线性代数-逆矩阵

一：逆矩阵的概念与性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2, 1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
2
A1 1 A E .
An1 An2
A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
注意： A*的元素与矩阵A的代数余子式之间的位置关系（下标）
例题：求如下矩阵的伴随矩阵。
1)
A
a c
b d
,
2)
1 0 0 A 1 1 1,
1 2 3
解： 1)
A*
A11 A12
A21 A22
d c
b a
A11 A21 A31 1 0 0
2
又由A2 A 2E 0
A 2E A 3E 4E 0
A
2E
1 4
A
3E
E
A
2E
1
A 2E 1 A 3E 1,
故A 2E可逆.
4
且 A 2E 1 1 A 3E 3E A .
4
4
例5 解矩阵方程 1 1 5 X 3 2;
1 4 1 4
2
X
1 1
一：逆矩阵的概念与性质
推论 若AB E或BA E ,则B A1.
证明 A B E 1, 故 A 0,
因而A1存在, 于是
B EB A1A B A1AB
A1E=A1
证毕
一：逆矩阵的运算性质
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且
一：逆矩阵的概念与性质
例 设 A 2 1, 求A的逆阵. 1 0
解
设利用B待定 a系数b 法 c d
是
A
的逆矩阵,
则 AB 2 1 a b 1 0 1 0 c d 0 1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
一：逆矩阵的概念与性质
2a c 1,
A32 4, A33 3.
二：逆矩阵的求法
A1
A A
1 A
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
1 4
3 4 5
3 0 1
1 4 . 3
2 3 1
由于 B 1 3 4 0,
1 5 4
故B不可逆.
二：逆矩阵的求法
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47
例6 设三阶矩阵A, B满足关系 :
o 1 2
A1BA 6A BA,且A 1 4 求B.
o
1 7
解 A1BA BA 6A
A1 E BA 6A A1 E B 6E
B
6
A1
E
1
.
B 6 A1 E 1
故 A A1 E 1, 所以 A 0. 当 A 0时,
一：逆矩阵的概念与性质
AA
A A
AE
A A
A
A
E,
AA
按逆矩阵的定义得
A1 A的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵. 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
§2．3
可 逆 矩 阵
逆矩阵的概念 逆矩阵的运算性质 伴随矩阵 逆矩阵的计算 矩阵方程
概念的引入
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
我们令 a11
A
a21
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
二：逆矩阵的求法
例2 下列矩阵A, B是否可逆?若可逆,求出其逆
矩阵.
1 2 3 A 2 1 2,
1 3 3
2 3 1 B 1 3 4.
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
一：逆矩阵的概念与性质
说明1： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
则有Ax=b
x1
x
x2 xn
b1
b
b2 bm
ax=b (a≠0)的解为 x=a-1b a-1ax a-1b 1x a-1b
对于方程Ax=b ， 若存在矩阵B ，使得BA =E BAx =Bb Ex=Bb
则Bb为方程Ax=b 的解
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 0 7 0
0 1 0
0 0 1
1
6
1 0 0
0 3 0
0 1
0 6
1 0 01 1 0 0 6 0 0 6 0 3 0 6 0 1 3 0 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
小结
逆矩阵的概念及运算性质.
1 5 4
123 1 2 3
解
A 2 1 2 0 3 4
133 0 1 0
二：逆矩阵的求法
12 3
0
3
3 4
4 4 0,
所以A可逆.
10
01 0
1 A11 3
2 3,
3
22
A12 1
4, 3
21
A13 1
5, 3
同理可求得 A21 3, A22 0, A23 1, A31 1,
1 1 0 ,
3 2 1
给方程两端右乘矩阵
1 1
1 1
1 1 0 ,
3 2 1
1 1 11 4 2 3 1 1 11
得
X 1
1
0 0 1 5 1
1
0
3 2 1 2 1 1 3 2 1
1 3 1 4 2 3 1 3 1 13 75 30 1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 52 21.
2 1 1
1 2 3 1 1 11
得
X 2 0
4 1 1 0
0 1 5 2 1 1
2 9 5 2 8 6 .
4 14 9
3
1 1
1 1
1 1 0X1
1 1
1 4 0 0
2 1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
给方程两端左乘矩阵
1 1
1 1
例3 已知A 0 0 3 0 0 求A1.
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
解 因 A 5! 0, 故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
二：逆矩阵的求法
2 3 4 5 0
0
0
0
1
0 0
1345 0 0 1245
0 0
0 0
5!
0
0
0 1235 0
0
0
0
0 1 2 3 4
2)
A* A12 A22 A32 2 3 1
A13
A23
A33
1
2 1
问题：计算 AA* 与 A*A 的积。
一：逆矩阵的概念与性质
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
二：逆矩阵的求法
且
A1
1 3
2
1
3 3 1
2 5 2, 1
B1 3 5
1, 2
又由 AXB C A1 AXBB1 A1CB1
E X A1CB1.
于是 X A1CB1
1 3 2
1
3 3 1
2 1 5 2 2 1 3
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
AT 1
A1
T
.
另外, 当 A 0时,定义
A0 E, Ak A1 k .
k为正整数
一：逆矩阵的概念与性质
当 A 0, , 为整数时,有
A A A ,
A A .
5 若A可逆,则有 A1 A 1 .
证明
AA1 E A A1 1
因此 A1 A 1 .
二：逆矩阵的求法
1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0
0 0 1 3 0 0 .
0 0 0 1 4 0
0 0 0 0 1 5
二：逆矩阵的求法
当矩阵A为可逆矩阵时，方程 AX=B的解为 X=A－1B
当矩阵A为可逆矩阵时，方程 XA =B的解为 X=BA－1
当矩阵A、B可逆时，方程 AXB=C的解为， X=A－1 CB－1
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
说明2：并不是所有的矩阵都有逆矩阵？ 设矩阵A有逆矩阵B 则 AB=BA=E 取行列式有：| AB|=|A||B|=|E|=1
例1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 =2 0, A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
性质 AA A A A E.
证明 设 A aij , 记 AA bij , 则
bij ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn
A
ij＝
0 A
i j ,
i=j
故 AA A ij A ij A E.
同理可得
AA
n
Aki akj
k1
A ij
A ij
AE.
一：逆矩阵的概念与性质
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA1 E .
结论：若矩阵A的存在逆矩阵则 A 0
非奇异矩阵：
若n阶矩阵A的行列式 A 0；则称矩阵A是非奇异的
否则称A为奇异的。
性质：所有的可逆矩阵都是非奇异矩阵. 问题：非奇异矩阵是不是可逆矩阵?
定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22
51 3 2
1 4 1 4 1 4 1 4
X 1 51 3 2 4 5 3 2 17 28. 1 4 1 4 1 11 4 4 6
2
X
1 1
1 1
1 1 0 2
2 0
3 4
2 1 1 0 1 5
给方程两端右乘矩阵
1 1 11
1 1 0 ,
若A可逆，则有消去率
若A不可逆，则消去率不成立。
AB AC B C
二：逆矩阵的求法
例3
设
1 A 2
3
2 2 4
3 1 3
,
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
123
解
A 2
2
1 2 0,
2 B
1 1 0,
53
343
A1, B1都存在.
1 1
1 1 0 2
2 0
3 4 ;
2 1 1 0 1 5
3
1 1
1 1
1 1 0X1
1 1
1 4 0 0
2 1
3 5.
2 1 1 3 2 1 2 1 1
解
1 1 5 X 3 2
1 4 1 4
给方程两端左乘矩阵 1
51 ,
E
1 4
得
1
51 1
5 X 1
A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1
证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1 A1.
一：逆矩阵的概念与性质
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T. 证明 AT A1 T A1A T ET E,
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
小结
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ? 答 是的. 这是由于A1的唯一性决定的.