二项式定律

二项式定理
复习引入
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式. a+b , (a+b)1= (a+b)2= a2+2ab+b2 , (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 , (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 2. 列出上述各展开式的系数：
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
2 3 (a+b)4= C0a4 C1 a 3b C4a 2b 2 C4ab 3 C4b4 . 4 4 4 4
定 理
(a+b) n=
N
Cna Cna
0 n 1 n 1
b Cna
r
n r
b Cnb
r n
n
（n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ， r 其中 C n（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r nr r Cna b 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 r+1 项，记为T r+1 展开式共有 n+1 个项.
10 20
.
问题1：从上述问题中你能得到二项式系数的 规律吗？是什么？
二项式系数的性质
性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的任意两项的二项式系数相等 即 Cm Cn m 其中m=0,1,2,3,……,n n n 如何证明？ 组合性质1
性质2：如 果二项式的幂指数是偶数，中间一项 的二项式系数最大；如果二项式的幂指 数是奇数，中间两项的二项式系数最大；
1
1 1
0
c2
c3
2
2
c
1 3
c3
3
c4
1
c4
2
c
3 4
c4
4
n的展开式的二项式系数是 C r ( r 0, , n) ； 1.(a+b) n
2.组合数的性质1是 C C
m n
0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10
nm n
；
7 10 8 10 9 10 10 10
3.写出(a+b)10的展开式中各项的二项式系数：
C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C
6 Biblioteka Baidu0
1）观察二项式系数的变化规律； 先增大后减小 2）二项式系数最大的是第 6 项.
4.下面二项展开式中，那些项的二项式系数最 大？是多少？分别填在相应的横线上 （1）(a+b)19 第10、11 项的二项式系数最大， 9 10 是 C19 C19 ； （2）(a+b)20 第 11 项的二项式系数最大， 是 C
2.(1-2x+3x2)7的展开式中所有项系数和是 128 3.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数 和是………（ A） A.2n+1-2 B.2n+1-1 C. 2n+1 D. 2n+1+1
4、计算
C 3 C 3
0 n n 1 n n 1
2C 3
2 n
n2
2 C 3
r nr r 通项公式Tr 1 Cn a b
例 题
1.
( a
x
2

15 x
a x
)
6
的展开式中，第五项是……（B ） B.
6x a
3 2
A.
3

C.
20 x
D.
15 x
2. ( a A.7 项
1 a
)
15
的展开式中，不含a的项是第（A ） B.8 项 C.9 项 D.6项
分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.
0 n 1 n 2 n k n n n
n
说明：此题是用赋值法证明的，即在二项式 定理中令a=b=1即得上式。 赋值法是求系数和的基本思路和方法 必须掌握好. 上述等式也是二项式系数的一个性质-------性质3，请用文字叙述.
二项式系数的性质
性质3:(a+b)n 的展开式的所有二项式系数的和 等于2n.也就是：
定理
(a b) Cna Cna
n 0 n 1
n 1
b Cna
r
nr
b Cnb
r n
n
例 题
2.求近似值（精确到0.001） （1）(0.997)3 （2）(1.002)6 分析： （1）(0.997)3=(1-0.003)3 （2）(1.002)6=（1+0.002)6 类似这样的近似计算转化为二项式定理 求展开式，按精确度展开到一定项.
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数 字 相加 得到.你能写出第五行的数字吗？ (a+b)5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 . 2 0 1 C 4 = 1 ，C 4 = 4 ， C 4 = 6 ， 4.计算： 3 4 C 4 = 4 ，C 4 = 1 . 用这些组合数表 示(a+b)4的展开式是：
等于6，则n等于……………………（C ） A.4 B.4或-3 C.12 D.3 3.多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是（ B） A.120 B.-120 C.100 D.-100
11
4.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式 中， x2的系数 分析：先用等比数列前n项和公式求和，再用 通项求系数 答案：-20
的展开式中的有理项.
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用） 答案：
105 4
求指定项的系数
例 题
1.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是……………………………………（C） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 1 n 2.若 ( x ) 的展开式中的第三项系数
0 n 1 n 2 n n n
定理
(a b) Cna Cna
n 0 n 1
n 1
b Cna
r
nr
b Cnb
r n
n
例 题
1.用二项式定理展开下列各式：
(1 ) (x 1 x )
4
(2)
(2 x
1 x
)
6
思考（1）如何求展开式中的第三项？ （2）如何求展开式中第三项的系数？ 方法（1）用定理展开，再找指定项 （2）用通项公式 注意：当n不是很大时，用定理，否则用通 项公式
2 r n
nr
2
r
C 2
n n
n
5、已知：(2- 3X )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100， A=a0+a2+a4+…a100，B=a1+a3+a5+…+a99， 求： A+B、A-B、A2-B2.
小结：(a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+…+anbn， 设 A=a0+a2+a4+…，B=a1+a3+a5+…， （即A为展开式中各奇数项的系数和， B为展开式中各偶数项的系数和）. 则：令a=b=1，得A+B=2n…………(1) 令a=1，b=-1，得A-B=0…………(2) 由（1）（2）可分别解得A、B 这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本 思路.
例题选讲
1.(1-x2)9展开式中系数最大的项是
大的项是 126x8 , -126x10 .
126x8
，
系数最小的项是 -126x10 ，二项式系数最
注意： 1.项与项数的区别 2.二项式系数与系数的区别 3.二项式系数一定为正，系数可以有 负值.
2.求证
C C C C C 2
5.二项式 ( x x
1
4
) 的展开式中第三项系
n
x 数比第二项系数大44，求第4项的系数. 分析：由第三项系数比第二项系数大44先 求n，再由通项求第四项系数.
答案：165
二项式系数 的性质
复习引入
1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1
c
0 4
c0
0
c c2
c3
0
0 1
c c2
思考：1中如何求第五项的系数和二项式系 数？ 2中的第五项是什么？
Tr 1 C a
r n
nr
b
r
例 题
3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复 数z. 分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480，得到z的方程解之.
答案： z 2i 4.求二项式
(
3
3
1 2
)
7
三、综合应用
例1、（1+2x）n展开式中的二项式系数的和 为2048，求展开式中系数最大项．
例2、(a-b)99的展开式中，系数最小的项是
A.第1项
C.第51项
B.第50项
D.第50项与第51项
例3、求证7n－6n－1能被36整除（n∈N+）
例4、求9192除以100的余数.
例5、今天是星期四，则251天后的 第一天是星期几？
定理
(a b) Cna Cna
n 0 n 1
n 1
b Cna
r
nr
b Cnb
r n
n
剖 析
1.系数规律：
C 、C 、C 、 、C 2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
n n n n n
性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和.
C
0 n
C
2 n
C
4 n
C
1 n
C
3 n
C
5 n
=2
n-1
（一）求展开式中各项系数和
1.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为……（D ） A.2n+1 B.2n C.0 D.1 分析：设(2x2-1)n=a0x2n+a1x2(n-1)+…+an， 展开式各项系数和为a0+a1+a2+…+an ∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n=a0+a1+a2+…+an ∴ a0+a1+a2+…+an=（2-1）n=1 求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为1
性质小结
性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离 的任意两项的二项式系数相等. 性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大； 性质3：C 0 C1 C 2 C k C n 2 n
C C C C C 2
0 n 1 n 2 n k n n n n
性质4：在 (a+b)n展开式中，奇数项的二项式
系数和等于偶数项的二项式系数和.
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
C
C
C
C
C
C
证明：令
a=1,b= -1