线性代数第一章习题答案

习

题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）

5

324；（2）α

α

ααcos sin sin cos ．

解（1）

14620532

4=−=；（2）α

αααcos sin sin cos αα22sin cos −=．

2．计算下列三阶行列式．

（1）50

1721

33

2−−；（2）00000d c b a ；（3）2

221

11c b a c b a ；

（4）c

b a b a a

c b a b a a c b a ++++++232．

解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)

()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．

3．用行列式解下列方程组．（1）⎩

⎨

⎧=+=+3532

4y x y x ；

（2）⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++8

268

3321321321x x x x x x x x x ；

（3）⎩⎨⎧=−=+0231

3221

21x x x x ；

（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−0

31231

2321

32321x x x x x x x x ．

解（1）75341−==

D ，253421−==D ，33

32

12−==D 所以721==D D x ，7

3

2==D D y ．

（2）2121111

113−==D ，21281161181−==D ，41811611

832−==D ，68

216118

133−==D ；所以111==

D D x ，222==D D

x ，333==D

D x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，3

031

22−==D 所以1321==D D x ，13

3

2==D D y ．

（4）8113230121−=−−−=D ，81

102311

211−=−−−=D ，

81

032101112=−−=D ；

20

13130

1

213=−=D 所以111==

D D x ，122−==D D

x ，333==D

D x ．4．已知x

x x x x x f 211

12)(−−−=，求)(x f 的展开式．

解

x

x

x x x x f 211

12)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x x

x x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式01

0100

=−−−a b b a ．

解

01

0100

22=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习

题 1.2

1．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；

（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．

解（1）逆序数为14；

6

2

4

2

1527364i

t ↓

↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；

3

1

1

624513i

t ↓

↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；

5

54310010435689712i

t ↓↓↓↓↓↓↓↓↓

（4）逆序数为

2

)

1(−n n ：

2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L

2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．

解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；

（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？

（1）5145342213a a a a a ；

（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．

解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；

（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．

4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；

（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。5.六阶行列式展开式中含有因子23a 的乘积项共有多少项？为什么？

解！5项，因为六阶行列式中每项是六个元素相乘，并且六个元素取自不同行不同列，23a 是取自第二行第三列的元素，所以其余五行从第一、二、四、五、六列里选取出其余的五个元素，共有！

5种取法。6．用行列式定义计算下列行列式．

（1）

0001100000100100

；（2）

d

c b a 000

000000000．解（1）在展开式

43214321)

1(p p p p a a a a ∑−τ

中，

不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=×××−．（2）在展开式

43214321)

1(p p p p a a a a ∑−τ

中，不为0的项取自于a a =11，b a =23，c a =32，d a =44，

而1)1324(=τ，所以行列式值为abcd abcd −=−1)1(．

7.在函数x

x x x x x x f 4124121

02

132)(=的展开式中，4x 的系数是什么？

解)(x f 中含x 因子的元素有x a 211=，x a =21，x a =22，x a =33，x a =41，x a 444=，因此，含有x 因子的元素i ij a 的列标只能取11=j ，212,=j ，33=j ，414,=j .

于是含4

x 的项中元素列下标只能取11=j ，22=j ，33=j ，44=j ，相应的4个元素列标排列只

有一个自然顺序排列1234，故含4x 的项为4044332211(1234)

842)1()1(x x x x x a a a a =⋅⋅⋅−=−τ，

故)(x f 中4x 的系数为8.