第三章 随机信号通过线性系统分析

第三章 随机信号通过线性系统的分析

本章主要内容： ● 线性系统的基本理论

● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程

● 窄带随机过程基本概念

● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度

3.1随机信号通过连续时间系统的分析

在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。分析方法：卷积积分法；频域法。

3.1.1、时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号

)(t X 某个实验结果

的一个样本函数

),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：

对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：

2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =

证明：

3．系统输入与输出之间的互相关函数

)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =

证明：

4、系统输出的自相关函数

已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。

显然，有：

5、系统输出的高阶距

输出n阶矩的一般表达式为

注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。它既适用

于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。

3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算

1、双侧随机信号

在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。

（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。

那么

由于假定连续系统是稳定的，所以

由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。所以，输出随机过程为宽平稳的。

可总结如下：

输出均值：

输入与输出间的互相关函数为

输出的自相关函数为

输出的均方值即输出总平均功率为

若用卷积的形式，则可分别写为

（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。

证：对于时移常数 有

输出Y(t+ε)和输入X(t+ε)联系的方式与Y(t)和X(t)联系的方式是一样的。由于随机信号X(t)是严平稳的，所以X(t+ε)与X(t)具有相同的n维概率密度函数。因而Y(t+ε)与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，即Y(t)是严平稳的。

（3）若输入X(t)是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。

证：由X(t)的宽遍历性的定义得

则输出Y(t)的时间平均

故Y(t)是宽遍历性的。

[例3.1] 如图4.4所示的低通RC 电路，已知输入信号X(t)是宽平稳

的双侧随机信号，其均值为X m ，假设X(t)是相关函数为δ2

N (t)的

白噪声，求：①求输出均值；②输出的自相关函数；③输出平均功率；④输入与输出间互相关函数：)(τXY R 和)(τYX R 。

图3.1 RC 电路

解：①该电路的单位冲激响应为

其中:

输出的均值为

② 因为输入相关函数为

则输出自相关函数

即：

上式要分别按≥τ

0与τ＜0求解。当≥τ0时（注意h(t)因果）有：

由于自相关函数的偶对称性，则当τ＜0时有

合并≥τ

0和τ＜0的结果，得到输出自相关函数

③ 在上式中τ＝0即可得输出的平均功率为

注意到b 是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽f ∆有关。

于是的输出平均功率又可写为

显然，该电路输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大。

④根据式有

同理

[例3.2] 应用举例：测量线性系统单位冲激响应的方法

图3.2 测量线性系统单位冲激相应的方法

输入X(t)是白噪声。Z(t)= X(t-τ)⨯Y(t)，Z(t)通过一个带宽充分地小的低通滤波器的输出将几乎是Z(t)的直流成分(也就是它的时间平均)。若输入X(t)是遍历性的，则Z(t)也将是遍历性的，Z(t)的直流分量将与Z(t)的均值相同。因此

因此在平稳的情况下．

所以

根据式得

即

由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。改变τ，就能测出线性系统的完整单位冲激响应。

推广：通常只要输入随机信号的带宽与被测线性系统带宽的比值很大时，利用互相关函数测量设备就能得出单位冲激响应h(t)。

[例3.3] 输入随机信号的带宽远大于线性系统带宽，则可把输入信号看作白噪声。

设X(t)的自相关函数为

τ

ββτ-=

e

N R X 4

)(0

，

)()(t U be t h bt

-=，这里πββ2=∆f ，π

2b

f b =∆为各自的半功率

带宽， b >>β，求)(τ

Y R 。

解：

当0≥τ

时，分v u >+τ和v

u <+τ两部分积分：

因为)-()(ττY Y

R R =

，所以

因为b >>β

，则222ββ-≈-b ，0≈-τ

βe

，即 τ

τb Y e

bN R -≈4

)(0＝输入的相关函数为白噪声通过一个线性系统 。

结论：在输入噪声的带宽远大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以合理地利用白噪声来近似输入随机信号。