数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
i0
n
Ai f ( x i )
(4)
Ai
l
a
i
( x )d x
数值分析
数值分析
引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
b b
Ai
a
l i ( x )d x
n
a
n
x x xi x
xj=a+jh,
j
j=0,1,2,…,n
dx
j
j0 j i
h
0
(n )
j0 j i
n
n
t j i j
n
d t ( b a )C
( 1 )
(n) i
,
n
i 0 , 1, , n
Ci
1 n
0
t j i j
ni
dt
j0 j i
i!(n i)!n
0
n
(t j)d t
(5)
j0 j i
Ci(n) 称为柯特斯系数。 于是牛顿—柯特斯求积公式为
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
数值分析
数值分析
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
解 ： 取 f ( x ) 1， 左 =1
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 )) 1 右
取 f ( x ) x， 左= 1
0 2 2 取 f (x) x ，
辛卜生公式又称为抛物线公式。
数值分析
数值分析
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的 曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0
x0
x1
图2
b
x2
f ( x )dx
ba 6
x
( f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b ))
k
m
k0
k
m
k x dx
k a
b
k0
k Ai x i
k i0
i0
Ai k x i
k0
i0
n
Ai f ( x i )
m 1
对 f (x) x
m 1
,有
b
x
a
m 1
dx
i0
n
Ai x i
,
数值分析
数值分析
例1：证明下面数值求积公式具有1次代数精度.
I=
b a
f(x )d x
b a 2
( f (a ) f (b )) T
y
梯形公式的几何意义 是用四边梯形x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。
B y=P1(x)
y=f(x)
A
f1 f0 0 x0=a x1=b x
图1
数值分析
数值分析
（2）辛卜生公式 (n=2) x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2
j0
n
Aj f (x j) R( f )
其中
R( f )
1 ( n 1 )!
b
f
a
(n1)
( ) n 1 ( x ) d x
这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。 显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项
R( f )
1 ( n 1 )!
m 1
b a
x dx
k
i0
n
A i x i , k 0 , 1, , m
k
对 f (x) x
,有
对 f (x)
k0 b a
m
b
x
a
m 1
dx
i0
n
Ai x i
m 1
,
k x ， 有
k
b a
f ( x )d x
m n
k0
n
m
k x dx
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
(3)
数值分析
数值分析
数值求积公式的一般形式
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
数值分析
四、代数精度
定义1：若求积公式
b a
对一 切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p (x))=0; 而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的 代数精度为m. n b 定义2：若求积公式 a f ( x ) d x A i f ( x i ) 对 i0 2,x3…xm, 都等号成立，即R(xi)=0;而对于 ƒ(x)=1,x,x xm+1 等号不成立，则称此公式 的代数精度为m.
数值分析
第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
一、 牛顿—柯特斯求积公式的导出
将积分区间[a,b] n等分，节点xi为 xi=a+ih, i=0,1,2,…,n 其中h=(ba)/n。有
其中
b a
f ( x )d x
2 2
e
3 2
) 0 .7 6 6 5 7 5 5 0 5
数值分析
数值分析
三、牛顿—柯特斯系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
数值分析
数值分析
例
n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3
取 (x)=x3，左=右=0；
(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5 右=2/3
所以具有3次代数精度。
数值分析
Newton-Cotes公式的代数精度
证明： 因为
数值分析
定理1： 由n+1个互异节点x0 、x1 、…x n构造的插值 型求积公式的代数精度至少为n。
b a
f(x )d x
例如，对概率积分
2
t
e
0
x
2
dx
t [0 , )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。
数值分析
数值分析
所谓数值积分，从近似计算的角度看，就是在区 间 [ a , b ]上 适 当 地 选 取 若 干 个 点 x i ， 然 后 用 这 些 节 点 上 的 函 数 值 f ( x i )的 加 权 平 均 方 法 获 得 定 积 分 的 近 似 值 ， 即
其中 n+1(x)= (x-x0) (x-x1)... (x-xn-1) (x-xn)
即求积公式 a 数精度。
b
b
f
a
(n1)
( ) n 1 ( x ) dx 0
f ( x )d x
j 0
n
Ai f ( x j )
至少具有n次代
数值分析
数值分析
由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点), 它的代数精度至少是n,还可以证明当n 为偶数时 Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1. 定理2：当n为偶数时，由n+1个等距节点x0 、x1 、…
b a
f ( x )d x
b n
b a
p n ( x )d x
1
b a
f
(n1)
( ( x ))
(n 1) !
b
w n 1 ( x )d x
a
f ( x i )l i ( x )d x
i0
(n 1) !
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
i0
f ( x )d x
n
Ai f ( x i )
代数精度求法 从ƒ(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公 式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数 精度是m-1. 代数精度越高，数值求积公式越精确
数值分析
定义1
数值分析
定义2
k
证 明 ： 定 义 2 定 义1
已 知 ： 对 f (x) x ,有
插值多项式 则有
f ( x ) pn ( x )
pn ( x )
f
i0
(n1)
n
f ( x i )li ( x )
( ( x ))
(n 1) !
w n1 ( x )
w n 1 ( x ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n ), a ( x ) b
x3 x0
f ( x )d x
b a 8
( f
0
3 f
1
3 f
2
f 3)
n=4为 Cotes 公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4
x4 x0
f (x )d x
ba 90
( 7 f 0 32 f 1 12 f 2 32 f3 7 f4 )
数值分析
a
数值分析
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
3
求
I
1
x 2
e
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
3 x 2
I
1
3
e
dx
2 2
1 2
(e
e
3 2
) 0 .8 2 9 6 6 0 8 1 9
辛卜生公式
I
1
x 2
e
dx
2 6
1 2
(e
4e
C0(2) =1/6
I= 或
b a b a
,
C1(2) =4/6
ba 6
,
C2(2) =1/6
ab 2 ) f (b ) ) S
f(x )d x
(f ( a ) 4 f (
I
f(x )d x
h 3
(f ( a ) 4 f (
ab 2
) f (b ) ) S
插值型求积公式
其中
b a
f ( x )d x Ai f ( x i ) R ( f )
i0
n
i0
n
Ai f ( x i )
(1 )
Ai
b a
l i ( x ) dx
i 0, 1, , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。 截断误差或余项为
R( f )
( x )d x
取 x） = p n ( x ) 得 插 值 型 求 积 公 式 ， （ 即 ： 用 插 值 多 项 式 p n ( x ) f ( x ),
b a
f ( x )d x
b a
p n ( x )d x
数值分析
数值分析
下面推导插值型求积公式 设 x0 ,x1 ,…,xn∈[a,b], pn(x)是f(x)的n次Lagrange
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高，并求代数精度。 解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0
解得
则
A0 + A2=2/3 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；
1 1
f ( x )d x
1 3
( f ( 1 ) 4 f ( 0 ) f (1 ))
数值分析
第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式
第源自文库节 复化求积公式
第三节 外推算法
第四节 Gauss型求积公式
第五节 数值微分
数值分析
数值分析
引
b a
言
N e w to n L e ib n i tz 公 式 ( 其 中 F ( x )为 f ( x )的 原 函 数 ) f ( x )d x F ( b ) F ( a )
i 0 , 1, , n
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i ) (b a ) C
i0
n
(n)
i
f ( xi )
(6)
数值分析
数值分析
二、两种特殊的数值求积公式:
（1）梯形公式(n=1) x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2
n
b a
f ( x )d x
i0
Ai f ( x i )
从 数 值 逼 近 的 观 点 看 ,所 谓 数 值 积 分 ， 就 是 用 一 个 具 有 一 定 精 度 的 简 单 函 数 ( x ) 代 替 被 积 函 数 f ( x )， 而 求 出定积分的近似值，即
b a b a
f ( x )d x
数值分析
数值分析
例：用Newton-Cotes公式计算
1
I
0
x s in x
dx
解：当n取不同值时，计算结果如下所示。 I准=0.9460831 n 近似结果
1 2 3 4 5 0.9270354 0.9461359 0.9461109 0.9460830 0.9460830
数值分析
数值分析
1
f ( x )d x
1 2
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 2
1 2
右
左=
1 3
1 0
f ( x )d x
( f ( 0 ) f (1 ))
右
所以求积公式具有1次代数精度。
数值分析
数值分析
例2：设有 1
1
f ( x ) d x A 0 f ( 1 ) A1 f ( 0 ) A 2 f (1 )
i0
n
Ai f ( x i )
(4)
Ai
l
a
i
( x )d x
数值分析
数值分析
引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
b b
Ai
a
l i ( x )d x
n
a
n
x x xi x
xj=a+jh,
j
j=0,1,2,…,n
dx
j
j0 j i
h
0
(n )
j0 j i
n
n
t j i j
n
d t ( b a )C
( 1 )
(n) i
,
n
i 0 , 1, , n
Ci
1 n
0
t j i j
ni
dt
j0 j i
i!(n i)!n
0
n
(t j)d t
(5)
j0 j i
Ci(n) 称为柯特斯系数。 于是牛顿—柯特斯求积公式为
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
数值分析
数值分析
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
解 ： 取 f ( x ) 1， 左 =1
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 )) 1 右
取 f ( x ) x， 左= 1
0 2 2 取 f (x) x ，
辛卜生公式又称为抛物线公式。
数值分析
数值分析
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的 曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0
x0
x1
图2
b
x2
f ( x )dx
ba 6
x
( f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b ))
k
m
k0
k
m
k x dx
k a
b
k0
k Ai x i
k i0
i0
Ai k x i
k0
i0
n
Ai f ( x i )
m 1
对 f (x) x
m 1
,有
b
x
a
m 1
dx
i0
n
Ai x i
,
数值分析
数值分析
例1：证明下面数值求积公式具有1次代数精度.
I=
b a
f(x )d x
b a 2
( f (a ) f (b )) T
y
梯形公式的几何意义 是用四边梯形x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。
B y=P1(x)
y=f(x)
A
f1 f0 0 x0=a x1=b x
图1
数值分析
数值分析
（2）辛卜生公式 (n=2) x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2
j0
n
Aj f (x j) R( f )
其中
R( f )
1 ( n 1 )!
b
f
a
(n1)
( ) n 1 ( x ) d x
这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。 显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项
R( f )
1 ( n 1 )!
m 1
b a
x dx
k
i0
n
A i x i , k 0 , 1, , m
k
对 f (x) x
,有
对 f (x)
k0 b a
m
b
x
a
m 1
dx
i0
n
Ai x i
m 1
,
k x ， 有
k
b a
f ( x )d x
m n
k0
n
m
k x dx
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
(3)
数值分析
数值分析
数值求积公式的一般形式
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
数值分析
四、代数精度
定义1：若求积公式
b a
对一 切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p (x))=0; 而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的 代数精度为m. n b 定义2：若求积公式 a f ( x ) d x A i f ( x i ) 对 i0 2,x3…xm, 都等号成立，即R(xi)=0;而对于 ƒ(x)=1,x,x xm+1 等号不成立，则称此公式 的代数精度为m.
数值分析
第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
一、 牛顿—柯特斯求积公式的导出
将积分区间[a,b] n等分，节点xi为 xi=a+ih, i=0,1,2,…,n 其中h=(ba)/n。有
其中
b a
f ( x )d x
2 2
e
3 2
) 0 .7 6 6 5 7 5 5 0 5
数值分析
数值分析
三、牛顿—柯特斯系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
数值分析
数值分析
例
n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3
取 (x)=x3，左=右=0；
(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5 右=2/3
所以具有3次代数精度。
数值分析
Newton-Cotes公式的代数精度
证明： 因为
数值分析
定理1： 由n+1个互异节点x0 、x1 、…x n构造的插值 型求积公式的代数精度至少为n。
b a
f(x )d x
例如，对概率积分
2
t
e
0
x
2
dx
t [0 , )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。
数值分析
数值分析
所谓数值积分，从近似计算的角度看，就是在区 间 [ a , b ]上 适 当 地 选 取 若 干 个 点 x i ， 然 后 用 这 些 节 点 上 的 函 数 值 f ( x i )的 加 权 平 均 方 法 获 得 定 积 分 的 近 似 值 ， 即
其中 n+1(x)= (x-x0) (x-x1)... (x-xn-1) (x-xn)
即求积公式 a 数精度。
b
b
f
a
(n1)
( ) n 1 ( x ) dx 0
f ( x )d x
j 0
n
Ai f ( x j )
至少具有n次代
数值分析
数值分析
由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点), 它的代数精度至少是n,还可以证明当n 为偶数时 Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1. 定理2：当n为偶数时，由n+1个等距节点x0 、x1 、…
b a
f ( x )d x
b n
b a
p n ( x )d x
1
b a
f
(n1)
( ( x ))
(n 1) !
b
w n 1 ( x )d x
a
f ( x i )l i ( x )d x
i0
(n 1) !
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
i0
f ( x )d x
n
Ai f ( x i )
代数精度求法 从ƒ(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公 式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数 精度是m-1. 代数精度越高，数值求积公式越精确
数值分析
定义1
数值分析
定义2
k
证 明 ： 定 义 2 定 义1
已 知 ： 对 f (x) x ,有
插值多项式 则有
f ( x ) pn ( x )
pn ( x )
f
i0
(n1)
n
f ( x i )li ( x )
( ( x ))
(n 1) !
w n1 ( x )
w n 1 ( x ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n ), a ( x ) b
x3 x0
f ( x )d x
b a 8
( f
0
3 f
1
3 f
2
f 3)
n=4为 Cotes 公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4
x4 x0
f (x )d x
ba 90
( 7 f 0 32 f 1 12 f 2 32 f3 7 f4 )
数值分析
a
数值分析
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
3
求
I
1
x 2
e
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
3 x 2
I
1
3
e
dx
2 2
1 2
(e
e
3 2
) 0 .8 2 9 6 6 0 8 1 9
辛卜生公式
I
1
x 2
e
dx
2 6
1 2
(e
4e
C0(2) =1/6
I= 或
b a b a
,
C1(2) =4/6
ba 6
,
C2(2) =1/6
ab 2 ) f (b ) ) S
f(x )d x
(f ( a ) 4 f (
I
f(x )d x
h 3
(f ( a ) 4 f (
ab 2
) f (b ) ) S
插值型求积公式
其中
b a
f ( x )d x Ai f ( x i ) R ( f )
i0
n
i0
n
Ai f ( x i )
(1 )
Ai
b a
l i ( x ) dx
i 0, 1, , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。 截断误差或余项为
R( f )
( x )d x
取 x） = p n ( x ) 得 插 值 型 求 积 公 式 ， （ 即 ： 用 插 值 多 项 式 p n ( x ) f ( x ),
b a
f ( x )d x
b a
p n ( x )d x
数值分析
数值分析
下面推导插值型求积公式 设 x0 ,x1 ,…,xn∈[a,b], pn(x)是f(x)的n次Lagrange
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高，并求代数精度。 解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0
解得
则
A0 + A2=2/3 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；
1 1
f ( x )d x
1 3
( f ( 1 ) 4 f ( 0 ) f (1 ))
数值分析
第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式
第源自文库节 复化求积公式
第三节 外推算法
第四节 Gauss型求积公式
第五节 数值微分
数值分析
数值分析
引
b a
言
N e w to n L e ib n i tz 公 式 ( 其 中 F ( x )为 f ( x )的 原 函 数 ) f ( x )d x F ( b ) F ( a )
i 0 , 1, , n
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i ) (b a ) C
i0
n
(n)
i
f ( xi )
(6)
数值分析
数值分析
二、两种特殊的数值求积公式:
（1）梯形公式(n=1) x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2
n
b a
f ( x )d x
i0
Ai f ( x i )
从 数 值 逼 近 的 观 点 看 ,所 谓 数 值 积 分 ， 就 是 用 一 个 具 有 一 定 精 度 的 简 单 函 数 ( x ) 代 替 被 积 函 数 f ( x )， 而 求 出定积分的近似值，即
b a b a
f ( x )d x
数值分析
数值分析
例：用Newton-Cotes公式计算
1
I
0
x s in x
dx
解：当n取不同值时，计算结果如下所示。 I准=0.9460831 n 近似结果
1 2 3 4 5 0.9270354 0.9461359 0.9461109 0.9460830 0.9460830
数值分析
数值分析
1
f ( x )d x
1 2
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 2
1 2
右
左=
1 3
1 0
f ( x )d x
( f ( 0 ) f (1 ))
右
所以求积公式具有1次代数精度。
数值分析
数值分析
例2：设有 1
1
f ( x ) d x A 0 f ( 1 ) A1 f ( 0 ) A 2 f (1 )