2020年人教版九年级数学上册期末专题《切线的性质与判定》(含答案)
数学九年级上册专题24.7 圆的切线的判定与性质-重难点题型(人教版)(学生版)
专题24.7 圆的切线的判定与性质--重难点题型【人教版】【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A 作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD ＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD ＝CD＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（ ）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF 的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。
2023学年九年级数学上册重要考点题(人教版)切线的判定与性质及切线长定理(10大题型(解析版)
切线的判定与性质及切线长定理（答案版）切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可）.题型1：切线的判定-连半径证垂直1.如图AB为⊙O的直径AC平分∠BAD交⊙O于点C CD⊥AD垂足为点D．求证：CD是⊙O 的切线．【答案】证明：连接OC∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∵OC=OA∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠ACO∴OC∠AD∵CD∠AD∴OC∠DC∵OC过圆心O∴CD是∠O的切线．【解析】【分析】连接OC 根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC 根据平行线的判定得出OC∠AD 根据平行线的性质得出OC∠DC 再根据切线的判定得出结论。
【变式1-1】如图在∠O中AB为直径BP为∠O的弦AC与BP的延长线交于点C 且AB=AC PE⊥AC于点E 求证：PE是∠O的切线．【答案】解：连接AP OP∵AB为∠O直径∴∠APB=90°即AP⊥BC又∵AB=AC∴点P是BC的中点又∵O是AB的中点∴OP是△ABC的中位线∴OP∠AC∴∠OPE=∠PEC又∵PE⊥AC∴∠PEC=90°∴∠OPE=90°∴OP⊥PE．∴PE是∠O的切线．【解析】【分析】连接AP OP 由AB为直径可知AP⊥BC结合AB=AC可得点P为BC的中点而O是AB的中点可得OP是△ABC的中位线可知OP∠AC 进而∠OPE=∠PEC 然后结合PE⊥AC可得OP⊥PE即可得到结论。
【变式1-2】如图D为∠O上一点点C在直径BA的延长线上且∠CDA=∠CBD.求证：CD是∠O 的切线.【答案】证明：连接OD∵AB为直径∴∠ADO+∠BDO=90°又∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA=∠BDO∴∠ADC+∠ADO=90°∴OD⊥CD∴CD是∠O的切线.【解析】【分析】连接OD 由圆周角定理可得∠ADO+∠BDO=90° 由已知条件以及等腰三角形的性质可得∠CDA=∠BDO 进而得到∠ADC+∠ADO=90° 据此证明.题型2：切线的判定-作垂直证半径2.ΔABC为等腰三角形O为底边BC的中点腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明：过点O作OE∠AC于点E 连结OD OA∵AB与O相切于点D∴AB∠OD∵∠ABC为等腰三角形O是底边BC的中点∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD 即OE是O的半径∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE∴AC是O的切线。
2020年人教版九年级数学上册《切线的性质与判定》夯基练习(含答案)
2020年人教版九年级数学上册《切线的性质与判定》夯基练习一、选择题1.如图，直线l与⊙O相切于点A，直径BC的延长线与切线l交于点D，连接AB.且∠BDA=3∠DBA，则∠DBA的度数为（）A.15°B.20°C.18°D.22°2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC=53°，则∠D的度数是（）A.16°B.18°C.26.5°D.37.5°3.如图，AB是⊙O的直径.点P、Q在⊙O上，过点P的切线与AB的延长线交于点C，连接AQ、PQ，若∠C=36°，则∠Q的度数为（）A.66°B.65°C.64°D.63°4.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD是⊙O的切线，OD∥BC，OD与半圆O交于点E，则下列结论中不一定正确的是（）A.AC⊥BCB.BE平分∠ABCC.BE∥CDD.∠D=∠A5.如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°6.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面三个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC.其中正确结论的个数是( )A.3B.2C.1D.07.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A.4B.5C.6D.7二、填空题8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC=8，CD=4，那么⊙O的半径是______．9.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径为________.10.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________.11.如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，若CD=2，则OE的长为.12.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果，小圆半径为3cm，那么大圆半径为 cm.13.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒.三、解答题15.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．16.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．17.如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（1）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．18.已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E.（1）求证：BC平分∠ABD.（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径.20.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.参考答案1.答案为：C2.答案为：A3.答案为：D4.答案为：C5.答案为：A6.答案为：A.7.答案为：B.8.答案为：69.答案为：5；10.答案为：24；11.答案为：12.答案为：5；13.答案为：5．14.答案为：2或1015.解：（1）连接OA，∵∠ADE=25°，∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC=90°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；（2）设OA=OE=r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，答：⊙O半径的长是3．16.（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．17.解：（1）如图1中，连接OD．∵∠C=45°，∴∠AOD=2∠C=90°，∵ED∥AB，∴∠AOD+∠EDO=180°，∴∠EDO=90°，∴ED⊥OD，∴ED是⊙O切线．（2）如图2中，连接BC，∵CF=DF，∴AF⊥CD，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵AB∥ED，∴ED⊥DC，∴∠EDC=90°，在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2，∴BC=1，AC=，∴CF=AC=，CD=2CF=，在RT△ECD中，∵∠EDC=90°，CD=，∠E=∠CAB=30°，∴S△ECD=．18.证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB，∴∠CAB=∠ADO，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠E=90°，∴DE⊥AE．19.（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4.20.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°.（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.。
九年级数学：切线的性质与判定试卷(含答案)
2020 九级数学上册圆切线的性质与判定培优试卷一、选择题:1.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°2.下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°4.有四个命题，其中正确的命题是( )①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形有且只有一外接圆；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③5.如图，PA．PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（）A．50°B．60°C．70°D．70°6.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若∠AOB=90°，若OA=4，则图中圆环的面积大小为（）A．2πB．4πC．6πD．8π7.如图，两个圆的圆心都是点O，AB是大圆的直径，大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D．则下列结论不一定成立的是（）A．BD=CD B．AC⊥BC C．AB=2AC D．AC=2OD8.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．2D．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．510.如图,已知直线l解析式是y=x﹣4,并且与x轴、y轴分别交于A．B两点.一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位速度沿着y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,则该圆运动时间为（）A．3秒或6秒B．6秒C．3秒D．6秒或16秒11.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P，Q,则线段PQ的最小值（）A．5 B．4C．4.75 D．4.812.如图,已知直线y=0.75x-3与x轴、y轴分别交于A．B两点,P是以C（0,1）为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA．PB.则△PAB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．10.5 D．8.5二、填空题:13.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的内切圆半径为.14.如图，已知AB切⊙O于点B，OA与⊙O交于点C，点P在⊙O上，若∠BPC=25°，则∠BAC的度数为______．15.如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切BC于点D，BD=3，CD=2，△ABC的周长为14，则AB= ．16.如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是．17.已知三角形的三边分别是5、12、13，则其内切圆的直径与外接圆的直径之比是．18.如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，0.5OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA′，若BA′与⊙O相切，则旋转的角度α（0°＜α＜180°）等于．19.如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为3的圆，与坐标轴的正半轴分别交于A．C两点，OB平分∠AOC，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则线段OP的取值范围是．20.在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF= 度．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线被⊙P截得的弦AB的长为，则点P的坐标为．22.如图，⊙O的半径为1，圆心O到直线AB的距离为2，M是直线AB上的一个动点，MN与⊙O相切于N点，则MN的最小值是 .三、解答题:23.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,弦BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．24.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C,BE⊥CD,垂足为E,连接AC、BC．（1）求证：BC平分∠ABE；（2）若∠A=60°OA=4,求CE的长．25.如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．26.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F，且BD=BF．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若BC=6，DF=8，求⊙O的面积．27.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长.28.如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD,AB、OD相交于点C,且CD=BD.（1）判定BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长.29.已知AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的任意一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线PD与AC交于点D．（1）如图1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度数；（2）如图2,若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．30.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）求DE的长．参考答案1.B2.B3.B4.D5.D6.C7.A8.B9.D10.C11.D.12.C.13.答案为：2.14.答案为：40°．15.答案为；5．16.答案为：相离．17.答案为：4：13．18.答案为：60°或120°．19.答案为：0＜OP≤3．20.答案为：50．21.答案为：P（4，）;22.答案为：23.证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．24.（1）证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥DE，而BE⊥DE，∴OC∥BE，∴∠OCB=∠CBE，而OB=OC，∴∠OCB=∠CBO，∴∠OBC=∠CBE，即BC平分∠ABE；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵sinA=，∴BC=8sin60°=4，∵∠OBC=∠CBE=30°，在Rt△CBE中，CE=BC=2．25.证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF===4．∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4．26.27.28.证明：连接OB，∵OA=OB，CD=DB，∴∠OAC=∠OBC，∠DCB=∠DBC．∵∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO=∠DCB，∴∠OBC+∠DBC=90°．∴OB⊥BD．即BD是⊙O的切线．（2）BD=4.29.解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC∴∠OCP=90°．∵∠CPA=30°，∴∠COP=60°∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°∵PD平分∠APC，∴∠APD=15°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．（2）∠CDP的大小不发生变化．∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°．∵PD是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APD．∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2（∠A+∠APD）=90°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．即∠CDP的大小不发生变化．30.（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD．∵∠BCA=∠BDA，∴∠BCA=∠BAD．（2）证明：连结OB，如图，∵∠BCA=∠BDA，又∵∠BCE=∠BAD，∴∠BCA=∠BCE，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCE=∠CBO，∴OB∥ED．∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线．（3）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴AC===13．∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴，即，∴DE=．第11页共11页。
人教版初中数学九年级上册第二十四章切线的判定和性质
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
探究切线的性质定理
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
O A
探究切线的判定定理
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线．
O l
A
针对训练： 教科书第 98 页 练习第 1，2 题． 教科书习题 24.2 第 4，5，12 题．
24.2 切线的判定和性质
• 学习目标： 1．理解切线的判定定理与性质定理； 2．会应用切线的判定定理和性质定理解决简单问题．
• 学习重点： 切线的判定定理和性质定理的应用．
情境导入
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上 打磨工件时飞出的火星中，这是什么现象？
探究切线的性质定理
如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A
针对训练：
例 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰
AB 与⊙O 相切于点 D.
求证： AC 是⊙O 的切线．
A
Dபைடு நூலகம்
B
O
C
针对训练：
九年级数学： 24.2切线的性质与判定练习(含答案)
2020 九级数学上册切线的性质与判定同步练习卷一、选择题：1、如图,△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A.2.3B.2.4C.2.5D.2.62、如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度( )A.变大B.变小C.不变D.不能确定3、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.45°4、如图，OA，OB分别为⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠P=70°，则∠DCE 的度数为（）A.70°B.60°C.50°D.40°5、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A.50°B.80°C.100°D.130°6、如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且，则弦AB所对圆周角的度数为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°7、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( )A.90°B.45°C.180°D.60°8、如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,P是优弧上一点,则∠APB度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°9、如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,点C是劣弧AB上的一个点,若∠P=40°，则∠ACB度数是( )A.80°B.110°C.120°D.140°10、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、M两点，若点M的坐标是（-4,-2），则点N的坐标为（）A.（-1,-2）B.（1,2）C.（-1.5,-2）D.（1.5,-2）11、如图，AB为⊙O的直径，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在下半圆上移动时，（不与点A、B重合），下列关于点P描述正确的是( )A.到CD的距离保持不变B.到D点距离保持不变C.等分D.位置不变12、如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x•轴上一动点，PQ 切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A.（-4，0）B.（-2，0）C.（-3，0）D.（-4，0）或（-2，0）二、填空题:13、如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为________.14、如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，BG=8 cm，AG=1 cm，DE=2 cm，则EF=________.15、如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC,CD是⊙O两条弦,且CD∥AB,半径为2.5,CD=4,则弦AC长为 .16、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，已知PA长8cm.则△PDE 的周长为；若∠P=40°，则∠DOE= .17、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r= .18、如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A、D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为.三、解答题:19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB=10，CD=8，求BE的长.20、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长.21、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC 相交于点E.（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径.（2）取BE的中点F，连接DF.求证：DF是⊙O的切线.22、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆.求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC.23、如图，在平面直角坐标系中，已知A（8,0），B（0，6），圆M经过原点O及点A、B.⑴求圆M的半径及圆心M的坐标；⑵过点B作圆M的切线，求直线的解析式；⑶∠BOA的平分线交AB于点N，交圆M于点E，求点N的坐标和线段OE的长.参考答案1、B2、C3、C4、D5、D6、D7、A8、C9、B10、A11、D12、D13、答案为：（6， 0）14、答案为：6cm15、答案为：2.16、答案为：16cm，70°.17、答案为：1.18、答案为：.19、(1)证明：如图，连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为⊙O的切线；(2)解：如图，过O作OG⊥BC，垂足为G，连接OE，由(1)可知四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，由勾股定理得：BG=6，∵OG⊥BE，OB=OE，∴BE=2BG=12.解得BE=1220、（1）证明：连接CE，如图所示：∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°.∴∠BEC=90°.∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF.∴∠FEC=∠FCE.∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE.∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°.∴EF是⊙O的切线.（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形.∴∠AOE=60°.∴∠COD=∠AOE=60°. ∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，∴∠ODC=30°.∴OD=2OC=4，∴CD=. 在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=.∴AD==.21、（1）解：设⊙O的半径为r ∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线∴AB⊥BC 在Rt△OBC中，根据勾股定理得∴解得∴⊙O的半径为1（2）证明：连接OF∵OA=OB，BF=EF∴OF是△BAE的中位∴OF∥AE∴∠A=∠2，∠1=∠ADO∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∴∠1=∠2在△OBF和△ODF中∴△OBF≌△ODF（SAS）∴∠ODF=∠OBF=90°∴OD⊥DF又∵OD是⊙O的半径∴FD是⊙O的切线.22、证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC，∴BD=DF，∴AC为⊙D的切线.（2）∵AC为⊙D的切线，∴∠DFC=∠B=90°，在Rt△BDE和Rt△FCD中；∵BD=DF，DE=DC，∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），∴EB=FC.∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC.23、⑴., ⑵.可证；(3).。
24.2.2第2课时 切线的判定与性质-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共28张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
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经过 半径 的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线． 如图，△ ABC 的一边 AB 是⊙O 的直径，∵AB⊥BC，∴ BC 为 ⊙O 的切线．
1．下列说法中，正确的是( DD) A．AB 垂直于⊙O 的半径，则 AB 是⊙O 的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD，BD 是半圆的弦，且 ∠PDA＝∠PBD.判断直线 PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由．
7．如图，AB 与⊙O 相切于点 C，∠A＝∠B，⊙O 的半径为 6， AB＝16.求 OA 的长．
解：连接 OC. ∵AB 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥AB. ∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. ∴AC＝BC＝12AB＝8. ∵OC＝6， ∴OA＝ 62＋82＝10.
8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形 OABC，B(4，2)， 现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心 P 的坐标 为 (1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2) ．
(2)∵∠A＝30°，∴OC＝12OA. 根据勾股定理，得 OC2＋AC2＝OA2， 即(12OA)2＋AC2＝OA2. ∵AC＝6，∴OA＝4 3. ∴OC＝12OA＝2 3. ∴⊙O 的周长为 2π·2 3＝4 3π.
14．如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC⊥AB，弦 CD 与 OB 交于点 F，过点 D、A 分别作⊙O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于 点 E.求证：∠1＝∠2.
专题08 切线的性质与判定重难点题型分类(解析版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°；第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。
本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。
切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于090。
1．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠A ＝26°，则∠C的度数为（）A．26°B．32°C．52°D．64°【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝26°，∴∠AOB＝90°﹣26°＝64°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝32°，故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，∴OM＝2，NO＝8，∴NM＝6，∵PD⊥NM，∴DM＝3∴OD＝5，∴OQ2＝OM•ON＝2×8＝16，OQ＝4．∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．即点P的坐标是（4，5）．故选：D．3．（长郡）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．【解答】（1）证明：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，在Rt△AOC和Rt△AOD中，∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．（2）解：设半径为r，在Rt△ODB中，r2+32＝（r+1）2，解得r＝4；由（1）有AC＝AD，AB＝AD+DB＝AC+DB＝AC+3，BC＝BE+2r＝1+8＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC2+92＝（AC+3）2，解得AC＝12，∴S＝AC•BC﹣πr2＝×12×9﹣π×42＝54﹣8π．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC 于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，（1）求证：CD是⊙O的直径；（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；（3）当AB＝，BC＝6时，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵AC的垂直平分线是DE，∴∠CED＝90°，∴CD是⊙O的直径；（2）解：连接OE，∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC，∵若BE是⊙O的切线，∴BE⊥OE，∠BED+∠DEO＝∠DEO+∠OEC＝90°，∴∠BED＝∠OEC，∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠C＝∠OEC，在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO＝180°，∴∠C＝30°．（3）解：∵AB＝2，BC＝6，∴tan C＝，∠C＝30°，AC＝2AB＝4，∴EC＝2，∵cos∠C＝，∴cos30°＝，∴CD＝4，∴OC＝CD＝2，∵∠C＝∠CEO＝30°，∴∠COE＝120°，∴扇形OEC的面积为＝π，作OF⊥EC，垂足是F，∵∠C＝30°，∴OF＝OC＝1，∴△OCE的面积为×2×1＝，即阴影部分的面积为π﹣．切线长定理：5．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA【解答】解：由切线长定理可得：∠1＝∠2，P A＝PB，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝P A＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．6．（长郡）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．7．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．47【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．8．（青竹湖）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，在Rt△OAD和Rt△OED，，∴Rt△OAD≌Rt △OED（HL）∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，∵∠DOE+∠COE＝90°，∴△COD是直角三角形，∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，∴S梯形ABCD＝2（S△DOE+S△COE）＝2S△COD＝OC•OD＝48，即xy＝48，又∵x+y＝14，∴x2+y2＝（x +y ）2﹣2xy ＝142﹣2×48＝100， 在Rt △COD 中，CD ＝＝＝＝10，∴CD ＝10．内切圆与外接圆半径问题9．两直角边长分别为6cm 、8cm 的直角三角形外接圆半径是 cm ．【解答】解：∵直角边长分别为6cm 和8cm ，∴斜边是10cm ，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm ． 故答案为：5．10．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，则三角形内切圆的半径为 ． 【解答】解：∵∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝＝＝8，∴△ABC 的内切圆半径r ＝＝2．故答案是：2．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 的周长为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC +BC ﹣AB ）＝1，∴AC +BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14． 故选：B ．12.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_________. 【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，如图，设Rt △ABC 的内切圆的半径为r ，则OD=OE=r ，∵∠C=90°，∴CE=CD=r ，AE=AN=3-r ，BD=BN=4-r ，∴4-r+3-r=5，解得r=1，∴AN=2，在Rt △OMN 中，MN=AM -AN=21， ∴25OM ，则该三角形内心与外心之间的距离为25.13．（长沙中考）如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，CE ∥AD ，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE＝2AD＝6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，而∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE ＝∠E，∴AE＝AC，而AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB＝＝5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42＝R2，解得R＝，∴PD＝P A﹣AD＝﹣3＝，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ＝S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5＝•3•8，解得r＝，即QD＝，∴PQ＝PD+QD＝+＝．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．14.（青竹湖）如图，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 对角线， DG AC ⊥于点G ，延长DG 交AB 于点E ，已知6AD =，8CD =。
2020-2021学年上学期九年级数学上册知识堂堂清(人教版)切线的判定与性质(解析版)
24.2-2 切线的判定与性质建议用时：45分钟总分50分一选择题（每小题3分，共18分）1.如图，Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝8cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】B【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC=√AB2−BC2=√102−82=6（cm），∵点C在⊙A上，∴⊙A的半径为6cm．故选：B．2．（2020•天心区月考）如图，∠APB＝30°，点O在射线P A上，⊙O的半径为2，当⊙O 与PB相切时，OP的长度为（）A．3B．4C．2√3D．2√5【答案】B【解析】设⊙O与PB相切于点C，连接OC，如图所示：∵⊙O与PB相切于点C，∴PB⊥OC，OC＝2，∵∠APB＝30°，∴OP＝2OC＝2×2＝4；故选：B．3．（2020 •沙坪坝区月考）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数（）A．50°B．70°C．80°D．130°【答案】C【解析】∵P A、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵∠AOB＝2∠C＝100°，则∠P＝360°﹣（90°+90°+100°）＝80°．故选：C．4．（2019•宁波模拟）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A 切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【解析】A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB=12AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．5．（2020•泉州二模）如图，AB切⊙O于点B，OA与⊙O相交于点C，AC＝CO，点D为BĈ上任意一点（不与点B、C重合），则∠BDC等于（）A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D【解析】∵AB切⊙O于点B，∴∠ABD＝90°，∵AC＝OC＝OB，∴OB=12AO，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，如图，优弧BC上任取一点E，连接CE，BE，则∠E=12∠BOC＝30°，∴∠BDC＝180°﹣∠E＝150°，故选：D．6．（2020•南安市模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°【答案】B【解析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝140°，∴∠AOP＝40°，∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣40°＝50°，故选：B．二、填空题（每小题3分，共9分）7．（2020•增城区一模）如图，P A、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BP A＝．【答案】50°【解析】∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠BPO＝∠APO＝25°，∴∠BP A＝50°，故答案为：50°．8．（2020•游仙区模拟）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为．【答案】√3【解析】连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OA tan60°＝1×√3=√3，故答案为：√3．9．（2020•鄞州区期末）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠圆O于点A，并使较长边与圆O相切于点C，记角尺的直角顶点为B，量得AB＝18cm，BC＝24cm，则圆O的半径是cm．【答案】25【解析】设圆的半径为rcm，如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝（r﹣18）cm，AD＝BC＝24cm，在Rt△AOD中，r2＝（r﹣18）2+242解得：r＝25．即该圆的半径为25cm．故答案为：25．三、解答题（7+8+8=23分）10．（2020•徐州一模）如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．（1）求BD的长；（2）求证：AC是⊙O的切线．（1）解：如图1，连接OD．∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°．∵AD平分∠BAE，∠BAD＝∠EAD＝45°．∴∠BOD＝2∠BAD＝90°．∴Rt△BOD中，BD=√22+22=2√2．（2）证明：如图，连接OA．∵AC＝FC，∴∠F AC＝∠CF A．∵∠DFO＝∠CF A，∴∠DFO＝∠F AC．∵OA＝OD，∴∠OAF＝∠ODF．由（1）知∠BOD＝90°，∴∠DFO+∠ODF＝∠CAF+∠OAF＝90°．∴OA⊥AC于A，∴AC是⊙O的切线．11．（2020•卧龙区一模）已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC．（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B．解：（1）证明：∵OA＝OC＝AD，∴∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD，∴180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO，即∠AOC＝∠OAD，∴OC∥AD，∵OD∥AC，∴四边形OCAD是平行四边形；（2）∵AD与⊙O相切，OA是半径，∴∠OAD＝90°，∵OA＝OC＝AD，∴∠AOD＝∠ADO＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°．12．（2020•江阴市二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，且CE是⊙O的切线．（1）求证：CE＝BC；（2）若CD＝2，BD＝2√5，求⊙O的半径．（1）证明：如图，连接OE，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∵CE是⊙O的切线，∴OE⊥CE，∴∠2+∠3＝90°，∵OE＝OD，∴∠3＝∠4．又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠2，∴CE＝BC；（2）解：在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD=2√5，∴BC＝CE＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，∴⊙O的半径为3．。
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)
24.2.2第二课时切线的判定和性质1．下列命题中，真命题是（ ）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点3．如图，«Skip Record If...»是⊙O的直径，«Skip Record If...»交⊙O于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，下列说法不正确的是（）A．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线B．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线C．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线D．若«Skip Record If...»是⊙O的切线，则«Skip Record If...»4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（）A．44°B．88°C．46°D．92°5．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A.C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（ ）A．45°B．50°C．60°D．65°6．如图，«Skip Record If...»为⊙O的直径，弦«Skip Record If...»于点E，直线l切⊙O 于点C，延长«Skip Record If...»交l于点F，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的长度为（ ）A．2B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．47．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙«Skip Record If...»及⊙«Skip Record If...»上一点«Skip Record If...»．求作：直线PN，使得PN与⊙«Skip Record If...»相切．作法：如图2，①作射线OP；②在⊙«Skip Record If...»外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；③连接MQ并延长交⊙Q于点N；④作直线PN．所以直线PN即为所求作直线．根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»（）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（）（填推理的依据）．8．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．9．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．10．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，«Skip Record If...»于点F，连接OF，且«Skip Record If...»．（1）求证：DF是«Skip Record If...»的切线；（2）求线段OF的长度．11．如图，AB为«Skip Record If...»的直径，E为«Skip Record If...»上一点，点C为«Skip Record If...»的中点，过点C作直线CD垂直直线AE，垂足为D．（1）求证：DC为«Skip Record If...»的切线；（2）若AB=4，∠CAD=30°，求AC．12．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）①当∠BAC＝ °时，四边形OBED为正方形；②若AB＝4，当BC＝ 时，四边形ODCE是平行四边形．参考答案1．B【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．【详解】解：A.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；B.垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；故选：B．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．2．D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A.∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B.∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C.∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D.∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝«Skip Record If...»AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．3．A【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O 的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若«Skip Record If...»，没有理由可证明DE是⊙O的切线．【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若«Skip Record If...»，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．4．B【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∵∠C＝46°，∴∠B＝90°﹣46°＝44°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°，故选B．【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．C【分析】连接OA.OC，由AB，BC与⊙O相切，可得∠BAO=∠BCO=90°，可求∠B+∠AOC=80°，由四边形ABCD为菱形，可得∠B=∠D，，由点D在⊙O上，根据同弧所对圆心角与圆周角∠AOC=2∠D，可得∠B+2∠B =180°求解即可．【详解】解：连接OA.OC，∵AB，BC与⊙O相切，∴OA⊥AB，OC⊥BC，∴∠BAO=∠BCO=90°，∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，又∵点D在⊙O上，∴∠AOC=2∠D，∴∠B+2∠B =180°∴∠B＝60°．故选：C．【点拨】本题考查圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质，掌握圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质是解题关键．6．B【分析】根据垂径定理求得«Skip Record If...»，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED 是等腰直角三角形，得出«Skip Record If...»，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=«Skip Record If...»．【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...» AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴«Skip Record If...»，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．7．（1）作图见解析；（2）«Skip Record If...»，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.【详解】（1）（1）补全图形如下图；（2）证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝90 «Skip Record If...»（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点拨】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.8．（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．9．（1）见解析；（2）AC＝4．【分析】（1）根据«Skip Record If...»和«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定；（2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在«Skip Record If...»中，直角边OA等于斜边OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以AC=2OA=4．【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，又∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．【点拨】这道题考察的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键．10．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）连接OD，先说明«Skip Record If...»是等边三角形得到«Skip Record If...»，说明«Skip Record If...»，进而得到«Skip Record If...»即可证明；（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到«Skip Record If...»，最后运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：连接OD∵«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∴OD//AB∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴DF是«Skip Record If...»的切线；（2）∵OD//AB，«Skip Record If...»∴OD为«Skip Record If...»的中位线∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»由勾股定理，得：«Skip Record If...»∴在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»．【点拨】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．11．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）利用在同一个圆中等弧对等角得出∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的性质、等量代换以及平行线的判定得到AD∥OC，再根据垂线的性质可以证明出OC⊥DC，根据切线的判定即可得出结论；（2）求«Skip Record If...»可以放在«Skip Record If...»中，结合（1）的结论以及利用勾股定理求解即可．【详解】（1）连接OC，则：∵点C为«Skip Record If...»的中点∴«Skip Record If...»∴∠BAC=∠CAD∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA∴∠CAD=∠OCA∴AD∥OC∵AD⊥DC∴∠ADC=90°∴∠OCD=90°∴OC⊥DC又OC是«Skip Record If...»的半径∴DC为«Skip Record If...»的切线；（2）过点«Skip Record If...»作«Skip Record If...»的垂线交于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为等腰三角形，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»AB=4，∠CAD=30°，«Skip Record If...»，由（1）知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»【点拨】本题考查了圆的切线、等弧对等角、平行线的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识点、添加适当辅助线进行解答．12．（1）见解析；（2）①45；②4．【分析】（1）连接OD.OE，如图1所示，然后证明△ODE≌△OBE，从而得到OB⊥BC即可；（2）①连接BD.OD，当∠BAC＝45°，△ABC是等腰直角三角形，然后得到DE为△ABC的中位线，证得∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，根据OD＝OB即可求证；②连接OE，当BC＝4，E是BC的中点，则有CE=OD，只需证明CE∥OD即可【详解】解：（1）证明：连接OD.OE，如图1所示：∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠DOE＝∠BOE，在△ODE和△OBE中，«Skip Record If...»∴△ODE≌△OBE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：如图2，连接BD.OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，由（1）得：OB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵BD⊥AC，∴AD＝CD，∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形OBED是矩形，∵OD＝OB，∴四边形OBED为正方形，故答案为：45；②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：如图3，∵AB＝4，BC＝4，∴OD＝OA＝2，AB＝BC，∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，∴∠ODA＝∠C，∴OD∥CE，∵点E是BC的中点，∴CE＝2，∴OD＝CE，∴四边形ODCE是平行四边形，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了圆的性质，圆切线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。
2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》课后练习(含答案)
2020年人教版九年级数学上册24.2.2《切线的判定和性质》课后练习知识点 1 切线的判定1.下列说法中正确的是( )A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.如图所示，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________.3.如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB=________°时，AC才能成为⊙O的切线.4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为E.求证：直线CE是⊙O的切线.知识点 2 切线的性质5.如图，AB，AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为( )A.25°B.30°C.35°D.40°6.如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )A.15°B.30°C.60°D.75°7.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径为________.8.如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=________.9.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，若∠OPA=40°，求∠ABC的度数.10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面三个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC.其中正确结论的个数是( )A.3B.2C.1D.011.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是________.(结果保留π)12.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD 之间的距离为18，则弦CD的长为________.13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.14.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.15.已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________或者________；(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断.参考答案1.B2.答案不唯一，如∠ABC=90°3.60 [解析] ∵在△AOB 中，OA=OB ，∠AOB=120°，∴∠OAB=30°，∴当∠CAB=60°时，OA ⊥AC ，此时AC 为⊙O 的切线.4.证明：连接OD ，∵OA=OD ，∴∠2=∠3.∵AD 平分∠CAE ，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE ∥OD ，∴∠E=∠ODC.∵AE ⊥CD ，∴∠E=90°，∴∠ODC=90°，∴OD ⊥CE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线.5.D6.D [解析] 连接OD.∵CA ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，∴∠OAC=∠ODC=90°.∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°－∠C －∠OAC －∠ODC=150°.∵OB=OD ，∴∠DBA=∠ODB=12∠AOD=75°.7.5 [解析] 连接OB ，根据切线的性质可知OB ⊥AB.设圆的半径为r ，根据勾股定理可得r2＋AB 2=(r ＋AC)2，即r 2＋122=(r ＋8)2，解得r=5.8.8 [解析] ∵CA 与⊙O 相切，∴AB ⊥AC.∵在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，∴∠C=30°，∴BC=2AB=8.故答案为8.9.解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠BAP=90°.∵∠OPA=40°，∴∠AOP=180°－90°－40°=50°.∵OB=OC ，∴∠ABC=∠BCO.又∵∠AOP=∠ABC ＋∠BCO ，∴∠ABC=12∠AOP=12×50°=25°. 10.A [解析] 连接OD ，根据切线的性质定理可得OD ⊥CD.由于AB 是⊙O 的直径，根据“直径所对的圆周角等于90°”，可得∠ADB=90°，结合已知条件“∠A=30°”可以说明①②的正确性；在Rt △ADB 中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2BD ，从而AB=2BC.11.16π [解析] 如图， 设AB 与小圆切于点C ，连接OC ，OB.∵AB 与小圆切于点C ，∴OC ⊥AB ，∴BC=AC=12AB=12×8=4. ∵在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2＋BC 2，∴圆环(阴影)的面积=π·OB 2－π·OC 2=π(OB 2－OC 2)=π·BC 2=16π.故答案是16π.12.24 [解析] 如图，设AB 与⊙O 相切于点F ，连接OF ，OD ，延长FO 交CD 于点E.∵2πR=26π，∴R=13，∴OF=OD=13.∵AB 是⊙O 的切线，∴OF ⊥AB.∵AB ∥CD ，∴EF ⊥CD ，即OE ⊥CD ，∴CE=ED.∵EF=18，OF=13，∴OE=5.在Rt △OED 中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，∴ED=OD 2－OE 2=132－52=12，∴CD=2ED=24.13.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.14.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ， ∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠EDC ＋∠ODC=∠ECD ＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD ⊥DE.又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线.(2)设⊙O 的半径为x.在Rt △ODF 中，根据勾股定理，得OD 2＋DF 2=OF 2，即x 2＋42=(x ＋2)2，解得x=3.∴⊙O 的直径的长为6.15.解：(1)答案不唯一，如①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC.理由：①∵∠BAE=90°，∴AE ⊥AB.又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.②∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC ＋∠BAC=90°.∵∠EAC=∠ABC ，∴∠BAE=∠BAC ＋∠EAC=∠BAC ＋∠ABC=90°，即AE ⊥AB.又∵AB 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.(2)EF 是⊙O 的切线.证明：如图，作直径AM ，连接CM ，则∠ACM=90°，∠M=∠B ，∴∠M ＋∠CAM=∠B ＋∠CAM=90°.∵∠CAE=∠B ，∴∠CAE ＋∠CAM=90°，即AE ⊥AM.∵AM 是⊙O 的直径，∴EF 是⊙O 的切线.。
2020年九年级数学中考压轴专题： 切线的性质与判定(含答案)
2020年九年级数学中考压轴专题：切线的性质与判定（含答案）切线的性质1.如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O,点D为☉O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB 的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若BE=2,DE=4,求☉O的半径及AC的长.图12.如图2,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与☉O的位置关系,并说明理由;(2)求证:点H为CE的中点.图23.如图3,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O的半径长.图34.如图4,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=4√5,求MC的长.图4|类型2| 切线的判定5.如图5,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥OA,CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.图56.如图6,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.(1)求证:P A是☉O的切线;(2)若PD=√5,求☉O的直径.图67.如图7,点P在☉O外,PC是☉O的切线,C为切点,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)若∠A=30°,求证:P A=3PB;(2)小明发现,∠A在一定范围内变化时,始终有∠BCP=1(90°-∠P)成立.请你写出推理过程.2图78.如图8,BD是☉O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与☉O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.(1)求∠ADB的度数;(2)求AC的长度.图8【参考答案】1.解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上,∴OD=OB,又∵CD=CB,CO=CO,∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°,∴∠ODC=∠ABC=90°,∴OD⊥DC,∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x,∵DE=4,∴OE=4-x.在Rt△OBE中,BE2+BO2=OE2,即22+x2=(4-x)2,解得x=1.5,∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB,CD是圆的切线,∴CB=CD.则设CB=CD=y,在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即y2+42=(y+2)2,解得y=3,∴BC=3.在Rt△ABC中,AC=√AB2+BC2=3√2.2.(1)连接OD,AD,先利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据等腰三角形的性质得BD=CD,再证明OD为△ABC 的中位线得到OD∥AC,根据DH⊥AC,所以OD⊥DH,然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线. (2)连接DE,由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B,再证明∠DEC=∠C,然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.解:(1)DH与☉O相切.理由如下:连接OD,AD,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD,而AO=BO,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,∴DH为☉O的切线.(2)证明:连接DE,如图,∵四边形ABDE为☉O的内接四边形,∴∠DEC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DH⊥CE,∴CH=EH,即H为CE的中点.3.解:(1)如图,连接OA,∵AC为☉O的切线,OA是☉O的半径,∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°.∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∠C=30°.OC.∴OA=12设☉O 的半径为r , ∵CE=2,∴r=12(r +2).∴r=2.∴☉O 的半径为2. 4.解:(1)证明:连接OC , ∵CN 为☉O 的切线, ∴OC ⊥CM ,∴∠OCA +∠MCD=90°. ∵OM ⊥AB ,∴∠OAC +∠ODA=90°. ∵OA=OC , ∴∠OAC=∠OCA , ∴∠MCD=∠ODA. 又∵∠ODA=∠MDC , ∴∠MCD=∠MDC , ∴MD=MC.(2)依题意可知AB=5×2=10,AC=4√5, ∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∴BC=√102-(4√5)2=2√5. ∵∠AOD=∠ACB ,∠A=∠A , ∴△AOD ∽△ACB , ∴OD BC=AO AC,即2√5=4√5,得OD=52.设MC=MD=x ,在Rt △OCM 中, 由勾股定理得x +522=x 2+52, 解得x=154,即MC=154.5.解:(1)证明:连接OD ,∵DE ∥OA ,∴∠AOC=∠OED ,∠AOD=∠ODE , ∵OD=OE ,∴∠OED=∠ODE , ∴∠AOC=∠AOD , 又∵OA=OA ,OD=OC ,∴△AOC ≌△AOD (SAS),∴∠ADO=∠ACO. ∵CE 是☉O 的直径,AC 为☉O 的切线, ∴OC ⊥AC ,∴∠OCA=90°, ∴∠ADO=∠OCA=90°,∴OD ⊥AB. ∵OD 为☉O 的半径, ∴AB 是☉O 的切线.(2)∵CE=6,∴OD=OC=3, ∵∠BDO=180°-∠ADO=90°, ∴BO 2=BD 2+OD 2, ∴OB=√42+32=5, ∴BC=8,∵∠BDO=∠OCA=90°,∠B=∠B , ∴△BDO ∽△BCA , ∴BD BC =ODAC , ∴48=3AC , ∴AC=6.6.解:(1)证明:连接OA ,∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,∴OA⊥P A,∴P A是☉O的切线.(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30°,∴PO=OD+PD=2OA,又∵OA=OD,∴PD=OA,∵PD=√5,∴CD=2OA=2PD=2√5.∴☉O的直径为2√5.7.解:(1)证明:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=30°,∴AB=2BC.连接OC.AB,∵PC是☉O的切线,∴∠OCP=90°,∴∠BCP=∠P=30°,∴PB=BC,又∵BC=12∴P A=3PB.(2)∵点P在☉O外,PC是☉O的切线,C为切点,直线PO与☉O相交于点A,B,∴∠BCP=∠ACO=∠A,∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°,且∠ACB=90°,∴2∠BCP=90°-∠P,(90°-∠P).∴∠BCP=128.解:(1)∵AF与☉O相切于点A,∴AF⊥OA,∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°,∵∠BAC=120°,∴∠DAC=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°,∵∠F=30°,∴∠F=∠DBC,∴AF∥BC,∴OA⊥BC,∴∠BOA=90°-30°=60°,∠AOB=30°.∴∠ADB=12(2)∵OA ⊥BC ,∴BE=CE=12BC=4,∴AB=AC ,∵∠AOB=60°,OA=OB ,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OB , ∵∠OBE=30°,∴OE=12OB ,BE=√3OE=4,∴OE=4√33,∴AC=AB=OB=2OE=8√33.。
切线的判定与性质专题练习题含答案
人教版九年级数学上册第二十四章圆24. 2点和圆、直线和圆的位置关系切线的判定与性质专题练习题1.下列说法中，正确的是()A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2.如图，在。
O中，弦AB = OA, P是半径OB的延长线上一点，且PB = OB,则PA 与。
O的位置关系是.3.如图，4ABC的一边AB是。
O的直径，请你添加一个条件，使BC是。
O的切线，你所添加的条件为.4.如图，在Rt AABC中，NC = 90°, BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.求证：AC是。
O的切线.5.如图，AB是。
O的直径，AC切。
O于A, BC交。
O于点D,若NC = 70°,则NAOD的度数为()6.如图，线段AB是。
O的直径，点C, D为。
O上的点，过点C作。
O的切线交 AB的延长线于点E,若NE=50°,则NCDB等于()7.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC = 8, O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB, AC都相切，切点分别为D, E,则。
O的半径为()A. 8B. 6C. 5D. 48.如图，AB是。
O的直径，O是圆心，BC与。
O切于点B, CO交。
O于点D,且 BC = 8, CD=4,那么。
O的半径是.9.如图，AB是。
O的直径，点C在AB的延长线上，CD与。
O相切于点D, CE± AD,交AD的延长线于点E.求证：NBDC=NA.10.如图，CD是。
O的直径，弦ABXCD于点G,直线EF与。
O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是()A. AG=BGB. AB〃EFC. AD〃BCD.NABC=NADC11.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则NC = 度.12.如图，AB为。
切线性质判定的应用-简单数学之2020-2021九年级上册同步讲练(解析版)(人教版)
第24章 重点突破训练：切线性质判定的应用考点体系（本专题54题65页）考点1：三角形内心的性质及应用典例：（2020·山东牡丹·初三二模）如图，等边三角形ABC 的边长为8，点O 是ABC D 的内心，120FOG Ð=°，绕点O 旋转FOG Ð，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①点O 也一定是ABC D 的外心；②OD OE =；③四边形ODBE ；④BDE D 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】连接OB 、OC ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60∘，∵点O 是等边△ABC 的内心，∴OB =OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC =∠OCB =30∘，∴∠BOC =120∘，即∠BOE +∠COE =120∘，而∠DOE =120∘，即∠BOE +∠BOD =120∘，∴∠BOD =∠COE ，在△BOD 和△COE 中，BOD COE BO COOBD OCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△BOD ≌△COE ，∴BD =CE ，OD =OE ，所以①正确；∴S △BOD =S △COE ，∴四边形ODBE 的面积=S △OBC =13S △ABC=2143=，所以③错误；作OH ⊥DE ，如图，则DH =EH ，∵∠DOE =120∘，∴∠ODE =∠OEH =30∘，∴OH =12OE ，HEOHOE ，∴DEOE ，∴S △ODE =12.12OEOE2，即S △ODE 随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，∴S △ODE ≠S △BDE；所以②错误；∵BD=CE，∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确.故选：B.方法或规律点拨本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，最短路线问题，旋转的性质等，综合性很强，熟练掌握知识点之间的联系是解答的关键.巩固练习D内心的是（）1．（2020·石家庄外国语教育集团开学考试）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为ABCA．B．C．D．【答案】CD内心的是各个角的平分线的交点，【解析】∵ABC∴C选项符合题意．故选C．2．（2020·江苏宿豫·期中）下列关于三角形的外心说法正确的是（ ）A．三角形的外心一定在它的外部B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点C．三角形的外心到它的三边距离相等D．三角形的外心与它的内心不可能重合【答案】B【解析】解：A．三角形的外心还可以在三角形的边上或三角形的内部，故错误；B．三角形的外心是它三边垂直平分线的交点，正确；C．根据三角形的外心到三个顶点的距离相等，故此选项错误；D．只有等边三角形的外心与内心重合，故错误．故选：B．3．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【答案】B【解析】解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选：B．4．（2020·合肥市第四十五中学三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）A．56°B．62°C．68°D．78°【答案】C【解析】∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选C．5．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（ ）A．（673，1）B．（674，1）C．（8076，1）D．（8077，1）【答案】D【解析】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴=5，∴Rt△OAB内切圆的半径＝12（3+4﹣5）＝1，∴P的坐标为（1，1），∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），每滚动3次一个循环，∵2019÷3＝673，∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1，即P2019的横坐标是8077，∴P2019的坐标是（8077，1）；故选D．6．（2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．故选：B．7．（2020·河北初三其他）如图，在V ABC中，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，则点O是V ABC的（）A ．外心B ．内心C ．中线交点D ．高线交点【答案】B 【解析】解：∵AO ，BO 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∴点O 是△ABC 的内心．故选：B ．8．（2020·河北遵化·初三三模）如图，在ABC D 中，AB AC =，36BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点E 是AC 上一点，连接BE ，交AD 于点F ，若AE BE =，则点F 为（ ）A ．ABC D 的外心B ．ABCD 的内心C ．BCE D 的外心D ．ABE D 的内心【答案】B 【解析】解：∵在ABC D 中，AB AC =，36BAC Ð=°，∴72ABC ACB Ð=Ð=°.∵AE BE =，∴36ABE BAE Ð=Ð=°.∴36CBE ABC ABE Ð=Ð-Ð=°.∴CBE ABE Ð=Ð.∴BE 平分ABC Ð.∵AD BC ^，AB AC =，∴AD 平分BAC Ð.∴点F 是ABC D 的角平分线的交点，即点F 是ABC D 的内心.故选B.9．（2020·河北滦州·初三二模）如图，在ABC V 中，40B C Ð=Ð=°，点D 在线段BC 上（不与B 、C 重合），若O 为ADC V 的内心，则AOC Ð不可能是（ ）A ．100°B ．120°C ．140°D ．150°【答案】A 【解析】∵ABC V 中，40B C Ð=Ð=°，∴∠BAC=180º﹣∠B ﹣∠C=100º，∵O 为ADC V 的内心，∴∠OAC=12∠DAC ，∠ACO=12∠ACB=20º，∴∠AOC=180º﹣∠OAC ﹣∠ACO=160º﹣12∠DAC ，∵点D 在线段BC 上（不与B 、C 重合），∴0º﹤∠DAC ﹤100º，即0º﹤12∠DAC ﹤50º，∴110º﹤∠AOC ﹤160º，故∠AOC 不可能是100º，故选：A ．10．（2020·山东济宁·中考真题）如图，在△ABC 中点D 为△ABC 的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC 的面积是（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】B 【解析】解：过点B 作BH ⊥CD 于点H ．∵点D 为△ABC 的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+12∠A=90°+12×60°=120°，则∠BDH=60°，∵BD=4，BD ：CD=2：1∴DH=2，，CD=2，∴△DBC 的面积为12CD•BH=12故选B.11．（2020·河北玉田·初三一模）如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4cm ，AC ＝3cm ，BC ＝2cm ，将∠ACB 平移，使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm【答案】D 【解析】解：如图，连接AI ，BI ，∵点I 为△ABC 的内心，∴IA 和IB 分别平分∠CAB 和∠CBA ，∴∠CAI ＝∠DAI ，∠CBI ＝∠EBI ，∵将∠ACB 平移，使其顶点与点I 重合，∴DI ∥AC ，EI ∥BC ，∴∠CAI ＝∠DIA ，∠CBI ＝∠EIB ，∴∠DAI ＝∠DIA ，∠EBI ＝∠EIB ，∴DA ＝DI ，EB ＝EI ，∴DE ＋DI ＋EI ＝DE ＋DA ＋EB ＝AB ＝4．所以图中阴影部分的周长为4．故选：D ．考点2:三角形内切圆半径的计算典例：（2021·湖南长沙·明达中学月考）两边为3和4的直角三角形的内切圆半径为________．【答案】1【解析】解：设直角三角形ACB的内切圆的圆心是O，分别与边AC、BC、AB相切于D、E、F，连接OD、OE，则∠ODC=∠C=∠OEC=90°，即四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODCE是正方形，∴OD=OE=CD=CE，设⊙O的半径是R，则OD=OE=DC=CE=R，由切线长定理得：AD=AF，BF=BE，CD=CE，①当AC=4，BC=3时，由勾股定理得：AB=5，∵AF+BF=5，∴AD+BE=5，∴4-R+3-R=5，解得R=1；②当AB=4，BC=3时，由勾股定理得：，∵AF+BF=4，∴AD+BE=4，-R+3-R=4，解得．故答案为1.方法或规律点拨本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，正方形、矩形的性质和判定，勾股定理，切线长定理等知识点，关键是得出四边形ODCE是正方形，题目比较典型，是一道比较好的题目.巩固练习1．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，在ABC V 中，6AC =，8BC =，10AB =，O 是ABC V 的内心，作^OD AB 于D ，则AD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】解：如图，作OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，∵^OD AB ，点O 是∴ABC V 的内心，∴OD=OE=OF ，∴△AOD ≌△AOF ，△BOD ≌△BDE ，四边形OFCE 是正方形，∴AF=AD ，BE=BD ，设AF=AD=x ，OD=OE=OF=r ，则BE=BD=10x -，∴6108x r x r +=ìí-+=î，解得：42x r =ìí=î，∴4=AD ；故选：B ．2．（2020·扬州平山实验学校月考）如图，在矩形ABCD 中，AD AB <，9AD =，12AB =，则ACD D 内切圆的半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】解：如图示，连接OE 、OF 、OG ，∵AD AB <，9AD =，12AB =，∴15AC ====又∵圆O 是三角形ABC 的内切圆，AE AG \=，DG DF =，CE CF =， 90DFO DGO D Ð=Ð=Ð=°，OE OF OG ==，\四边形OFDG 是正方形，设圆O 的半径是a ，则有：OE OF OG DF DG a =====，∴9AE AG a ==-，12CE CF a ==-，∵15AC AE CE =+=，即：()()91215a a -+-=，3a \=，故选：C ．3．（2020·山东诸城·初三学业考试）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A 和∠B 的平分线交于点P ，过点P 作PE ⊥AB 交AB 于点E.若BC=5，AC=12，则AE 等于______ .【答案】10【解析】如图，过P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ．∵在△ABC 中，∠C=90°，∴四边形PMCN 为正方形，∵在△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AC=12，∴13==．∵∠A 和∠B 的平分线交于点P ，∴点P 为△ABC 内切圆的圆心，设直角△ABC 内切圆P 的半径为r ，∴CM=CN=PM=r ，则AE=AM=AC-r=12-r ，BE=BN=BC-r=5-r ，AB=AE+BE=12-r+5-r=17-2r ，∴17-2r=13，∴r=2，∴AE=12-2=10．故答案为：10．4．（2020·福建初三其他）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=30°，⊙E 为内切圆，若BE=4，则△BCE 的面积为___________.【答案】4+【解析】如图，设圆E 与Rt ABC V 三边的相切点分别为点,,D F G ，连接,,,ED EF EG EA则,,ED BC EF AB EG AC ^^^，且ED EF EG==由题意得：30ACB Ð=°，90BAC Ð=°，60ABC Ð=°Q 圆E 为Rt ABC V 的内切圆AE \平分BAC Ð，BE 平分ABC Ð1302DBE ABC \Ð=Ð=°，1452EAF BAC Ð=Ð=°则在Rt BDE V 中，122ED BE ==，BD ==在Rt AEF V 中，2AF EF ED ===由切线长定理得：2,BD BF AF AG CD CG=====2AB AF BF \=+=+设CD CG x ==，则BC BD CD x =+=+，2AC AG CG x=+=+在Rt ABC V 中，由勾股定理得：222AB AC BC +=即22222))(((x x =+++解得4x =+则BCE V 的面积为1142422(BC ED ×=´+´=+故答案为：4+．5．（2019·滨海县第一初级中学月考）若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则它的内切圆半径为_______．【答案】1【解析】解：设三角形内切圆的半径为r ，则由题意得：()113453422r ++=´´， 解得：r=1．故答案为1．6．（2020·全国初三课时练习）如图，把Rt OAB △置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(3,0)，点P 是Rt OAB △内切圆的圆心．将Rt OAB △沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为1P ，第二次滚动后圆心为2P ，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt OAB △内切圆的圆心2019P 的坐标是________．【答案】(8077,1)【解析】解：∵点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（3，0），∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB 5=，∴Rt △OAB 内切圆的半径＝34512+-=，∴P 的坐标为（1，1），∵将Rt △OAB 沿x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后圆心为P 1，第二次滚动后圆心为P 2，…，∴P 3（3＋5＋4＋1，1），即（13，1），每滚动3次为一个循环，∵2019÷3＝673，∴第2019次滚动后，Rt △OAB 内切圆的圆心P 2019的横坐标是673×（3＋5＋4）＋1，即P 2019的横坐标是8077，∴P 2019的坐标是（8077，1）；故答案为：（8077，1）．7．（2020·四川达州·中考真题）已知ABC V 的三边a 、b 、c 满足2|3|819b c a a +-+-=-，则ABC V 的内切圆半径=____．【答案】1【解析】解：2|3|819b c a a +-+-=-)()24|3|8160c a a -++-+-+=)()222|3|40c a +-+-=2-=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC 是直角三角形∴ABC V 的内切圆半径=34522a cb +-+-==1．故答案为1．考点3：确定半径的取值典例：（2020·辽宁立山·初三其他）已知点A 为⊙O 外一点，连接AO ，交⊙O 于点P ，AO=6．点B 为⊙O 上一点，连接BP ，过点A 作CA ⊥AO ，交BP 延长线于点C ，AC=AB ．（1）判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若PB 的长．（3）若在⊙O 上存在点E ，使△EAC 是以AC 为底的等腰三角形，则⊙O的半径r 的取值范围是___________．【答案】（1）AB 与⊙O 相切 ，理由见解析；（2）；（3【解析】解：（1）连接OB ，如图：∵OP=OB ，∴∠OPB=∠OBP=∠APC ，∵AC=AB ，∴∠C=∠ABP ，∵AC ⊥AO ，∴∠CAP=90°，∴∠C+∠APC=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，即OB ⊥AB ，∴AB 为切线；（2）∵AB=ACPB =6r £<∴，∴，设半径为r ，则解得：r=2；作OH ⊥BP 与H ，则△ACP ∽△HOP ，∴，即 ∴,∴；（3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，∴四边形AOEM 是矩形，∴OE=AM=AC=又∵圆O 与直线MN 有交点，∴，22AB AC =2222CP AP OA OB -=-2222(6)6r r --=-PH OP AP CP =4PH =PH =2PB PH ==1212r £，∴，∴，又∵圆O 与直线AC 相离，∴r ＜6，．方法或规律点拨此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．巩固练习1．（2020·河北迁西·初三其他）如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=，点E 是BC 边上的动点，以C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，交AC 于F ，连接AE ，EF ．（1）求AC 的长；（2）当AE 与圆C 相切时，求弦EF 的长；（3）圆C 与线段AD 没有公共点时，确定半径CE 的取值范围．【答案】（1）AC=5；（2）；（3）或．【解析】解：（1）过A 作AG ⊥BC 于点G ，如图：在Rt △ABG 中，AB=5，，∴BG=4，∴AG=3，2r £22364r r -£r ³6r £<45EF =03CE £<58CE <£4cos 5BG B AB ==∴，∴点G 是BC 的中点，在Rt △ACG 中，；（2）当点E 与点G 重合时，AE 与圆C 相切，过点F 作FH ⊥CE ，如图：∴CE=CF=4，∵AB=AC=5，∴∠B=∠ACB ，∴，∴CH=3.2，在Rt △CFH 中，由勾股定理，得FH=2.4，∴EH=0.8，在Rt△EFH 中，由勾股定理，得（3）根据题意，圆C 与线段AD 没有公共点时，可分为以下两种情况：①当圆C 与AD相离时，则CE<AE ，∴半径CE 的取值范围是：；②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，844CG =-=5AC ==4cos cos 5CH B ACB CF =Ð==EF ==03CE £<∴半径CE 的取值范围是：；综合上述，半径CE 的取值范围是：或．2．（2019·南京外国语学校初三月考）如图，中，，．P 是底边上的一个动点（P 与B 、C 不重合），以P 为圆心，为半径的与射线BA 交于点D ，射线交射线于点E ．（1）若点E 在线段的延长线上，设，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．（2）连接，若，求的长．【答案】（1）；；（2）或【解析】（1）过点A作于点F ，过点P 作于点H∵，∴∵∴∴∴∴58CE <£03CE £<58CE <£ABC D120BAC °Ð=6AB AC ==BC PB P e PD CACA BP x =AE y =PA 18APE ABC S S D D =BP 3y x =+0x <<BP =-AF BC ^PH BA ^120BAC °Ð=6AB AC ==30B C °Ð=Ð=PB PD=30,PDB B CF °Ð=Ð==30ADE °Ð=60DAE CPE °Ð=Ð=90CEP °Ð=∴，∵∴∴∵∴∴（2）当D 点在线段上时，连，∵∴∴代入得当D 在延长线上时∴∴∵∴6CE AC AE y =+=+PC=BC=PB CP +=3y x =+26BD BH ==<x<0x <<BAAP 11322ABC S BC AF D =×==111)228APE ABC S AE PE y y S D D =××=+==y=3y x =+x =-BA )PC y ==-)PB CP x y +=+-=3y x =-90PEC °Ð=)PE y ===-∴∴或∴或综上：3．（2019·湖北宜昌·初三期末）矩形ABCD中，AB ＝2，AD ＝3，O 为边AD 上一点，以O 为圆心，OA为半径r 作⊙O ，过点B 作⊙O 的切线BF ，F 为切点．（1）如图1，当⊙O 经过点C 时，求⊙O 截边BC 所得弦MC 的长度；（2）如图2，切线BF 与边AD 相交于点E ，当FE ＝FO 时，求r 的值；（3）如图3，当⊙O 与边CD 相切时，切线BF 与边CD 相交于点H ，设△BCH 、四边形HFOD 、四边形FOAB 的面积分别为S 1、S 2、S 3，求的值．【答案】（1）CM ＝；（2）r ＝﹣2；（3）1．【解析】解：（1）如图1中，连接OM ，OC ，作OH ⊥BC 于H ．∵OH ⊥CM ，∴MH ＝CH ，∠OHC ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠HCD ＝90°，∴四边形CDOH 是矩形，∴CH ＝OD ，CM ＝2OD ，设AO ＝CO ＝r ，111)228APE ABC S AE PE y y S D D =××=-==32y =92x =BP =-123S S S +53在Rt △CDO 中，∵OC 2＝CD 2+OD 2，∴r 2＝22+（3﹣r ）2，∴r ＝，∴OD ＝3﹣r＝，∴CM ＝2OD ＝．（2）如图2中，∵BE 是⊙O的切线，∴OF⊥BE ，∵EF ＝FO ，∴∠FEO ＝45°，∵∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝BE ＝2，设OA ＝OF ＝EF ＝r ，则OE r ，∴r ＝2，∴r ＝﹣2．（3）如图3中，由题意：直线AB ，直线BH ，直线CD 都是⊙O 的切线，∴BA ＝BF ＝2，FH ＝HD ，设FH ＝HD ＝x ，在Rt △BCH 中，∵BH 2＝BC 2+CH 2，∴（2+x ）2＝32+（2﹣x ）2，1365653∴x ＝，∴CH ＝，∴S 1＝S 2＝，S 3＝＝3，∴．4．（2019·江苏南京·初三期末）如图，已知菱形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8．点E 是AB 边上一点，求作矩形EFGH ，使得点F 、G 、H 分别落在边BC 、CD 、AD 上．设 AE ＝m ．（1）如图①，当m ＝1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EFGH ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）写出矩形EFGH 的个数及对应的m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①当m ＝0时，存在1个矩形EFGH ；②当0＜m ＜时，存在2个矩形EFGH ；③当m ＝时，存在1个矩形EFGH ；④当＜m ≤时，存在2个矩形EFGH ；⑤当＜m ＜5时，存在1个矩形EFGH ；⑥当m ＝5时，不存在矩形EFGH .【解析】（1）如图①，如图②（也可以用图①的方法，取⊙O 与边BC 、CD 、AD 的另一个交点即可）987817213=2816´´193272=28216´´´132222´´´1232127+1616==13S S S +959595185185（2）∵O到菱形边的距离为,当⊙O 与AB 相切时AE=，当过点A,C 时，⊙O 与AB 交于A,E 两点，此时AE=×2=，根据图像可得如下六种情形：①当m ＝0时，如图，存在1个矩形EFGH ；②当0＜m ＜时，如图，存在2个矩形EFGH ；③当m ＝时，如图，存在1个矩形EFGH ；12595951859595④当＜m ≤时，如图，存在2个矩形EFGH ；⑤当＜m ＜5时，如图，存在1个矩形EFGH ；⑥当m ＝5时，不存在矩形EFGH .5．（2019·南京民办求真中学初三月考）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r ．用角尺的较短边紧靠⊙O ，角尺的顶点B （∠B ＝90°），并使较长边与⊙O 相切于点C ．（1）如图，AB ＜r ，较短边AB ＝8cm ，读得BC 长为12cm ，则该圆的半径r 为多少？（2）如果AB ＝8cm ，假设角尺的边BC 足够长，若读得BC 长为acm ，则用含a 的代数式表示r为 ．【答案】（1）13；（2）0＜r ≤8时，r ＝a ；当r ＞8时，r ＝a 2+4【解析】解：（1）如图1，连接OC 、OA ，作AD ⊥OC ，垂足为D ．则OD ＝r ﹣8在Rt △AOD 中，r 2＝（r ﹣8）2+122解得：r ＝13；答：该圆的半径r 为13；（2）①如图2，易知，0＜r ≤8时，r ＝a ；②当r ＞8时，如图1：连接OC ，连接OA ，过点A 作AD ⊥OC 于点D ，95185185116∵BC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥BC ，则四边形ABCD 是矩形，即AD ＝BC ，CD ＝AB ．在Rt △AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，即：r 2＝（r ﹣8）2+a 2，整理得：r ＝a 2+4．故答案为：＜r ≤8时，r＝a ；当r ＞8时，r ＝a 2+4．6．（2019·天台县坦头中学初三期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， 点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．（1）试判断直线BC 与OD 的位置关系，并说明理由.（2）若BD ＝BF ＝3，求⊙O 的半径.【答案】（1）线BC 与⊙O 的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O 的半径是3．【解析】（1）线BC 与⊙O 的位置关系是相切，理由是：连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠OAD ＝∠CAD ，116116∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD//AC ，∵∠C ＝90°，∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC ，∵OD 为半径，∴线BC 与⊙O 的位置关系是相切；（2）设⊙O 的半径为R ，则OD ＝OF ＝R ，在Rt △BDO 中，由勾股定理得：OB 2＝BD 2+OD 2，即(R+3)2＝(2+R 2，解得：R ＝3，即⊙O 的半径是3．7．（2019·江苏泰州·初三月考）如图，矩形ABCD 中AB ＝3，AD ＝4．作DE ⊥AC 于点E ，作AF ⊥BD 于点F ．（1）求DE 的长；（2）若以点A 为圆心作圆，B 、C 、D 、E 四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A 的半径r 的取值范围．【答案】（1）；（2）3＜r ＜5．【解析】解：（1）∵矩形ABCD 中AB ＝3，AD ＝4，∴AC ＝BD ＝5，∵AC •DE ＝DC •AD ，∴DE ＝＝，（2）∵AF ＜AB ＜AE ＜AD ＜AC ，∴若以点A 为圆心作圆，B 、C 、D 、E 四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B 在圆内，点C 在圆外，∴⊙A 的半径r 的取值范围为3＜r ＜5．1251212345´1258．（2019·浙江全国·单元测试）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA ＝5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ．(1)试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由；(2)若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r 的取值范围．【答案】（1）AB ＝AC （2≤r<5【解析】(1)AB ＝AC ，理由如下：如图1，连结OB.∵AB 切⊙O 于B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA ＝∠OAC ＝90°，∴∠OBP＋∠ABP ＝90°，∠ACP ＋∠APC ＝90°，∵OP ＝OB ，∴∠OBP ＝∠OPB ，∵∠OPB ＝∠APC ，∴∠ACP ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ； (2)如图2，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，则可以推出；又∵圆O 与直线MN 有交点，∴，，，r 2≥5，∴，又∵圆O 与直线l 相离，∴r<5，1122OE AC AB ===OE r =£2r £22254r r -£r ³.图1图29．（2019·浙江全国·初三课时练习）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以点C 为圆心，以R 为半径画圆，若⊙C 与AB 相交，求R 的范围．【答案】当2.4<R≤4时，⊙C 与AB 相交【解析】如图，作CD ⊥AB 于D.∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5，由面积公式得12×AC ×BC ＝12×AB ×CD ，∴CD ＝AC ×BCAB ＝4×35＝2.4.∴当2.4＜R ≤4时，⊙C 与AB 相交．10．（2018·全国初三单元测试）在矩形中，，，以点为圆心，为半径作圆．若矩形ABCD 的顶点至多有两个在内，求的取值范围；若矩形的顶点至少有两个在内，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】当恰好有三个顶点在圆内时，即此时以为半径，，5r £<ABCD 12AB =5AD =A r ()1A e r ()2ABCD A e r 012r <<5r >()1AB 12r =矩形的顶点至多有两个在内，；当恰好有两个顶点在圆内时，即此时以为半径，，矩形的顶点至少有两个在内，的取值范围是．11．如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作.（1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）；（2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1）内，外；（2）2＜r≤4或．【解析】（1）∵在中，，，，∴，∵的中点为点，∴r=CM=∵2＜4，∴点在内，在外，故答案是：内，外；（2）①当与直线相切时，与线段只有一个公共点，设切点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，∵在Rt 中，，∴r=，②当点A 在圆内，点B 在圆外或圆上时，与线段只有一个公共点，此时，2＜r≤4．综上所述：的取值范围：2＜r≤4或．考点4：内心与外心的综合应用典例：（2020·河北邯郸·初三其他）如图，已知，，，交于点，交于点．ABCD A e 012r <<()2AO 5r =ABCD A e r 5r >ABC V 90ACB Ð=°2AC =4BC =AB M C r C e r CM =A C e B C e C e AB r ABC V 90ACB Ð=°2AC =4BC =AB ==AB M 12AB A C e B C e C e AB C e AB ABC V 22AB CD AC BC ××=AC BC CD AB ×===C e AB r 30A E Ð=Ð=°20C D Ð=Ð=°AB EB =AB DE F AC DE G（1）求证：；（2）当时，证明四边形是菱形；（3）若的外心在其内部，，直接写出的值．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）160【解析】（1）证明：在△ABC 和△EBD 中，，∴△ABC ≌△EBD （AAS ）；（2）证明：∵△ABC ≌△EBD ，∴BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBE ＝130°，∵∠ABE ＝100°，∴∠ABD ＝∠CBE ＝30°，∴∠ABD ＝∠A ，∠EBC ＝∠E ，∴AC ∥BD ，DE ∥BC ，∴四边形BDGC 为平行四边形，∵BD ＝BC ，∴四边形BDGC 是菱形；（3）解：△DFB 的外心在其内部时，△DFB 为锐角三角形，当BF ⊥DE 时，n ＝90，当BF ⊥BD 时，m ＝70，∴m +n ＝160．方法或规律点拨ABC EBD △≌△100ABE Ð=°BDGC DFB △m DFB n °<Ð<°m n+A E C D AB EB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î本题考查的是三角形的外心的概念和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定，掌握三角形的外心的概念、菱形的判定定理是解题的关键．巩固练习1．（2020·四川江油·初三月考）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOBC．4∠AIB﹣∠AOB＝360°D．2∠AOB﹣∠AIB＝180°【答案】C【解析】试题分析：由题意得∠AIB1902°=+∠C，∠AOB=2∠C则∠AIB1904°=+∠AOB，∴4∠AIB-∠AOB=360°故选C．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，∠BOC=116°，则∠BIC=（ ）A．116°B．119°C．104°D．118°【答案】B【解析】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC=116°，∴∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=122°，∵点I为△ABC的内心，∴∠IBC+∠ICB=61°，∴∠BIC=119°．故答案为：119°．3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）如图，在△ABC 中，CA 是边BE 上的中线，∠BAD=∠CAD ，CE ∥AD ，CE 交BA 的延长线于点E ，BE = 10 ，BC = 8．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）求CE 的长；（3）求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）CE=6；（3）外心P 和内心Q的距离是．【解析】（1）证明：∵CE ∥AD ，∴∠BAD=∠E ，∠CAD=∠ACE ，而∠BAD=∠CAD ，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC ，而AB=AE ，∴AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形．（2）∵AD 是边BC 上的中线，∴BD=CD ，∵CE ∥AD ，∴AD 为△BCE 的中位线，∴CE=2AD=6；（3）如图，连接BP 、BQ 、CQ ，52在Rt △ABD 中，，设⊙P 的半径为R ，⊙Q 的半径为r ，在Rt △PBD 中，（R-3）2+42=R 2，解得R=，∴PD=PA-AD=，∵S △ABQ +S △BCQ +S △ACQ =S △ABC ，∴，解得r=，即QD=，∴PQ=PD+QD=．答：△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离为．4．（2020·全国初三课时练习）（数学活动）求重叠部分的面积．（1）（问题情境）如图（1），将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与等边三角形的内心重合，已知，求图中重叠部分的面积．（2）（探究）在（1）的条件下，将纸片绕点旋转至如图（2）所示的位置，纸片两边分别与交于点．图（2）中重叠部分的面积与图（1）中重叠部分的面积是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．【答案】（1；（2）面积相等，见解析【解析】解：（1）过点O 作ON ⊥AB ，垂足为N ，如图①，∵△ABC 为等边三角形，5=256257366-=1111585382222r r r ··+··+··=´´4343745632+=52P ABC O 2OA =PAB △P ,AC AB ,E F∴∠CAB=∠CBA=60°，∵点O 为△ABC 的内心，∴∠OAB=∠CAB ，∠OBA=∠CBA ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OB=OA=2，∵ON ⊥AB ，∴AN=NB ，PN=1，∴，∴∴S △OAB =（2）图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．证明：连接AO 、BO ，如图②，由旋转可得：∠EOF=∠AOB ，则∠EOA=∠FOB ．在△EOA 和△FOB 中，，∴△EOA ≌△FOB ．∴S 四边形AEOF =S △OAB ．∴图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．5．（2020·全国课时练习） 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形ABCD 中，若AC=BD ，AC ⊥BD ，则称四边形ABCD 为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：12121230EAO FBO OA OBEOA FOB ÐаÐÐìïíïî＝＝＝＝（1）矩形 奇妙四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知⊙O 的内接四边形ABCD 是奇妙四边形，若⊙O 的半径为6，∠ BCD=60°．求奇妙四边形ABCD 的面积；（3）如图3，已知⊙O 的内接四边形ABCD 是奇妙四边形作OM ⊥BC 于M ．请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）不是；（2）54；（3）.【解析】解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，所以矩形不是奇妙四边形；故答案为不是；（2）连结OB 、OD ，作OH ⊥BD 于H ，如图2，则BH=DH ，∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，∴在等腰△OBD 中，∠OBD=30°，在Rt △OBH 中，∵∠OBH=30°，∴，∴∴∵四边形ABCD 是奇妙四边形，∴，12OM AD=132126OH OB ==´=BH ==2BD BH ==AC BD ==AC BD^∴；（3）．理由如下：连结OB 、OC 、OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，如图3，∵OE ⊥AD ，∴在等腰△AOD 中，，又∵，∴∠BOM=∠BAC ，同理可得∠AOE=∠ABD ，∵BD ⊥AC ，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠BOM+∠AOE=90°，∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE ，在△BOM 和△OAE 中∴，∴OM=AE ，∴．6．（2020·陕西乾县·初三二模）问题提出：（1）如图①，在中，，，则的外接圆半径的值为__________；问题探究：（2）如图②，四边形是正方形，点、分别在、的延长线上，点在上，112542ABCD BD A S C =´==g 四边形12OM AD=12AE DE AD ==22BOC BAC BOM Ð=Ð=Ð90BMO OEA OBM AOEOB AO ìÐÐ=ïÐÐíïîo＝＝＝()BOM OAE AAS V V ≌12OM AD =ABC V 30A Ð=°2BC =ABC V R ABCD E G BA BC F BC连接、、，，若DAE △、的面积分别为5、9，求的面积．问题解决：（3）如图③，某公园有一块形状为正方形的空地，，现要在这块空地上规划出一个四边形区域种植红枫树，其余部分种植草坪．根据设计要求，点、、分别在、、上，，．已知种植红枫树和草坪每平方米分别需要100元、50元．根据设计要求，试确定、的位置，使种植红枫树和草坪的总花费最低，并求出最低总花费．【答案】（1）2；（2）14；（3）M 、N 位置见解析，元【解析】解:（1）连结OB 、OC ，如图，∵∠BOC=2∠A=2×30°=60°，而OB=OC ，∴△OBC 为等边三角形，∴OB=BC=2，即△ABC 的外接圆半径为2．故答案为2．（2）∵四边形是正方形，∴，，∵，，，∴，∴，∴；（3）在正方形中，，过作于，于，DE DF DG CF AE =DCG △DFG V ABCD 100AD m =BMPN M P N AB BD BC 60BP m =150MPN Ð=°MN (590000+ABCD 90BCD BAD DAE Ð=Ð=Ð=°AD CD =AD CD =90DAE DCF Ð=Ð=°AE CF =DAE DCF D D ≌5DAE DCF S S D D ==14DFG DFC DGC S S S D D D =+=ABCD 45ABD CBD Ð=Ð=°P PF BA ^F PE BC ^E∴，易得四边形是正方形.∴，在上截取，连接，由（2）可得：，，∴，，∴.∴当最小时，四边形的面积最小.作的外接圆，连接、、，过作于，∴，，在中，，，设的半径为，则，，由，可得∴，∴∴的最小值为，此时.∴，∴∴∴最低总费用为元.7．（2020·广东广州·初三月考）如图，在中，，点，分别是的内心和PF PE=BFPEBE PE ==90FPE Ð=°BE EG MF =PG PEG PFM S S D D =MPF GPE Ð=ÐPGN PMF PNE S S S D D D =+1509060GPN MPF EPN MPN EPF °°°Ð=Ð+Ð=Ð-Ð=-=PNE PMF PGNFBEP FBEP BMPN S S S S S S D D D =++=+正方形正方形四边形2211180022BE PE NG =+×=+´=+NG BMPN PGN D O e OG OP ON O OH BC ^H 1602GOH GON GPN °Ð=Ð=Ð=2NG GH =Rt GOH D 12OH OG =tan 60GH OH °==O e R 12OH R =NG =OP OH PE +³12R R +…R ³NG =…NG GE NE ==BM BN ==+18001800BMPN S =+=+四边形最小100100(18008200´-+=-100(180050(8200590000++-=+(590000+Rt ABC D 90ACB Ð=°O M Rt ABC D外心，连接，，．（1）求的度数；（2）延长至点，使，连接，求证：；（3）在（2）中，延长至点，使，连接，找出与之间的等量关系，并证明这个结论．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析【解析】（1）解：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵点O 是△ABC 的内心，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA ）=135°．（2）证明：如图1中，∵点O 是△ABC 的内心，∴OA 平分∠BAD ，∵AD=AB ，∴AO ⊥BD （等腰三角形三线合一）．（3）解：结论：DE=2OM ．理由：如图2中，连接OE ，OD ，延长OM 到K ，使得MK=OM ，连接AK ，BK ．OA OB OM AOB ÐAC D AD AB =BD AO BD ^BC E BE AB =DE DE OM 135°2DE OM =1212∵BE=BA ，∠OBE=∠OBA ，BO=BO ，∴△OBE ≌△OBA （SAS ），∴OA=OE ，∠BOE=∠BOA=135°，∴∠AOE=90°，同法可证∠DOB=90°，OD=OB ，∵AM=MB ，OM=MK ，∴四边形AOBK 是平行四边形，∴AK=OB=OD ，AK ∥OB ，∴∠KAO+∠AOB=180°，∵∠AOB+∠EOD=180°，∴∠KAO=∠EOD ，∵OA=OE ，AK=OD ，∴△OAK ≌△EOD （SAS ），∴OK=ED ，∴OK=2OM ，∴DE=2OM ．8．（2020·重庆市第一一〇中学校初三其他）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler )是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I 分别为其外心和内心，则.如图1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与AB 相切分于点F ，设⊙O 的半径为R ，⊙I 的半径为r ，外心O （三角形三边垂直平分线的交点）与内心I （三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI ＝d ，则有d 2＝R 2﹣2Rr ．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI 交⊙O 于点D ，过点I 作⊙O 的直径MN ，连接DM ，AN.∵∠D=∠N ，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，∴△MDI ∽△ANI，222OI R Rr =-∴，∴①，如图2，在图1(隐去MD ，AN)的基础上作⊙O 的直径DE ，连接BE ，BD ，BI ，IF ，∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I与AB 相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA ，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF ∽△EDB ，∴，∴②，任务：(1)观察发现：，IN =(用含R ，d 的代数式表示)；(2)请判断BD 和ID 的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC 的外接圆的半径为5cm ，内切圆的半径为2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm.【答案】(1)R-d ；(2)BD=ID ，理由见解析；(3)见解析；.【解析】(1)∵O 、I 、N 三点共线，∴OI+IN ＝ON ，∴IN ＝ON ﹣OI ＝R ﹣d ，故答案为：R ﹣d ；(2)BD=ID ，理由如下：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAD=∠CAD ，∠CBI=∠ABI ，∵∠DBC=∠CAD ，∠BID=∠BAD+∠ABI ，∠DBI=∠DBC+∠CBI ，∴∠BID=∠DBI ，∴BD=ID ；(3)由(2)知：BD=ID ，IM ID IA IN=IA ID IM IN ×=×IA IF DE BD=IA BD DE IF ×=×IM R d =+又，，∴DE·IF=IM·IN ，∴，∴∴；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，∵d>0，∴，考点5：综合题中切线的应用典例：（2020·广西玉林·一模）如图，抛物线交轴于点，，交y 轴于点C，顶点为M ，直线y x d =+经过C ，M 两点，并且与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若四边形CDAN 是平行四边形，且点N 在抛物线上，则点N 的坐标为________；（3）平面内是否存在点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）()2,3；（3）存在，P 点坐标为(1,4-+或(1,4--【解析】解：（1）抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），即y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，当x ＝0时，y ＝﹣3a ，则C （0，﹣3a ），∵y ＝a （x ﹣1）2﹣4a ，∴M （1，﹣4a ），把M （1，﹣4a ），（0，﹣3a ）代入y ＝x +d 得143d a d a +=-ìí=-î，解得13a d =-ìí=î，IA ID IM IN ×=×IA BD DE IF ×=×2()()Rr R d R d =+-222R d Rr-=222d R Rr =-222d R Rr =-2252525d =-´´=d =2(0)y ax bx c a =++<x (1,0)A -(3,0)B∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）直线CD 的解析式为y=x+3，则D （-3，0），C （0，3），∵四边形CDAN 是平行四边形，∴CN=AD=2，CN ∥AD ，∴N （2，3）；故答案为（2，3）；（3）存在．∵以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，∴点P 在抛物线的对称轴上，作PE ⊥CD 于E ，如图，设P （1，m ），M （1，4），∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝45°，∴∠PMD ＝45°，∴PEPM（4﹣m ），∵⊙P 与直线CD 相切，∴PE ＝PA ，∴（4﹣m ）]2＝（1+1）2+m 2，整理得m 2+8m ﹣8＝0，解得m 1＝﹣4+m 2＝﹣4﹣∴P 点坐标为（1，﹣4+1，﹣4﹣．方法或规律点拨本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和切线的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．巩固练习1．（2020·河北玉田·初三期末）如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、y 轴的交点分别为两点．l 334y x =+x A B 、。
人教版九年级上册同步训练：切线的性质与判定
人教版九年级上册同步训练：切线的性质与判定一．选择题1．下列四个选项中的表述，正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线2．如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（）A．25°B．28°C．30°D．35°3．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点4．如图P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过C作⊙O的切线分别交P A、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P＝50°，则∠DOE的度数为（）A．130°B．50°C．60°D．65°5．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O 与AC相交于点E，则AE的长为（）A．1B．2﹣C．D．6．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，以O 为圆心，1cm为半径作圆，当O从点P出发以2cm/s速度向右作匀速运动，经过ts与直线a相切，则t为（）A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s7．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②③④8．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的最小值是﹣8；②抛物线的对称轴是直线x ＝3；③⊙D的半径为4；④抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；⑤直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2二．填空题（共6小题）9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝cm时，⊙M与OA相切．10．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为时，BP与⊙O相切．11．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是．（不添加其他字母和线条）12．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，与OA的延长线交于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝．14．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．三．解答题（共6小题）15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在弦AC的延长线上，连接BD，恰有∠DBC＝∠DAB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是弧AC的中点，且∠EAB＝75°，求∠D的度数．16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．17．如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O外，∠BAD的平分线与⊙O交于点C，连接BC、CD，且∠D＝90°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠DCA＝60°，BC＝3，求的长．18．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与AB的延长线交于点E，AD⊥CD，点C是的中点．（1）求证：直线CD与⊙O相切于点C；（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从B点出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，，结果保留一位小数）．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D．取BC的中点E，连接DE，并连接OE交⊙O于点F．连接AF交BC于点G，连接BD交AG于点H．（1）若EF＝1，BE＝，求∠EOB的度数；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）求证：点F为线段HG的中点．参考答案一．选择题1．解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．2．解：连接OA，∵P A为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠AOP＝30°，故选：C．3．解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．4．解：如图，连接OA、OB、OC，∵P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE，∴∠DCO＝∠ECO＝90°，∵P A、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，∴∠AEO＝∠CEO，∠CDO＝∠BDO，∵∠AOE＝180°﹣∠OAE﹣∠AEO，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠CEO，∴∠AOE＝∠COE，同理可证：∠COD＝∠BOD，∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．5．解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，∵△ABC为等边三角形，边长为4，∴∠ACB＝60°，高为2，∵等边三角形ABC与⊙O等高，∴OC＝，∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠OCF＝30°，在Rt△OFC中，可得FC＝，∵OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE＝2FC＝3，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1，故选：A．6．解：∵直线a⊥b，∴⊙O与直线a相切时，切点为H，∴OH＝1cm，当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；∴t＝s；当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；∴t＝s∴⊙O与直线a相切，t为s或s，故选：D．7．解：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA＝AB，∴OA＝AC，选项③正确；则正确的结论为①②③④．故选：D．8．解：∵在y＝（x+2）（x﹣8），当y＝0时，x＝﹣2或x＝8，∴点A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x＝＝3，故②正确；当x＝3时，y最小＝（3+2）（3﹣8）＝﹣，故①错误；∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）＝10，即半径为5，故③错误；在y＝（x+2）（x﹣8）＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），当y＝﹣4时，x2﹣x﹣4＝﹣4，解得：x1＝0、x2＝6，所以点E（6，﹣4），则CE＝6，∵AD＝3﹣（﹣2）＝5，∴AD≠CE，∴四边形ACED不是平行四边形，故④错误；∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，∴点M（3，﹣），设直线CM解析式为y＝kx+b，将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，解得：，所以直线CM解析式为y＝﹣x﹣4；设直线CD解析式为y＝mx+n，将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，解得：，所以直线CD解析式为y＝x﹣4，由﹣×＝﹣1知CM⊥CD于点C，∴直线CM与⊙D相切，故⑤正确；故选：D．二．填空题（共6小题）9．解：设⊙M与OA相切于N，连接MN，∵MN⊥AO，∠AOB＝30°，3cm为半径，∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．故当OM＝6cm时，⊙M与OA相切，故答案为：6．10．解：连接OP∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∵AB＝OA，OA＝OP，∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；∴∠B＝30°；∴∠O＝60°；∵OA＝6cm，弧AP＝＝2π，∵圆的周长为：12π，∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．故答案为：2秒或10秒．11．解：连接OD，当DE与圆相切时，ED⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∵AO＝BO，∴D是BC的中点．故答案为：D是BC的中点．12．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，∵OB＝2，∴BD＝OB＝2．故答案为：2．13．解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠COB，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠B，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，∴OD＝2+x，∵OD2＝OC2+CD2，∴（2+x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴CD＝3，故答案为：3．14．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．三．解答题（共6小题）15．（1）证明：连接BO，∵BM是⊙O的直径，∴∠BCM＝90°，∴∠CBM+∠M＝90°，∵∠DAB＝∠M，∠DBC＝∠DAB，∴∠DBC＝∠M，∴∠CBM+∠DBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AC于F，∵点E是弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴∠EFD＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵∠BOE＝2∠BAE＝150°，∴∠ADB＝360°﹣∠OBD﹣∠BOE﹣∠EFD＝30°．16．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3．17．解：（1）证明：连接OC，∵AC是∠BAD的平分线，∴∠CAD＝∠BAC，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，∴∠OCD＝∠D＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACD＝60°，∴∠OCA＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝3，∠COB＝60°，∴的长：＝π．18．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴CD⊥OC，∴CD为⊙O的切线，∴直线CD与⊙O相切于点C；（2）解：∵∠CAD＝30°，∴∠CAE＝∠CAD＝30°，由圆周角定理得，∠COE＝60°，∴OE＝2OC＝6，EC＝OC＝3，的长为：＝π，∴蚂蚁爬过的路程＝3+3+π≈11.3．19．（1）证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，OD是半径，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，∴四边形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE．∴AH＝AF＝8，设AE＝x．∵DE+AE＝8，∴OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，解得：x＝2，∴OA＝8+2＝10．∴⊙O的半径为10．20．解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，在直角三角形OBE中，设圆O半径为r，∵EF＝1，BE＝，则，r2+（）2＝（r+1）2，解得r＝1，∴OB＝1，OE＝2，∴∠EOB＝60°；（2）连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵E为直角三角形BCD斜边的中点，∴DE＝EC，∴∠CDE＝∠C，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA+∠CDE＝∠OAD+∠C＝90°，∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，∴DE是⊙O的切线；（3）∵O、E分别为AB、BC的中点，∴OE∥AC，∵BD⊥AC，∴OE⊥BD，∴＝，∴∠FBD＝∠F AB，∵∠GBF＝∠F AB，∴∠FBD＝∠GBF，∴BF⊥HG，∴BF平分HG，即：点F为线段HG的中点．。
2020年人教版九年级数学上册期末专题《切线的性质与判定》(含答案)
∴∠5=∠6= ∠B. ∴∠2=2∠6. ∴∠6=30°. ∴∠C=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°.
12.如图，PA、PB、DE 分别切⊙O 于点 A、B、C，DE 交 PA、PB 于点 D、E，若∠P=40°，则∠ DOE= ．
13.在△ABC 中，点 I 是内心，若∠A=80°，则∠DEF= 度．
14.如图，直线 AB 与半径为 2 的⊙O 相切于点 C，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°，弦 EF∥AB，
A.1
B.
C.
D.2
6.如图，⊙P 内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且 AB∥OP，若阴影部分的面积为 9π，则 弦 AB 的长为（ ）
A.3
B.4
C.6
D.9
7.如图，△ABC 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，
则下列等式：
①∠EDF=∠B；
③2∠A=∠FED＋∠EDF；
当 BP+PQ 取最小值时，BP+PQ=BO′- 0.5OD= 6
5.答案为：B 6.答案为：C 7.答案为：B 8.答案为：B.
-4.故选：D.
9.答案为：2 或 2 .
10.答案为：2． 解析：连接 CD、OC，如图： ∵AC 与⊙O 相切于点 C，∴AC⊥OC， ∵∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴OC∥AB，∴∠ABC=∠OCB， ∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO，∴∠ABC=∠CBO， ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°=∠CAB，∴△ABC∽△CBD，
2020人教版九年级数学上册专题十有关切线的辅助线作法同步测试及答案
有关切线的辅助线作法 一 切线的性质(教材P101习题24.2第5题)如图1，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，求证：AP ＝BP . .∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB .在大圆中由垂径定理得AP ＝BP .图2【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为( C )B ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm如图3，已知点O 为Rt △ABC 斜边AC 上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ，与AC 相交于点D ，连接AE .(1)求证：AE 平分∠CAB ；C 的数量关系，并求当AE ＝EC 时∠C 的值．图3变形2答图解：(1)证明：如图，连接OE ，∵BC 是⊙O 的切线，且切点为E ，∴OE ⊥BC ，∴∠OEC ＝90°.又∵△ABC 是直角三角形，∴∠B ＝90°，∴∠OEC ＝∠B ，∴OE ∥AB ，∴∠BAE ＝∠OEA .∵OA ＝OE ，∴∠1＝∠OEA ，∴∠BAE ＝∠1，∴AE 平分∠CAB .(2)∵△ABC 是直角三角形，∴∠BAC ＋∠C ＝90°.∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC ＝2∠1，∴2∠1＋∠C ＝90°，即∠1＝12(90°－∠C )．当AE ＝EC 时，∠1＝∠C ，则2∠C ＋∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.图4 如图4，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过点T 作AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝3，求AD的长．解：(1)证明：连接OT∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线．(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点又∵CT⊥AC，∴OE∥CT∴四边形OTCE为矩形∵CT＝3，∴OE＝ 3又∵OA＝2∴在Rt△OAE中，AE＝OA2－OE2＝22－（3）2＝1∴AD＝2AE＝2.二切线的判定(教材P101习题24.2第4题)如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．解：CD与⊙O相切．理由如下：连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO ＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D，∴CD是⊙O的切线．[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D .(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．图7变形2答图解：(1)证明：如图，连接OD ，∵∠DOB ＝2∠DCB ，又∵∠A ＝2∠DCB ，∴∠A ＝∠DOB .又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠DOB ＋∠B ＝90°，∴∠BDO ＝90°，∴OD ⊥AB ，∴AB 是⊙O 的切线．(2)解法一：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，∵OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，∠BDO ＝90°，∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2，∴OD ＝2，BO ＝4，∴BD ＝2 3.解法二：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，∵OM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵OC ＝OE ，∴DE ＝2OM ＝2.∵Rt △BDO 中，OE ＝BE ，∴DE ＝12BO ， ∴BO ＝4，∴OD ＝OE ＝2，∴BD ＝2 3.图8 如图8，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过D 作⊙O 的切线，C 是AD 的中点，AE 交⊙O 于B 点，四边形BCOE 是平行四边形．(1)求AD 的长；(2)BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．解：(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1. ∴AD ＝2.(2)连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD .∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．图9 如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，CD ＝43，BE ＝2.求证：(1)四边形F ADC 是菱形；(2)FC 是⊙O 的切线．解：(1)连接OC ，依题意知：AF ⊥AB ，又CD ⊥AB ，∴AF ∥CD ，又CF ∥AD ，∴四边形F ADC 是平行四边形，由垂径定理得：CE ＝ED ＝12CD ＝23， 设⊙O 的半径为R ，则OC ＝R ，OE ＝OB －BE ＝R －2，在△ECO 中，由勾股定理得：R 2＝(R －2)2＋(23)2，解得：R ＝4，∴AD ＝AE 2＋DE 2＝62＋（23）2＝43，∴AD ＝CD ，因此平行四边形F ADC 是菱形；(2)连接OF ，由(1)得：FC ＝F A ，又OC ＝OA ，FO ＝FO ，∴△FCO ≌△F AO ，∴∠FCO ＝∠F AO ＝90°，因此FC 是⊙O 的切线．第3课时 切线长定理和三角形内切圆 [见B 本P46]1．如图24－2－30，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B .如果∠APB ＝60°，P A ＝8，那么弦AB 的长是( B )图24－2－30A ．4B ．8C ．6D ．10【解析】 ∵P A 、PB 都是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，又∵∠P ＝60°，∴△P AB 是等边三角形，即AB ＝P A ＝8，2．如图24－2－31，P A 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是( D ) 图24－2－31A ．∠1＝∠2B ．P A ＝PBC ．AB ⊥OPD ．P A 2＝PC ·PO3．如图24－2－32，已知△ABC 中，⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，则I 是△DEF 的( A )图24－2－32A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 ⊙I 是△DEF 的外接圆．4．如图24－2－33，已知P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，C 是劣弧AB ︵上一动点，过C 作⊙O 的切线交P A于M ，交PB 于N ，已知∠P ＝56°，则∠MON ＝( C )图24－2－33A ．56°B ．60°C ．62°D ．不可求【解析】 连接OA ，OB ，则∠AOB ＝124°，∴∠MON ＝12∠AOB ＝12×124°＝62°，故选C. 5．△ABC 中∠A ＝80°，若O 为外心，M 为内心，则∠BOC ＝__160__度，∠BMC ＝__130__度．【解析】 根据分析，得∠BOC ＝2∠A ＝160°；∠BMC ＝90°＋12∠A ＝130°. 6．[2013·天津]如图24－2－34，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，若∠P ＝70°，则∠C 的大小为__55°．图24－2－34【解析】 连接OA ，OB ，∵P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，即∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－∠P AO －∠P －∠PBO ＝360°－90°－70°－90°＝110°，∴∠C ＝12∠AOB ＝55°. 7．[2012·菏泽]如图24－2－35，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠P ＝46°，则∠BAC ＝__23°__．图24－2－35【解析】 ∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，又∠P ＝46°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝180°－46°2＝67°. 又P A 是⊙O 的切线，AO 为⊙O 的半径，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP ＝90°，∴∠BAC ＝∠OAP －∠P AB ＝90°－67°＝23°.8．如图24－2－36，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC ，BC ，求证：AC ＝BC .图24－2－36证明：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，∴P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPC .又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC .∴AC ＝BC .9．如图24－2－37，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∠BCA ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.(1)求△ABC 的面积；(2)求⊙O 的半径；(3)求AF 的长．图24－2－37解：(1)∵∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴△ABC 的面积为：12×3×4＝6；(2)连接OE ，OD ，∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∴EB ＝FB ，CD ＝CE ，AD ＝AF ，OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，又∵∠C ＝90°，OD ＝OE ，∴四边形ECDO 为正方形，∴设OE ＝OD ＝CE ＝CD ＝x ，∴BE ＝3－x ，DA ＝4－x ；∴FB ＝3－x ，AF ＝4－x ，∴3－x ＋4－x ＝5，解得x ＝1.(3)∵CD ＝1，∴AF ＝AD ＝4－1＝3.10．如图24－2－38所示，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝60°，连接AB ，过A ，B 两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P .若已知⊙O 的半径为1，则△P AB 的周长为__33__．图24－2－38【解析】 ∵AP ，BP 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB .∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠C ＝90°－60°＝30°，∴∠P AB ＝90°－30°＝60°，∴△P AB 是等边三角形．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AC ＝12×2＝1， ∴AB ＝AC 2－BC 2＝22－12＝3，∴△P AB 的周长为3 3.11．如图24－2－39，已知AB 为⊙O 的直径，P A ，PC 是⊙O 的切线，A ，C 为切点，∠BAC ＝30°.(1)求∠P 的大小；(2)若AB ＝2，求P A 的长(结果保留根号)．图24－2－39第11题答图解：(1)∵P A 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴P A ⊥AB ，∴∠BAP ＝90°.∵∠BAC ＝30°，∴∠CAP ＝90°－∠BAC ＝60°.又∵P A ，PC 切⊙O 于点A ，C ，∴P A ＝PC ，∴△P AC 为等边三角形，∴∠P ＝60°.(2)如图，连接BC ，则∠ACB ＝90°.在Rt △ACB 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝12×2＝1， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝22－12＝3，∴P A ＝AC ＝ 3. O 相切，AB ＝8 cm.求圆O 的直径．解：作出示意图如答图，连接OE ，OA ，OB ，∵AC ，AB 都是⊙O 的切线，切点分别是E ，B ，∴∠OBA ＝90°，∠OAE ＝∠OAB ＝12∠BAC . ∵∠CAD ＝60°，∴∠BAC ＝120°，∴∠OAB ＝12×120°＝60°， ∴∠BOA ＝30°，∴OA ＝2AB ＝16 cm.由勾股定理得OB ＝OA 2－AB 2＝162－82＝83(cm)，即⊙O 的半径是83cm ，∴⊙O 的直径是163cm.13．如图24－2－41，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，连接PO ，AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；的面积．图24－2－41解：(1)∵P A ，PB 分别为⊙O 的切线，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB .∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.∵∠C ＝60°，∴∠AOB ＝2∠C ＝120°.在四边形APBO 中，∠APB ＝360°－∠OAP －∠OBP －∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°.(2)∵P A ，PB 分别为⊙O 的切线，∴P A ＝PB .∵OA ＝OB ，PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO ，∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°， ∴PO ⊥AB ，∴∠DAO ＝∠APO ＝30°，∴OA ＝12×OP ＝12×20＝10 (cm)． 在Rt △AOD 中，∠DAO ＝30°，OA ＝10 cm ，∴AD ＝32×OA ＝32×10＝53(cm)， OD ＝12×OA ＝12×10＝5 (cm)， ∴AB ＝2AD ＝103cm ，∴S △AOB ＝12·AB ·OD ＝12×103×5 ＝25 3 (cm 2)．14．如图24－2－42，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DC 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，(1)求证：OD ∥BE ；CD 的长．⊥AM ，OE ⊥CD .又OA ＝OE ，OD ＝OD ，∴△OAD ≌△OED (HL)，∴∠AOD ＝∠DOE .∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB .∵∠AOE ＝∠OBE ＋∠OEB ＝2∠OBE ＝2∠AOD ，∴∠AOD ＝∠OBE ，∴OD ∥BE .(2)由(1)得∠AOD＝∠DOE.∵CD，BC是⊙O的切线，∴OE⊥CD，OB⊥BC.∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OEC≌△OBC，∴∠EOC＝∠BOC，∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°，∴CD＝OD2＋OC2＝62＋82＝10(cm)．。
第2课时+切线的判定与性质++课件++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
切线的
性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
性 质 有1个公共点
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
d=r
当堂练习
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （× ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ）
条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
归结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个
公共点时，我们说这条直线是
圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条 直线的距离等于半径(即d=r)
dr l
时，直线与圆相切；
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂
直于这条半径的直线是圆的切线.
N M
A
l
疑探 B
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB
是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
O
求证：AC是☉O的切线.
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
反证法. 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一
条直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距
离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相切”
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参考答案
1.B 2.A 3.答案为：A. 4.答案为：D 解析：设半圆的圆心为 O，作 O 关于 CD 的对称点 O′，连接 BO′交 CD 于点 P，连接 PO 交半圆 O 于点 Q，此时 BP+PQ 取最小值，如图所示.
∵AB=CD=6，BC=AD=8， ∴DO′= 0.5AD=4， 过 O′作 O′E⊥BC 交 BC 的延长线于 E， 则四边形 CDO′E 是矩形， ∴CE=DO′=4，EO′=CD=6，
与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙
P成为整圆的点P个数是（
）
A.6
B.8
C.10
D.12
3.如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD
平分∠ABC，AD= OD，AB=12，CD 的长是( )
期末专题《切线的性质与判定》
一、选择题
1.如图，△ABC 是一张三角形纸片，⊙O 是它的内切圆，点 D、E 是其中的两个切点，已知
CD=6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的一条直线 MN 剪下一块三角形（△CMN），则剪下的△
CMN 的周长是（
）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
2.我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l：y=kx+4
∴ = ，∴BC2=AB×BD=4×6=24，∴BC= =2 ；故答案为：
11.答案为：1 或 5 12.答案为：70°． 13.答案为：50．
14.答案为：2 ；
则 EF 的长度为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
15.如图，∠ABC=90°，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心，0.5OB 长为半径作⊙O，将射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转至 BA′，若 BA′与⊙O 相切，则旋转的角度α（0°＜α＜180°）等 于 ．
16.如图，⊙O 是以数轴原点 O 为圆心，半径为 3 的圆，与坐标轴的正半轴分别交于 A、C 两 点，OB 平分∠AOC，点 P 在数轴上运动，过点 P 且与 OB 平行的直线与⊙O 有公共点，则线段 OP 的取值范围是 ．
10.如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 外一点，点 C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点 C， ∠CAB=90°，若 BD=6，AB=4，∠ABC=∠CBD，则弦 BC 的长为 ．
11.如图,在平面直角坐标系中,半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为（-3,0）,将⊙P 沿 x 轴正方 向平移,使⊙P 与 y 轴相切,则平移的距离为______.
其中成立的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
②2∠EDF=∠A＋∠C； ④∠AED＋∠BFE＋∠CDF=180°.
C．3 个
D．4 个
8.如图，⊙O 过正方形 ABCD 的顶点 AB 且与 CD 边相切，若 AB=2，则圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、填空题 9.如图，⊙O 的半径 OA=2，B 是⊙O 上的动点(不与点 A 重合)，过点 B 作⊙O 的切线 BC， BC=OA，连结 OC，AC.当△OAC 是直角三角形时，其斜边长为 .
三、解答题 17.如图，⊙O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A，B），AD⊥CD． （1）若 BC=3，AB=5，求 AC 的值； （2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．
18.如图,AB 是⊙O 的直径,AF 是⊙O 切线,CD 是垂直于 AB 的弦,垂足为 E,过点 C 作 DA 的平行线 与 AF 相交于点 F，CD= ，BE=2． 求证：（1）四边形 FADC 是菱形； （2）FC 是⊙O 的切线．
12.如图，PA、PB、DE 分别切⊙O 于点 A、B、C，DE 交 PA、PB 于点 D、E，若∠P=40°，则∠ DOE= ．
13.在△ABC 中，点 I 是内心，若∠A=80°，则∠DEF= 度．
14.如图，直线 AB 与半径为 2 的⊙O 相切于点 C，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°，弦 EF∥AB，
A.2
B.2
C.3
D.4
4.如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，P 是边 CD 上一点，Q 是以 AD 为直径的半圆上一点，则 BP+PQ 的最小值为（ ）
A.10
B.2
+4
C. +1
D.6 -4
5.如图，等边△ABC 的边长为 2，⊙A 的半径为 1，D 是 BC 上的动点，DE 与⊙A 相切于点 E，DE 的最小值是（ ）
A.1
B.
C.
D.2
6.如图，⊙P 内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且 AB∥OP，若阴影部分的面积为 9π，则 弦 AB 的长为（ ）
A.3
B.4
C.6
D.9
7.如图，△ABC 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，
则下列等式：
①∠EDF=∠B；
③2∠A=∠FED＋∠EDF；
19.已知△ABC 中∠ACB=90°,E 在 AB 上,以 AE 为直径的⊙O 与 BC 相切于 D,与 AC 相交于 F,连接 AD． （1）求证：AD 平分∠BAC； （2）连接 OC,如果∠B=30°,CF=1,求 OC 的长．
20.如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交 圆于 E. (1)若 ED 与⊙A 相切，试判断 GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； (2)在(1)的条件不变的情况下，若 GC=CD，求∠C.
当 BP+PQ 取最小值时，BP+PQ=BO′- 0.5OD= 6
5.答案为：B 6.答案为：C 7.答案为：B 8.答案为：B.
-4.故选：D.
9.答案为：2 或 2 .
10.答案为：2． 解析：连接 CD、OC，如图： ∵AC 与⊙O 相切于点 C，∴AC⊥OC， ∵∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴OC∥AB，∴∠ABC=∠OCB， ∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO，∴∠ABC=∠CBO， ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°=∠CAB，∴△ABC∽△CBD，