平面几何著名定理
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nXAB2+mXAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABXCD+ADXBC=ACXBD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
数学奥赛平面几何
《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。
（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。
平面几何的著名定理
平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。
即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。
三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
2.3几个著名的几何定理
例10 在⊿ABC中, AB>AC, 点O是外心,两条高BE, CF交于H点，点M, N分别在线段BH, HF上, 且满足 BM=CN. MH NH 求证： 3 的充分必要条件是∠A=60°.
OH
[证明]
连OB、OC，则
F O
A
∠BOC=2∠A， ∠BHC=180°－∠HBC－ ∠HCB=∠B+∠C=180 － ∠A
A
F
B
K
· · · · · · · · ··
I J E H L D
G
C
9. 蝴蝶定理 设AB是⊙O的弦, M 是AB 的中点, 过M作任意二弦CD, EF, 记P, Q依次为与CF, ED 的交点. 则 PM=PQ.
证法一：利用对称造全等形.
· 1` 1 · O
Q
B
3 4 2` D
bdmdbembedmeacmaafmfcfmc???mcfbdeacfmdemcfbcabdebeamdebeabcaacfssmpbqapmqssssssssss???????????????????由mfedcbaqpmfmcbdedbeaeabbcmemdabaebcacafcfmfmcbdbeedmemdacafcfmfmcmdmbmememdmamfmcmb????????????????????????mbma?mpmqmambapbqmpmqambmmpmq???????从而合比分比mfedcbaqp证法三
DE AO1 AG . DF AO2 AH
P P
·
AH AG . 故 FD ED
G ·
O1
又CE=CG, 则
·
·
·
A
· ·
O ·
著名的平面几何定理之一（建议收藏）
平面几何的17个著名定理
平面几何的17个著名定理1«欧拉(Enter)线…同一三角形的垂心*重心、外心三点共线，这条直线稀为三角形的欧拉线, 且外4与重心的距离等于垂心与重心距离的一半审氛九点圆匕*任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶歳与垂心问线段的中点，共九个点共圆，这个風秫为三角形的九点圆；其圆心为三角形夕皿与垂心所连线段的中勲其半径等于三角形外接圆半径的一半• *3.费尔马点…己知 P 为锐SAABC 内一点，当ZAPB = ZBPC= ZCPA= 120° 时，PA +PB + PC 的值最小，这个点P 称为AABC 的费尔马点。
心CP = 2.45 厘米AP = 1.64 厘米4、海伦(Heron)公式:：卩在ZXABC 中，边BC 、CA. AB 的长分别为a 、b 、c,若 严丄(a+b+c), “2则/XABC 的面积 S = Jp(p_a)(p_b)(p_c)，A7 p (p-AB>(p-BC)-(p-CA) = 8.96 殛米2BC AD = 8.96 J#米25、SK (Ceva)在AABC 中，过AABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F,则竺.—= 1；其逆亦真aDC EA FBBD = 2.78 MX DC = 1.95 厘米 CE = 1.64 厘米EA = 2.23 厘米 AF =2.31 厘米FB = 2.42 厘米 6、密格尔(Kfeuel)点=♦若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是AABF 、AAED . ABCE . ADCF ,贝I J 这四个三角形的外接圆共(韵借)备)"点，这个点称为密格尔点°卩A B DP （托动）7、葛尔刚（仙輙峻）点2A ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、C 為于点D 、E 、F,则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。
几何中的著名定理大全
几何中的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB 分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
917.平面几何中的几个著名定理-奥数精讲与测试(9年级)
知识点、重点、难点梅内劳斯定理X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点，则X 、Y 、Z 共线的充分必要条件是1.CX BZ AYXB ZA YC=根据命题的条件可以画出如图所示的两种图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其他两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z三点分别都在三角形三边的延长线上。
证明（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则1.CX BZ AYXB ZA YC=设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ，则,,CX c BZ b AY aXB b ZA a YC c === 三式相乘即得1.CX BZ AY c b aXB ZA YC b a c== （2）充分性，即若1.CX BZ AYXB ZA YC=则X 、Y 、Z 三点共线。
设直线XZ 交AC 于Y'，由已证必要性得' 1.'CX BZ AY XB ZA Y C =又已知1CX BZ AYXB ZA YC=，所以'.'AY AYY C YC=因为Y'和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y'和Y 必重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线。
梅内劳斯定理的应用，一是求共线线段的比，即在CX BZ AYXB ZA YC、、三个比中，已知其中两个可以求得第三个；二是证明三点共线。
塞瓦定理 从△ABC 的每个顶点出发作一条塞瓦线AX 、BY 、CZ ，则AX 、BY 、CZ 共点的充分必要条件是1.BX CY AZXC YA ZB=（连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线）证明(1)必要性，即设△ABC 中，AX 、BY 、CZ 是三条塞瓦线，如果1.BX CY AZXC YA ZB=则AX 、BY 、CZ 三线共点。
（如图）假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连结CP 交AB 于Z'，则CZ'也是一条过P 点的△ABC 的塞瓦线。
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）★2、射影定理（欧几里得定理）★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。
★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
重要但常不为人知道的几何定理
阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）,BC〉AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线,我们称之为该图的一条折弦.角平分线定理定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
该命题逆定理成立：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
该命题逆定理成立:如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.xv=uy燕尾定理因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC，D、E、F 为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。
S△ABC中,S△AOB：S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF;S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
推论:共边比例定理：四边形ABCD（不一定是凸四边形)，设AC，BD相交于E，则有BE ：DE=S△ABC :S△ADC。
此定理是面积法最重要的定理.典型例题：如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED,BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．答案：4解析:过D作DM‖BF交AC于M(如图)因为BD=2DC，因为AE=DE,所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积,由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．解：过D作DM‖BF交AC于M(如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM:CF=CD：CB=1：3即FM=CF因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC所以△ABF的面积10×=4（平方厘米）即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米答：阴影部分的面积是4平方厘米,故答案为：4．共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的 60 条著名定理些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1 的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点&设三角形ABC的外心为0,垂心为H 从0向BC边引垂线，设垂足为L,则AH=20L9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=（s-a）（s-b）（s-c）s , s 为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点15、为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，贝U有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD勺对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC 的边BC CA AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰^ BDC △ CEA △ AFB则^ DEF是正三角形,21、爱尔可斯定理1:若^ ABC和^ DEF都是正三角形，则由线段AD BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
数学史上著名的定理
数学史上著名的定理数学是人类的伟大创造之一，历史上有许多著名的数学定理和理论，它们为我们的认知和科技发展做出了巨大的贡献。
本文将介绍数学史上一些著名的定理，包括欧几里得定理、毕达哥拉斯定理、柏拉图定理、牛顿-莱布尼茨定理、柯西定理、笛卡尔定理、泰勒定理和欧拉公式。
1.欧几里得定理欧几里得（Euclid）是古希腊数学家，他的代表作《几何原本》是世界上最著名的数学著作之一。
欧几里得定理是平面几何中的一个基本定理，它指出：如果一个三角形的三条边分别等于另外两个三角形的三条边，那么这两个三角形必然相等。
这个定理的证明方法有很多种，其中最简单的是利用反证法。
2.毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他的代表作也是《几何原本》。
毕达哥拉斯定理是直角三角形的一个重要性质，它指出：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
这个定理的证明方法很简单，只需要利用勾股定理即可。
3.柏拉图定理柏拉图（Plato）是古希腊哲学家，他的代表作之一是《对话录》。
柏拉图定理是指一个等腰三角形的底角等于它相对的顶角的一半。
这个定理的证明方法比较复杂，需要利用相似三角形的性质。
4.牛顿-莱布尼茨定理牛顿（Isaac Newton）是英国物理学家和数学家，他的代表作之一是《自然哲学之数学原理》。
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）是德国数学家。
牛顿-莱布尼茨定理是指微积分学中的积分与求导是互逆的运算，这个定理的证明方法需要利用极限和导数的基本性质。
5.柯西定理柯西（Augustin-Louis Cauchy）是法国数学家，他的代表作之一是《分析教程》。
柯西定理是指任何一个周期函数都可以表示为傅里叶级数形式，这个定理的证明方法需要利用傅里叶级数的展开式。
6.笛卡尔定理笛卡尔（RenéDescartes）是法国哲学家和数学家，他的代表作之一是《几何原本》。
笛卡尔定理是指任何一条线段都可以被一个点分成两部分，其中一部分比另一部分长。
平面几何等几个重要定理
1.萊莫恩(Lemoine)線：設三角形ABC的∠A的外角平分線與BC的延長線交於P，∠B的平分線與AC交於Q，∠C的平分線和AB交於R。
求證P、Q、R三點共線。
註：直線PQR稱為三角形ABC的萊莫恩(Lemoine)線。
2.戴沙格定理：設三角形ABC和A'B'C'對應頂點的連線AA'、BB'、CC'交於一點S，這時如果對應邊BC和BC、CA和CA、AB和AB(或它們的延長線)相交，則它們的交點D、E、F在同直線上。
註：戴沙格定理是射影幾何中等一個重要定理。
3.牛頓定理：設四邊形ABCD的一組對邊AB和CD的延長線交於點E，另一組對邊AD和BC的延長線交於F，則AC中點L、BD中點M及EF中點N三點共線。
註：直線LMN稱為四方形ABCD的牛頓線。
4.斯特瓦爾特定理：設P為三角形ABC的邊BC上一點，且BP：PC=m：n，則有 nAB2 + m AC2 =(n+m)AP2 + mn BC2/(m+n)。
註：1.當m=n時，即P是BC的中點時，可得AB2 + m AC2 = 2( AP2 + BP2)，此即三角形的中線定理，亦稱巴布斯定理。
2.當AP為三角形ABC中∠A的平分線時，則由角平線的性質得m/n=AB/AC。
此時BP =ac/(b+c)，CP=ab/(b+c)。
所以AP2=4bcp(p-a)/(b+c)2。
這公式亦可用sinA/2，及三角形面積公式得到。
5.在三角形ABC中，設c>b，AD是∠A的平分線，E為BC上一點且BE=CD。
求證：AE2-AD2=(c-b)2。
6.設G為三角形的重心，M是平面上任意一點，求證：MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2。
7.在三角形ABC的邊BC上任取一點D，設ADB和ADC的角平分線分別交AB、AC於E和E，求證AD、BE、CF交於一點。
8.已知AD是三角形ABC的邊BC上等高，P為AD上任意一點，直線BP、CP分別交AC、AB於E、F，求證∠FDA=∠ADE。
平面几何中的几个重要定理
平面几何的著名定理1998 年，美国科学家和教育家在美国的科学年会上一致认为：21 世纪，几何学万岁. 除几何学理论广泛应用于CT 扫描、无线电、高清晰度电视等最新电子产品与最新医疗科学之外，其本身具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，有助于培养学生的逻辑推理能力有助于数形结合方法解题.用点、线、面可构成许许多多千姿百态的几何图形，直观的几何图形便于学生认识问题、思考问题、解决问题.如果能养成一个好习惯：“每做一道题都画一个几何图形或一幅几何示意图”，这对于理解、思考、解题都是大有益处的.在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在.同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300 分中的50 分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”.除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.一．梅涅劳斯定理梅涅劳斯是古希腊的著名的几何学家，在他著名的几何著作《球论》中，他提出了“梅涅劳斯”这条著名的定理.梅涅劳斯定理：在的三边或其延长线上有点，则共线的充分必要条件是：①这里有几点需要向大家说明：1.不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况；（1）若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；（2）直线与三角形的三边均交于外点，因而本题的图形有2 个.2.结论的结构是，三角形三边上6 条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式3.这个结论反映了形与数的结合，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”, 反过来式成立时，可证“ D，E，F 共线”（逆定理也成立）.这里的“1”, 如果考虑到线段的方向，应为“-1 ”4.此题证明的基本想法是将6 条线段的比转化为3 条线段的连环比，能使分母相约，为此，可有多种作平行线的方法.下面提供一个不作辅助线的三角证法：证明：证法2：证法3：梅涅劳斯定理的逆定理：设分别是的边或其延长线上的点，且满足有奇数个点在延长线上，若, ②则三点共线。
几何——第七讲 平面几何中的著名定理
第七讲——平面几何中的著名定理平面几何中的定理非常多，在本讲中将著名定理分别给予介绍。
一、直线型定理【梅涅劳斯定理】一条直线截△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线于点X 、Y 、Z ，则AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1．评注：梅涅劳斯定理的结论是一个线段的比例式，这一特征决定了它必然是处理线段倍分和比例式问题的重要方法．【梅涅劳斯定理的逆定理】在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取点X 、Y 、Z ，若AZ ZB ·BX XC ·CYYA =1，则X 、Y 、Z三点共线．评注：梅涅劳斯定理的逆定理主要解决三角形中点共线问题．【塞瓦定理】对于△ABC 所在平面上任一点P ，连接AP 、BP 、CP 分别和△ABC 的边或其延长线交于X 、Y 、Z ，则AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1．【塞瓦定理的逆定理】在△ABC 三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上各取一点X 、Y 、Z ，若AZ ZB ·BX XC ·CYYA =1，则AX 、BY 、CZ平行或共点．评注：塞瓦定理的逆定理主要解决三角形中线共点问题．塞瓦定理的变形（变形1）【角元塞瓦定理】对于△ABC 所在平面上任一点P ，连接AP 、BP 、CP 分别和△ABC 的边或其延长线交于X 、Y 、Z ，则1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠ACZBCZCBY ABY BAX CAX ．【角元塞瓦定理的逆定理】设X 、Y 、Z 分别为△ABC 三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上的一点，若1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠ACZBCZCBY ABY BAX CAX ，则AX 、BY 、CZ 平行或共点．（变形2）如下图，在圆周上按顺时针方向依次选取六个点A 、B 、C 、D 、E 、F ，则AD 、BE 、CF 三线共点⟺1=⋅⋅EFDE CD BC AB FA．数学竞赛中经常出现用塞瓦定理的逆定理来证明三线共点的问题，并不是因为人们对此定理有所偏爱，而是因为它好用且适用，比同一法更加行之有效．加之使用角元塞瓦定理时，不但可以与平面几何中的许多定理配合应用，而且可以自然而然使用各种三角公式，因此，角元塞瓦定理的逆定理备受青睐．尽管这一逆定理的结论是“三线共点或互相平行”，但“三线互相平行”这一情形在大多数情况下都容易排除，并不影响用来证明三线共点问题．此外，梅涅劳斯定理也可以协助塞瓦定理进行三点共线的证明，两者经常结合使用．例1.圆ω2的圆心在圆ω1上，过圆ω1上的任意一点X作圆ω2的切线XP、XQ（P、Q是切点），且直线XP、XQ 交圆ω1分别于点R、S，证明：PQ平分线段RS．例2.设四边形ABCD是凸四边形且AC=BD=AD，边AB、CD的中点分别为E、F，对角线AC与BD交于点O．求证：△AOD的内切圆与OA、OD的切点在直线EF上．例3.四边形BCEF内接于⊙O，其边CE与BF的延长线交于点A，由A作⊙O的两条切线AP与AQ，切点分别为P、Q，BE与CF的交点为D，求证：P、D、Q三点共线．行线交圆ω于点A B、A C（A B与B在AI的同侧），直线BA B与CA C交于点A1，类似定义B1和C1．证明：AA1、BB1、CC1三线共点．BB´、CC´共点于P，△PA´B´的外接圆分别交AC、BC于点M、N．△PC´B´与△PA´C´的外接圆分别再次交AC、BC于点K、L，直线c通过线段MN和KL的中点，类似定义直线a和b．求证：a、b、c三线共点．【完全四边形的牛顿线定理】完全四边形的三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线．注：我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形。
平面几何中的几个重要定理.doc
S 二 CASS.1CBS=1平面几何中的几个重要定理自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容 和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了 毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们， 人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了儿何 学的历程.这里我们介绍儿何学中的儿个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理塞瓦（G. Ceva 1647—1743）,意大利著名数学家.塞瓦定理 设S 为A/WC 三边所在直线外一点，连接AS,BS,CS 分别和\ABC 的边或三边的 延长线交于P,Q,R （如图1）,则 竺.丝.坐=1.PC QA RB证明 （面积法）考虑到ACS 有公共底边AS,因此它们面积之比等于分别从顶点 B 、C 向底边AS 所引垂线长的比，而这个比乂等于BP 与PC 之比，所以有P174BP _ S^ABS PC Smcs同理可得CQ _ S 〉BCS QA S^BAS AR S^CAS . RB S^CBS三式相乘，即得BP . £Q . AR S 二A 〉- . S 隽usPC QA RB S iACS S^BASA平行.点或互相与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理.塞瓦定理逆定理 设P,Q,R 为AABC 的边或三边的延长线上的三点（P,0R 都在三边证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。
若BQ 与CR 相交，设交点为S,又设AS 和BC 的交点为P',由塞瓦定理，应有BP CQ AR_ PC # QA # RB"1与已知条件中的式子比较，得BP BP ， PC"PrC但由于点P 和P'同在BC 边上，所以P 和P'重合，即三直线AP 、BQ 、CQ 交于一点。
2019精选教育关于平面几何的60条著名定理.doc
关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
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平面几何著名定理
1、欧拉（Euler）线：
同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半
2、九点圆：
任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
3、费尔马点：
已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
4、海伦（Heron）公式：
在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝2
1
（a ＋b ＋c ）， 则△ABC 的面积S ＝))()((c p b p a p p ---
5、塞瓦（Ceva ）定理：
在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、
AB 与点D 、E 、F ，则1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD ；其逆亦真
6、密格尔（Miquel ）点：
若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
7、葛尔刚（Gergonne ）点:
△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。
8、西摩松（Simson ）线：
已知
P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则
D 、
E 、
F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。
9、黄金分割：
把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割
11、笛沙格（Desargues）定理：
已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真。
12、摩莱（Morley）三角形：
在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则三角形DDE是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
13、帕斯卡（Paskal）定理：
已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线
14、托勒密（Ptolemy）定理：
在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD
15、阿波罗尼斯（Apollonius）圆
一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”
17、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：
在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。