第三章 随机信号通过线性系统分析
随机信号通过线性系统的分析
信息与通信工程学院实验报告（软件仿真性实验）课程名称：随机信号分析实验题目：随机信号通过线性系统的分析 指导教师：陈友兴班级： 学号： 学生姓名：一、 实验目的和任务1、掌握随机信号通过线性系统的分析方法2．掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解二、 实验内容及原理实验内容：1．产生一信号为123()sin 2sin 2sin 2()X t f t f t f t N t πππ=+++，其中1f nkHz =(n 为学号)，22f nkHz =，33f nkHz =，()N t 为高斯白噪声；求出()X t 的时域信号、频谱、自相关、功率谱密度、期望、方差等。
2.设计一FIR 低通滤波器()h t ，通带截止频率为1f ，阻带截止频率为2f ，通带最大衰减为40dB ，阻带最小衰减为1dB 。
3. 将信号()X t 通过()h t 得到响应()Y t ，求出()Y t 的时域信号、频谱、自相关、功率谱密度、期望、方差等，并分析与()X t 性能参数的差异；实验原理：1、线性系统的时域分析方法系统输入和输出的关系为：ττ-τ=ττ-τ==⎰⎰∞∞-∞∞-d )t (x )(h d )t (h )(x )t (h *)t (x )t (y输出期望：∑∞===0m X Y )m (h m )]t (Y [E m输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-2、线性系统的频域分析方法输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω 输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω 三、 实验步骤或程序流程1. 产生三个正弦信号和高斯白噪声叠加的信号，求叠加信号的均值、方差、自相关函数，计算功率谱密度以及傅里叶变换；绘出叠加信号时域特性曲线、傅里叶变换特性曲线、自相关函数曲线、功率谱密度曲线；2. 设计低通滤波器；3. 分析滤波后信号时域、频域的各参数的特性。
北大随机信号分析基础课件 3.1 随机信号通过线性系统的分析
第三章 随机信号通过线性系统3.1 随机信号通过线性系统的分析3.1.1 线性系统的基本理论设时不变线性系统的冲激响应函数为h(t)，系统输入为x(t)，输出为y(t)，且均为确知信号，则输入和输出的关系为：ττττττd t x h d t h x t h t x t y )()()()()(*)()(-=-==⎰⎰∞∞-∞∞-若)()]([),()]([),()]([ωωωH t h F Y t y F X t x F ===，则有)()()(ωωωH X Y =式中函数)(ωH 称为系统的传输函数。
卷积定理：时域卷积定理：若给定两个时间函数)(),(21t f t f ，已知)()]([),()]([2211ωωF t f F F t f F ==，则)()()](*)([2121ωωF F t f t f F =频域卷积定理：)(*)(21)]()([2121ωωπF F t f t f F =⋅3.1.2 系统的输出响应所讨论的系统是线性的、时不变的、稳定且物理可实现的。
若输入为随机信号X(t)，则线性时不变系统的输出Y(t)为：ττττττd t X h d t h X t h t X t Y )()()()()(*)()(-=-==⎰⎰∞∞-∞∞-对于物理可实现系统，当t<0时，有h(t)=0，则上式改写为ττττττd t X h d t h X t Y t)()()()()(0-=-=⎰⎰∞∞-3.1.3 系统输出的概率分布理论上，根据输入随机信号的统计特性，就能确定一个已知线性系统输出的统计特性。
一种特殊情况，当输入为高斯过程时输出也是高斯过程。
3.1.4 随机信号通过线性系统的时域分析主要讨论线性系统输出的时域数字特征。
1． 系统输出的数学期望若输入X(t)为平稳随机过程，且假设其均值为X m ，则有)0()]([)()()]([])()([)]([H m m t Y E m d h m d h t X E d t X h E t Y E X Y YX====-=-=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ττττττττ对于物理可实现系统，有ττd h m t Y E m X Y ⎰∞==0)()]([显然，系统输出随机信号的均值是常数。
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析
随机信号分析----通过线性系统和非线性系统后的特性分析一、实验目的1、了解随机信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等的概念和特性2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统所具有的性质3、掌握随机信号的分析方法。
4、熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab、c/c++、EWB。
二、实验仪器1、256MHz以上内存微计算机。
2、20MHz双踪示波器、信号源。
3、matlab或c/c++语言环境、EWB仿真软件。
4、fpga实验板、面包板和若干导线。
三、实验步骤1、根据选题的内容和要求查阅相关的文献资料，设计具体的实现程序流程或电路。
2、自选matlab、EWB或c仿真软件。
如用硬件电路实现，需用面包板搭建电路并调试成功。
3、按设计指标测试电路。
分析实验结果与理论设计的误差，根据随机信号的特征，分析误差信号对信号和系统的影响。
四、实验任务与要求1、用matlab或c/c++语言编程并仿真2、输入信号为x(t)加上白噪声n(t),用软件仿真通过滤波器在通过限幅器后的信号y1(t),在仿真先平方律后在通过滤波器后的信号y2(t).框图如下:3、计算x(t)、a、b、c、y(t)的均值、均方值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出函数曲线。
五．实验过程与仿真1、输入信号的获取与分析(a)输入信号的获取按照实验要求，Matlab仿真如下：%输入信号x的产生t=0:1/16000:0.01;x1=sin(1000*2*pi*t)+sin(2000*2*pi*t)+sin(3000*2*pi*t);x=awgn(x1,5,'measured'); %加入高斯白噪声n=x-x1; %高斯白噪声(b)输入信号及其噪声的分析%输入信号x自相关系数x_arr=xcorr(x);tau = (-length(x)+1:length(x)-1)/16000;%输入信号x的频谱和功率谱x_mag=abs(fft(x,2048));f=(0:2047)*16000/2048;x_cm=abs(fft(x_arr,2048));%画出高斯白噪声n的时域图和频域图figure(1)subplot(1,2,1)plot(t,n)title('高斯白噪声n')xlabel('t/s')ylabel('n(t)')grid onsubplot(1,2,2)N=fft(n,2048);plot(f(1:length(f)/2),N(1:length(f)/2))title('高斯白噪声n的频谱图')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')grid on结果为：%画输入信号的时域,相关系数,频谱图和频谱图figure(2);subplot(2,2,1)plot(t,x)title('输入信号x')xlabel('t/s');ylabel('x(t)');grid on;subplot(2,2,2)plot(tau,x_arr)title('输入信号x的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_x_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),x_mag(1:length(f)/2)) title('输入信号x的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')grid on;subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),x_cm(1:length(f)/2)) title('输入信号x的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_x_i（f)')结果如下图:2、带通滤波器的频谱和相频特性[B,A]=butter(8,[1500/(16000/2) 2500/(16000/2)]); figure(3)freqz(B,A,2048)title('带通滤波器的频率特性曲线')grid on结果作图如下:3、输入信号通过带通滤波器后的信号a%信号通过带通滤波器后,过滤出2khz分量,得到信号a a=filter(B,A,x);%信号a的自相关系数a_arr=xcorr(a);%信号a的频谱和功率谱a_mag=abs(fft(a,2048));a_cm=abs(fft(a_arr,2048));%画出信号a的时域图，自相关系数,频谱图和功率谱图figure(4)subplot(2,2,1)plot(t,a)title('通过带通滤波器后的信号a')xlabel('t/s');ylabel('a(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,a_arr)title('信号a的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_a_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),a_mag(1:length(f)/2)) title('信号a的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),a_cm(1:length(f)/2)) title('信号a的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_a_i(f)')作图如下:4、输入信号x通过平方律检波器的信号b%平方律检波器的传输特性为y=m*x^2,k\m=1b=1:length(x);for k=1:length(x)if(x(k)>0)b(k)=x(k)^2;elseb(k)=0;endend%信号b的自相关系数b_arr=xcorr(b);%信号b的频谱和功率谱b_mag=abs(fft(b,2048));b_cm=abs(fft(b_arr,2048));%画出信号b的时域图,自相关系数,频谱图和功率谱figure(5)subplot(2,2,1)plot(t,b)title('通过平方检波器后的信号b')xlabel('t/s');ylabel('b(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,b_arr)title('信号b的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_b_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),b_mag(1:length(f)/2)) title('信号b的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),b_cm(1:length(f)/2)) title('信号b的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_b_i(f)')作图如下:5、信号a通过限幅器后的信号y1%限定幅度最大为0.5，大于0.5的取0.5y1=0:length(a)-1;for k=1:length(a)if(a(k)>0.5)y1(k)=0.5;else if(a(k)<-0.5)y1(k)=-0.5;elsey1(k)=a(k);endendend%信号y1的自相关系数y1_arr=xcorr(y1);%信号y1的频谱和功率谱y1_mag=abs(fft(y1,2048));y1_cm=abs(fft(y1_arr,2048));figure(5)%画出信号y1的时域图，自相关系数,频谱图和功率谱图figure(6)subplot(2,2,1)plot(t,y1)axis([0 0.01 -1 1])title('信号a通过限幅器后的信号y1')xlabel('t/s');ylabel('y1(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,y1_arr)title('信号y1的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_y_1_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),y1_mag(1:length(f)/2))title('信号y1的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),y1_cm(1:length(f)/2))title('信号y1的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_y_1_i(f)')作图如下:6、信号b通过带通滤波器器后的信号y2%信号a通过带通滤波器后,过滤出2khz分量,得到信号y1 [B,A]=butter(8,[1900/(16000/2) 2100/(16000/2)]);y2=filter(B,A,b);%信号a的自相关系数y2_arr=xcorr(y2);%信号a的频谱和功率谱y2_mag=abs(fft(y2,2048));y2_cm=abs(fft(y2_arr,2048));%画出信号a的时域图，自相关系数,频谱图和功率谱图figure(7)subplot(2,2,1)plot(t,y2)title('信号b通过带通滤波器后的信号y2')xlabel('t/s');ylabel('y2(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,y2_arr)title('信号y2的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_y_2_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),y2_mag(1:length(f)/2)) title('信号y2的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),y2_cm(1:length(f)/2))title('信号y2的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_y_2_i(f)')作图如下:7、通过matlab计算x(t)、a、b、c、y(t)的均值、均方值、方差(a)输入信号x的均值，方差和均方值x_mean=mean(x)x_var=var(x)x_st=x_var+x_mean^2结果得：x_mean = 0.0200x_var =1.9562x_st =1.9566(b)信号a的均值，方差和均方值a_mean = mean(a)a_var=var(a)a_st=a_var+a_mean^2a_arr=xcorr(a);结果得:a_mean =-0.0051a_var =0.4908a_st = 0.4908(c)信号b的均值，方差和均方值b_mean=mean(b)b_var=var(b)b_st=b_var+b_mean^2结果得:b_mean =0.9755b_var = 6.2748b_st = 7.2264(d)信号y1的均值，方差和均方值y1_mean=mean(y1)y1_var=var(y1)y1_st=y1_var+y1_mean^2结果得:y1_mean =-0.0054y1_var = 0.1616y1_st =0.1617(e)信号y1的均值，方差和均方值y2_mean = mean(y2)y2_var=var(y2)y2_st=y2_var+y2_mean^2结果得:y2_mean =-0.0035y2_var = 1.3080y2_st =1.30806.实验中遇到的问题在刚开始做实验时，理论知识都没有学完，对于很多概念仍不清晰。
随机信号分析第三章
E{ X (t + Δt )} → E{ X (t )}
或
m X (t + Δt ) → m X (t )
(3.2.10)
由此可以得出结论: 如果 X (t ) 均方连续，则其均值函数亦连续。(3.2.10)式也可以表示为
Δt →0
lim E{ X (t + Δt )} = E{ X (t )} = E{l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt )}
(3.1.11)
假定系统是线性时不变的，由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出，如果 X (t ) 是 严平稳的，则 Y (t ) 也是严平稳的。如果 X (t ) 是广义平稳的，则 Y (t ) 也是广义平稳的。
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3.2 随机过程的导数与积分
与确定性过程一样，导数和积分是随机过程的两种重要的运算，而导数和积分又是以极限为基 础的。因此，本节首先介绍随机变量极限的概念，进而引入导数和积分的概念。随机变量的极限有 几种，我们只讨论其中最常用的一种，即均方极限，因此，我们讨论的导数和积分都是均方意义下 的导数和积分。
3.2.3 随机过程的导数
有了随机过程极限与连续性的定义后，我们就可以引入导数的概念。 1 导数的定义 定义：设随机过程 X (t ) ，如果下列极限存在，
l ⋅i ⋅m
Δt →∞
X (t + Δt ) − X (t ) Δt dX (t ) , 即 dt
(3.2.12)
则称此极限为随机过程 X (t ) 的导数，记为 X ′(t ) 或
以上两个定理是线性变换的两个基本定理，它给出了随机过程经过线性变换后，输出的均值和 相关函数的计算方法。 从两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确 定。推广而言，对于线性变换，输出的 k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
第三章 随机信号分析
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
第三章 随机信号通过线性系统分析
第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容： ● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。
分析方法：卷积积分法；频域法。
3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。
显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。
它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。
3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。
（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。
所以，输出随机过程为宽平稳的。
可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
实验三随机信号通过线性系统的分析
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1、掌握随机信号通过线性系统的分析方法2、掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解二、实验设备计算机、Matlab 软件三、实验内容与步骤已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：（1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；（2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；（3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；（4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
四、实验原理1、线性系统的时域分析方法 系统输入和输出的关系为：ττ-τ=ττ-τ==⎰⎰∞∞-∞∞-d )t (x )(h d )t (h )(x )t (h *)t (x )t (y输出期望：∑∞===0m X Y )m (h m )]t (Y [E m输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu)u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-2、线性系统的频域分析方法输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω 输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω五、实验报告要求1、写出时域分析、频域分析的必要原理，以及求上述特征的必要公式；2、输出上述各步骤地功率谱密度和相关函数的序列波型，输出各数字特征的值；3、附上程序和必要的注解；4、对实验的结果做必要的分析（如时域分析法与频域分析法求解结果的对比等）六、实验过程function y = experiment3 clc;R_x=zeros(1,81);R_x(41)=sqrt(5); % 输入自相关 S_x=fftshift(abs(fft(R_x))); % 输入功率谱密度 No = 35; %学号 r = 1 - 1/(No + 1); h0 = zeros(1,40);i = 1:41; h1 = r.^i;h = [h0,h1]; %系统单位冲激函数 H = fftshift(abs(fft(h)));%频率响应函数m_x = 0; %输入期望，方差，平均功率 sigma_x = R_x(41); P_x = R_x(41);figure(1),subplot(221),stem(R_x),title('RX');gtext('1105064235 陈郁炜'); subplot(222),stem(S_x),title('SX'); subplot(223),stem(h),title('h'); subplot(224),stem(H),title('H');%时域法求解R_xy = conv(R_x,h);R_xy = R_xy(41:121);R_yx = conv(R_x,fliplr(h));R_yx = R_yx(41:121);R_y = conv(R_yx,h);R_y = R_y(41:121);m_y = sqrt(R_y(81));D_y = R_y(1) - R_y(81);figure(2),subplot(321),stem(R_x);title('Rx'); gtext('1105064235 陈郁炜');subplot(322),stem(R_xy);title('Rxy'); % 互相关subplot(323),stem(R_yx);title('Ryx');subplot(324),stem(R_y);title('Ry'); %输出自相关subplot(325),stem(m_y);title(' m_y 时域法期望值');%输出时域法期望值subplot(326),stem(D_y);title(' D_y时域法方差值 ');%输出时域法方差值S_xy = abs(fft(R_xy));S_xy = fftshift(S_xy);S_yx = fftshift(abs(fft(R_yx)));S_y = fftshift(abs(fft(R_y)));figure(3),subplot(221),stem(S_x);title('Sx');subplot(222),stem(S_xy);title('Sxy'); gtext('1105064235 陈郁炜'); %互功率谱密度subplot(223),stem(S_yx);title('Syx');subplot(224),stem(S_y);title('Sy'); %输出功率谱密度%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%频域分析法S0_xy = S_x.*H;S0_yx = S_x.*fliplr(H);S0_y = S0_yx.*H;figure(4),subplot(221),stem(S_x);title('Sx');subplot(222),stem(S0_xy);title('S0xy'); gtext('1105064235 陈郁炜')subplot(223),stem(S0_yx);title('S0yx'); subplot(224),stem(S0_y);title('S0y'); % 输出功率谱密度R0_xy = fftshift(abs(ifft(S0_xy)));R0_yx = fftshift(abs(ifft(S0_yx)));R0_y = fftshift(abs(ifft(S0_y)));m0_y = sqrt(R0_y(81));D0_y = R0_y(1) - R0_y(81);figure(5),subplot(321), stem(R_x);title('Rx'); gtext('1105064235 陈郁炜');subplot(322), stem(R0_xy);title('R0xy'); %互相关subplot(323), stem(R0_yx);title('R0yx');subplot(324), stem(R0_y);title('R0y');%输出自相关subplot(325), stem(m0_y);title('m0 - y频域法期望值');%输出频域法期望值subplot(326), stem(D0_y);title(' D0 - y '); %输出频域法方差值七、实验结果及分析RX1105064121 王斌050100SXh50100HRx1105064121 王斌RxyRyxRy00.51 1.5200.51 m y 时域法期望值00.51 1.52-101 D y 时域法方差值50100Sx1105064121 王50100Sxy50100SyxSy50100Sx1105064121 王斌50100S0xy50100S0yxS0yRxR0xyR0yxR0y00.51 1.5200.51m0 - y 频域法期望值00.51 1.5212-15D0 - y分析：从该实验的结果可以看出，频域相对于时域来说,求解的过程可以得到简化。
随机信号通过线性系统的分析
频域
F [ x ( t ) ] X ( ) , F [ y ( t ) ] YF ( ) ,[ h ( t ) ] H ( )
Y ( ) X ( ) H ( )
系统的传输函数
4 2019/1/20
1 线性系统
卷积定理：
时域卷积定理：若给定两个时间函数 f1(t),f2(t)
00
当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变稳定 系统时，其输出随机信号也是宽平稳的。
第三章随机序列通过离散线性系统分析
MБайду номын сангаас
−k
ak z − k ∑
=
( z − z1 ) L ( z − z M ) ( z − p1 ) L ( z − pM )
G
X
( ω ) = H ( z ) H ( z − 1 )σ
2 W
z = e−
jω
=
∑ ∑
M
2
k =0 N
bk e − ake−
jk ω
jk ω
σ
2 W
k=0
设有ARMA(2,2)模型， ARMA(2,2)模型 例 设有ARMA(2,2)模型， X(n)+1.4X(n-1)+0.5X(n-2)=W(n)-0.2W(n-1)-0.1W(nX(n)+1.4X(n-1)+0.5X(n-2)=W(n)-0.2W(n-1)-0.1W(n-M) 其中W(n)是零均值单位方差的平稳白噪声， 其中W(n)是零均值单位方差的平稳白噪声，求该过程的自 W(n)是零均值单位方差的平稳白噪声 相关函数和功率谱。 相关函数和功率谱。 解 系统的传递函数为
0≤m≤M m>M
由相关函数的偶函数 性质可以得到m<0 m<0的值 性质可以得到m<0的值
ω GX(ω)=σW2| b0+b1e-jω+…+bMeω σ jMω|2 ω
ARMA模型
a0X[n]+a1X[n-1]+…+aNX[n-N] = b0W[n]+ b1W[n-1]+ ....+bNW[n-M]
σ2 = 2(1 + a 2 − a cos ω)
AR模型 推广到 N阶AR模型 X(n)=a1X(n-1)+a2X(n-2)+aNX(n-N)+W(n)
第三章 随机信号通过线性系统分析
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
x (t ) ► 输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数，则输 出为：
y (t )
h ( ) x ( t ) d
2012-6-30 3
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输 出信号的统计特性
2012-6-30
4
• 下面的分析线性系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变 的、物理可实现的稳定系统。
证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统 输出端的自相关函数
R Y ( t1 , t 2 ) E [ Y ( t1 ) Y ( t 2 )] h ( t1 ) h ( t 2 ) R X ( t1 , t 2 )
R Y ( t1 , t 2 ) E [Y ( t1 )Y ( t 2 )]
R Y X ( t1 , t 2 ) R X ( t1 , t 2 ) * h ( t1 )
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统 输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为
R X Y ( t1 , t 2 ) R X ( t 1 , t 2 ) * h ( t 2 )
时不变线性系统
若输入信号x(t)时移时间C, 输出y(t)也只引起一个相同 的时移，即 y(t-C) = L[x(t-C)]
第三章 随机信号通过线性系统分析讲解
第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容：● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。
分析方法：卷积积分法；频域法。
3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果ζ的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。
显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。
它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。
3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。
（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。
所以，输出随机过程为宽平稳的。
可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
第三章电子讲义：随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。
或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
随机信号通过线性系统的分析.
（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。
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第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容： ● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。
分析方法：卷积积分法；频域法。
3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。
显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。
它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。
3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。
（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。
所以，输出随机过程为宽平稳的。
可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
证：对于时移常数 有输出Y(t+ε)和输入X(t+ε)联系的方式与Y(t)和X(t)联系的方式是一样的。
由于随机信号X(t)是严平稳的，所以X(t+ε)与X(t)具有相同的n维概率密度函数。
因而Y(t+ε)与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，即Y(t)是严平稳的。
（3）若输入X(t)是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。
证：由X(t)的宽遍历性的定义得则输出Y(t)的时间平均故Y(t)是宽遍历性的。
[例3.1] 如图4.4所示的低通RC 电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的双侧随机信号，其均值为X m ，假设X(t)是相关函数为δ2N (t)的白噪声，求：①求输出均值；②输出的自相关函数；③输出平均功率；④输入与输出间互相关函数：)(τXY R 和)(τYX R 。
图3.1 RC 电路解：①该电路的单位冲激响应为其中:输出的均值为② 因为输入相关函数为则输出自相关函数即：上式要分别按≥τ0与τ＜0求解。
当≥τ0时（注意h(t)因果）有：由于自相关函数的偶对称性，则当τ＜0时有合并≥τ0和τ＜0的结果，得到输出自相关函数③ 在上式中τ＝0即可得输出的平均功率为注意到b 是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽f ∆有关。
于是的输出平均功率又可写为显然，该电路输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大。
④根据式有同理[例3.2] 应用举例：测量线性系统单位冲激响应的方法图3.2 测量线性系统单位冲激相应的方法输入X(t)是白噪声。
Z(t)= X(t-τ)⨯Y(t)，Z(t)通过一个带宽充分地小的低通滤波器的输出将几乎是Z(t)的直流成分(也就是它的时间平均)。
若输入X(t)是遍历性的，则Z(t)也将是遍历性的，Z(t)的直流分量将与Z(t)的均值相同。
因此因此在平稳的情况下．所以根据式得即由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。
改变τ，就能测出线性系统的完整单位冲激响应。
推广：通常只要输入随机信号的带宽与被测线性系统带宽的比值很大时，利用互相关函数测量设备就能得出单位冲激响应h(t)。
[例3.3] 输入随机信号的带宽远大于线性系统带宽，则可把输入信号看作白噪声。
设X(t)的自相关函数为τββτ-=eN R X 4)(0，)()(t U be t h bt-=，这里πββ2=∆f ，π2bf b =∆为各自的半功率带宽， b >>β，求)(τY R 。
解：当0≥τ时，分v u >+τ和vu <+τ两部分积分：因为)-()(ττY YR R =，所以因为b >>β，则222ββ-≈-b ，0≈-τβe，即 ττb Y ebN R -≈4)(0＝输入的相关函数为白噪声通过一个线性系统 。
结论：在输入噪声的带宽远大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以合理地利用白噪声来近似输入随机信号。
2、单侧随机信号此时，输入随机信号是在t=0时刻作用于系统的，如图3.3所示。
图3.3 X （t ）在t ＝0是刻作用于系统此时，输出为：设X(t)是宽平稳的，则有由以上各式可见，输出的均值是时间t 的函数，相关函数),(21t t R Y 不再只是时间差的函数，而与t 1，t 2有关，因此，输出响应也不是平稳的。
这是因为实际系统输入的信号)()(t U t X (即单侧信号)是非平稳的缘故。
[例3.4] 在例3.1中让X(t)在t ＝0时刻加入系统，求输出的自相关函数和平均功率。
解：输出的自相关函数为分≥τ0和τ＜0两种情况求解。
当≥τ0即12t t ≥时，二重积分的积分区域如下图4，先对v 求积分。
（注意这时v=u+τ>u ，u 取值0～t 1）图 3.4 例3.4 积分区分区域同理当12t t <时，有在),(21t t R Y 中令t=t 1=t 2可得输出平均功率为：显然，输出是非平稳的。
当∞→t输出响应进入稳态。
注意：系统有初始贮能时，输出响应为零状态响应与零输入响应之和。
由于初始贮能引起的零输入响应是瞬态响应，对于稳定系统而言，当∞→t时，系统输出是渐近平稳的。
[例3.5] 假设在图3.5所示的电路中，开关K 长时间地打开着。
当t=0时，开关K 闭合。
X(t)为单位白高斯电压源，求t ≥0时电容器两端电压的平均功率。
解：由题意知，在开关K 闭合之前电路已处于稳态，出此输出是宽平稳的。
电路的单位冲缴响应为图3.5 例3.5电路图此时，电容器两端电压的平均功率为开关闭合时，系统的微分方程为：初始条件是V(0)。
因此，零输入响应为则t≥0时电容两端的平均功率为显然，均方值是时间的函数，因而输出是非平稳的。
3.1.2、频域分析法对确定信号，我们采用))X(j H(j )Y(j ωωω=，再求付氏反变换得到)(t y 。
对随机信号，不能采用上面的方法。
假定输入信号X(t)是平稳双侧随机信号，则输出Y(t)也是宽平稳的，Y(t)与X(t)是联合平稳的。
1、系统输出的均值2、系统输出的功率谱密度式中是系统的传输函数。
其幅频特性的平方|H(w)|2 称之为系统的功率传输函数。
显然：3、系统输入与输出间互谱密度传递函数为：相频特性ϕH (w)为：若将S XY 表示为则有于是，不难看出系统的相频特性为4、系统输出的功率谱密度函数用复频率s (ϖσj s +=)表示为小结：（1）当系统的单位冲激响应h(t)为比较简单的函数时，应用卷积积分法是比较方便的。
（2）频域分析法只能计算平稳输出随机信号的特性，方法简易。
（3）这两种方法分析的都是系统的零状态响应。
5、拉氏变换与付氏变换关系dt e e t f dt et f s F t j t stωσ-∞∞--∞∞--⎰⎰==])([)()(（ϖσj s +=）当)(t f 不可积时，t e t f σ-)(可积。
因此对于随机信号，通常情况下其拉氏变换存在。
[例3.6] 采用频域分析法重做例3 .1。
解：低通RC 电路的传输函数为电路的功率传输函数为(1)系统输出的自相关函数为输出平均功率为(2)(3)互相关函数为可见，频域上的分析与时域上的分析，所得结果完全一致。
6、系统输出平均功率的计算系统输出的平均功率可表示为3.2 随机信号通过离散时间系统的分析讨论双侧随机信号输入的情况（假定信号平稳，离散时间系统是线性的、时不变的、稳定的物理可实现及单输入单输出）。
分析的主要方法：时域分析法，频域分析法。
3.2.1．时域分析法1、系统的输出表达式：系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和。
设输入X(n)为离散时间随机信号，则具有单位冲激响应h(n)，离散时间系统的输出Y(n)也是离散时间随机信号，其表达式为可以证明，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下，上式在均方收敛的意义下是存在的。
2、输出的均值、自相关函数和互相关函数●系统输出的均值：如果系统是稳定的和输入均值是有界的，则和式一定存在。
●输入与输出间互相关函数●系统输出的自相关函数3．平稳随机信号双侧输入的情况输出的均方值或平均功率为可见，输出的均值为常数，输出自相关函数只是m的函数，因此，输出是宽平稳的。
显然，输入和输出也是联合宽平稳的。
3.2.2、频域分析法1、功率谱密度表达式：若系统输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的。
系统输出的自相关函数为其中L 为z 平面上包含1)( m Y z z S 所有极点之单位圆。
若用功率谱密度表示，有[例3.7] 若)()(2m m R X δσ=，1,0,)(≤≥=r k r k h k ，求输出功率谱密度解：系统函数为显然，ωωj j reeH --=11)( 输入随机信号的功率谱为则系统输出功率谱密度为：ωσσωωωωcos 2111)()()(22222r r re S e H S j X j Y -+=-==-2、输出平均功率的计算3.3 3dB 带宽和等效噪声带宽3.3.1、白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，其输入白噪声功率谱密度为)(ωX S ＝2N ，那么系统输出的功率谱密度为或物理谱密度为输出自相关函数为输出平均功率为注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再保持常数。
这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。
3.3.2．等效噪声带宽1． 前言当系统)(ωH 比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。
在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统)(ωH ，在等效时要用到一个非常重要的概念——等效噪声带宽，它被定义为理想系统的带宽，用e ω∆表示。