位，所得图象关于 y 轴对称，则n 的最小值为（7VC.2KD.5.行列式 元素7的代数余子式的值为（）A. - 15B. - 3C. 3D. 12若复数z 满足 =l+2i ,则z 等于（-i iA. 1 + iB. 1 - iC. 3+iD. 3- i）B.向左平移三个单位 D,向右平移胃个单位*L JC. 1D. - 1.选择题（共12小题）1.定义:= a1a 4-a 2a 3,函数 f (x)则要得到函数9.设直线l i 与12的方程分别为 a i x+b i y+c i = 0与a 2x+b 2y+c 2= 0,则“"l1 // l2” 的(-bI③ a 1b 2c 3+a 2b 3c 1+a 3b 1c 2 — a 1b 3c2 — a 2b 1c 3 — a 3b 2c 1 ；c3al a 2 a311.展开式为ad - bc 的行列式是（A. {x|x< - 2 或 x>1} C. {x|-2<x< 1}二.填空题（共23小题）14.已知 1147 "11488.定义运算 =ad-bci -1 =2的复数2为（）A. 1 - 2iB. - 1 - iC. — 1 + iD. 1 - iA.a. bB.C.a .D.12.若规定a. b =ad - bc 则不等式 n-2-2 x13.若<：osu2eos JC 1=0,则锐角x = =0”是A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.下列四个算式: alc2 c 3b3c3 b] b 2C1 c2a2 a3其中运算结果与行列式A. 1个 1 bl♦ b口B, 2个 c2 的运算结果相同的算式有（C. 3个D, 4个B. {x|- 2<x<1} D.15.已知行列式中的元素an+j (j = 1, 2, 3,…,9) 是等比数列{a n }的第n+j 项，则此行列式的值是 16.若行列式 17.把 2 sr 5 8 1 4 3 7x9 18.若行列式中（xw 1）,元素1的代数余子式大于 0,则x 满足的条件是 3t 2 y2 sin( H 2 TT cns(~37T 表示成一个三阶行列式是 的第1行第2列的元素1的代数余子式-1,则实数 x 的取值集合为 19.行列式sim 3 5 的最大值为 20.行列式 行列式 22. 行列式23.24. 25. 26. 4 2k -3 5 4 -1 1 «： 的元素-3的代数余子式的值为10,则十（k. B ）的模为 1 4 -1 2 7 1 -1x5 中x 的系数是 2019 7T 三阶行列式 若行列式 49 sin 日 <DS 日.7T 7T sirry^ cos^ 1 -3 0 4 0-2 -12 3三阶行列式 若行列式 的元素冗的代数余子式的值等于 中，元素1的代数余子式的值为 =0,则m 的值是中，元素4的代数余子式的值为-2-1 a 3 0 1的展开式的绝对值小于6的解集为（-1,2）,则实数a 等27.函数f ㈤二cosz sinx sinx cosx的最小正周期T=28.已知矩阵A = -2y 0 -y 11-2x;r3 -3N 1,且 A+B=C,贝U x+y 的值为 COSK sinx29.方程 的增广矩阵是30.方程组二^xC （3, 4）实数解x 为31.若行列式2 4 = 0,则x=1 232.对于下列四个命题①若向量显,b,满足彳则a与b的夹角为钝角;②已知集合A=正四棱柱，8 =长方体，则AAB=B;③ 在直角坐标平面内，点M (|a|, |a - 3|)与N (cosa, sin a)在直线x+y-2=0的异侧；④对2X2数表定义平方运算如下：卜°)2工叫.卜1Cab+bd],则〔cd 【cdj〔cd/ ^ac+cdbc+d2J [1。
高等代数行列式单元测验答案
3 12
1 4 16 9
1 8 64 27
0013
3、 0
0
2
4 (1)(12)(34) 1
31
1 4
1126
2 43 1
3178
ab000
ab00 b000
0ab00
4、 D 0
0
a
b
0 按第一列展开
0
a
a
b
0a +b
b
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0 a5 b5
00ab 0ab0
000ab
《 高等代数—行列式 》单元考试答案
（A）卷
2017-2018 学年第 1 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
适用专业
2017 级数学
考核性质 考试
闭卷
命题教师
题号
一
二
三
四
五
得分
评阅人
复核人
一、计算题(30 分)
1 0 0 0
a1 a2 x an2 xn3 an1xn2 xn1
0 1 0 0
a2 x an2 xn4 an1xn2 xn2
0 0 0 0 0 0 0 1
an2 an1x x2 x an1
Dn
=
0
0 =
0 0 0 2 0
0 0 0 2 0
0 0 0 4 2
0 0 0 0 2
3 2 22 2n1 1 2 22 2n2 1 2 22 2n3 1 2 1
高代行列式测试题
高等代数《行列式》测 验一 填空题（2'612'⨯=）1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 2402. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2a -或a +23. 0001002003004000=( ).(A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 124. 已知1112131111121213212223212122222331323331313232334142434141424243,,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式1112131112212223212231323331324142434142a a ab b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++（ ）.(A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) ()m n -+5. 已知231421,111D =- ij A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130A A A ++= (B) 1121310A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立6. 0001000020010n n =-( ).(A) 1(1)!n n +- (B) (1)2(1)!n n n --(C) (1)2(1)!n n n +- (D)!n二 填空题（2'816'⨯=）1. 2011阶反对称行列式的值为 .2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ，l = .3. 排列(1)321n n -的逆序数为 , 13(21)24(2)n n -的逆序数为 .4. 线性方程组 1212040x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩有唯一解，则λ满足 .5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2n n -，则D = .6.211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 .7.1111123414916182764= .8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值为1,2,5,4, 则行列式D = .三计算题（8'756'⨯=）1. 01000020000100nn-2.000000000000nx yx yx yDx yy x=3.121111100100100naaa4.12111111naaa5.12112122121111nnnn na a aa b a aa ab aa a a b+++6.1221 00010010000001nn x ax ax ax ax a-----+7.123123123123,nnnnx a a a aa x a a aa a x a aa a a x a++++（用3种方法求解）四．应用题（8'216'⨯=）1 一城市局部交通流如下图所示（单位：辆/小时）（1）建立12345,,,,x x x x x 所满足的线性方程组； （2）要同时控制2200x ≤与350x ≤可行吗？2. ,,A B C 3家公司相互拥有的股份及单独营业的净收入如下表所示，设,,A B C 的联合收入为,,.x y z(1)建立 ,,x y z 所满足的线性方程组； (2) 求3家公司的实际收入。
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业第二章 行列式 §1—§4一、填空题1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,52.四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3.设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4.行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题1、 若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√2、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×3、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ( )×4、 abcd zz z dy y c x b a =000000( ) √ 5、abcd dcx b y x a z y x-=000000 ( )× 6、0000000=yxh gf e d c b a ( )√7、 如果行列式D 的元素都就是整数,则D 的值也就是整数。
( )√ 8、 如果行列D 的元素都就是自然数,则D 的值也就是自然数。
( )×9、n na a a a a a ΛN 2121= ( )×10、 01000200010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！ ( )× 三、选择题1.行列式01110212=-k k 的充分必要条件就是 ( ) D(A)2=k (B)2-=k (C)3=k (D)2-=k 或 3 2.方程093142112=x x 根的个数就是( )C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( )A(A)665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C)346542165321a a a a a a (D)513312446526a a a a a a4、 n 阶行列式的展开式中,取“–”号的项有( )项 A(A)2!n (B)22n (C)2n (D)2)1(-n n5.若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-就是五阶行列式的一项,则l k ,的值及该项的符号为( )B (A)3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C)3,1k l ==,符号为正; (D)1,3k l ==,符号为负6.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ,则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C(A)2 M (B)－2 M (C)8 M (D)－8 M 7.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( )C(A)8 (B)12- (C)24- (D)24 四、计算题 1. 计算3214214314324321解:3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602、 计算3111131111311113、 解:3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章 行列式 §5—§7一、填空题1、 设ij ij A M ,分别就是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02、 122305403-- 中元素3的代数余子式就是 、6-3、 设行列式4321630211118751=D ,设j j A M 44,分布就是元素j a 4的余子式与代数余子式,则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= 、0,66- 4、 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解,则k 、 2≠5、 含有n 个变量,n 个方程的齐次线性方程组,当系数行列式D 时仅有零解、 0≠ 二、判断题1、 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -,则D=0 ( )√2、222)(00000000a b b a a b b a ab -= ( )√ 3、222)(00000000b a a b b a a b b a -= ( )√4、0=d b a c d b c a b d c a b d a c ( )√ 5、483111131111311113= ( )√ 6、)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= ( )× 7、0107310111187654321=--- ( )√三、选择题1、 行列式102211321的代数余子式13A 的值就是( )D(A)3 (B)1- (C)1 (D)2-2.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的就是 ( )D(A)行列式主对角线上的元素全为零 (B)行列式主对角线上有一个元素为零 (C)行列式零元素的个数多于n 个 (D)行列式非零元素的个数小于n 个3.若111111111111101)(-------=x x f ,则)(x f 中x 的一次项系数就是( )D(A)1 (B)1- (C)4 (D)4-4.4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D(A)43214321b b b b a a a a - (B)))((43432121b b a a b b a a -- (C)43214321b b b b a a a a + (D)))((41413232b b a a b b a a -- 5.如果122211211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解就是( )B(A)2221211a b a b x =,2211112b a b a x = (B)2221211a b a b x -=,2211112b a b a x = (C)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x ----=(D)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x -----=6、 三阶行列式第3行的元素为4,3,2对应的余子式分别为2,3,4,那么该行列式的值等于( )B(A)3 (B)7 (C)–3 (D)-77.如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解,则 k =( )C(A)0 (B)1 (C)－1 (D)3 四、计算题1、 计算D=100110011001aa aa---解:方法1:100110011001aa a a ---21r r ↔=aa a a 100110001011---21r ar +=aaa a a 101100100112--+-32r r ↔=aa a a a 100101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2:将行列式按第一行展开,有:1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---•a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2、 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解:12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ121125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3、 计算6427811694143211111解:6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4、 计算=n D 12111111111na a a +++L L M M M L 解:=n D 12111111111na a a +++LL M M M Lna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(121∑=+=ni in a a a a Λ 5、 解方程:22x 9132513232x 213211--=0、解:22x 9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=224000130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1.证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明:()()()()()()()()()()()()43433232212222222222222222222222221232123252122123212325212221232521221232123252122123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a bb b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 40推论2.设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=,求证:n D D D D +++=Λ21,其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。
第一章行列式选择填空题
第一章：行列式一、单项选择题()1.+.在下列构成的六阶行列式的展开式的各项中，取“”号的是，()152332445166A a a a a a a ()112632445365B a a a a a a ()215316426435C a a a a a a ()513213442566D a a a a a a A答案：()1112111121212222122212122.,n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a a a a D D a a a a a a ------===---设则.()A D -()()1nB D-()C D().T D D B答案：()62533446213..k l ij a a a a a a a 设是6阶行列式的一项，则()5,1,.A k l ==取正号()3,1,..B k l ==取负号()1,5,..C k l ==取负号()1,5,..D k l ==取正号.D 答案：()1122334400004..000a b a b b a b a =()12341234A a a a a b b b b -()12341234+B a a a a b b b b ()()()12123434C a a b b a a b b --()()()23231414D a a b b a a b b --.D 答案：()1112133132332122232122233132331112133335.222.a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ---=---=---如果，则行列式()6A d -()6B d ()4C d()4D d-.B 答案：()32121116..321111xx x x xx-行列式中含有项的系数是()2A ()2B -()1C ()1D -.D 答案:()011110117..11011110行列式=()1A ()3B ()-3C ()0D .C 答案：()22218.1.a ab ac abb bc acbcc +++行列式=()2221001010001a ab ac A ab b bc ac bc c ++()22222111+11a ab ac ab ac B ab b bc ab b bcac bc c ac bc c ++++()222221101+101a ab ac ab ac C ab b bc b bcac bc c bc c ++++()22111a ab ac ab ac D ab b bc ab bcac bc c ac bc +.C 答案：()()()()()()()1111121111112122212111119..nn n n n n n nn n n nn n nnnn a a a a a a a a a a a a D D a a a a a a ------===设,则()A D ()B D-()()1nC D-()2D D.A 答案：()()()21232221222310.0233245354435743.x x x x x x x x f x f x x x x x xx x x --------=-------记行列式为,则方程的根的个数为()1A ()2B ()3C ()4D .B 答案：()2111.,200.111kk k==-若则()2A -()2B()0C ()3D -.A 答案：()21515252112.1122.23030223-=---是按展开的()2A 第列()2B 第行()1C 第列()1D 第行.B 答案：()11121212221213...n nij ij n n nna a a a a a D A a a a a =设行列式，为元素的代数余子式，则下列式中是正确的()11220i i i i in in A a A a A a A +++= ()11220j j j j nj njB a A a A a A +++= ()1122i i i i in inC a A a A a AD +++= ()1122j j j j nj njD a A a A a A D+++= .D 答案：()232334914.571.214a A 行列式的的代数余子式的值为()3A ()3B -()5C ()5D -.C 答案：()12312312323815.22310,.5ax x x ax x x a b x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩设非其次线性方程组有唯一解，则必须满足()00A a b ≠≠且()302B a b ≠≠且()3322C a b ≠≠且()302D a b ≠≠且.D 答案：二、填空题23425514311.5.ij a a a a a a 阶行列式的项的符号为.答案：负号2.,3154987.i j i j ==当时，排列为奇排列2, 6.i j ==答案：12113..n n n i i i i i i - 排列可经过次对换后变成排列()1.2n n -答案：()4.1,2,31.n n n > 由，,组成的元排列总共有个，其奇排列有个!!,.2n n 答案：()5.43214321.τ排列的逆序数=，该排列的奇偶性为.,5,.答案奇排列()6.365412365412.τ排列的逆序数=，该排列的奇偶性为.11,答案奇排列()()().1221,3n n n n --> 7排列的逆序数为，该排列的奇偶性为()()21:2n n --答案()().23113n n n -> 8排列的逆序数为，该排列的奇偶性为.1,,n n n -答案当是偶数时为奇排列当是奇数时为偶排列.,n ij n ij D a a D a ===-=9若则().1n-答案()5543204320032000._______________.2000000000000x x x f x x x x -=-10已知，则的系数为.0答案211.,n n n -若阶行列式中等于零的元素个数大于则此行列式为____________..0答案12.1n n -非零元素只有个的阶行列式的值是______________..0答案12312312312312312313.8,222___________.a a a c c c b b b b b b c c c a a a =---=若则.16答案010*******.=____________.00014000.4-答案11121321112212231331323315._____________.a a a a a a a a a a a a +++=111213212223313233a a a a a a a a a 答案：111213111213212223212223313233313233-16.333___________.666a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=---18答案：2564100217.__________.4120161a a 中的代数余子式为256100016答案：-18.__________.n ij ij ij ij n D a A M A =阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是()ij1i jM +-答案：41424344419.4,___________.a bc d c b d a D A A A A dbc a a b dc=+++=设阶行列式则0答案：1220.,_______.n n n nn x a aa x a n D A A A a a x=+++阶行列式则()1n x a --答案：1110110121.=___________.101101113-答案：110011022.___________.002002kkk=()()214k k --答案：41121314123.4,___________.ab c d d a c b D A A A A b d c aac c b=+++=设阶行列式则0答案：11121331323321222321222331323311121333324.,222________.a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ==---设则6d答案：00.020100n25=__________.()()121!n n n --答案：1000020026.___________.0001000a a n a a n=-()()1!1n nn a ++-答案：000000000027.____________.000000a b a b a a b b a=()11n n na b ++-答案：1000110028._____________.1100011011a a a aa a a a a---=------()()2311a a a -+-答案：3040222229.,4075322D =--设行列式则第行各元素余子式之和的值为_____________.28-答案：12120,30.=___________.0x x x x λλλ+=⎧⎨+=⎩方程组有非零解，则1λ=±答案：1231231230,31.0,0,___________.x x x x x x x x x λλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩若齐次线性方程组只有零解，则应满足条件12λλ≠≠-答案：，()()()12312312332.________1240,230,10,..x x x x x x x x x λλλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩取值时，齐次线性方程组有非零解0,23λλλ===答案：或1231231230,33.0,0,=x x x x x x x x x λλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是______________.答案：1或-2()312302134.01213x x xx f x x x xx-=-多项式中的系数是_______.6-答案：135.20______________..3xx x xx x x xxx++==+代数方程的根611-答案：()()11121314212223243313233344142434436.,x a a a a a x a a a f x f x x a a x a a a a a x a --------=--------设则中的系数是___________.()11223344a a a a -+++答案：1112131437.4913,51,0,6,9,_____________.D t M M M M t +-=-====已知阶行列式的值为，它的第一行元素依次为2,3，且第1行元素的余子式依次为则5答案：444111213141234210038.4,30104001232__________.ij ij ij ij D A D a M D a A M M A =++-=已知阶行列式表示中元素的代数余子式，表示中元素的余子式，则6答案：123210039.__________.3010001n n = ()()121216n n n -++答案：11231232123340.,,,,,_________.A A A A k k k A A A A A A A ==已知分别是阶行列式，则()1213231k k k k k k ++-答案：。
《高等代数》课程习题 .doc
《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a ab aba -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---谢谢观赏（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；
5．利用数学归纳法计算行列式；
6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；
8．利用加边法计算行列式；
9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例 1.1 排列 14536287 的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7
因此
(−1Байду номын сангаасt a1n−1a2n−2 Lan−11ann ，其中
t = (n −1)(n − 2) ， 2
( 2007 −1)( 2007 − 2 )
D = (−1) 2 2007!= −2007!．
此题也可以按行(列)展开来计算．
例 1.11 计算 n 阶行列式
2 1 1L1
1 2 1L1
Dn = 1 1 2 L 1
⎪⎪a ⎨
21
x1
⎪
+
a22 x2 MM
+L+ MM
a2n xn M
=
0
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = 0
的系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行
列式 D = 0 ．
1.2.5 一些常用的行列式
1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.
⎧D i = j
jk
=
ai1 Aj1
+ ai2 Aj2
+ ... + ain Ajn
=
⎨ ⎩
0
i≠ j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式.
1.2.４ 克拉默法则 １．如果线性非齐次方程组
高等代数第二章课后习题
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
x1-m
x2
…
xn
x1
x2-m … xn
3）
.
.
.
.
. .
.
.
.
x1
x2
…
xn-m
第二章 行列式
第 章 行列式
2
1
第二章 行列式
5x1+6x2=1 x1+5x2+6x3=0 4） x2+5x3+6x4=0 x3+5x4+6x5=0
x4+5x5=1
2
第 章 行列式 3
ห้องสมุดไป่ตู้
a a ...a 2
n-1
n-1
n-1 n-1
其中 a1，a2，...，an-1 是互不相同的数. 1) 由行列式定义说明，p(x)是一个 n-1 次多项式;
2)由行列式性质,求 p(x)的根 .
4
1.计算下面的行列式:
第二章 行列式
246 427 327
1)
1014 543 443 ;
-342 721 621
1
第 章 行列式 2
第二章 行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章 行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证 因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1． 证 设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证 因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证 如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3． 由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证 设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证 因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。
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感谢你的观看《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：感谢你的观看（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n a a a a a a ---感谢你的观看（5）xaaa x a a a xΛΛΛΛΛΛΛ （6）abb a b a b a 000000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+ΛΛΛΛΛΛΛΛ212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习
第二章 行列式专题练习一、选择题1、行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．行列式01110212=-k k的充分必要条件是 ( ) （A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k or 33．方程093142112=x x根的个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n6．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负7．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )A 行列式主对角线上的元素全为零B 三角形行列式主对角线上有一个元素为零C 行列式零的元素的个数多于n 个D 行列式非零元素的个数小于n 个8．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( ) （A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M9．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( ) （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）2410．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于( ) （A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13、设A 为 n 阶可逆阵，且A = 2，则1-A = （ ）（A ）2 （B ）0.5 （C ）2 4 （D ）2 314、三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( B )（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-715．如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( ) （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3二、填空题 1、1211=--kk ，则k= ； 2．排列36715284的逆序数是 ；3．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 ；4．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = ， j = ；5. 行列式=111110110110111 ； 6．若方程225143214343314321x x --= 0 ，则x= ；7．行列式=2112100121012 ； 8. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 ；9. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式， 则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= ；10. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k ；11. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解12. 设A 为五阶矩阵，2=A ，*A 为伴随矩阵，则=*A ；13. 设A 为三阶矩阵，3=A ，则=-A 2 .三、计算题1．598413111 2．132213321３．yxyx x y x y y x y x+++ ４．001100000100100５．000100002000010n n - ６．11,22111,111n n n n a a a a a a --7．2605232112131412- 8．32142143143243219.计算3111131111311113. 10.计算D=a101a1001a 1001a ---11.计算D=44332211a 0b 0a b 00b a 0b 00a12. 12125431432321-=n n nD n13.642781169414321111114、2001520104211111=A 15、3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++16．xa aax a aa x17. =n D 12111111111n a a a +++18、解方程0132132213211321=-+-+-+-xb b b b b b x b b b b b b x b b b b b b b n n n n n19.解方程：22x 9132513232x 213211--=0.20.已知齐次线性方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++0x x px 0x x 2x 0x x x 321321321 ,当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？21.用克莱姆规则解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++137x 4x 5x 1066x 2x 2x 528x x x 2321321321四、证明题已知：向量组，321,,ααα线性无关，证明：321211,,αααααα+++线性无关。
高等代数与解析几何1~4章习题答案
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝xxx xx x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式） 4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000000001000001____________.2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B = ⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nnnn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n nn n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a 是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分)因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
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《高等代数》行列式（单元测试）
学院： 班级： 姓名： 学号： 教师：
一、填空题（每小题 3 分，共18 分）
1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列.
2．设
.21
22221
11211
d a a a a a a a a a nn
n n n n =
则
._____1
2
21
22
211
121=n n nn
n n a a a a a a a a a
3．设123,,x x x 是方程3
0x px q ++=的三个根，则行列式1
23
2
313
2
1
x x x x x x x x x 的值是-____________.
4．行列式1
1
1
11
1
11
---x 的展开式中,x 的系数是_____.
5．设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M
6. 行列式
1
234
000
000
0000
a a a a 的所有代数余子式之和为__________________________.
二、判断说理（每小题5 分，共15 分）
1．排列 j i 与排列 i j 排列的反序数相差1. ( )
2．D=0, 则互换D 的任意两行或两列,D 的值仍为零.. （ ）
3．ij ij A a D ,3
3⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . （ ）
三、计算题（共47分）
1（16分）、x
a a a a x
a
a a a x
a a a a x D
------=
2、（16分）b
a a
b b
a b a ab
b a ab b a D +++++=
1
0000
01
0001
000
3.（15分） n
n n n n
n x a a a a a a a x a a a a a a a x a D +++=
2
2
1
2222121211
21
四、证明题（20分）
1、证明：1
11
1
1
00000000434241333231
232221
131211
a a a a a a a a a a a a
2．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2
222
2
222
2222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a。