2020届高考数学仿真模拟卷五课件理数86
2020届全国高考仿真模拟考试(五)理科数学
2020届全国高考仿真模拟考试（五）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·北京海淀一模]已知集合P ＝{x |0≤x ≤2} ，且M ⊆P ，则M 可以是( ) A ．{0，1} B ．{1，3} C ．{－1，1} D ．{0，5} 答案：A解析：∵0∈{x |0≤x ≤2}，1∈{x |0≤x ≤2}，∴{0，1}⊆{x |0≤x ≤2}，故选A.2．[2019·安徽皖南八校联考]i 为虚数单位，a ∈R ，若z ＝a －ia ＋i＋i 为实数，则a ＝( )A ．－1B ．－12C ．1D ．2 答案：C解析：z ＝a －i a ＋i ＋i ＝(a －i )2(a ＋i )(a －i )＋i ＝(a 2－1)－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋⎝⎛⎭⎫1－2a a 2＋1i ＝a 2－1a 2＋1＋(a －1)2a 2＋1i ，由题意可得a ＝1，故选C.3．[2019·山东烟台模拟]已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 答案：D解析：由对数函数的性质及题图，得0<a <1，易知c >0，所以函数y ＝log a (x ＋c )的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.故选D.4．[2019·江西九江重点学校联考]在扇形AOB 中，∠AOB ＝θ，扇形AOB 的半径为3，C 是弧AB 上一点，若OC →＝233OA →＋33OB →，则θ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：D解析：∵OC →＝233OA →＋33OB →，|OC →|＝|OA →|＝|OB →|＝3，∠AOB ＝θ，∴OC →2＝43OA →2＋43OA →·OB →＋13OB →2＝3，即4cos θ＝－2，∴cos θ＝－12，∵0<θ<π，∴θ＝2π3，故选D.5．[2019·湖南岳阳三检]观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，…，归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．－g (x )B ．f (x )C ．－f (x )D ．g (x ) 答案：A解析：(x 2)′＝2x 中，函数y ＝x 2为偶函数，其导函数y ′＝2x 为奇函数； (x 4)′＝4x 3中，函数y ＝x 4为偶函数，其导函数y ′＝4x 3为奇函数；(cos x )′＝－sin x 中，函数y ＝cos x 为偶函数，其导函数y ′＝－sin x 为奇函数；…. 我们可以归纳，偶函数的导函数为奇函数．事实上，若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )为偶函数， 又g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－x )＝－g (x )，故选A.6．[2019·安徽池州期末]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π12，1 B.⎝⎛⎭⎫π12，2 C.⎝⎛⎭⎫7π12，1 D.⎝⎛⎭⎫3π4，2 答案：C解析：由函数图象可知A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，所以ω＝2πT＝2，易得2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，所以函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫7π12，1.故选C. 7．[2019·河南洛阳尖子生第二次联考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.⎝⎛⎭⎫12n －1 答案：B解析：解法一 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12；当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝2a n＋1－2a n ，则a n ＋1a n ＝32.所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，于是S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝⎛⎭⎫32n －2＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选B.解法二 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12，所以S 2＝1＋12＝32，结合选项可得只有B 选项满足．故选B.8．[2019·鄂东南省级示范高中联考]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”．翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断他们是否都是偶数，若是，用2约简，若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a ＝114，b ＝30，则输出的n 为( )A ．3B ．6C ．7D ．30 答案：C解析：根据框图可列表如下．a 114 57 42 27 12 15 3 12 9 6 3b 30 15 15 15 15 12 12 3 3 3 3 n 0 0 1 2 3 3 4 4 5 6 7 k 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9．[2019·吉林省实验中学测试]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1，则2x ＋y 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，＋∞)C ．(0，5]D ．[1，5] 答案：D解析：设z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－2x ，平移该直线，数形结合可知当平移后的直线过点(0，1)时，z 取得最小值1，当平移后的直线与圆相切于第一象限时，z 取得最大值，最大值为5，所以2x ＋y 的取值范围是[1，5]．故选D.10．[2019·江西五校协作体联考]如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A.π6B.π3C.5π12D.π2 答案：B解析：如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于点E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1，0)，A (0，－2，0)，B (0，2，0)，C (0，0，22)，AD →＝(3，3，0)，BC →＝(0，－2，22)，所以cos 〈AD →，BC →〉＝－612×12＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.11．[2019·四川成都一诊]过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若MF 1→＋MN →＝0，则曲线C 1的离心率为( )A.5＋12 B. 5 C.2＋12 D. 2答案：A解析：易知曲线C 1为双曲线．设曲线C 1的右焦点为F ，则F 的坐标为(c ，0)． 因为曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，所以y 2＝4cx .因为MF 1→＋MN →＝0，所以MF 1→＝－MN →＝NM →，则M 为线段F 1N 的中点．连接OM ，NF (O 为坐标原点)．因为O 为线段F 1F 的中点，M 为线段F 1N 的中点，所以OM 为△NF 1F 的中位线，所以OM ∥NF .因为|OM |＝a ，所以|NF |＝2a .易知NF ⊥NF 1，|F 1F |＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，则由抛物线的定义可得x ＋c ＝2a ， 所以x ＝2a －c .过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a .由勾股定理得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2－e －1＝0(e >0)，所以e ＝5＋12.故选A.12．[2019·重庆西南大附中月考]已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(0，1]D ．(0，1) 答案：D解析：∵g (－x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝g (x )，∴g (x )是偶函数．若g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，等价于当x >0时，g (x )有2个不同的零点．∵f (x )是奇函数，∴由g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0，得f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )．∵f (x )是单调函数，∴x 2＝2|x |－a ，即－a ＝x 2－2|x |，当x >0时，－a ＝x 2－2|x |＝x 2－2x 有两个根即可．设h (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，要使当x >0时，－a ＝x 2－2|x |有两个根，则－1<－a <0，即0<a <1，即实数a 的取值范围是(0，1)，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·河北九校联考]已知两条不同的直线m ，n ，两个不重合的平面α，β，给出下列命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④m ⊥α，m ∥β⇒α⊥β；⑤α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是________． 答案：①④⑤解析：命题①，显然正确；命题②，m ，n 可能异面，故②为假命题；命题③，可能n ⊂α，故③为假命题；命题④，显然正确；命题⑤，由m ∥n ，m ⊥α，得n ⊥α，又α∥β，所以n ⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.14．[2019·山东潍坊重点学校摸底]若(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－ax 6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．答案：±2解析：⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r ·⎝⎛⎭⎫126－r ·C r 6·x 6－3r 2.由6－32r ＝－1，得r ＝143(舍去)，由6－32r ＝0，得r ＝4.所以(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式中常数项为(－a )4·⎝⎛⎭⎫122·C 46＝15a 44＝60，得a ＝±2. 15．[2019·湖北八校联考]已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，若a 4＝65，则a 1＝________.答案：3解析：∵a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 4＝65，∴2a 3＋24－1＝65，得a 3＝25，∴2a 2＋23－1＝25，得a 2＝9，∴2a 1＋22－1＝9，得a 1＝3.16．[2019·江苏张家港一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫34，2解析：画出函数f (x )的大致图象，如图所示．由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )成立，则12≤b <1.b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·广东省六校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解析：(1)依题意知a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ， 由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ， 因为a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B .由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)已知tan C ＝32，C ∈(0，π)，易得sin C ＝217，cos C ＝277，由(1)知B ＝π3，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.18．(12分)[2019·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上．(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；(2)当ABAD＝2时，求二面角D －AC －B 的余弦值．解析：(1)证明：如图，设点D 在平面ABC 内的射影为点E ，连接DE ， 则DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BC .因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ， 所以BC ⊥AD .又AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ， 所以平面ACD ⊥平面BCD .(2)解法一 在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连接ME . 因为DE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AC ， 又DM ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面DME ，EM ⊂平面DME ，所以EM ⊥AC ， 所以∠DME 为二面角D －AC －B 的平面角． 设AD ＝a ，则AB ＝2a .在Rt △ADC 中，易求得AM ＝5a 5，DM ＝25a5.在Rt △AEM 中，EM AM ＝tan ∠BAC ＝12，得EM ＝5a10，所以cos ∠DME ＝EM DM ＝14.解法二 以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，如图所示．设AD ＝a ，则AB ＝2a ，所以A (0，－2a ，0)，C (－a ，0，0)．由(1)知AD ⊥BD ，又ABAD＝2，所以∠DBA ＝30°，∠DAB ＝60°，所以AE ＝AD cos ∠DAB＝12a ，BE ＝AB －AE ＝32a ，DE ＝AD sin ∠DAB ＝32a ， 所以D ⎝⎛⎭⎫0，－32a ，32a ，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ，AC →＝(－a ，2a ，0)．设平面ACD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12ay ＋32az ＝0，－ax ＋2ay ＝0.取y ＝1，则x ＝2，z ＝－33，所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，1，－33. 因为平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3322＋12＋⎝⎛⎭⎫－332＝－14.结合图知，二面角D －AC －B 为锐二面角，所以二面角D －AC －B 的余弦值为14.19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三上学期期末考试]每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图．(1)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数x (精确到个位)，σ2近似地等于样本方差s 2，s 2≈33.6，假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数．附：33.6≈5.8，若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.解析：(1)x ＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.(2)由题意得，μ≈45，σ≈5.8，μ－σ＝39.2，μ＋σ＝50.8，P (39.2<t <50.8)＝0.682 6， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间(39.2，50.8)的人数约为10 000×0.682 6＝6 826. 20．(12分)[2019·山东滨州联考]已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点M 的纵坐标为6，且点M 到焦点F 的距离为7.(1)求抛物线E 的方程；(2)设l 1，l 2为过焦点F 且互相垂直的两条直线，直线l 1与抛物线E 相交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线E 相交于C ，D 两点，若直线l 1的斜率为k (k ≠0)，且S △OAB ·S △OCD ＝8，试求k 的值．解析：(1)由抛物线的定义知，点M 到抛物线的准线的距离为7，所以6＋p2＝7，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由题意可知l 1的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 216(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．由点O 到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1， 得S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4(k 2＋1)×1k 2＋1＝2k 2＋1.因为l 1⊥l 2，所以同理可得S △OCD ＝2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝2k 2＋1|k |. 由S △OAB ·S △OCD ＝8，得2k 2＋1×2k 2＋1|k |＝8， 解得k 2＝1，即k ＝－1或k ＝1.21．(12分)[2019·贵州贵阳监测]已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1e x(m ≥0)，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若m ∈(1，2)，证明：当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．解析：(1)由题意得f ′(x )＝－x 2＋(m －2)x ＋1－m e x ＝－[x －(1－m )](x －1)e x，当m ＝0，即1－m ＝1时，f ′(x )＝－(x －1)2e x≤0，f (x )在R 上单调递减；当m >0，即1－m <1时，令f ′(x )<0，得x <1－m 或x >1，令f ′(x )>0，得1－m <x <1.∴f (x )在(－∞，1－m )，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m ，1)上单调递增．(2)令g (x )＝－x ＋1＋1e，问题转化为证明f (x )min >g (x )max .由(1)可知，m ∈(1，2)时f (x )在[1，m ]上单调递减，∴f (x )min ＝f (m )＝2m 2＋1em .∵g (x )在[1，m ]上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝1e.所以要证f (x )min >g (x )max ，只需证2m 2＋1e m >1e.记h (m )＝2m 2＋1e m (1<m <2)，则h ′(m )＝－2m 2＋4m －1e m，令h ′(m )>0，得1<m <2＋22，令h ′(m )<0，得2＋22<m <2，∴h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2上单调递减．又2×12＋1e 1＝3e ，2×22＋1e 2＝9e2，∴对任意的m ∈(1，2)，都有h (m )>3e >1e，即当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·南宁市高三毕业班第一次适应性测试]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋r cos φ，y ＝1＋r sin φ(r >0，φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0.若直线l 与曲线C 相切．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0得 32ρcos θ－12ρsin θ＋1＝0， 则直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0. 曲线C 是圆心为(3，1)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得r ＝|3×3－1＋2|2＝2.则曲线C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3. (2)由(1)不妨设M (ρ1，θ)，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π6 ⎝⎛⎭⎫ρ1>0，ρ2>0，－π3<θ<2π3.S △MON ＝12|OM |·|ON |·sin π6＝14ρ1ρ2＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2 ＝2sin θcos θ＋23cos 2θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋ 3. 当θ＝π12时，△MON 面积的最大值为2＋ 3.23．(10分)[2019·四川资阳一诊][选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x |，g (x )＝|2x －2|. (1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)不等式f (x )>g (x )，即|2x －2|<|x |. 则(2x －2)2<x 2，即(2x －2)2－x 2<0，故有(3x －2)(x －2)<0，解得23<x <2.则所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)2f (x )＋g (x )＝2|x |＋|2x －2|，若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，则①当x ≤0时，只需不等式－2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即ax <－4x ＋1，x ＝0时，该不等式恒成立，a ∈R ；x <0时，a >－4＋1x恒成立，可得a ≥－4.②当0<x <1时，只需不等式2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即a <1x 恒成立，可得a ≤1.③当x ≥1时，只需不等式2x ＋2x －2>ax ＋1恒成立，即a <4－3x恒成立，可得a <1.综上，实数a 的取值范围是[－4，1)．。
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)(含答案解析)
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设集合U ={1，2，3，4}，集合A ={x ∈N |2x −5x +4<0}，则U A ð=（ ）A ．{1，4}B ．{1，2}C ．{2，4}D ．{1，3，4} 2．已知复数z =i1im (m >0)，z ·z =1，则z =（ ） A ．2+2i B ．2−2i C ．2+2i D ．2−2i 3．已知数列{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，若2017S =4 034，则3a +1009a +2015a =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 4．某几何的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．4π+4B ．3π+4C ．3πD ．32π+4 5．已知0<a <b <1，则下列结论正确的为（ ）A ．3a >3bB ．ln a a >ln b bC ．1()a e <1()b e D ．log 3a >log 3b6．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．3 7．已知将函数()f x =a sin2x +b cos2x 的图象向右平移6π个单位长度后所得到的图象关于直线x =4π对称，则b a 的值为（ ）A 3B ．1C 3D ．2 8．已知x ，y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数z =1y x m +-的取值范围为[0，2)，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[0，12]B ．(−∞，12]C ．(−∞，12) D ．(−∞，0]9．已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2210．已知直线y 25与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)交于A ，B 两点，若在双曲线上存在点P ，使得|P A |=|PB 3AB |，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B ．3 C ．52D 511．已知二次函数()f x =a 2x −2x +2c，x ∈R 的值域为[0，+∞)，其图象过定点(0，1)，且()g x =x ()f x +b 2x +a 在区间(12，1)上不是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ）A ．(0，2B ．(0，2C ．[2+∞)D ．(2+∞)12．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，n S =(−1)n n a +12n +2n −6， 且(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(−74，234) B ．(−∞，234) C ．(−74，6) D ．(−2，234) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若(1x−2x )n 的常数项是15，则展开式中3x 的系数为 ．14．已知AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为150°，|AB u u u r |AC u u u r AP u u u r =λAB u u u r +μAC u u u r ，且AP u u u r ⊥BC uuu r ，则λμ的值为 ．15．已知函数()f x =2x −2x sin2πx +1的两个零点分别为a ，b (a <b )，则a ⎰dx = ．16．已知直线y =kx +1与抛物线2y =2x 相切于M 点，过M 点作两条直线，分别与抛物线交于A 、B 两点，若两直线的斜率之和为0，则直线AB 的斜率为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +c cos A =2b cos B ，b ． (1)求证：角A ，B ，C 成等差数列； (2)求△ABC 面积的最大值． 18．(本小题满分12分)某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示45名同学的饮食指数．说明：饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类．(1)根据茎叶图，完成下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”，说明理由；喜食蔬菜喜食肉类合计男同学女同学合计(2)用分层抽样的方法按照喜食蔬菜、喜食肉类从全班同学中随机抽取15名同学进行进一步调查，记抽到的喜食肉类的女同学的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：2K=2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++．P(2K≥k) 0．10 0．05 0．01k2．706 3．841 6．63519．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=60°，点A在平面PBC上的射影为PB的中点O，PB⊥AC．(1)求证：PC=PD；(2)求平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别是点1F ，2F ，其离心率e =12，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆面积的最大值为． (1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，AC BD ⋅u u u r u u u r =0，求|AC u u u r |+|BD u u u r|的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =(x −a )x e −2x ．(1)若a =1，x ∈[0，1]，求函数()f x 的最值；(2)若a ∈Z ，函数()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，求a 的最大整数值．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρθ．(1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为(3，求|P A |+|PB |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知二次函数()f x =2x −bx +c 在 x =1处取得最小值−1． (1)解不等式|()f x |+|()f x -)| 6|x |；(2)若实数a 满足|x −a |<1，求证：|()f x −()f a |<2|a |+3．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)答案1．A 【解析】由2x −5x +4<0得1<x <4，由于x ∈N ，所以A ={2，3}，于是U A ð={1，4}．2．A 【解析】解法一 z =i 1i m +=i(1i)(1i)(1i)2m m -=+-+2m i ，z =2m −2mi ，z·z =22m =1， 又m >0，则mz=2+2i ，选A ． 解法二 由题意知|z|=|i ||1i |m =+，由z·z =2||z ，得22m =1， 又m >0，则m==2+2i ，选A ． 3．C 【解析】依题意，120172017()2a a +=4 034，所以21009a =1a +2017a =4，3a +1009a +2015a =31009a =6，选C ．4．B 【解析】由三视图，可得到该几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体，因而其侧面积S =34×2π×1×2+2×1×2=3π+4，故选B ．5．D 【解析】对于A ，由于y =3x 为增函数，因而3a <3b ，故A 错误；对于B ，令y =x ln x ，y '=ln x +1，则y =x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，1)上单调递增，则ln a a ，ln b b 的大小关系不确定；对于C ，y=1()x e 为减函数，所以1()a e >1()b e；对于D ，y=3log x 为增函数，因而3log a <3log b <0， 则log 3a =31log a >31log b=log 3b ．故选D ． 6．B 【解析】第一次循环：S =2×1+20=3，i =3；第二次循环：S =2×3+23=14，i =5；第三次循环：S =2×5+214，i =7，此时S >2 017，结束循环．故输出的i 的值是7． 7．C 【解析】通解 ()f x =a sin 2x +b cos 2xx +φ)，其中tan φ=ba，将其图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为()6f x π- =22a b +sin(2x −3π+φ)，其对称轴为2x −3π+φ=kπ+2π，k ∈Z ，由题意知其中一解为x =4π，则φ=kπ+3π，k ∈Z ，即tan φ=b a =3，故选C ．优解 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为y=a sin2(x −6π)+b cos 2(x −6π)，因为所得图象关于直线x =4π对称，则4y x π'==2[a cos(2x −3π)−b sin(2x −3π)]4x π==3a −b =0，因而b a =3，故选C ． 8．C 【解析】由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z=1y x m+-的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，−1)连线的斜率．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即B (2，−1)．由题意知m =2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0．由y =−1与2x −y −2=0得交点C (12，−1)，在点A由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0，2)，则m <12，故选C ． 9．A 【解析】根据题意作出图形如图所示，设球心为O ，过A ，B ，C 三点的小圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC ，连接1CO 并延长交球面于点D ，连接SD ，则SD ⊥平面ABC ．∵1CO =2332⨯=33，∴1OO =63，∴三棱锥的高SD =21OO =263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴ABC S ∆=34， ∴三棱锥的体积V =132623436⨯⨯=，故选A ． 10．B 【解析】通解 由2222251y x x y ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22x a −2245x b =1，则2x =221145a b -，2y =2245145a b -， 因而|OA |2=|OB |2=2295145a b -，如图，连接OP ，由于|P A |=|PB |，因而直线OP 的方程为y=−52x ，同理可得|OP |2=2294154a b-，又|P A |=|PB |=3|AB |，∴|OP |2=2|OA |2， 从而得22b a =2，∴e =221b a+=3，故选B ．优解 连接OP ，设|OA |=m >0，由题意知|OP 2|OA 2m ，且OP ⊥OA ，设直线AB 的倾斜角为α，则tan α=255，因而sin α=23，cos α=53，不妨设点A 在第一象限，则A (53m ，23m )，直线OP 的倾斜角为2π+α，同理可得P (−23m 10)或(23m ，10m )，∵A ，P 均在双曲线上，∴2259m a−2249m b =1，且2289m a −22109m b =1，则259a −249b =21m =289a −2109b，解得22b a =2， ∴eB ．11．A 【解析】由函数()f x 的图象过定点(0，1)得c =2，又()f x 的值域为[0，+∞)，则a >0，244ac a-=0，因而a =1，则()f x =2x −2x +1，()g x =3x +(b −2)2x +x +1， ()g x ' =32x +2(b −2)x +1，由题意知方程()g x '=0在区间(12，1)上有解，由于()g x '=0不能有两个相等的实根，因而Δ=4(b −2)2−12>0， 即b或b，同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−， 所以0<b，从而0<b，故选A ． 12．A 【解析】∵n S =(−1)n n a +12n +2n −6，∴当n 2时，1n S -=(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8， 两式相减得，n a =(−1)n n a + 12n +2n −6−[(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8]，整理得[1−(−1)n ]n a =(−1)n 1n a -+2−12n (n 2) (*)．又n S =(−1)n n a +12n +2n −6，∴1S =−1a +12+2−6，即1a =−74．①当n 为偶数时，化简(*)式可知，1n a -=12n −2，∴n a =112n +−2(n 为奇数)；②当n 为奇数时，化简(*)式可知，2n a =−1n a -+2−12n ，即12n −4=−1n a -+2−12n ，即1n a -=6−112n -，∴n a =6−12n (n 为偶数)． 于是n a =112216,2n nn n +⎧-⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，为奇数为偶数．∵对任意n ∈N *，(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，∴对任意n ∈N *，(p −1n a +)(p −n a )<0恒成立．又数列{21k a -}单调递减，数列{2k a }单调递增，∴当n 为奇数时，有n a <p <1n a +，则1a <p <11a +，即−74<p <234；当n 为偶数时，有1n a +<p <n a ，则21a +<p <2a ，即−3116<p <234．综上所述，−74<p <234，故选A ．13．−20【解析】设第r +1项是常数项，则1r T +=C r n (1x)n r -·(−2x )r =(−1)r C r n x3n r-+， 由−n +3r =0得n =3r ，又(−1)r C r n =15，所以n =6，r =2．设第m +1项是含3x 的项，则1m T +=(−1)m 6C m x 63m -+，令−6+3m =3，得m =3，则展开式中3x 的系数为3(1)-36C =−20．14．59【解析】通解 由AP u u u r ⊥BC uuu r ，得AP u u u r ·BC uuu r =0，即(λAB u u u r +μAC u u u r )·(AC u u u r −AB u u u r )=(λ−μ) AB u u u r ·AC u u u r −λ2AB u u u r +μ2AC u u u r =(λ−μ)×3×1×(−32)−λ×2(3)+μ×21=52μ−92λ=0，因而λμ=59．优解 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则由题意知AB u u u r =(3，0)，AC u u u r =(−3，12)，BC uuu r =(−33，12)，AP u u u r =(3λ−3μ，12μ)，由AP u u u r ⊥BC uuu r ，得−332(3λ−32μ)+14μ=0，得λμ=59．15．2π【解析】函数()f x 的零点，即方程()f x =2x −2x sin 2πx +1=0的根， 由于x =0不是方程的根，因而可化为2sin 2πx =x +1x ，又x +1x ∈(−∞，−2]∪[2，+∞)，所以sin 2πx =±1，则2x ±2x +1=0，从而x =±1，因为a <b ，所以a =−1，b =1，因而21ax -⎰dx =121x --⎰，由定积分的几何意义，知121x --⎰=2π． 16．−12【解析】数形结合可知k ≠0，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2k 2x +2(k −1)x +1=0，因而Δ=4(k −1)2−42k =0，即k =12，从而2x −4x +4=0，则M (2，2)，设直线MA 的方程为y−2=m (x −2)，易知m ≠0，由2222y mx my x=+-⎧⎨=⎩，得m 2y −2y+4−4m =0，解得y =2m −2或2，即A (2(1m −1)2，2m−2)， 同理设直线MB 的方程为y −2=−m (x −2)，得B (2(1m +1)2，−2m−2)，则AB k =22112(1)2(1)112(1)2(1)m m m m------+=−12．17．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ，（1分）即sin(A +C )=2sin B cos B ，从而可得cos B =12． ∵在△ABC 中，0<B<π，∴B =3π，（3分） ∴A +C =23π=2B ， ∴角A ，B ，C 成等差数列．（5分）(2)由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ，得2a +2c −ac =3， 即ac 3，当且仅当a =c 时等号成立．（7分）ABC S ∆=12ac sin Ba =c 时取等号，即△ABC面积的最大值为4．（12分） 18．【解析】(1)根据茎叶图，完成的2×2列联表如下，计算得2K =245(19367)3692025⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=0.562 5<2.706，对照临界值得出，没有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”．（5分）(2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×1545=3，所以ξ的可能取值有0，1，2，3．P (ξ=0)=3639C C =521，P (ξ=1)= 216339C C C =1528， P (ξ=2)= 126339C C C =314，P (ξ=3)= 3339C C =184．（10分） 所以ξ的分布列为ξ 0123P521 1528 314 184所以ξ的数学期望Eξ=0×21+1×28+2×14+3×84=1．（12分）【备注】本题的易错点是审题不仔细，对所给图表理解不清，不能从图表中准确提取信息，另外，对于这类题目，运用公式不难，但运算量大，对运算能力要求较高，不少考生过不了运算关．把分层抽样、独立性检验与离散型随机变量的分布列与数学期望结合起来进行考查，代表了统计案例解答题的一种命题趋势，这类试题难度不大，但考查的知识面较广． 19．【解析】(1)如图，连接CO ，由题意知PB ⊥AO ，且AP =AB =2，又PB ⊥AC ，AO ∩AC =A ，因而PB ⊥平面AOC ． 又CO 平面AOC ，则PB ⊥OC ，（2分） 又O 为PB 的中点， 因而PC =BC =2，（3分）又ABCD 是菱形，且∠ABC =60°，则AC =2，所以OA =OC =1． 作DH ⊥平面PBC 于H ，连接PH ，CH ，则PH =DH =1， 因而PD =2，即PC =PD ．（5分）(2)解法一 以O 为坐标原点，OC ，OP ，OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，C (1，0，0)，P (0，1，0)，D (1，1，1)， PC uuu r =(1，−1，0)，PD u u u r=(1，0，1)， （7分） 设平面PCD 的法向量为m =(x ，y ，z )，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，即00x y x z -=⎧⎨+=⎩， 取x =1，则y =1，z =−1，所以m =(1，1，−1)是平面PCD 的一个法向量，（9分） 易知平面BAP 的一个法向量为n =(1，0，0)， 那么cos<m ，n >=||||⋅⋅m n m n =331=⨯， 即平面BAP 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为3．（12分）解法二 由(1)知平面BAP ∥平面HCD ，因而等价于求平面HCD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，由于PH ⊥平面HCD ，则PH ⊥CD ，如图，作HM ⊥CD 于M ，连接PM ， 由PH ∩HM =H ，得CD ⊥平面PHM ，（6分）所以CD ⊥PM ，则∠PMH 为二面角P −CD −M 的平面角． 在直角三角形HCD 中，CD 112+=， 则HM =222=tan ∠PMH 222=，因而cos ∠PMH=3，（10分） 所以平面BAP 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3． （12分） 【备注】从近几年高考题来看，立体几何的考查往往避开规则几何体，给人以新颖感，但无论如何创新，空间中线线、线面、面面的位置关系是必考点，一般位于第(1)问，要求考生运用性质定理、判定定理进行推理证明，当然借助向量解决也是一种趋势．在运用向量法求解时，关键是注意以下几点：①如何恰当地建立空间直角坐标系；②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示，能否顺利坐标化；③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论；④运算结果和证明的结论不一致时，应该及时检查初始点或基向量是否正确；⑤运用向量法求二面角时要注意判断二面角是锐角还是钝角． 20．【解析】(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取得最大值，此时12PF F ∆的面积S =12·2c ·bc①．（1分）又椭圆的离心率e =12，所以c a =12②，（2分）联立①②解得a =4，c =2，2b =12，所以椭圆的方程为2211612x y +=．（4分）(2)由(1)知1F (−2，0)，因为AC BD ⋅u u u r u u u r=0，所以AC ⊥BD ．①当直线AC ，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC u u u r |+|BD u u u r|=8+6=14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0时，其方程为y=k (x +2)，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得(3+42k )2x +162k x +162k −48=0．（6分）设A (1x ，1y )，C (2x ，2y )，则1x +2x =−221634k k +，1x 2x =22164834k k -+，所以|AC u u u r|1x −2x=2224(1)34k k ++，直线BD 的方程为y =−1k(x +2)，同理可得|BD u u u r |=2224(1)43k k ++，所以|AC u u u r |+|BD u u u r|=2222168(1)(34)(43)k k k +++，（8分）令1+2k =t ，则t >1，所以|AC u u u r |+|BD u u u r |=22221681681681(41)(31)12112t t t t t t t t ==--++-+， 设()f t =21t t-(t >1)，则()f t '=32t t -+， 所以当t ∈(1，2)时，()f t '>0，当t ∈(2，+∞)时，()f t '<0，（10分） 故当t =2时，()f t 取得最大值14． 又当t >1时，()f t =21t t ->0，所以0<21t t- 14， 所以|AC u u u r |+|BD u u u r |∈[967，14)．综上，|AC u u u r |+|BD u u u r |的取值范围为[967，14]．（12分）【备注】解决本题的关键有以下几点：(1)熟练掌握有关椭圆的基础知识；(2)注意对特殊情况进行讨论，如本题中讨论了直线斜率不存在的情况；(3)正确利用题目所给条件得到|AC u u u r|，|BD u u u r|的表达式；(4)灵活运用函数的有关知识求最值．21．【解析】(1) 若a =1，则函数()f x =(x −a )x e −2x ，()f x '=x e +(x −1)x e −2x =x (x e −2)．令()f x '=0，则x =0或x =ln 2，由于x ∈[0，1]， 因而当x ∈(0，ln 2)时，()f x '<0，()f x 单调递减， 当x ∈(ln 2，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 所以()f x 的最小值为(ln 2)f =−1−(ln 2−1)2，最大值为(0)(1)f f ==−1．（5分） (2) ()f x '=x e +(x −a )x e −2x =(x +1−a )x e −2x ，由()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，得()f x ' 0在x ∈[0，+∞)上恒成立， 即(x +1−a )x e −2x 0，x ∈[0，+∞)， 分离参数得1−a2x xe−x ，x ∈[0，+∞)．（7分） 设()g x = 2x x e −x ，则()g x '=22x xe-−1=22x xx e e --， 令()g x '=0，即2−2x −x e =0．（8分）设()h x =2−2x −x e ，由于(0)h =1>0，1()2h<0，因而方程2−2x −x e =0在(0，12)上有解，设为0x ，则0x e =2−20x ，且当x ∈(0，0x )时，()g x '>0，当x ∈(0x ，+∞)时，()g x '<0，所以()g x 的最大值为0()g x =002x x e −0x =001x x -−0x =2001x x -．（10分）因而1−a 2001x x -，即a 1+2001x x -=3+011x -+0x −1，又0x ∈(0，12)，0x −1∈(−1，−12)，因而3+011x -+0x −1∈(12，1)，因而a 的最大整数值为0． （12分）【备注】在高考题中，函数与导数试题多以对数、指数形式出现，而且属于压轴题，对考生的能力要求很高，意在提高区分度，有利于选拔．试题一般考查含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等，解题时由于对参数的讨论往往比较复杂，因而考生通常会由于对参数的分类标准分析不到位而出现失误．在复习过程中，对于某些常规函数的性质及图象要做到了如指掌，如对数函数、y=ln xx以及y=x ln x 的图象等更要多加积累，并善于利用数形结合思想进行研究，寻求问题的求解方法．22．【解析】(1)由直线l的参数方程322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 得直线l 的普通方程为y =−x由ρθ，得2x +2y −=0，即圆C 的直角坐标方程为2x +(y2=5．（5分）(2)通解由22(53x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩得2x −3x +2=0，解得12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设A (1，，B (2，，又点P 的坐标为(3． 故|P A |+|PB（10分）优解 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−2t )2+(2t )2=5， 即2t −t +4=0．由于)2−4×4=2>0，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P (3，故|P A |+|PB |=|1t |+|2t |=1t +2t． （10分）23．【解析】(1)由题意知，二次函数图象的顶点为(1，−1)，得b =2，c =0，因而()f x =2x −2x ．不等式|()f x |+|()f x -| 6|x |，即|2x −2x |+|2x +2x | 6|x |， 当x =0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式化为|x −2|+|x +2| 6，从而2226xx x-⎧⎨-+--⎩≤≥，或20226xx x-<<⎧⎨-+++⎩≥或02226xx x<⎧⎨-+++⎩≤≥，或2226xx x>⎧⎨-++⎩≥，解得x −3或x 3，故不等式的解集为{x|x −3或x=0或x 3}．（5分）(2)因为|x−a|<1，所以|()f x−()f a|=|2x−2x−2a+2a|=|(x+a−2)(x−a)|=|x+a−2|·|x−a|<|x+a−2| |x−a|+|2a|+2<2|a|+3．（10分）。
2020年陕西省西安市高考第五次模拟考试(理科)数学试卷-含答案与解析
2020年陕西省西安市高考第五次模拟考试（理科）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若，则＝（）A﹣1 B1 C﹣3 D32设集合A＝{x|x＞a2}，B＝{x|x＜3a﹣2}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A（1，2）B（﹣∞，1）∪（2，+∞）C[1，2] D（﹣∞，1]∪[2，+∞）3若曲线y＝sin（4x+φ）（0＜φ＜2π）关于点对称，则φ＝（）A B C D4若x＞0，y＜0，则下列不等式一定成立的是（）A2x﹣2y＞x2BC2y﹣2x＞x2D5如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝（）A B C D617世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，根据这些信息，可得sin234°＝（）A B C D7若函数，在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（）A[0，17] B（﹣∞，17] C[1，17] D[1，+∞）8如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A（2，15），则圆C的半径为（）A B8 C D109函数f（x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|的图象大致为（）A BC D102019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为（）A20.5元B21元C21.5元D22元11在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，BC，C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG其中所有正确结论的编号是（）A①B②③C①②D①③12函数在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点个数为（）A2 B3 C4 D5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13随着互联网的发展，网购早已融人人们的日常生活网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为14设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边已知a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，则tan A＝15以椭圆在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为；该双曲线的渐近线方程为16已知直线y＝a与双曲线的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2|，若，则双曲线C的离心率为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d （1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n18（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，，，且AB＝B1C（1）证明：CD⊥平面ABB1A1（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值19（12分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80分及以上的产品为一等品（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望20（12分）已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线M：y2＝2px（p＞0）的准线经过C的左焦点F（1）求C与M的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与M交于P，Q两点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE的斜率为定值21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线l：θ＝β（ρ∈R）与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若，求l的直角坐标方程23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝3（1）证明：（2）证明：9ab+bc+4ac≥12abc参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若，则＝（）A﹣1 B1 C﹣3 D3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，作和得答案【解答】解：∵＝，∴，则＝故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2设集合A＝{x|x＞a2}，B＝{x|x＜3a﹣2}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A（1，2）B（﹣∞，1）∪（2，+∞）C[1，2] D（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】根据A∩B＝∅即可得出a2≥3a﹣2，求出a的取值范围即可【解答】解：∵A∩B＝∅，∴a2≥3a﹣2，解得a≤1或a≥2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]∪[2，+∞）故选：D【点评】考查交集的定义及运算，描述法的定义，空集的定义3若曲线y＝sin（4x+φ）（0＜φ＜2π）关于点对称，则φ＝（）A B C D【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求出φ的值【解答】解：∵曲线y＝sin（4x+φ）（0＜φ＜2π）关于点对称，∴4•+φ＝π或 4•+φ 2＝π，求得φ＝或φ＝，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题4若x＞0，y＜0，则下列不等式一定成立的是（）A2x﹣2y＞x2BC2y﹣2x＞x2D【分析】由已知可得2x﹣2y＞0，，则答案可求【解答】解：∵x＞0，y＜0，∴2x＞2y，∴2x﹣2y＞0，∵x＞0，∴，则2x﹣2y＞故选：B【点评】本题考查指数、对数函数与不等式的交汇，考查逻辑推理能力，是基础题5如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝（）A B C D【分析】根据条件可得出CD∥AB，AB＝2CD，从而得出【解答】解：∵C，D是半圆弧的两个三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，∴故选：D【点评】考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算617世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，根据这些信息，可得sin234°＝（）A B C D【分析】由已知求得∠ACB＝72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°【解答】解：由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°＝∴cos144°＝则sin234°＝sin（144°+90°）＝cos144°＝故选：C【点评】本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题7若函数，在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（）A[0，17] B（﹣∞，17] C[1，17] D[1，+∞）【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可【解答】解：函数，x∈（﹣∞，1]时，函数是增函数；x∈（1，+∞）函数是增函数，因为f（1）＝4，f（17）＝4，所以a的取值范围为：[1，17]故选：C【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查8如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A（2，15），则圆C的半径为（）A B8 C D10【分析】由题意利用直线和圆相切的性质，先求出圆心的坐标，从而求得半径【解答】解：∵圆C经过点（2，1）和点（2，15），故圆心在直线y＝8上又过点（2，1）的圆的切线为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0，故圆心在直线y﹣1＝x ﹣2上，即圆心在直线x﹣y﹣1＝0上由可得圆心为（9，8），故圆的半径为＝7，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，圆的标准方程，属于基础题9函数f（x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|的图象大致为（）A BC D【分析】根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|＝f（x），则函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x＞1时，f（x）＞0，排除A，当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键102019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为（）A20.5元B21元C21.5元D22元【分析】由排列组合中的相邻问题捆绑法运算可得解【解答】解：由排列组合中的相邻问题捆绑法可得：照片的总数为＝144，则每名老党员需要支付的照片费为＝21，故选：B【点评】本题考查了排列组合的应用，考查应用意识与解决实际问题的能力，属中档题11在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，BC，C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG其中所有正确结论的编号是（）A①B②③C①②D①③【分析】画出图形，判断三角形的形状即可判断①的正误；判断三角形的形状即可判断②的正误；利用直线与平面平行的判断定理即可判断③的正误；【解答】解：设正方体的棱长为：2，①由题意可知EG＝EF＝GF＝，所以△EFG为正三角形；所以①正确；②取AC的中点H，连接GH，A1H，可知GH∥C1F，∠A1GH就是异面直线A1G与C1F所成角，三角形A1GH是等腰三角形，A1G≠A1H＝GH，所以异面直线A1G与C1F所成角不是60°；所以②不正确；③△EGF是正六边形EKFMGN所在平面内的三角形，AC∥KF，可知AC∥平面EFG所以③正确；故选：D【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，空间直线与直线，直线与平面的位置关系的综合应用，属难题12函数在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点个数为（）A2 B3 C4 D5【分析】将函数化简为（x2﹣2x）e x＝，转换成两函数g （x）＝（x2﹣2x）e x，h（x）＝相交的个数即为零点个数，利用g（x）的导函数，分类讨论x范围，判断其单调性和函数的最值，数形结合可知两函数的交点的个数，可得答案；【解答】解：求函数在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点，令函数＝0，化简得（x2﹣2x）e x＝，设g（x）＝（x2﹣2x）e x，h（x）＝，则g′（x）＝（x2﹣2）e x当﹣3≤x＜﹣时，g′（x）＞0，当﹣＜x＜时，g′（x）＜0，当＜x≤3时，g′（x）＞0所以g（x）的极小值为g（）＝（2﹣2）＜h（），极大值为g（﹣）＝（2+2）＞h（﹣），又g（﹣3）＝＞＝h（﹣3），g（3）＞h（3），且h（x）在[﹣3，﹣），（﹣，0）上单调递增，在（0，），（，3]上单调递减，结合这两个函数的图象：可知这两个函数的图象共有4个交点，从而f（x）在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点个数为4个零点；故选：C【点评】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13随着互联网的发展，网购早已融人人们的日常生活网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为0.42【分析】由题意利用相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得结果【解答】解：在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为•0.7•（1﹣0.7）＝0.42，故答案为：0.42【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题14设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边已知a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，则tan A＝ 2【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知即可求解【解答】解：因为a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，所以sin2A＝2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝2cos A sin（B+C）＝2sin A cos A，又sin A＞0，所以sin A＝2cos A，即tan A＝2故答案为：2【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算运算求解能力，属于基础题15以椭圆在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为x2＝1 ；该双曲线的渐近线方程为y＝±2x【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为（a，b＞0），可得a，c，进而得到b的值，可得双曲线的方程然后求解渐近线方程【解答】解：椭圆在x轴上的顶点（，0）和焦点（±1，0），设双曲线的方程为（a，b＞0），可得a＝1，c＝，b＝2，可得x2﹣＝1双曲线的渐近线方程为：y＝±2x故答案为：x2﹣＝1；y＝±2x【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题16已知直线y＝a与双曲线的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2|，若，则双曲线C的离心率为或【分析】设出双曲线的焦点，利用一条渐近线方程可得P的坐标，结合已知条件列出方程，然后求解离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线：y＝，则P（，a），因为，所以，可得，所以，从而e＝＝，然后双曲线的渐近线为：y＝﹣，则p（﹣，a），同理可得e＝故答案为：或【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d （1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n【分析】（1）由题意可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求a n，求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和可得所求和【解答】解：（1）公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；或a n＝6+n﹣1＝n+5，n∈N*；（2）a1，a4，a13成等比数列，可得a1a13＝a42，即a1（a1+12d）＝（a1+3d）2，化为d＝0或2a1＝3d，由（1）可得a1＝3，d＝2，则a n＝2n+1，＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题18（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，，，且AB＝B1C（1）证明：CD⊥平面ABB1A1（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值【分析】（1）推导出CD⊥AB，连结B1D，设AB＝2a，推导出CD⊥B1D，由此能证明CD⊥平面ABB1A1（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出CD与平面A1BC 所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：∵D为AB的中点，AC＝BC，∴CD⊥AB，连结B1D，设AB＝2a，∵四边形ABB1A1是菱形，D为AB中点，∠ABB1＝，∴B1D＝，又△ABC为等腰直角三角形，，∴CD＝a，∴＝B1C2，∴CD⊥B1D，∵AB∩B1D＝D，∴CD⊥平面ABB1A1（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AB＝2a，则D（0，0，0），A1（0，2a，a），B（0，﹣a，0），C（a，0，0），∴＝（0，3a，），＝（0，a，0），＝（﹣a，0，0），设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣1，1，﹣），设CD与平面A1BC所成角为θ，则sinθ＝＝＝∴CD与平面A1BC所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80分及以上的产品为一等品（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，能求出a，由频率分布直方图能求出综合评分的中位数（2）设所抽取的产品为一等品的个数为X，则X～B（3，），由此能求出X的分布列和所抽取的产品为一等品的数学期望E（X）【解答】解：（1）由（0.005+0.010+0.025+a+0.020）×10＝1，解得a＝0.040，令中位数为x，则（0.005+0.010+0.025）×10+0.040×（x﹣80）＝0.5，解得x＝82.5，∴综合评分的中位数为82.5（2）由（1）与频率分布直方图知：一等品的频率为（0.040+0.020）×10＝0.6，设所抽取的产品为一等品的个数为X，则X～B（3，），∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝∴X的分布列为：X 0 1 2 3P所抽取的产品为一等品的数学期望E（X）＝3×＝【点评】本题考查概率、中位数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线M：y2＝2px（p＞0）的准线经过C的左焦点F（1）求C与M的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与M交于P，Q两点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE的斜率为定值【分析】（1）由题意可得a，c的值，运用b2＝a2﹣c2，求得b，可得椭圆C的方程，由M的准线经过点F，求得p，即可得解M的方程；（2）设直线l的方程为y＝kx+1，可得y2﹣y+1＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，又由，可得y D＝，可得D，E的坐标，计算k DE即可得证【解答】解：（1）由题意，可得2a＝2，2c＝2，所以a＝，c＝1，所以b＝＝1，所以C的方程为+y2＝1，所以F（﹣1，0），由于M的准线经过点F，所以﹣＝﹣1，所以p＝2，故M的方程为y2＝4x（2）证明：由题意可知，l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx+1，由，可得y2﹣y+1＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△＝1﹣k＞0，即k＜1，且k≠0，y1+y2＝，y1y2＝，又直线FP的方程为y＝（x+1），由，得y2﹣+4＝0，所以y1y D＝4，所以y D＝，从而D的坐标为（，），同理可得E的坐标为（，），所以k DE＝＝＝1为定值【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的顶点和焦点坐标，考查直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出，（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，对a分类讨论，利用单调性即可得出a的取值范围【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，设g（x）＝8x﹣sin﹣15，则g′（x）＝8﹣cos＞0，则g（x）单调递增，∵g（2）＝0，∴a＞2，当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1），∴a＞2，从而a＝e满足题意，当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，∴，∴，（*），设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，则h′（x）＝4e﹣cos＞0，则h（x）单调递增，∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），∴2＜a＜e，综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a 的取值范围为（2，e]【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线l：θ＝β（ρ∈R）与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若，求l的直角坐标方程【分析】（1）直接利用转换关系式的应用求出结果（2）利用极径的应用建立等量关系进一步求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4转换为极坐标方程为ρ＝4sinθ（2）曲线M的极坐标方程为所以将θ＝β代入，由于曲线C的极坐标方程ρ＝4sinθ，所以|OA|＝4sin θ，所以|OA||OB|＝，所以tanβ＝2，所以直线l的方程为y＝2x【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝3（1）证明：（2）证明：9ab+bc+4ac≥12abc【分析】（1）根据基本不等式，借助综合法即可证明，（2）方法一：利用分析法，根据基本不等式即可证明，方法一：利用分析法，根据柯西不等式即可证明【解答】证明：（1）∵a，b，c为正数，∴a+b≥2，a+c≥2，b+c≥2，∴2（a+b+c）≥2+2+2，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴（2）方法一：要证9ab+bc+4ac≥12abc，只需证++≥12，即证（++）（a+b+c）≥36，即证1+4+9++++++≥36，即证+++++≥22，因为+≥2＝4，+≥2＝6，+≥2＝12，∴+++++≥22，当且仅当a＝，b＝1，c＝取等号，从而9ab+bc+4ac≥12abc方法二：要证9ab+bc+4ac≥12abc，只需证++≥12，即证（++）（a+b+c）≥36，根据柯西不等式可得（++）（a+b+c）≥（×+×+×）2＝（1+2+3）2＝36，当且仅当a＝，b＝1，c＝取等号从而9ab+bc+4ac≥12abc【点评】本题考查了不等式的证明，考查了转化思想，属于中档题。
2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷5(含答案)
高考模拟试卷2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷5注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[益阳模拟]若i 为虚数单位，复数z 满足：()1i i z +=，则z =（ ） A ．2B ．1C ．2D ．222．[赤峰模拟]设集合{}2log 1A x x =≤，{}2B x x =∈≤Z ，则A B I 中的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．[钟祥模拟]某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，L ，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行， 若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）A ．623B ．328C ．253D ．0074．[东南七校]若双曲线以2y x =±为渐近线，且过()2,25A ，则双曲线的方程为（ ） A ．2214y x -=B ．2214y x -=C ．221168x y -=D ．221168y x -=5．[成都外国语]若平面向量(),1x =a ，()2,31x =-b ，若∥a b ，则x =（ ） A ．15B ．23-C ．1或23-D ．1或156．[海淀联考]如图，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和三棱锥1D ACD -后，得到一个n 面体，则这个n 面体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7．[陕师附中]函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．[延庆一模]已知数列{}n a 中，11a =，111n na a +=+，若利用下面程序框图计算该数列的 第2019项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016n ≤B ．2017n ≤C ．2018n ≤D ．2019n ≤9．[凯里一中]在锐角三角形ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边， 32sin b a B =，4a =，则ABC △面积的最大值为（ ） A ．3B ．43C ．83D ．16310．[上饶联考]已知函数()f x 是定义域为R 上的偶函数，若()f x 在(],0-∞上是减函数，高考模拟试卷且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()4log 1f x >的解集为（ ）A ．()20,2,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭U B ．20,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭UD ．()2,+∞11．[哈六中]已知()()sin f x x ωθ=+（其中0ω>，0π2θ<<），()()120f x f x ''==，12x x -的最小值为π2，且()3πf x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π6个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．()π,2ππk k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()2ππ,π63πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZC ．()5ππ,π36πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD ．()7ππ,π1212πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z12．[安徽联考]已知函数()()243,111,12x x x f x x x ⎧++≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若关于x 的不等式()()2f x m x <+恰有2个整数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．81,00,34⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UB ．81,00,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．31,00,24⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UD ．31,00,23⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[新疆诊断]设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，若2z x y =+的最大值为11，则m 的值为_____．14．[青岛一模]部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是__________．15．[东莞冲刺]已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 3'l 与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则NQ QF=_______．16．[吉安一中]已知在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，2BC CD ==7AC =锥A BCD -外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[成都外国语]已知数列{}n a 是等差数列，且21a =-，数列{}n b 满足()12,3,4n n n b b a n --==L ，且131b b ==． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式．18．（12分）[银川一中]2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计， 本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：高考模拟试卷经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元 30 捐款低于500元6 合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望． 附：临界值表()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．19．（12分）[聊城二模]如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE △折起，使点D 到达点P 的位置，且60PAB ∠=︒． （1）求证：平面PEC ⊥平面PAB ； （2）求二面角P AE B --的余弦值．20．（12分）[衡水联考]已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2，且122F F =． （1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN △的面积．高考模拟试卷21．（12分）[华大联盟]已知函数()2113ln 244f x x a xx =+++-，()ln g x x =． （1）求证：()21114f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭；（2）用{}max ,p q 表示p q ，中的最大值，记()()(){}max ,h x f x g x =，讨论函数()h x 零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[重庆诊断]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧⎪⎪⎨==-+⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos 0a a ρθ=>． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，设点()0,1M -，已知2MA MB AB ⋅=，求实数a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [皖南八校]已知函数()3223f x x x =---． （1）求不等式()f x x >的解集；（2）若关于x 的不等式()22f x a a <+恰有3个整数解，求实数a 的取值范围．高考模拟试卷绝密 ★ 启用前2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷5答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】∵11i 22i iz ==++，∴2z =．故选D ． 2．【答案】C【解析】因为{}2log 1A x x =≤，故{}02A x x =<≤， 因为{}2B x x =∈≤Z ，所以{}02A B x x =∈<≤Z I ， 所以{}1,2A B =I ，元素的个数为2，故选C ． 3．【答案】A【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前6个编号分别是：253，313，457，007，328，623， 则得到的第6个样本编号是623．故选A ． 4．【答案】A【解析】根据题意，双曲线以2y x =±为渐近线，设双曲线的方程为224y x t -=，又由双曲线经过点()2,25A ，则有()22544t -=，解可得1t =，则双曲线的方程为2214y x -=，故选A ．5．【答案】C【解析】(),1x =Q a ，()2,31x =-b ，且∥a b ，()31120x x ∴--⨯=，解得23x =-或1x =，本题正确选项C ．6．【答案】D【解析】由题意，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和 三棱锥1D ACD -后，得到一个7面体，根据几何体的截面图，可得其左视图为D ，故选D ． 7．【答案】D 【解析】函数2ln x x y x=为偶函数，则图像关于y 轴对称，排除B ．当0x >时，2ln ln x x y x x x==，ln 1y x '=+，0e 1y x >⇒>'Q ，100ey x <⇒'<<，ln y x x ∴=在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．故选D ．8．【答案】C【解析】通过分析，本程序满足“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件， 第一次循环，12A =，即211112a a ==+，112n =+=，第二次循环，121312A ==+，即321213a a ==+，213n =+=，L ，第2018次循环，即求2019201811a a =+的值，201812019n =+=，此时满足题意，应退出循环，输出A 的值，所以判断框内应为2018n ≤，故选C ． 9．【答案】B【解析】在ABC △中，由正弦定理得sin sin a bA B=， 32sin b a B =，3sin 2sin sin B A B =，解得3sin A =， ABC Q △为锐角三角形，则21cos 1sin 2A A =-=， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2216b c bc =+-，22162bc b c bc ∴+=+≥，16bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立，13sin 432ABC S bc A bc ∴=⋅=≤△，故选B 项．10．【答案】C【解析】根据题意作出函数的简图如下：结合图像可得41log 2x >或者41log 2x <-，解之得2x >或者102x <<，故选C ．高考模拟试卷11．【答案】A【解析】∵()()sin f x x ωθ=+，其中0ω>，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()120f x f x ''==，21min π2x x -=，∴π122πT ω⋅==，∴2ω=，∴()()sin 2f x x θ=+． 又()π3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象的对称轴为π6x =，∴22πππ6k θ⋅+=+，k ∈Z ， 又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π6θ=，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()f x 的图象向左平移π6个单位得()sin 2cos236ππG x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，令2π22ππk x k ≤≤+，求得πππ2k x k ≤≤+，则()cos 2G x x =的单调递减区间是π,π2πk k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，故选A ． 12．【答案】C【解析】若0m =，显然不等式()()2f x m x <+仅有1个整数解2-；若0m <，如图（1）所示，不等式()()2f x m x <+的整数解为3-和2-， 即()()9123321616342m m -+<-+-+≥-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得302m -≤<；若0m >，如图（2）所示，不等式()()2f x m x <+的整数解为2-和1-， 即()14312122m m-+<-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得104m <≤．综上所述，实数m 的取值范围为31,00,24⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3【解析】作出不等式组2010x y x y x m -+≥+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩表示的区域，如下图：作出直线:20l x y +=，由图可得，当直线l 往上平移，经过点(),2m m +时，z 最大， 由已知得2211m m ++=，解得3m =． 14．【答案】916【解析】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得()991616S P A S ==小三角形小三角形，故选B ． 15．【答案】2【解析】由抛物线定义可得MF MN =，3l '倾斜角为π3，MN l ⊥，所以π3NMF ∠=，即三角形MNF 为正三角形，因此NF 倾斜角为2π3，由2232y px p y x =⎫=--⎪⎭⎧⎪⎨⎪⎩，解得362p p x x ==或（舍），即6Q px =，62226P P NQ P P QF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-．16．【答案】28π3【解析】高考模拟试卷2AB AD BD ===Q ，2BC CD ==，ABD ∴△是正三角形，BCD △是等腰直角三角形，设ABD △中心为2O ，P ，BCD △外心为1O ，则1O 是斜边BD 的中点， 所以11CO =，13AO =，123O O =， 设三棱锥A BCD -外接球球心为O ， 则1OO ⊥平面BCD ，2OO ⊥平面ABD ， 由余弦定理13cos 213AO C ∠==-⨯⨯， 15π6AO C ∠=，125π6ππ23OO O ∠=-=，112232OO O O ∴==， 设球半径为R ，22221147133R OC OO CO ==+=+=，∴球的表面积为228π4π3R =，故答案为28π3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）3-；（2）244n b n n =-+．【解析】（1）由数列{}n b 满足1n n n b b a --=，（2n ≥，n ∈*N ），2121b b a ∴-==-，131b b ==，20b ∴=，3321a b b =-=，Q 数列{}n a 是等差数列，()32112d a a ∴=-=--=，12123a a d ∴=-=--=-，1a 的值为3-．（2）由（1）可知数列{}n a 是以3-为首项，以2为公差的等差数列，()32125n a n n =-+-=-，∴当2n ≥时，125n n b b n --=-，()12215n n b b n ---=--，L ， 211b b -=-，将上述等式相加整理得()()211251432n n b b n n n -+--=⋅-=-+，244n b n n ∴=-+，（2n ≥），当1n =时，11b =也满足，244n b n n ∴=-+（n ∈*N ）． 18．【答案】（1）见解析；（2）()218E ξ=． 【解析】（1）如下表：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计 捐款超过500元 30 9 39 捐款低于500元5 6 11 合计351550()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． （2）设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x ，y ，则(),x y 可以看成平面中的点． 试验的全部结果所构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，则1S Ω=，事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =≥≤≤≤≤，即图中的阴影部分面积为111712228A S =-⨯⨯=，所以()78A S P A S Ω==，高考模拟试卷连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数记为ξ，则73,8B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()218E ξ=．19．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以折起后PE PA ⊥，且PA AB =， 因为60PAB ∠=︒，所以PAB △是正三角形，所以PB PA =．又因为正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，所以EA EB =，所以PAE PBE ≅△△， 所以EPB EPA ∠=∠，所以PE PB ⊥， 又因为PA PB P =I ，所以PE ⊥平面PAB ． 又PE ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PAB ． （2）取AB 中点F ，连结PF ，EF ，则AB PF ⊥，AB EF ⊥，又PF EF F =I ，则AB ⊥平面PEF ．又AB ⊂平面ABCE ，所以平面PEF ⊥平面ABCE ． 在平面PEF 内作PO EF ⊥于O 点，则PO ⊥平面ABE ．以O 点为原点，OF 为x 轴，OP 为z 轴，如图建立空间直角坐标系． 在PEF △中，PF 1PE =，2EF =．∴PO ==，12EO =，故P ⎛ ⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3,1,2PA ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()2,1,0AE =-u u ur ．设平面PAE 的一个法向量为()1,,x y z =n ，则由1100PA AE ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=u u u ru u u rn n ，得30220x y x y --=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令1x =，得2y =，z =，∴11,2,⎛= ⎝⎭n ． 因为平面ABE 的法向量为()20,0,1=n ，则1213cos 441,==-n n ， 又二面角P AE B --为锐二面角，∴二面角P AE B --的余弦值为14．20．【答案】（1）2212x y +=；（2）23．【解析】（1）由题得，22c a c ==⎧⎪⎨⎪⎩，解得1a c ⎧==⎪⎨⎪⎩1b =， 所以椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20l BF k k +=． 由（1）知，椭圆E 的方程为2212x y +=，所以()21,0F ，()0,1B -，所以210101BF k --==-，从而1l k =-，所以直线l 的方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=． 联立方程2221034012x y x x x y ⎧⎪⎨⎪+-=⇒-=+=⎩，解得0x =或43x =． 设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨取10x =，243x =，所以当10x =，11y =；当243x =，213y =-， 所以()0,1M ，41,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭．MN =．设原点O 到直线l 的距离为d，则d =，所以112223OMN S MN d =⨯⨯==△． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：设()()21111ln 14x f x a x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=--+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，定义域为()0,+∞，则()22111x x x x xϕ'-=-=． 当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>， 故()x ϕ在()0,1内是减函数，在()1,+∞内是增函数， 所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，所以()()()min10x x ϕϕϕ≥==，所以()21114f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭．（2）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞，高考模拟试卷()()()23233211111212222x x x x f x x x x x x '+---=--==， 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,1内是减函数，在()1,+∞内是增函数， 所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点， 即()()min 1f x f a ==， 若0a =，则()()()()221311132444x x f x g x x x x -+-=+-=-， 当01x <<时，()()f x g x >；当1x =时，()()f x g x =；当1x >时，()()f x g x <． 所以()()(),01,1f x x h xg x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，于是()h x 只有一个零点1x =．当0a >，则当01x <≤时，()()f x g x >，此时()()0h x f x a =≥>， 当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，此时()0h x >， 所以()h x 没有零点．当0a <，则当01x <<时，根据（1）可知，()21114f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，而01<<，所以()211104f a >-+=， 又因为()()min 10f x f a ==<，所以()f x 在()0,1上有一个零点0x ， 从而一定存在()01,c x ∈，使得()()f c g c =， 即21130244a c c +-+=，所以2311424a cc -=+．当x c >时，()()22211311112024224444c x c x g x f x a x x c cx cx x x c -+⎛⎫-=--+-=--++=-+> ⎪⎝⎭， 所以()()g x f x >，从而()()(),0,f x x c h xg x x c⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，于是()h x 有两个零点0x 和1．故当0a <时，()h x 有两个零点．综上，当0a =时，()h x 有一个零点，当0a >时，()h x 没有零点，当0a <时，()h x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）直线10l y --=，曲线22:20C x y ax +-=；（2）a =． 【解析】（1）因为直线l的参数方程为121x t y ⎧⎪⎪⎨==-+⎪⎪⎩，消去t 化简得直线l10y --=，由2cos a ρθ=，得22cos a ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以222x y ax +=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y ax +-=．（2）将121x t y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，代入2220x y ax +-=，得221104t at ⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即)210t a t -+=，)240Δa=->，则12t t a +=，121t t =，∴121MA MB t t ⋅==， ∴21AB =，∴()())2222121212441AB t t t t t t a=-=+-=-=，∵0a >，∴a =)240Δa=->，∴a =23．【答案】（1）15,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ；（2）111,0,22⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ．【解析】（1）由题意，函数()3223f x x x =---，可得()21,32355,3231,2x x f x x x x x ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩， 因为()f x x >，所以当23x ≤时，1x x -->，12x <-； 当2332x <<时，55x x ->，5342x <<；高考模拟试卷当32x ≥时，1x x +>，32x ≥， 所以不等式()f x x >的解集为15,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ．（2）由（1）知()f x 的单调减区间为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，又()21f -=，()10f -=，()01f =-，()10f =，()23f =， 所以2021a a <+≤，所以112a -≤<-或102a <≤，故a 的取值范围为111,0,22⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ．。
2020届数学理科高考模拟汇编卷(五).pptx
底面PAB 的距离d 1 AC 1 ，由正弦定理得PAB 的外接圆半径r
PA 1 ，
2
2
2sin 60 3
所以球 O 的半径为 R d 2 r2 7 ，所以球 O 的表面积为 S＝4πR2＝ 7π .
12
3
11 答案及解析： 答案：B
学海无 涯
解析：
对于选项 A log ac
lg c ,log lg a
故“
a
0,b
0
”是“
b a
a b
…2
”的充分不必要条件
4 答案及解析：
学海无 涯
答案：C
解析：令 x 2 3 ,解得 x 1 代入 g x 2 2x 3 ，即 g 3 5 .故选 C.
5 答案及解析：
答案：A
解析：由 tan 3 ,得 sin 3 , cos 4 或 sin 3 , cos 4 ,所以
A． 2 2
B． 3 2
C． 5 2
D． 2
10、已知球 O 是三棱锥 P－ABC 的外接球， PA＝AB＝PB＝AC＝1， CP 2 ，点 D 是
7 PB 的中点，且 CD ，则球 O 的表面积为（ ）
2
7π A. 3
7π B. 6
7 21π
C.
21
7 21π
D.
54
11、若 a b 0, 0 c 1,则( )
学海无 涯
1 求直方图中 x 的值； 2 求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层 抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 19、如图,在多面体 ABCDEF 中, AB DE EF 2 AD ,平面CDE 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为矩形, BC / /EF ,点 G 在线段CE 上,且 EG 2GC 2 2 AB
2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(五)教师版
绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共18页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2020·菏泽期末]已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =I （ ） A ．{}1- B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-【答案】D【解析】{}{}2|5|05A x x x x x x ==Q ＜或＞＞，{}=1,3,7B -，{}1,7A B ∴=-I ． 故选D ．2．[2020·宁波期末]已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当210a b c ==⎧⎨=⎩＞时，ac bc ＞不成立，所以充分性不成立，当 ac bca b ⎧⎨⎩＞＞时0c ＞成立，0c ≥也成立，所以必要性成立，所以“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的必要不充分条件，选B ． 3．[2020·赣州期末]元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A ．34B ．78C ．1516D ．3132【答案】C 【解析】1i =， （1）21,2x x i =-=，（2）()221143,3x x x i =--=-=， （3）()243187,4x x x i =--=-=， （4）()28711615,5x x x i =--=-=， 所以输出16150x -=，得1516x =，故选C ． 4．[2020·四川联考]已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的弦长为3b ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．34D ．32【答案】B【解析】过点1F 倾斜角为30︒的直线方程为：()3y x c =+，即30x y c -+=，则圆心班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封()0,0到直线的距离：2c d ==，由弦长公式可得：=，整理可得：22b c =，222a c c ∴-=，222a c =，则：21,22e e ==．本题选择B 选项． 5．[2020·吕梁一模]示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,0【答案】C【解析】由题意得A =()26282ωωππ=⨯+⇒=，把点(2,-代入方程可得34ϕπ=-，可得函数()g x 的一个对称中心为()10,0，故选C ．6．[2020·南宁二中]()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．13【答案】C【解析】611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭Q1x为，故()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是C ．7．[2020·铜仁四中]四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π【答案】C【解析】将四面体A BCD -置于一个长方体中，所以四面体A BCD -的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则根据图形可有222222136164100a b b c ac ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，则外接球的直径2R ===，所以R =，则球的表面积为24200S R =π=π，故选择C ．8．[2020·晋城一模]已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=对称，）A ．725-B ．34-C ．725D ．34【答案】C【解析】2,1232k k ϕπππ∴⨯-+=π+∈Z故选C ．9．[2020·衡水金卷]如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】取线段1B A中点为N ，计算得：同理，当N 为线段AC 或1CB 的中点时，C 项的图象特征．故选C ． 10．[2020·闽侯四中]在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） AB．C ．910D ．418【答案】C【解析】如图，存在实数m使得()01AE mAD m =≤≤u u u r u u u r，()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，434m m λμ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩，当25m =时，函数取得最小值910，故选C ．11．[2020·台州期末]()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞【答案】A【解析】函数()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，等价于()y f x =与()1y k x =+的图象恰有两个不同的交点，画出函数()1y k x =+的图象是过定点()1,0-斜率为k 的直线，当直线()1y k x =+经过点()1,2时，直线与()y f x =的图象恰有两个交点，此时，1k =，当直线经过点()0,3时直线与()y f x =的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与()y f x =的图象恰有两个交点，斜率在[)1,3内变化，所以实数k的取值范围是[)1,3．12．[2020·湖北联考]如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆(222x y-+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】0l(222x y-+=，；当AB x ⊥当AB 的斜率存在且不为0，设AB(222280k x x k -++=，∴8A D x x =当且仅当4A D x x =，即122A D x x ==，时取等号， 综上所述4AB CD +C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(五)
2020年江苏高考数学全真模拟试卷（五）（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={1,a },B ={－1,0,3},A U B ={－1,0,1,2,3},则实数a 的值为 ▲ ．2.若复数z =(1＋2i )(3－i),其中i 为虚数单位,则z 的模是 ▲ ． 3.执行如图所示的伪代码,则输出的T 的值为 ▲ ．4.某盒子中装有绿色小球3个、红色小球4个、橙色小球5个,从中随 机抽取1个小球,则未抽到橙色小球的概率是 ▲ ．5.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知抽到的最小编号为5号,则抽到的最大编号 为 ▲ 号．6.函数y =ln(x －x 2)的定义域是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲C : x 2a 2－y 2b 2=1 (a >0,b>0)的右焦点F 与左顶点A 的连线段的中点落在双曲线C 的准线上,则双曲线C 的离心率为 ▲ ．8.若函数f (x ) = sin （2x+φ） (0＜φ＜π2 )图象的一条对称轴方程为x=π6 ，则φ的值为 ▲ ．9.已知数列{a n }是等比数列,S n 是其前n 项和．若a 3=12,4a 2+a 4=48,则S 4的值是 ▲ ．（第3题图）10.若长方体的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 , 则该长方体的体积为 ▲ ． 11.如图,在圆内接四边形ABCD 中,AB =2,BC =6,AD =CD =4, 则AB → ・AC → 的值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，过直线l ：y =－x ＋5上一点P 作 直线,与圆C :x 2+(y +1) 2=2交于点M ，N .若M 是线段PN 的中点,则线段OP 的长是 ▲ ． 13.在△ABC 中,已知如sin B= 2 sin A ,则sin A 2 cos A ＋cos B的最大值是 ▲ ．14.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax －3a ， x ≥a ，－x 2＋ax －3a ，x ＜a ， 的图象与直线y =－2x 有3个交点,则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)α，β均为锐角，且cos α=526 26 , sin β=21313 .(1)求α＋β的值; (2)求tan （α－2β）的值.16.(本小题满分14分)如图,在四校锥P -ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,E 为侧棱PD 的中点，O 为AC 与BD 的交点.(1) 求证: OE ∥平面PBC ;(2) 若平面P AD ⊥平面ABCD ,AC =4,AB =5,sin ∠ABC =45,求证: AC ⊥PD .（第11题）（第16题）OACDBEP17.(本小题满分14分)为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: x2a2＋y2b2=1 (a>b>0)的右焦点、右顶点分别为F,A,过原点的直线与椭圆C交于点P,Q(点P在第一象限内),连结PA,QF.若AF=2,△OAP的面积是△OFQ面积的3倍.(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 已知M为线段P A的中点,连结QA,QM.①求证: Q,F,M三点共线;②记直线QP,QM,QA的斜率分别为k1,k2,k3,若k1＋k3＝52k2,求△PQM的面积.ACA1BB1（第17题）（第18题）19.(本小题满分16分)在等差数列{a n}中为其前n项和,且a2＋a3＝1,S10＝145.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 若a1＋a2＋a22＋…＋a2n,求T n ;(3) 若(2)中T n满足1T n＋1T n＋1≥415,求n的值.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e x－ax,其中e是自然对数的底数(1) 若g(x)=f(x)+f(－x),求g(x)的最小值;(2) 记f(x)的图象在x=t处的切线的纵截距为h(t),求h(t)的极值;(3) 若f(x)有2个零点x1,x2(x1<x2),求证:1x1＋1x2＞2.2020年江苏高考数学全真模拟试卷(五)（南通教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,点P (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 3对应的变换作用下得到点P'(3,3),求矩阵M 的特征值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12 (t ＋1t )，y ＝ 2 2 (t －1t)， (t 为参数).若曲线C 与直线l :y =x 相交于点A ,B ,求线段AB 的长.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知x ≥－1,y ≥－1,且x 3＋y 3≤1,，求证x ＋y ＋x 2＋y 2≤3.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C :y 2=2px 的准线方程为x =－1. (1) 求p 的值;(2) 过抛物线C 的焦点的直线l 交抛物线C 于点A ,B ,交抛物线C 的准线于点P ,若A 为线段PB 的中点,求线段AB 的长.23.(本小题满分10分)已知集合A ={1,2,3,…,m },数列{a n }(n ≥3)满足a n ∈A ,S n 为数列{a n }的前n 项和,记满足 S n =t 的数列{a n }的个数为f (n ,t ) (1)若m =2,求f (4,5), f (5,7);(2)若m =3,求f (n ,2n －2),f (n ,2n ＋2).（第22题）。
2020高考数学(理)全真模拟卷5(解析版)
备战2020高考全真模拟卷5数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|A x x a =>，{}2|430B x x x =-+≤，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．3a ≥C ．1a ≤D ．1a <【答案】D 【解析】分析：先化简集合B,再根据A B B ⋂=求出实数a 的取值范围. 详解：由题得{|13}B x x =≤≤.因为A B B ⋂=，所以B A ⊆,所以1a <. 故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即1a ≤，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验，{}1A x x =，{|13}B x x =≤≤，不满足A B B ⋂=，A B ⋂=（1,3）≠B.2．在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A ． 【解析】试题分析：(1)(2)3z i i i =+-=+，∴对应的点为(3,1)，位于第一象限． 考点：复数的乘除和乘方．3．如图，四边形ABCD 为正方形，ADE ∆为等腰直角三角形，设向量BC a =u u u v v ，BA b =u u u v v ，则CE =uu u v（ ）A ．1322a b --v vB ．1322a b -v vC ．1322a b -+v vD ．1322a b +v v【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算表示待求的向量，注意运用向量间的长度关系. 【详解】作EF BC ⊥，垂足为F ，则CE CF FE =+u u u v u u u v u u u v，又12CF CB =u u u v u u u v ，32FE BA =u u u v u u u v ，所以1322CE CF FE a b =+=-+u u v u v u u u v u u u v v .故选C.【点睛】本题考查平面向量的线性表示，化归与转化的数学思想,属于基础题.4．巳知函数1(),2(){2(1),2x x f x f x x ≥=+<，则2(log 3)f =A ．﹣32B ．2C ．16D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出log 23的范围为（1，2），然后结合函数的解析式可得f （log 23）=f （1+log 23）=321log 12+⎛⎫⎪⎝⎭=16． 【详解】由题意可得：1＜log 23＜2，因为函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，所以f （log 23）=f （1+log 23）=321log 12+⎛⎫ ⎪⎝⎭=16． 故选：C ． 【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握对数与指数的有关运算，并且加以正确的计算． 5．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，2b =，ABC ∆的面积等于ABC ∆外接圆的面积为（）A ．16πB ．8πC ．6πD ．4π【答案】D 【解析】 【分析】由三角形面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=，算出边c ，再根据余弦定理得出边a ，然后利用2sin a R A=即可算出ABC ∆外接圆的半径。
【精准解析】湖南省2020届高三新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷五
满足约束条件
y
0
，则 z 3x y 的最大值为______.
x y 1
【答案】3.
【解析】
【分析】
先作出约束条件满足的可行域，然后求出 z 3x y 的最大值即可
-7-
x 0
【详解】作出约束条件
y
0
满足的可行域：
x y 1
因为 O0,0, A1,0, B 0,1 ， z 3x y
在1, 2 上任取 x1 ， x2 ，且 x1 x2 .
f
x2
f
x1
x2
4 x2
x1
4 x1
x2
x1
4
x1 x2 x1x2
x2
x1
x1x2 x1x2
4
.
∵1 x1 x2 2 ，
∴ x2 x1 0 ， x1x2 4 0 ， x1x2 0 .
∴ f x2 f x1 0 ，∴ f (x2) < f (x1)，
解出不等式 x 2 0 即可
【详解】要使得 f x 3 x2 有意义，则有 x 2 0 ，即 x 2
所以 f x 3 x2 的定义域为 2,
故选：C 【点睛】本题考查的是求函数的定义域，较简单. 8.经过点 P(0 ，2) 且斜率为 2 的直线方程为( )
A. 2x y 2 0
11.已知角的终边过点 P(1, 2) ，则 sin 的值为 ．
【答案】 2 5 5
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 角 的 终 边 过 点 P(1, 2) ：
因为：
sin
y r
，
r
x2 y2
5, 则；
sin 2 5 5
考点：三角函数的定义.
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A． 2∶ 3 B．1∶ 2
C．1∶3
D．1∶ 3
答案 C
解析
由椭圆的光学性质可知，直线
l′平分∠
F1PF2
，因为S△PF1M＝ S△PF2M
||FF12MM||，又SS△ △PPFF12MM＝1212||PPFF12||||PPMM||ssiinn∠∠FF12PPMM＝||PPFF12||，故||FF12MM||＝||PPFF12||.由|PF1|＝1，
12．在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(a＋b)∶ (c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：
①△ABC 被唯一确定；②△ABC 一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC
＝7∶5∶3；④若
b＋c＝8，则△ABC
的面积是152
3 .
其中正确结论的序号是( )
A．13
B．14
C．15
D．16
答案 D
解析 10 以内的素数有 2,3,5,7，共 4 个，从中任取 2 个构成的素数对有 A24个．根据素数对(p，p＋2)称为孪生素数，知 10 以内的素数组成的素数对 (3,5)，(5,7)为孪生素数，所以能构成孪生素数的概率 P＝A224＝16，故选 D.
14．在(x2＋2x＋ y)6 的展开式中，x3y2 的系数为________(用数字作答)．
答案 60
1
解析 (x2＋2x＋ y)6＝[(x2＋2x)＋y 2 ]6，它展开式中的第 r＋1 项为 Tr
r
＋1＝Cr6(x2＋2x)6－ry2
，令2r＝2，
则 r＝4，T5＝C46(x2＋2x)2y2＝C46(x4＋4x3＋4x2)y2，
9．已知函数 f(x)＝－x3－7x＋sinx，若 f(a2)＋f(a－2)>0，则实数 a 的取 值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(－1,2) D．(－2,1)
答案 D 解析 因为 f′(x)＝－3x2－7＋cosx<0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上 是减函数，又因为 f(x)是奇函数，所以由 f(a2)＋f(a－2)>0 得 f(a2)>－f(a－2) ＝f(2－a)，即 a2<2－a，即 a2＋a－2<0，解得－2<a<1.
∴该几何体的体积 V＝
3×4－13×
3×2＝103
3 .
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的 条件是( )
A．i<10? C．i>8?
B．i<9? D．i<8?
答案 B 解析 由程序框图的功能可得 S＝1×1－212×1－312×…×1－i＋112
故当 b＝c＝ 3时，△ABC 周长的最大值为 3＋2 3.12 分
18．(2019·广东潮州二模)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检 验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的 件数记为 n.如果 n＝3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品， 则这批产品通过检验；如果 n＝4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为 优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假 设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各 件产品是否为优质品相互独立．
A．①②
B．②③
C．①②③ D．②③④
答案 B
解析 由已知可设 a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0)，则 a＝72k，b＝ 52k，c＝32k，所以 a∶b∶c＝7∶5∶3，所以 sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所 以③正确．又 a，b，c 的值不确定，所以①错误．在△ABC 中，cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝－12，A＝23π，所以②正确．因为 b＋c＝8，所以 b＝5，c＝3，所以 S△ABC ＝12bcsinA＝154 3，所以④错误．
6．若正项等比数列{an}满足 anan＋1＝22n(n∈N*)，则 a6－a5 的值是( ) A． 2 B．－16 2 C．2 D．16 2 答案 D 解析 因为 anan＋1＝22n(n∈N*)，所以 an＋1an＋2＝22n＋2(n∈N*)，两式作比
可得aan＋n 2＝4(n∈N*)， 即 q2＝4，又 an>0，所以 q＝2， 因为 a1a2＝22＝4，所以 2a21＝4， 所以 a1＝ 2，a2＝2 2， 所以 a6－a5＝(a2－a1)q4＝16 2.
＝
1－12
×
1＋12
×
1－13
×
1＋13
×…×
1－i＋1 1
1＋i＋1 1
＝
1 2
×
3 2
×
2 3
×
4 3
×…×i＋i 1×ii＋ ＋21＝2ii＋＋22＝59，所以 i＝8，i＋1＝9，故判断框中可填入 i<9？.
5．2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪
生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存
在无穷多个素数 p，使得 p＋2 是素数．素数对(p，p＋2)称为孪生素数．从
10 以内的素数中任取 2 个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为( )
|PF1|＋|PF2|＝4，得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
11．设 x1，x2 分别是函数 f(x)＝x－a－x 和 g(x)＝xlogax－1 的零点(其中 a>1)，则 x1＋4x2 的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
解 (1)由 3sinAcosB＋12bsin2A＝3sinC，得 3sinAcosB＋bsinAcosA＝3sinC，
由正弦定理，得
3acosB ＋ abcosA ＝ 3c ， 由 余 弦 定 理 ， 得
a2＋c2－b2 3a· 2ac
＋
ab·b2＋2cb2c－a2＝3c，整理得(b2＋c2－a2)(a－3)＝0，因为 A≠π2，所以 b2＋c2－
10. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线， 经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决 下题：已知曲线 C 的方程为 x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 切于点 P，且|PF1|＝1，过点 P 且与直线 l 垂直的直线 l′与椭圆 长轴交于点 M，则|F1M|∶|F2M|＝( )
d＝|x－y2＋3|＝|8x－88y2＋24|
＝|y2－8y＋24|＝|y－42＋8|≥
82
82
22，
当且仅当
y＝4
时取最小值
2 2.
16．(2019·广东深圳外国语学校第一次热身)已知函数 f(x)＝x2cosπ2x，数 列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的前 40 项和 S40＝________.
答案 D
解析 令 f(x)＝x－a－x＝0，则1x＝ax，所以 x1 是指数函数 y＝ax(a>1)的图 象与 y＝1x的图象的交点 A 的横坐标，且 0<x1<1，同理可知 x2 是对数函数 y＝ logax(a>1)的图象与 y＝1x的图象的交点 B 的横坐标．由于 y＝ax 与 y＝logax 互 为反函数，从而有 x1＝x12，所以 x1＋4x2＝x1＋x41.由 y＝x＋4x在(0,1)上单调递减， 可知 x1＋4x2>1＋41＝5.故选 D.
第三部分 刷模拟 2020高考仿真模拟卷(五)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·山东四校联考)已知集合 A＝{x|log2x<1}，集合 B＝{y|y＝ 2－x}，则 A∪B＝( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
4．(2019·广东梅州总复习质检)若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线
的离心率为 3，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±12x
C．y＝± 2x D．y＝± 22x
答案 D 解析 由题意得 e＝
1＋ab2＝ 3，得ba＝ 2，又因为双曲线焦点在 y
轴上，所以渐近线方程为 y＝±abx＝± 22x.故选 D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设某总体是由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下 面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列数字开 始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个个体编号为________． 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619…第 1 行 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238…第 2 行 答案 19 解析 由题意，从随机数表第 1 行的第 3 列数字 1 开始，从左到右依次 选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…， 故选出来的第 6 个个体编号为 19.
C．(0,2)
D．[0，＋∞)
答案 D 解析 由题意得 A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，所以 A∪B＝[0，＋∞)．故
选 D.
2．(2019·湖南桃江一中 5 月模拟)复平面内表示复数 z＝62＋－2ii的点位于 ()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 A 解析 ∵z＝62＋－2ii＝62＋－2ii22＋＋ii＝10＋5 10i＝2＋2i， ∴z 在复平面对应的点(2,2)在第一象限．故选 A.
∴x3y2 的系数为 C46×4＝60.
15．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线方程为 x＝－2，点 P 为抛物线上的 一点，则点 P 到直线 y＝x＋3 的距离的最小值为________．