数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式
牛顿科特斯公式资料
k0
3)插值型求积公式：
Ak
b a
l
k
x
d
x
其 中 ： lk ( x )
n j0
x xj xk x j
jk
此求积公式的截断误差为：
Rn ( f )
b a
b
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
b a
f (
(n
n
1
) (
1)!
)
n
1
(
x
)d
x
4)代数精度：
对求积公式 :
b
f (x)dx
：C
(n k
)
( 1) n k k!(n k )! n
nn
(t j)dt
0 j0
jk
Ak
(b
a
)C
(n) k
b a
f ( x)dx
b a
n
C
n
k
f
(
x
k
)
k0
称为牛顿-柯特斯公式.
式
中
C
k
n
称
为
柯
特
斯
系
数.
求积公式
当n 1时,
C
1
0
C
1
1
1 2
,这时的求积公式为：
b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
b 6
a
f
a 4
f
a
2
b
f
b
计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式 PPT
求积节点为
n
a
xk xk+1
b
xk a kh，k 0,1,..., n
在每个小区间 [xk , xk1 ]
上应用梯形公式，得：
(k 0,1, … , n 1)
个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。 • 新想法：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间
上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区 间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。 此即复合求积公式的基本思想。
4.3.1 复合梯形公式及其误差
将积分区间[a, b]划分为n等分,步长为 h b a
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
0.55 15 1 2880 16 0.53 0.5
0.52 15 2880 16
1 0.5
0.25 15 1 2880 16 0.707
0.0001151
| R2(f) | 0.0001151
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
牛顿科特斯求积公式
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
数值分析 -牛顿-科特斯公式
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。 将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T
h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk
1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h
b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j
2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx
b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)
f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式
ch02b 牛顿-柯特斯公式
b
f ( n1) ( ) ( n 1)!
( x x ) dx
i 0 i
n
左矩形公式
左矩形公式余项
RGa ( f )
b
a
( b a )2 f ( x )dx (b a ) f (a ) f ( ) 2
证明：设f '(x)在[a,b]上连续，
而 x-a 在[a,b]上不变号（非负），由积分中值定理知 b b ( b a )2 RGa ( f ) f '( )( x a )dx f '( ) ( x a )dx f '( ) a a 2 b 于是有 a f ( x )dx (b a ) f (a ) 右式为左矩形公式，余项为
偶数积分中值定理而xa在ab上不变号非负由积分中值定理知左矩形公式余项梯形公式simpson公式余项证明
第二章
数值积分
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
及其复化求积公式
牛顿-柯特斯公式
插值型求积公式 n b b f ( x )dx i f ( xi )其中 i a li ( x)dx
S4 1 f ( x0 ) 4 f ( x1) f ( x3 ) f ( x5 ) f ( x7 ) 24 2 f ( x2 ) f ( x4 ) f ( x6 ) f ( x8 ) 0.9460832
R[ f ]
a
( n 1)!
n
( x x ) dx ( x x ) dx
b
n
i 0
i
a
i 0
i
作变量代换 x = a + t h ，并将 xi = a + i h 代入得 n
牛顿-柯特斯求积公式
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
牛顿-柯特斯公式
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
n
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
n
2
h
2
12
( b a ) f ( ), ( a , b )
2、复化辛普森公式
记 [ xi , xi 1 ]的中点为 xi 1，在每个小区间上应用
2
辛普森 公式 ,
则得复化 辛普森公式
f ( x )d x [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] , 2 i06 n 1 n 1 h 即 S n [ f ( a ) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 6 i0 i 1 4 n 1 h h (4) 余项 R I S n f ( i ) , i ( xi , xi 1 ), 180 2 i 0 4 当 f C [ a , b ]时 , 4 b a h (4) b a 4 (4) R I S n h f ( ), ( a , b ). f ( ) 1 80 2 2 880 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以 证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于 积分值，而且算法具有数值稳定性。 I
7.数值积分-Newton-Cotes公式+龙贝格算法
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 (t 2
1)2
1 0
1, 2
C (1) 1
1
tdt
1
t2
1
1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1
1 0.62
1
1 12
]
0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1
牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式
教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。
据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。
这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。
以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。
但对很多实际问题，上述公式却无能为力。
这是因为：1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。
2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。
因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。
§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
数值分析
Hale Waihona Puke 数值分析b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
m 1
b a
x dx
k
i0
n
A i x i , k 0 , 1, , m
k
对 f (x) x
,有
对 f (x)
k0 b a
m
b
x
a
m 1
dx
i0
n
Ai x i
m 1
,
k x ， 有
k
b a
f ( x )d x
m n
k0
n
m
k x dx
例如，对概率积分
2
t
e
0
x
2
dx
t [0 , )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿莱布尼兹公式也就无能为力了。
数值分析
数值分析
所谓数值积分，从近似计算的角度看，就是在区 间 [ a , b ]上 适 当 地 选 取 若 干 个 点 x i ， 然 后 用 这 些 节 点 上 的 函 数 值 f ( x i )的 加 权 平 均 方 法 获 得 定 积 分 的 近 似 值 ， 即
数值分析试题hou
一、 填空 1.某数值方法算得6sin π的值为t=0.500012,则t 具有 位有效数字. 2. 设)(x l k 是以40}{==k kk x 为节点的拉格朗日插值基函数，则=∑=4)(k kk kl .3. 牛顿-柯特斯求积公式⎰∑=≈bank k k x f A dx x f 0)()(，则∑=nk kA= .4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2021012a a A ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵，则a 的取值范围是 .5. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111,232221413x A ，则∞Ax = . 6. 求5的牛顿迭代格式为 .7. 在区间[0,1]上满足5.2)1(,5.1)0(==y y 的0次拟合多项式曲线是 .1. 为提高数值计算精度，当||x 充分小时，应将1-x e 改写为2. n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度至少为________次。
3. 拟合三点(0,1)，(1,3)，(2,2)的直线方程是 。
4. SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。
6. 设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =___ _____。
7. 判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － ( )8. 求解方程x =g (x )根x *的牛顿迭代公式为二、(8分) 对于四舍五入得到的近似数100.0*,001.0*,105.3*321==-=x x x ，估计下列近似值的相对误差限:***3211x x x y ++=，***3212x x x y = 三、（12分）已知)(x f 的函数表为(1) 试求)(x f 在[0,4]上的Hermite 插值多项式)(x H ，使之满足下列条件 )2,1,0(),()(==k x f x H k k 且21)(1='x H . (2) 试推导余项)()()(x H x f x R -=的表达式.四、(6分) 求解如下方程组的最小二乘解（只需列出法方程，不必求解）.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1175315111961541321321x x x 五、（12分）数值积分公式形如：)1()0()1()0()(1f D f C Bf Af dx x xf '+'++≈⎰确定求积公式中的系数D C B A 、、、使其代数精度尽可能高，指出所得公式的代数精度. 该公式的积分余项是多少？并用此公式计算积分⎰=22cos πxdx x I .六、（10分）对于下列两个方程，(1) 4sin cos x x x +=, (2) xx 24-=，问能不能用迭代法求解？如果不能，试将方程改写成能用迭代法求解的形式，并说明理由. 七、（8分）试用高斯列主元素法求解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------61423 1505395111076242314321x x x x 八、（12分）用迭代公式)()()()1(b Ax x x k k k -+=+α求解b Ax =，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2123A ， 问α取何值迭代收敛？二、(8分) 计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？三、（12分）求出一个次数不高于4次的Hermite 插值多项式)(x P ，使它满足0)0(')0(==P P ，1)1(')1(==P P ，1)2(=P ，并推出余项表达式。
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解 ： 取 f ( x ) 1， 左 =1
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 0
f ( x )d x
1 2
( f ( 0 ) f (1 )) 1 右
取 f ( x ) x， 左= 1
0 2 2 取 f (x) x ，
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
数值分析
数值分析
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
2 2
e
3 2
) 0 .7 6 6 5 7 5 5 0 5
数值分析
数值分析
三、牛顿—柯特斯系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
数值分析
数值分析
例
n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3
i0
f ( x )d x
n
Ai f ( x i )
代数精度求法 从ƒ(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公 式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数 精度是m-1. 代数精度越高，数值求积公式越精确
数值分析
定义1
数值分析
定义2
k
证 明 ： 定 义 2 定 义1
已 知 ： 对 f (x) x ,有
x3 x0
f ( x )d x
b a 8
( f
0
3 f
1
3 f
2
f 3)
n=4为 Cotes 公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4
x4 x0
f (x )d x
ba 90
( 7 f 0 32 f 1 12 f 2 32 f3 7 f4 )
(n 1) !
1
b
f
a
(n1)
( ( x )) w n 1 ( x ) d x
(3)
数值分析
数值分析
数值求积公式的一般形式
b a
f ( x )d x
i0
n
Ai f ( x i )
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
数值分析
插值型求积公式
其中
b a
f ( x )d x Ai f ( x i ) R ( f )
i0
n
i0
n
Ai f ( x i )
(1 )
Ai
b a
l i ( x ) dx
i 0, 1, , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。 截断误差或余项为
R( f )
取 (x)=x3，左=右=0；
(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5 右=2/3
所以具有3次代数精度。
数值分析
Newton-Cotes公式的代数精度
证明： 因为
数值分析
定理1： 由n+1个互异节点x0 、x1 、…x n构造的插值 型求积公式的代数精度至少为n。
b a
f(x )d x
1
f ( x )d x
1 2
1 2
( f ( 0 ) f (1 ))
1 2
1 2
右
左=
1 3
1 0
f ( x )d x
( f ( 0 ) f (1 ))
右
所以求积公式具有1次代数精度。
数值分析
数值分析
例2：设有 1
1
f ( x ) d x A 0 f ( 1 ) A1 f ( 0 ) A 2 f (1 )
b
i0
n
Ai f ( x i )
(4)
Ai
l
a
i
( x )d x
数值分析
数值分析
引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
b b
Ai
a
l i ( x )d x
n
a
n
x x xi x
xj=a+jh,
j
j=0,1,2,…,n
dx
j
j0 j i
h
0
(n )
j0 j i
Байду номын сангаас数值分析
a
数值分析
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
3
求
I
1
x 2
e
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
3 x 2
I
1
3
e
dx
2 2
1 2
(e
e
3 2
) 0 .8 2 9 6 6 0 8 1 9
辛卜生公式
I
1
x 2
e
dx
2 6
1 2
(e
4e
辛卜生公式又称为抛物线公式。
数值分析
数值分析
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的 曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0
x0
x1
图2
b
x2
f ( x )dx
ba 6
x
( f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b ))
C0(2) =1/6
I= 或
b a b a
,
C1(2) =4/6
ba 6
,
C2(2) =1/6
ab 2 ) f (b ) ) S
f(x )d x
(f ( a ) 4 f (
I
f(x )d x
h 3
(f ( a ) 4 f (
ab 2
) f (b ) ) S
( x )d x
取 x） = p n ( x ) 得 插 值 型 求 积 公 式 ， （ 即 ： 用 插 值 多 项 式 p n ( x ) f ( x ),
b a
f ( x )d x
b a
p n ( x )d x
数值分析
数值分析
下面推导插值型求积公式 设 x0 ,x1 ,…,xn∈[a,b], pn(x)是f(x)的n次Lagrange
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高，并求代数精度。 解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0
解得
则
A0 + A2=2/3 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；
1 1
f ( x )d x
1 3
( f ( 1 ) 4 f ( 0 ) f (1 ))
I=
b a
f(x )d x
b a 2
( f (a ) f (b )) T
y
梯形公式的几何意义 是用四边梯形x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。
B y=P1(x)
y=f(x)
A
f1 f0 0 x0=a x1=b x
图1
数值分析
数值分析
（2）辛卜生公式 (n=2) x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2
数值分析
第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式
第二节 复化求积公式
第三节 外推算法
第四节 Gauss型求积公式
第五节 数值微分
数值分析
数值分析
引
b a
言
N e w to n L e ib n i tz 公 式 ( 其 中 F ( x )为 f ( x )的 原 函 数 ) f ( x )d x F ( b ) F ( a )
n
b a
f ( x )d x
i0
Ai f ( x i )
从 数 值 逼 近 的 观 点 看 ,所 谓 数 值 积 分 ， 就 是 用 一 个 具 有 一 定 精 度 的 简 单 函 数 ( x ) 代 替 被 积 函 数 f ( x )， 而 求 出定积分的近似值，即
b a b a
f ( x )d x
k
m
k0
k
m
k x dx
k a
b
k0
k Ai x i
k i0
i0
Ai k x i
k0
i0
n
Ai f ( x i )
m 1
对 f (x) x
m 1
,有
b
x
a