线面垂直的定义和判定

B
3、在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC， PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P D A
B C
练习
4.已知 : = CD, EA , EB . 求证 : CD AB .
E A

D
B

C
练习
1、如图，空间中直线l和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的 第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C C 相交 B A D 不确定 2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交
•同学们，经过几天的努力学习，你的身心 可能有些疲惫，好想歇息一会儿，有句话 说的好，很多事情不是有了希望才坚持， 而是坚持了才有希望。同学们因为你的坚 持又向理想迈进了一步，拿出我们饱满的 热情迎接新的一课！！
努 力 加 油
1.2.3 空间中的垂直关系 ——线面垂直
海岳中学
李富政
学习目标：
一、理解直线与平面垂直的定义 和性质； 二、能通过动手试验，归纳和掌握直 线与平面垂直的判定定理并学会简单 应用。
A
B
直线和平面垂直的定义
这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面。
平面的垂线
直线的垂面

A
垂足
交点叫做垂足,垂线上一点到垂足间的线段,叫做这个点到 这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。
直线和平面垂直的画法
通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。
L
P

记作：L⊥
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线 l和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直， 那么直线 l 垂直平面 l m , 即： 关键：线不在多，相交则行 n , l mn P m P l m, l n n 线线垂直 线面垂直
问：要判断一条直线与一个 平面是否垂直,取决于什么？
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直 线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
a l b a b A
la l b
l b a
一、空间两条直线垂直
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一 点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
A’A┴ AB C’C┴ AB
A’
D’
C’ B’
D
A B
C
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
二、直线与平面垂直
1、定义：如果一条直线AB和一个平面α相交于一点 O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面垂直。
取决于在这个平面内能否 找到两条相交直线和已知 直线垂直.
应用定理，加深理解 例1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)正方体ABCD ABCD中，棱BB和底面ABCD垂直
（2）正三棱锥P—ABC中，M为棱BC的中点，则 棱BC和平面PAM垂直
P
A M B
C
D' A' B'
C'
P
D A B
C
A M B
C
（1） BB AB,BB BC
（2） P-ABC为正三棱锥，
PB PC, AB AC
∵M为棱BC的中点
AB BC B
AB, BC 平面ABCD
BB 平面ABCD
∴BC ⊥ PM,BC ⊥ AM
∵AM∩PM=M
PM , AM 平面PAM
×
l

c
不能
探究:
（2）和一个平面内的两条相交直线垂直呢？
即：
b , c , b c P l l b, l c
猜想：
是不是一条直线垂直于平面内的 两条相交直线，此直线就垂直于该平 面呢？
探究
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
A
C
A
D
B
D
C

在平面内不经过O点的任意直线和垂线什么关系？
AO ⊥ 平面内任意一条直线
A
B1
O B
C1
C
3、线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么它 就和平面内的任意一条直线垂直。
符号语言表示：
a
b
a
ab

b
此性质经常用来 证明线线垂直,特 别是异面垂直
思考问题：
学校操场上竖了一根新 旗杆，现要检验它是否与地 面垂直，现在手中只有几根 绳子和皮尺，你有什么好办 法？
∴BC⊥平面PAM
线面垂直的判定方法：
1、 定义 如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O，并 且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就 说这条直线和这个平面垂直。 2、判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则 这条直线与这个平面垂直。
自己动手，解答问题
有一同学测得一旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长10m的 绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C,D（和旗 杆脚不在同一条直线上），如果这两点和旗杆脚B的距离都是 6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 证明：∵⊿ABC中，AB=8m， BC=6m，AC=10m
检测答案：1、A 2、C 3、4个
4、证明：连结BD ∵ABCD-A‘B’C‘D’为正方体 ∴DD‘⊥平面ABCD
D′
C′ B′
AC 平面ABCD
∵AC、BD 为正方形ABCD的对角线
A′
D A
AC DD' （线面垂直→线线垂直）
∴AC⊥BD ∵DD'∩BD=D
C
DD, BD 平面BDD ∴AC⊥平面BDD' （线面垂直的判定定理） BD 平面BDD AC BD
B
过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）． （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．
A
CC
A
A
D

B
D D
B
C
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 线与桌面所在平面 垂直．
问：由此可以归纳出直线与平面垂直应 具有什么条件？
C
D
B
小结：证面内两直线垂直经常用的方法： 等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线三线合一
知识小结
1．直线与平面垂直的定义 2．直线与平面垂直的判定、性质
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
线面垂直很关键， 要证线面找线线； 必是面内两交线， 线面线线会转换。 善于观察勤思考， 成绩提升步步高。
A
AB2 BC 2 AC 2
∴AB⊥BC 同理AB⊥BD
α C B D
∵B、C、D三点不共线，∴BC∩BD=B
BC 平面BCD，BD 平面BCD
∴AB⊥平面BCD
即旗杆和地面垂直
练习 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC， 求证VB⊥AC.
证明：取 AC的中点D，连结DV、DB 分析：（ 1）要证线线垂直，首先证线面垂直 ∵VA=VC，AB=BC （2∴△ ）AC ⊥VB 所在的面，应该 VAC 与△ BAC都是等腰三角形 是哪一个面？ ∴AC ⊥DV AC⊥DB A 给出 ∵DV ∩VA=VC DB=D ，AB=BC可 以知道△ ∴AC ⊥平面VAC VDB与△BAC都是 等腰三角形 VB 平面VDB， ∴AC⊥VB V
（1）根据定义判断 （2）有没有什么方便可行的方法来判定？
探究:
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线 垂直，能不能保证该直线垂直于此平面？ 即：
l
l b,b × l
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不能
探究:
（2）和一个平面内的两条直线垂直呢？
①两条直线平行的情况 即：
b l a b l c c a b//c