数学竞赛模拟题3及解答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一. 填空
1. 极限=∞
→n
n n
n !
lim
__________. 解 填 1-e
设n n y n
n !=, =∞→n n y ln lim =∞→n n n n !ln
lim =∑=∞→n n n n k n 1
ln 1lim 1)ln (ln 101
-=-=⎰
x x x xdx
=∞
→n
n n
n !
lim
1-e 2. =∑∑==∞→n
i n
j n ij n
11
4
)(1
lim _____________.
解 填
4
1 原式=
⋅⋅=∑∑==∞
→n
i n
j n n
n j n i 112)1
(lim 4
11
1
=
⎰⎰
xydy dx 3. 设)(u f 是可微函数, 且0)0(=f , 当)(x f '满足____________时, 极限
3
220
2
22)(lim
t dxdy
y x f t y x t ⋅+⎰⎰
≤+→π存在.
解 填 0)0(='f
原式3
20
)(lim
t d f d t
t ⋅=⎰⎰
→πρ
ρρθπ
3
00
)(2lim t d f t
t ⎰±→±
=ρ
ρρ20
3)(2lim t
t t f t ±=±
→t f t f t )0()(lim 320-±=±
→)0(32
f '±= 故当0)0(='f 时, 极限存在 4. 设243),(lim
2
20
=+-+→→y
x y
x y x f y x , 则=')0,0(x f ___________, =')0,0(y f ___________. 解 填 3-, 4 由题设有
α+=+-+243),(2
2y x y
x y x f , 其中0lim 0
0=→→αy x
))(2(43),(22y x y x y x f ++++-=α 3)0,0(-='x f 4)0,0(='y f
5. 设f 是连续函数, 且8
1
)(lim
1
=
⎰→x
dt xt f x , 则=')0(f _______________. 解 填4
1
=⎰→x dt
xt f x 1
0)(lim
=⎰→2
0)(lim
x du
u f x
x 81
2)(lim
0=→x x f x
0)(lim )0(0==→x f f x 4
1
)0()(lim )0(0=-='→x f x f f x
6. 已知向量c b a ,,不共面, 则当=λ_______时, c b a ++λ, c b a ++λ, c b a
λ++共面.
解 填 2-, 1
由 )()()(c b a c b a c b a
λλλ++⋅++⨯++
)()(2
c b a b c a c c b a b c a b a λλλλ++⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
0),,)(23(3
=+-=c b a
λλ
得 0233
=+-λλ, 解得
2-=λ 或 1=λ
7. 当=a ________, =b ________时, 级数∑∞
=++++1
)]2ln()1ln(ln 2[n n b n a n 收敛.
解 填 4-, 2
)21ln(ln )11ln(ln ln 2)2ln()1ln(ln 2n
b n b n a n a n n b n a n ++++++=++++ ))1
(242())1(211(ln )2(2
222n
o n n b n o n n a n b a +-++-+++= )1
(1)22(1)2(ln )2(22n
o n b a n b a n b a +--+++++=
当 02=++b a 02=+b a , 级数收敛, 故4-=a , 2=b .
8. 已知曲线02
=++y x y x βα以)2
5,2(为拐点, 则=α_______, =β________.
解 填 320-, 3
4
方程两端对x 求导得
022
='++'+y y x xy βα (1) 0422
=''+''+'+y y x y x y β (2)
将点)2
5,2(代入(2)得852
-='
=x y , 将点)2
5,2(及852
-='=x y 代入(1)得3
4=β,
将)25,2(及34=β代入已知方程得3
20-=α