人教版数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷
人教版八年级上册第12章《全等三角形》培优练习题
《全等三角形》培优练习题一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等2．如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（）A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB3．如图，点C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对4．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边的长为10，AC边的长度可以在5，7，10，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC6．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处7．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（）A．8 B．7 C．6 D．58．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ 的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS9．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，则BE的长为（）A．0.8 B．1 C．1.5 D．4.210．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°二．填空题11．如图，在△ADC与△BDC中，∠1＝∠2，加上条件（只填写一个即可），则有△ADC≌△BDC．12．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD，若∠B＝56°，则∠ADC的大小为度．13．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE＝AB，连接ED，且∠E ＝∠C，AD＝2DE，则S△AED：S△ADB＝．15．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B 作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE ＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．17．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE．（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．18．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．19．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．20．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＝90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＞90°．过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M；同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于N，根据“ASA”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF．参考答案一．选择题1．解：A、有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是“ASA”，说法正确；B、两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，是“AAS”，说法正确；C、有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等，是“SAS”，说法正确；D、有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误；故选：D．2．解：A、添加∠A＝∠D，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．B、添加∠C＝∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．C、添加AC＝DF，根据SSA不可以判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意．D、添加CE＝FB可以得到BC＝EF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．故选：C．3．解：∵点C是以AB的中点，∴AC＝BC，∵AD＝BE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∴∠ACG＝∠BCH，∴△ACG≌△BCH（ASA），∴CG＝CH，∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），∵∠EFG＝∠DFH，∴△EFG≌△DFH（AAS）；∴图中全等三角形共有4对，故选：C．4．解：过A作AE⊥BC于E，∵∠AB＝10，∠B＝30°，∴AE＝AB＝5，即AE是A到直线BC的最短距离，当AC＝5时，此时三角形有1个；当AC＝7此时三角形有2个；当AC＝10时，此时三角形有1个；当AC＝11时，此时三角形有1个；即存在三角形1+2+1+1＝5（个），故选：B．5．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，∴ED＝GD，GD＝DF，∴ED＝DF，∴AP平分∠CAB．故选：B．6．解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．7．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B．8．解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．故选：A．9．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC．CE＝AD＝2.5．∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8．故选：A．10．解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：加上条件AD＝BD（答案不唯一），则有△ADC≌△BDC．理由是：在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），故答案为：AD＝BD（答案不唯一）．12．解：由作图可知：AD＝BC，AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠ADC＝∠B＝56°，故答案为：56．13．解：∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE，又∵∠D＝∠A，∴添加条件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．14．解：取AD的中点G，连接BG，则AG＝DG，AD＝2AG，∵AD＝2DE，∴DE＝AG，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，∴∠C＝∠BAG，∵∠C＝∠E，∴∠BAG＝∠E，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（SAS），∴S△AED＝S△BAG，∵点G是AD的中点，∴S△BGD＝S△BAG，∴S△AED：S△ADB＝1：2，故答案为：1：2．15．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，∵S△BCE＝•EC•BF＝，∴×2m×m＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴CE＝2m＝5，故答案为5．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．17．解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ADC与△AEB中，，∴△ACD≌△ABE，∴AD＝AE；（2）直线OA垂直平分BC，理由如下：如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F，在Rt△ADO与Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO，∴OD＝OE，∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴AO平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．18．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ANB，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）结论：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，∴•AE•BK＝•CD•BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．故答案为②．19．（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝90°，在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴∠AEB＝∠CAE+∠BCA＝30°+45°＝75°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠AEB＝75°．20．解：第二种情况选C．理由：由题意满足条件的点D有两个，故△ABC和△DEF不一定全等（如图所示）故选C．第三种情况补全图．证明：由△CBM≌△FEN得，CM＝FN，BD＝EN又在Rt△CMA和Rt△FND中，∴△CMA≌△FND，∴AM＝DN，∴AB＝DE，又在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．。
八上数学《第12章.全等三角形》状元培优单元测试题(人教版版附答案)
2019-2020学年八上数学《12.全等三角形》状元培优单元测试题（人教版版附答案）一、选择题1、如图所示，△ABC与△DEF是全等三角形，即△ABC≌△DEF，那么图中相等的线段有( )．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2、如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD( )A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD3、如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，得到以下结论：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP与AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）．A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE5、下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形6、如图，已知,，与交于点，于点，于点，那么图中全等的三角形有（）A.5对B.6对C.7对D.8对7、如图，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC B．AD=BC，BD=ACC．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC8、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确9、如图是两个全等三角形，则∠1=（）A．62° B．72° C．76° D．66°10、如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OAC等于( )A．65° B．95° C．45° D．100°11、数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线 B．一条高 C．一条角平分线D．不确定12、已知：如图，AB=AD，∠1=∠2，以下条件中，不能推出△ABC≌△ADE的是（）A．AE=AC B．∠B=∠D C．BC=DE D．∠C=∠E二、填空题13、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为底边AC中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=12，FC=5，EF长为．14、如图，已知，，，则．15、如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.16、如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .17、如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB.AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE.CF和EF，则下列结论中一定成立的是________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF=∠EAF；④EF⊥CD．三、简答题18、如图，在△ADF和△BCE中，AF=BE,AC=BD,∠A=∠B,∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm.求：（1）∠1的度数;（2）AC的长.19、如图，在平面直角坐标系中A.B坐标分别为（2，0），（－1，3），若△OAC与△OAB全等，（1）试尽可能多的写出点C的坐标；（2）在⑴的结果中请找出与（1，0）成中心对称的两个点。
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷
人教版八年级数学上册全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4．∴CM+MN的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．2．如图，点P是AOB∠内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN PM MN++的最小值是5 cm，则AOB∠的度数是__________．【答案】30°【解析】试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：①A E=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③EF=AB；④12ABCAEPFS S∆=四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，∴∠PAE=∠PCF ，在△APE 与△CPF 中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC ∠=∠=∠=∠，∴△APE ≌△CPF （ASA ），同理可证△APF ≌△BPE ，∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，①②④正确； 而AP=12BC ，当EF 不是△ABC 的中位线时，则EF 不等于BC 的一半，EF=AP ， ∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．4．如图,A,B,C 三点在同一直线上,分别以AB,BC （AB>BC ）为边,在直线AC 的同侧作等边ΔABD 和等边ΔBCE,连接AE 交BD 于点M,连接CD 交BE 于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC ，②MN//AB ，③BD ⊥AE ，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN 是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBC BE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵AEB DCB EB CBMBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD ，∴MN//AB ，故②正确；③无法证明PM=PN ，因此不能得到BD ⊥AE ；④由①得∠EAB=∠CDB ，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，又∵AB=AC，EA=EA，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC∠=︒，∴∠ADB=30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．6．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。
人教版八年级数学上册三角形全等的证明培优综合训练(含答案)
人教版八年级数学上册三角形全等的证明培优综合训练（含答案）考点1 利用SSS求证三角形全等1．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．2．如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：(1)△DCA≌△EBC；(2)AD//CE．3．已知：如图，已知线段AB、CD相交于点O、AD、CB的延长线交于点E、OA=OC、EA=EC，求证：∠A=∠C、考点2 利用SAS求证三角形全等4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE，BF=CE，AB‖DE，求证：△ABC≅△DEF．5．在△ABC中,AD为边BC上的中线,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.△ABC的面积与△ABE的面积相等吗?说明理由6．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC ＝DC，AC，BD相交于点O．(1)求证：①△ABC≌△ADC；②OB＝OD，AC⊥BD；(2)如果AC＝6，BD＝4，求筝形ABCD的面积．考点3 利用AAS 或ASA 求证三角形全等7．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．（1）证明：BDA AEC ≌；（2）3BD =，4CE =，求DE 的长．8．如图，已知AD 为ABC ∆的中线，延长AD ，分别过点B ，C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥．求证：BED CFD ∆≅∆．9．如右图，已知,90AB AC BAC BE CE =∠=︒,⊥于点E ，延长BE CA 、相交于点F ，求证：ADC AFB ≌10．如图，已知E 、F 在AC 上，AD //CB ，且∠D=∠B ，AE=CF ．求证：DF=BE ．考点4 利用HL 求证三角形全等11．在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．（1）求证：ABE CBF ≌；（2）若30CAE ∠=︒，求ACF ∠度数．12．如图，已知AE =DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，且AB =EC ．求证：BC =AB ＋DC ．13．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）若AB=21，AD=9，求AE的长．14．如图：AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD、求 .证：BE AC考点5 全等三角形综合15．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证：BM=CN；(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM、CN与AC之间的数量关系_______．(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，∠MAN+MPN=180°，若AC：PC=2：1，PC=4，求四边形ANPM的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为（6，0）、（0，6），P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM＝ON，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．答案1．解：（1）证明：BF EC =∵，BF FC EC FC ∴+=+，BC EF ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ≅∆∆∴；（2）150BFD ∠=︒，180BFD DFE ∠+∠=︒， 30DFE ∴∠=︒，由（1）知，ABC DEF ∆≅∆，ACB DFE ∴∠=∠，30ACB ∴∠=︒．2.（1）证明：点C 是AB 的中点，AC BC ∴=；在DCA ∆与EBC ∆中，AD CE CD BE AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()DCA EBC SSS ∴∆≅∆，（2）证明：DCA EBC ∆≅∆，A BCE ∴∠=∠，//AD CE ∴．3.如图，连结OE在、OEA 和、OEC 中OA OC EA EC OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩、、OEA、、OEC （SSS ）、、A ＝、C （全等三角形的对应角相等）4.∵BF=CE ，∴BF+FC=CE+FC ，即BC=EF ．∵AB ∥DE ，∴∠B=∠E ．在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）5.△ABC 与△ABE 的面积相等．理由：∵AD 为边BC 上的中线，∴BD=CD ，在△BDE 和△CAD 中，BD DC BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CAD、SAS、，BDE ABD CAD ABD S S S S +=+，即△ABC 与△ABE 的面积相等．6.(1)证明：①在△ABC 和△ADC 中，AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）.②∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAO=∠DAO.∵AB=AD ，∠BAO=∠DAO ，OA=OA ，∴△ABO ≌△ADO （SAS ）.∴OB=OD ，AC ⊥BD.(2)筝形ABCD 的面积=△ABC 的面积+△ACD 的面积=12×AC×BO+12×AC×DO=12×AC×(BO+DO)=12×AC×BD=12×6×4=12. 7.（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90ABD BAD ∠+∠=︒，∵AB AC ⊥，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在BDA 和AEC 中，90ADB CEA ABD CAEAB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BDA AEC AAS ≅；（2）∵BDA AEC ≅△△，∴BD AE =，AD CE =，∴7DE DA AE BD CE =+=+=．8.证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴ BD ＝CD ，∵ BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠E ＝∠CFD ＝90°在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，90BDE CDF E CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴ Rt △BDE ≌Rt △CDF （AA S ）9.、、BAC=90°，、、BAF=180°-、BAC=90°，、、BAF=、CAD ，、F+、ABF=90°，∵CE ⊥BE ，、、CEF=90°，、、F+、ACD=90°，、、ABF=、ACD ，在、ADC 和、AFB 中，BAF CAD AC ABACD ABF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， 、、ADC ≌、AFB （ASA ）．10.解：证明：∵AE=CF ，∴AE -EF=CF -EF即AF=CE ，∵AD ∥CB ，∴∠A=∠C ，在△ADF 和△CBE 中，A C AF CE DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CBE （ASA ），∴DF=BE ．11.（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CF AB BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）解：∵AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB -∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知：Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°．12.∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠B=∠C=90°，在Rt △AEB 和Rt △EDC 中，AB EC AE DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEB ≌Rt △EDC （HL ），∴DC=BE ，∵BC=BE+CE ，∴AB+DC=BC ．13.（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CF=CE ，∠DFC=∠BEC=90°，在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，CE CF BC CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （HL ）；（2）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CF=CE ，∠CFA=∠CEA=90°，在Rt △AFC 和Rt △AEC 中，CF CE AC AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △AFC ≌Rt △AEC （HL ），∴AF=AE ，由（1）知Rt △BCE ≌Rt △DCF ，则BE=DF ，∵AB=21，AD=9，∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21， 解得，DF=6，∴AE=AF=AD+DF=9+6=15，即AE 的长是15．14.证明： ∵AD ⊥BC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°．又∵BF ＝AC ，FD ＝CD ，∴△RtADC ≌Rt △BDF （HL ）．∴∠EBC ＝∠DAC ．又∵∠DAC ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＋∠ACD ＝90°．∴BE ⊥AC ．15.（1）证明：点P 为EAF ∠平分线上一点，PB AE ⊥于B ，PC AF ⊥于C ， PB PC ∴=，在Rt PBM ∆和Rt PCN ∆中，PB PC PM PN =⎧⎨=⎩， Rt PBM Rt PCN ∴∆≅∆，BM CN ∴=；（2）AM CN AC +=，理由如下：在Rt PBA ∆和Rt PCA ∆中，PB PC AP AP =⎧⎨=⎩， Rt PBA Rt PCA ∴∆≅∆，AB AC ∴=，AM CN AM BM AB AC ∴+=+==，故答案为：AM CN AC +=；（3）:2:1AC PC =，4PC =，8AC ∴=，PB AE ⊥，PC AF ⊥，90ABP ACP ∴∠=∠=︒，180MAN BPC ∴∠+∠=︒，又180MAN MPN ∠+∠=︒， MPB NPC ∴∠=∠，在PBM ∆和PCN ∆中，BPM CPN PB PCPBM PCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， PBM PCN ∴∆≅∆，∴四边形ANPM 的面积=四边形ABPC 的面积1842322=⨯⨯⨯=． 16.解：（1）结论：PM ＝PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB ＝OA ＝6，∠AOB ＝90°，∵P为AB的中点，∴OP＝12AB＝PB＝P A，OP⊥AB，∠PON＝∠P AM＝45°，∴∠OP A＝90°，在△PON和△P AM中，ON AMPON PAMOP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON≌△P AM（SAS），∴PN＝PM，∠OPN＝∠APM，∴∠NPM＝∠OP A＝90°，∴PM⊥PN，PM＝PN．（2）结论：OD＝AE．理由如下：如图2中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．∵BD⊥OP，∴∠OAG＝∠BOD＝∠OFD＝90°，∴∠ODF+∠AOG＝90°，∠ODF+∠OBD＝90°，∴∠AOG＝∠DBO，∵OB＝OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD＝AG，∠BDO＝∠G，∵∠BDO＝∠PEA，∴∠G＝∠AEP，在△P AE和△P AG中，AEP GPAE PAGAP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△P AE≌△P AG（AAS），∴AE＝AG，∴OD＝AE．。
部编数学八年级上册第十二章全等三角形单元培优训练(解析版)含答案
2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）第十二章 全等三角形单元培优训练班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第12章 全等三角形，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·全国·八年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则∠a 等于（ ）A ．72oB ．60oC ．58oD ．50o 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．【详解】Q 图中的两个三角形全等，a Ð 为a 和c 的夹角又Q 第一个三角形中a 和c 的夹角为50°\ 50a Ð=°故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，14AB =，6AC =，AC AB ^，BD AB ^，垂足分别为A 、B ．点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 运动；点Q 从点B 出发，以每秒a 个单位的速度沿射线BD 方向运动．点P 、点Q 同时出发，当以P 、B 、Q 为顶点的三角形与CAP V 全等时，a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或127【答案】D3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AOB ADC △≌△，点B 和点C 是对应顶点，90O D Ð=Ð=°，记,,OAD ABO ABC ACB a b Ð=Ð=Ð=Ð，当//BC OA 时，a 与b 之间的数量关系为（ ）A ．a b=B ．2a b =C ．90a b +=°D ．2180a b +=°【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB =AC ，全等三角形对应角相等可得∠BAO =∠CAD ，然后求出∠BAC =α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC ，整理即可．【详解】∵AOB ADC △≌△，∴BAO CAD Ð=Ð，4．（2022·全国·八年级单元测试）如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE 的长是（ ）A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定【答案】C【分析】根据全等三角形的性质计算即可；【详解】∵△ABC≌△ADE，=，∴BC DE∵BC＝7cm，∴7=；DE cm故答案选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．∥，5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若AC DE∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】D 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出55B C Ð=Ð=°，利用平行线的性质可得出55DEB C Ð=Ð=°，则CEF Ð即可求．【详解】解：ABC Q V 沿线段DE 折叠，使点B 落在点F 处，BDE FDE \@V V ，DEB DEF \Ð=Ð，70A AB AC Ð=°=，Q ，12180705)5(B C \Ð=Ð=´°-°=°，AC DE ∥Q ，55DEB C DEF \Ð=Ð=°=Ð，18070FEC DEB DEF \Ð=°-Ð-Ð=°，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC ≌△DEF ，CD 平分∠BCA ，若∠A ＝30°，∠CGF ＝88°，则∠E 的度数是（ ）A ．50°B ．44°C ．34°D ．30°【答案】C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【答案】②③【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合故答案为：②③．【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC 中，∠A ：∠ABC ：∠ACB ＝3：5：10，又△A ′B ′C ≌△ABC ，则∠BCA ′：∠BCB ′的值为_____．9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，,125,25,ABC ADE EAB CAD BAC Ð=°Ð=°ÐV V ≌的度数为___________．【答案】75°【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD ＝∠CAB ，求出∠DAB ＝∠EAC =50°，即可得到∠BAC 的度数．【详解】解：∵V ABC ≌V ADE ，10．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P ＋∠Q ＝__________度．【答案】45【分析】如图，直接利用网格得出对应角P AQC ÐÐ=，进而得出答案．【详解】如图，易知ABP ACQ V V ≌，∴P AQC ÐÐ=，∵BQ 是正方形的对角线，∴45BQC BQA AQC P Q ÐÐ+Ð=Ð+Ð=°=，故答案为：45．【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键．11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC ≌△ADE ，若AB=7，AC=3，则BE 的值为_________．【答案】4【分析】根据△ABC ≌△ADE ，得到AE=AC ，由AB=7，AC=3，根据BE=AB-AE 即可解答．【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AE=AC ，∵AB=7，AC=3，∴BE=AB-AE=AB-AC=7-3=4．故答案为：4．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．12．（2022·江西上饶·八年级期末）如图，在△ABC 中，90ACB Ð=°，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．【答案】2或6##6或2【分析】设点P 运动时间为t 秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出CP CQ =，列出关于t 的方程，求解即可．【详解】解：设运动时间为t 秒时，△PMC ≌△CNQ ，∴斜边CP CQ =，分两种情况：①如图1，点P 在AC 上，点Q 在BC 上，图1∵AP t =，2BQ t =，∴8CP AC AP t =-=-，102CQ BC BQ t =-=-，∵CP CQ =，∴8102t t -=-，∴2t =；②如图2，点P 、Q 都在AC 上，此时点P 、Q 重合，图2∵8CP AC AP t =-=-，210CQ t =-，∴8210t t -=-，∴6t =；综上所述，点P 运动时间为2或6秒时，△PMC 与△QNC 全等，故答案为：2或6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABD ≌△ACE ，写出对应边和对应角，并证明∠1＝∠2．【答案】见解析，证明见解析Ð=Ð，根据等角的补角相等即可求【分析】根据全等三角形的性质写出对角与对应边，根据ADB AEC解．【详解】解：∵△ABD≌△ACE，\===，AB AC AD AE BD CE,,A ABC ADB AECÐ=ÐÐ=ÐÐ=Ð；,,Ð=Ð，证明：∵ADB AEC\°-Ð=°-Ð，ADB AEC180180即12Ð=Ð．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等角的补角相等，掌握全等三角形的性质是解题的关键．14．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．(1)求证：BC＝DE＋CE；∥？(2)当△ABC满足什么条件时，BC DE【答案】(1)见解析∥(2)当∠ACB为直角时，BC DE【分析】(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，据此即可证得；(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．（1）证明：∵△ABC ≌△DAE ，∴AE ＝BC ，AC ＝DE ，又∵AE ＝AC +CE ，∴BC ＝DE +CE ；（2）解：∵BC DE ∥，∴∠BCE ＝∠E ，又∵△ABC ≌△DAE ，∴∠ACB ＝∠E ，∴∠ACB ＝∠BCE ，又∵∠ACB +∠BCE ＝180°，∴∠ACB ＝90°，即当△ABC 满足∠ACB 为直角时，BC DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．15．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点A ，B ，C 在同一直线上，点E 在BD 上，且ABD EBC V V ≌，2cm AB =，3cm BC =．（1）求DE 的长；（2）判断AC 与BD 的位置关系，并说明理由．（3）判断直线AD 与直线CE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）1cm DE =；（2）AC BD ^．理由见解析；（3）直线AD 与直线CE 垂直．理由见解析【分析】（1）由题意根据全等三角形的对应边相等得到BD=BC=5cm ，BE=AB=2cm ，计算即可；（2）由题意直接根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（3）由题意延长CE 交AD 于F ，进而根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行分析解答即可．【详解】解：（1）ABD EBC Q △≌△，3cm BD BC \==，2cm BE AB ==，1cm DE BD BE \=-=．（2）AC BD ^．理由：ABD EBC Q △≌△，ABD EBC Ð=Ð\．又A Q ，B ，C 在同一直线上，90EBC \=а．AC BD \^．（3）直线AD 与直线CE 垂直．理由：如图，延长CE 交AD 于F ．ABD EBC Q △≌△，D C \Ð=Ð．Q 在Rt ABD △中，90A D Ð+Ð=°，90A C +Ð=\а，90AFC \Ð=°，即直线AD 与直线CE 垂直．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等以及全等三角形的对应角相等是解题的关键．16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A ，E ，C 三点在同一直线上，且△ABC ≌△DAE ．(1)线段DE ，CE ，BC 有怎样的数量关系？请说明理由．(2)请你猜想△ADE 满足什么条件时，DE ∥BC ，并证明．【答案】(1)DE ＝CE +BC ，理由见解析(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC．（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明：∵△ABC≌△DAE，∴∠AED＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠C＝∠DEC，∴∠AED＝∠DEC．又∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AED＝∠DEC＝90°，∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补，解本题的关键在熟练掌握相关性质．17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．【答案】（1）3AE =；（2）80AED Ð=°．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C Ð=Ð=°，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵,3ABC DEB BC @=V V ，∴3BE BC ==，∵6AB =，∴633AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB @△△，∴55DBE C Ð=Ð=°，∵25D Ð=°，∴552580AED DBE D Ð=Ð+Ð=°+°=°．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·全国·八年级专题练习）如图，ABC DEB V V ≌，点E 在AB 上，DE 与AC 相交于点F ，若7DE =，4BC =，35D Ð=°，60C Ð=°．（1）求线段AE 的长；（2）求DFA Ð的度数．【答案】（1）3AE =；（2）130DFA Ð=°【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可．【详解】（1）∵ABC DEB V V ≌，∴7AB DE ==，4BC BE ==，∵点E 在AB 上，∴AE BE AB +=，∴743AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB V V ≌，∴∠A=∠D=35°，60C DBE °Ð=Ð=，95AEF DBE D Ð=Ð+Ð=°，130DFA AEF A °Ð=Ð+Ð=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．19．（2022·全国·八年级专题练习）如图，,ABF CDE B ÐV V ≌和D Ð是对应角，AF 和CE 是对应边．（1）写出ABF V 和CDE △的其他对应角和对应边；（2）若30,40B DCF Ð=°Ð=°，求EFC Ð的度数；（3）若10,2BD EF ==，求BF 的长．【答案】（1）其他对应角为BAF Ð和DCE Ð，AFB Ð和CED Ð；其他对应边为AB 和,CD BF 和DE ；（2）70EFC Ð=°；（3）6BF =．【分析】（1）根据全等三角形的性质，对应角相等，对应边相等，解答即可；（2）根据全等三角形的性质可得30D B Ð=Ð=°，运用三角形外角的性质即可解答；（3）根据全等三角形的性质可得BF DE =，进一步证明DF BE =，然后可得426BF BE EF =+=+=．【详解】（1）其他对应角为：BAF Ð和DCE Ð，AFB Ð和CED Ð；其他对应边为：AB 和,CD BF 和DE ；（2）∵,30ABF CDE B Ð=°V V ≌，20．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，ABC V ≌ADE V ，AC 和AE ，AB 和AD 是对应边，点E 在边BC 上，AB 与DE 交于点F ．（1）求证：CAE BAD Ð=Ð；（2）若35BAD Ð=°，求BED Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）根据ABC V ≌ADE V ，可得∠BAC =∠DAE ，即可求证；（2）由（1）可得∠CAE =35°，再由ABC V ≌ADE V ，可得∠C =∠AED ，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED =∠CAE ，即可求解．【详解】（1）证明：∵ABC V ≌ADE V ，∴∠BAC =∠DAE ，即∠CAE +∠BAE =∠BAD +∠BAE ，（2）∵35BAD Ð=°，CAE BAD Ð=Ð，∴∠CAE =35°，∵ABC V ≌ADE V ，∴∠C =∠AED ，∵∠AEB =∠C +∠CAE ，∠AEB =∠AED +∠BED ，∴∠BED =∠CAE =35°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC ≌△DEF ，点B ，E ，C ，F 在同一直线上．(1)若∠BED ＝130°，∠D ＝70°，求∠ACB 的度数；(2)若2BE ＝EC ，EC ＝6，求BF 的长．【答案】(1)60°(2)12【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠F ，再根据全等三角形的对应角相等解答；（2）根据题意求出BE 、BC ，再根据全等三角形的性质解答．（1）解：∵∠BED ＝130°，∠D ＝70°，∴∠F ＝∠BED －∠D ＝60°，∵V ABC ≌V DEF ，∴∠ACB ＝∠F ＝60°；（2）∵2BE ＝EC ，EC ＝6，∴BE ＝3，∴BC ＝BE ＋EC ＝9，∵V ABC ≌V DEF ，∴EF ＝BC ＝9，∴BF ＝EF ＋BE ＝12．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．22．（2021·全国·八年级单元测试）如图△ADF ≌△BCE ，∠B ＝40°，∠F ＝22°，BC ＝2cm ，CD ＝1cm ．求：（1）∠1的度数；（2）AC 的长．【答案】（1）62°；（2）3cm【分析】（1）根据全等三角形的性质可得22E F Ð=Ð=°，由三角形外角的性质可得1B E Ð=Ð+Ð，即可求解；（2）由全等三角形的性质可得AD BC =，即可求解．【详解】解：（1）∵ADF BCEV V ≌∴22E F Ð=Ð=°由三角形外角的性质可得：162B E Ð=Ð+Ð=°∠1的度数为62°（2）∵ADF BCEV V ≌∴2AD BC cm==∴3AC AD CD cm=+=即AC 的长为3cm【点睛】此题考查了全等三角形的性质，涉及了三角形外角的性质，掌握全等三角形的有关性质是解题的关键．六、（本大题共12分）23．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在ABC V 中，4cm,,4cm BC AE BC AE ==∥，点N 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度连续做往返运动，点M 从点A 出发沿线段AE 以1cm/s 的速度运动至点E ．M 、N 两点同时出发，连结,MN MN 与AC 交于点D ，当点M 到达点E 时，M 、N 两点同时停止运动，设点M 的运动时间为(s)t ．(1)当3t =时，线段AM 的长度=___________cm ，线段BN 的长度=___________cm ．(2)当BN AM =时，求t 的值．(3)连接AN ，当ABN V 的面积等于ABC V 面积的一半时，直接写出所有满足条件的t 值．(4)当ADM CDN △≌△时，直接写出所有满足条件的t 值．。
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优(含答案)
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优一、选择题1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.48.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或7二、填空题9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．11.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .12.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .13.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．14.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC 的面积= .15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题16.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.17.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．19.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．20.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．22.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.C.7.D.8.D9.答案为：①②③．10.答案为：相等或互补．11.答案为：128°.12.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；13.答案为：1＜AD ＜9．14.答案为：50.15.答案为：①②④．16.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3=∠1＋∠2.17.证明：（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ；（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.18.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE19.答案为：80°，50°；20.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．22.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．。
人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形 综合培优训练(含答案)
人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形综合培优训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定()A ．形状、大小均不相同B ．形状相同，但大小不同C ．大小相同，但形状不同D ．形状、大小均相同2. 如图1所示的图形中与图2中图形全等的是 ( )图1 图23. 如图，△ABC ≌△EDF ，DF=BC ，AB=ED ，AC=15，EC=10，则CF 的长是( )A .5B .8C .10D .154.如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB ＝DE ，还需添加两个条件才能使△ABC△△DEC ，不能添加的一组条件是( )A ．BC ＝EC ，△B ＝△E B ．BC ＝EC ，AC ＝DC C ．BC ＝DC ，△A ＝△DD ．△B ＝△E ，△A ＝△D5. (2019•临沂)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A．0.5 B．1C．1.5 D．26. 下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知△AOB，求作：△DEF，使△DEF＝△AOB.作法：(1)以__△__为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；(2)作射线EG，并以点E为圆心，__○__长为半径画弧交EG于点D；(3)以点D为圆心，__△__长为半径画弧交前弧于点F；(4)作__△__，则△DEF即为所求作的角．则下列回答正确的是()A．△表示点E B．○表示EDC．△表示OP D．△表示射线EF7. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是()A．AB＝DE B．AC＝DFC．△A＝△D D．BF＝EC8. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-29. 如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN 的长度的取值范围为()A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤310. 如图，已知在四边形ABCD中，△BCD＝90°，BD平分△ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．4211. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为()A.6.5B.5.5C.8D.1312. 如图，∠AOB＝120°，OP平分△AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题（本大题共12道小题）13. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，△1＝△2，△A＝△D，要使△ABC△△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是____________(只需写出一个)．14. 如图所示，把△ABC沿直线AC翻折，得到△ADC，则△ABC△________，AB 的对应边是________，AC的对应边是________，△BCA的对应角是________.15. 已知△ABC的三边长分别是6，8，10，△DEF的三边长分别是6，6x－4，4x ＋2.若两个三角形全等，则x的值为________．16. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．17. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED 与AB相交于点G.若△ACD＝40°，则△AGD＝________°.18. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为cm.19. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．20. 如图，AB△CD，点P到AB，BD，CD的距离相等，则△BPD的度数为________．21. 如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=.22. 如图所示，已知AD△BC，则△1＝△2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC△△CBA，理由是______，则△DCA＝△BAC，理由是__________________，则AB△DC，理由是________________________________．23. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，△A＝80°，△BDC＝120°，则△B＝________°.24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是.三、作图题（本大题共2道小题）△，请根据“S 25. 尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：如图，已知ABCAS”基本事实作出DEF△≌△．△，使DEF ABC26. 如图，已知△ABC.求作:直线MN，使MN经过点A，且MN∥BC.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)四、解答题（本大题共6道小题）27. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF，求证：△ADE△△CDF.28. 已知:如图12-3-12,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,.求证:.请你补全已知和求证,并写出证明过程.29. 如图，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2△3△4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)30. 如图，BD是△ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM△AD，PN△CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.31. 如图，已知△C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.(1)求△APB的度数．(2)求证：点P在△C的平分线上．(3)求证：△PD＝PE；△AB＝AD＋BE.32. 如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD＝AC，在射线CF上截取CG＝AB，连接AG，AD.求证：(1)△BAD△△CGA；(2)AD △AG .人教版 八年级数学下册 第12章 全等三角形综合培优训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】A[解析] ∵△ABC ≌△EDF ，AC=15，∴EF=AC=15. ∵EC=10，∴CF=EF -EC=15-10=5.4. 【答案】C5. 【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ．6. 【答案】D7. 【答案】C[解析] 选项A 中添加AB ＝DE 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B 中添加AC ＝DF 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项C 中添加△A ＝△D 不能判定△ABC△△DEF ，故本选项符合题意； 选项D 中添加BF ＝EC 可得出BC ＝EF ，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意． 故选C.8. 【答案】A[解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点 E.∵点D 的坐标是(0，-3)， ∴OD=3.∵AD 是△OAB 的角平分线， ∴ED=OD=3，即点D 到AB 的距离是3.9. 【答案】C[解析] 作PM ⊥OB 于点M.∵OP 平分∠AOB ,PE ⊥OA ,PM ⊥OB ,∴PM=PE=3.∴PN ≥3.10. 【答案】B[解析] 过点D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于点H.∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°， ∴DH ＝CD ＝4.∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB·DH ＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.11. 【答案】A[解析] 如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,∴DF=DH.在Rt △DFE 和Rt △DHG 中,∴Rt △DFE ≌Rt △DHG. 在Rt △ADF 和Rt △ADH 中,∴Rt △ADF ≌△ADH. 设△EDF 的面积为x.由题意得,38+x=51-x ,解得x=6.5,∴△EDF 的面积为6.5.12. 【答案】D【解析】如解图，①当OM 1＝2时，点N 1与点O 重合，△PMN 是等边三角形；②当ON 2＝2时，点M 2与点O 重合，△PMN 是等边三角形；③当点M 3，N 3分别是OM 1，ON 2的中点时，△PMN 是等边三角形；④当取∠M 1PM 4＝∠OPN 4时，易证△M 1PM 4≌△OPN 4(SAS)，∴PM 4＝PN 4，又∵∠M 4PN 4＝60°，∴△PMN 是等边三角形，此时点M ，N 有无数个，综上所述，故选D.二、填空题（本大题共12道小题）13. 【答案】AB ＝DE(答案不唯一)14. 【答案】△ADCAD AC △DCA [解析] △ABC 与△ADC 重合，则△ABC△△ADC.15. 【答案】2[解析] 由全等三角形的对应边相等可知有以下两种情况：△4x ＋2＝10，解得x ＝2； 6x －4＝8， 解得x ＝2.由于2＝2，所以此种情况成立． △4x ＋2＝8，解得x ＝32； 6x －4＝10，解得x ＝73.由于32≠73，所以此种情况不成立． 综上所述，x 的值为2.16. 【答案】2.5[解析] 设点O 到AB ，BC ，AC 的距离均为h ，△S △ABC ＝12×8·h＝10，解得h ＝2.5，即点O 到AB 的距离为2.5.17. 【答案】40 [解析] 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，AB ＝DE ，BC ＝EC ，△△ABC△△DEC(SSS)． △△A ＝△D.又△△AFG ＝△DFC ，△△AGD ＝△ACD ＝40°.18. 【答案】12 [解析] 如图，连接BE.∵D 为Rt △ABC 中斜边BC 上的一点，过点D 作BC 的垂线，交AC 于点E ，∴∠A=∠BDE=90°.在Rt △DBE 和Rt △ABE 中，∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm ，∴DE=12 cm .19. 【答案】17 [解析] 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC(ASA)．∴AB ＝ED ＝17米．20. 【答案】90° [解析] △点P 到AB ，BD ，CD 的距离相等，△BP ，DP 分别平分△ABD ，△BDC.△AB△CD ，△△ABD ＋△BDC ＝180°.△△PBD ＋△PDB ＝90°.故△BPD ＝90°.21. 【答案】 922. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行23. 【答案】20 [解析] 如图，过点D 作射线AF.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，△△BAD△△CAD(SSS)．△△BAD ＝△CAD ，△B ＝△C.△△BDF ＝△B ＋△BAD ，△CDF ＝△C ＋△CAD ，△△BDF ＋△CDF ＝△B ＋△BAD ＋△C ＋△CAD ，即△BDC ＝△B ＋△C ＋△BAC.△△BAC ＝80°，△BDC ＝120°，△△B ＝△C ＝20°.24. 【答案】16 [解析] ∵BF ∥AC ，∴∠EBF=∠EAD.在△BFE 和△ADE 中，∴△BFE ≌△ADE (ASA).∴BF=AD.∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD.∵当FD ⊥AC 时，FD 最短，此时FD=BC=5，∴四边形FBCD 周长的最小值为5+11=16.三、作图题（本大题共2道小题）25. 【答案】如图，DEF △即为所求．26. 【答案】解:如图所示，作∠MAB=∠B ，则直线MN 即为所求(其他方法合理也可).四、解答题（本大题共6道小题）27. 【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD.(2分)又∵E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，∴DE ＝DF.(4分)在△ADE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AD ＝CD∠ADE ＝∠CDF DE ＝DF，∴△ADE ≌△CDF(SAS )．(8分)28. 【答案】解:PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,EPD=PE证明:∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO 和△PEO 中,∴△PDO ≌△PEO (AAS).∴PD=PE.29. 【答案】解：(答案不唯一)如图，分别作△ACB 和△ABC 的平分线，相交于点P ，连接PA ，则△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积之比为2△3△4.理由如下：如图，过点P 分别作PE△AB 于点E ，PF△AC 于点F ，PH△BC 于点H. △P 是△ABC 和△ACB 的平分线的交点，△PE ＝PF ＝PH.△S △PAB ＝12AB·PE ＝10PE ，S △PAC ＝12AC·PF ＝15PF ，S △PBC ＝12BC·PH ＝20PH ， △S △PAB △S △PAC △S △PBC ＝10△15△20＝2△3△4.30. 【答案】证明：△BD 是△ABC 的平分线，△△ABD ＝△CBD.在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，△ABD ＝△CBD ，BD ＝BD ，△△ABD△△CBD(SAS)．△△ADB ＝△CDB.△点P 在BD 上，PM△AD ，PN△CD ，△PM ＝PN.31. 【答案】解：(1)△AE ，BD 是△ABC 的角平分线，△△BAP ＝12△BAC ，△ABP ＝12△ABC.△△BAP ＋△ABP ＝12(△BAC ＋△ABC)＝12(180°－△C)＝60°.△△APB ＝120°.(2)证明：如图，过点P 作PF△AB ，PG△AC ，PH△BC ，垂足分别为F ，G ，H.△AE ，BD 分别平分△BAC ，△ABC ，△PF ＝PG ，PF ＝PH.△PH ＝PG.又△PG△AC ，PH△BC ，△点P 在△C 的平分线上．(3)证明：△△△C ＝60°，PG△AC ，PH△BC ，△△GPH ＝120°.△△GPE ＋△EPH ＝120°.又△△APB ＝△DPE ＝△DPG ＋△GPE ＝120°，△△EPH ＝△DPG.在△PGD 和△PHE 中，⎩⎨⎧△PGD ＝△PHE ＝90°，PG ＝PH ，△DPG ＝△EPH ，△△PGD△△PHE.△PD ＝PE.△如图，在AB 上截取AM ＝AD.在△ADP 和△AMP 中，⎩⎨⎧AD ＝AM ，△DAP ＝△MAP ，AP ＝AP ，△△ADP△△AMP.△△APD ＝△APM ＝60°.△△EPB ＝△MPB ＝60°.在△EBP 和△MBP 中，⎩⎨⎧△EPB ＝△MPB ，BP ＝BP ，△EBP ＝△MBP ，△△EBP△△MBP.△BE ＝BM.△AB ＝AM ＋BM ＝AD ＋BE.32. 【答案】证明：(1)∵BE ，CF 都是△ABC 的高，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∠ACF ＋∠BAC ＝90°.∴∠ABE ＝∠ACF.在△BAD 和△CGA 中，⎩⎨⎧AB ＝GC ，∠ABD ＝∠GCA ，BD ＝CA ，∴△BAD ≌△CGA(SAS)．(2)∵△BAD ≌△CGA ，∴∠G ＝∠BAD.∵∠AFG ＝90°，∴∠GAD ＝∠BAD ＋∠BAG ＝∠G ＋∠BAG ＝90°.∴AD ⊥AG.。
人教版初二上全等三角形培优练习题
人教版初二上全等三角形培优练习题篇一：人教版初二、上《三角形部分》培优测试题人民教育版第二天“三角部分”优秀试题（全卷150分时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．下列图形中轴对称图形是：--------------（）问题2．点(2，3)关于x轴对称的点的坐标是：----------------（）a．(－3，－2)b．(2，－3)c．(－2，3)d．(－2，－3)3.三角形可通过以下长度组的线段作为边形成：-------------------（）a.3cm、4cm、8cmb。
5厘米，5厘米，11厘米。
12厘米，5厘米，6厘米。
8厘米、6厘米和4厘米。
如图所示，△ ABC和△ a′B′C′与直线L对称∠ a=105°，∠ C′=30°，则∠B=--------------（）a.25°B.45°c.30°d.20°5．在△abc与△a′b′c′中，已知∠a＝∠a′，ac＝a′c′，下列说法错误的是：-------------（）a．若添加条件ab＝a′b′，则△abc≌△a′b′c′b．若添加条件∠c ＝∠c′，则△abc≌△a′b′c′c．若添加条件∠b＝∠b′，则△abc≌△a′b′c′d．若添加条件bc＝b′c′，则△abc≌△a′b′c′6．已知等腰的底边bc＝8cm，且|ac－bc|＝3cm，则腰ac的长为：---------------（）a．11cmb．11cm 或5cmc．5cmd．8cm或5cm7※．如图，m是线段ad、cd的垂直平分线交点，ab⊥bc，∠d ＝65°，则∠mab＋∠mcb的大小是：a．140°b．130°c．120°d．160°--------------（）※8．如图，四边形abcd中，ab∥cd，ad∥bc，且∠bad、∠adc的角平分线ae、df 分别交bc于点e、f．若ef＝2，ab＝5，则ad的长为：--------------------（）a．7b．6c．8d．9※9．如图，在四边形abcd中，ab＝ac，∠abd＝60°，∠adb＝78°，∠bdc＝24°，则∠dbc＝（）a．18°7个问题8个问题9个问题10个问题※10．如图，等腰rt△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc于点d，∠abc的平分线分别交ac、ad于e、f两点，m为ef的中点，am的延长线交bc于点n，连接dm，下列结论：①df＝dn；②△dmn为等腰三角形；③dm平分∠bmn；④ae＝二ec；⑤ae＝nc，其中正确结论的个3b、20°c.25°d.15°数是：---（）a、 2 B.3 C.4 d.5 II。
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三角形单元测试题一、（每空 3 分，共 30 分）1、如果三角形的两分 3 和 5，那么个三角形的周可能是（）A． 15 B ．16C．8 D ．72、下列法中，正确的个数（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点.②三角形的中都是三角形的某一个点，且平分的直.③在△ ABC中，若∠ A=∠B=∠ C，△ABC是直角三角形.④一个三角形的两分是8 和 10，那么它的最短的取范是2<b<18.A． 1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个3、三角形的三条高所在的直相交于一点，个交点的位置（）A．在三角形外 B ．在三角形内C．在三角形上D．要根据三角形的形状才能定4、有五条段，度分 1、4、5、6、8，从中任取 3 条，一定能构成三角形的可能性是（）A． 20％ B ． 30％ C ．40％D． 50％5、如，将矩形 ABCD片沿角 BD折叠，使点 C 落在 C’ ，BC’交 AD于 E，若∠ DBC=22.5°，在不添加任何助的情况下，中45°的角（虚也角的）有（）A． 6 个 B ． 5 个C．4 个D．3 个6、在△ ABC中， AB=6，AC=3，∠ B 的最大（）A． 30° B ． 45°C． 60°D．90°7、希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数，例如：他研究 1 中的 1，3，6，10，⋯，由于些数能表示成三角形，将其称三角形数 ; 似地，称 2 中的 1，4，9，16⋯的数成正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.289B.1024C.1225D.13788、①是一 1，周 P1的正三角形板，沿①的底剪去一的正三角形板后得到②，然后沿同一底依次剪去一更小的正三角形板（即其前一被剪如掉正三角形板的）后，得③，④，⋯，第 n(n ≥3) 板的周 P， P -Pn-1 的（）n nA． B ．C． D ．9、如，已知△ ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ ABC的平分，DE⊥BC于 E，若 BC=10cm，△ DEC的周（）A．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm10、如，在 4 的等三角形ABC中， AD是 BC上的高，点 E、 F是 AD上的两点，中阴影部分的面是（）A．4B．3C．2D．二、填空（每空 3 分，共 18 分）11、如，三角形片 ABC中，∠ A＝65°，∠ B＝75°，将片的一角折叠，使点 C落在△ ABC 内，若∠1＝ 20°，∠ 2=___ ___ 。
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷
人教版八年级数学上册全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，36ABO∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABC∆为等腰三角形，符合条件的C点有__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．3．如图，点P是AOB∠内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN PM MN++的最小值是5 cm，则AOB∠的度数是__________．【答案】30°【解析】试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【解析】【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠F+∠CEF＝90°，∵∠AED＝∠FEC，∴∠A＝∠F＝30°，∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠CBE ＝∠ABC ﹣∠ABE ＝30°，∴∠CBE ＝∠F ，∴BE ＝EF ，在Rt △BED 中，BE ＝2DE ＝2×1＝2，∴EF ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.5．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，证明BDE AGE ∆≅∆，而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形，即可求出CF 的长，于是可求AC 的长.【详解】解：如图，延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，∵点E 是线段AB 的中点，∴AE=BE,∴在BDE ∆和AGE ∆中，BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______．【答案】7或34【解析】【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【详解】如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM=22AB BM-=43；如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM=22MO OB-=43，∴Rt△ABM中，AM=22AB BM+=47．综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为43或47或4．故答案为43或47或4．7．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30︒，CF=43，则DH=______．【答案】23【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBFBF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=23.故答案为2 3 .点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.8．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为12×3×3＝92． 故填：92． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．12．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A ．3 B ．33 C ．32 D ．不能确定【答案】B【解析】已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH =332，因S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =332，即点P 到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．13．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）A ．9个B ．7个C ．6个D ．5个【答案】B【解析】【分析】先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．【详解】解：①如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则∆BCD就是等腰三角形；②如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，则∆ACE就是等腰三角形；③如图3，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于M，交AC于点F，则∆BCM、∆BCF是等腰三角形；④如图4，作AC的垂直平分线交AB于点H，则∆ACH就是等腰三角形；⑤如图5，作AB的垂直平分线交AC于点G，则∆AGB就是等腰三角形；⑥如图6，作BC的垂直平分线交AB于I，则∆BCI就是等腰三角形．故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．14．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故选D．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．15．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯ B ．()20180,2(3)-⨯ C ．()20192(3),0⨯ D ．()20190,2(3)-⨯ 【答案】D 【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．【详解】解：由题意可得， 2242-3OB 1323322(3)⨯，OB 231= 323)⨯，…∵2018÷4=504…2，∴点B 2018在y 轴的负半轴上，∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯．故答案为：D ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．16．如图，已知正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1）．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为（ ）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．17．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确；②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．∴BD 是∠ABC 的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD 的面积和△BOD 面积相等，错误；故选：D.18．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，则下列结论正确的个数为（ ）（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）CH EH AC +=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】（1）延长AB 取BD=BE ，连接DE ，由∠D=∠BED ，2ABC C ∠=∠，得到∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，利用AAS 证明ADE ACE ≌，可得AC=AD=AB+BE ；（2）在HC 上截取HF=BH,连接AF ，可知△ABF 为等腰三角形，再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠，可得出△AFC 为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ； （3）HM=BM-BH ，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，再结合（2）中结论，可得2AB HM =；（4）结合（1）（2）的结论，BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+.【详解】解：①延长AB 取BD=BE ，连接DE ，∴∠D=∠BED ，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,∵2ABC C ∠=∠，∴∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，DAE CAED CAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE ACE≌∴AC=AD=AB+BE，故（1）正确；②在HC上截取HF=BH,连接AF，∵AH BC⊥，∴△ABF为等腰三角形，∴AB=AF，∠ABF=∠AFB，∵2ABC C∠=∠，∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF，∴FC=AF=AB，∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC，故（2）正确；③∵HM=BM-BH，∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH，由②可知BC-2BH=AB，∴2AB HM=④根据①②结论，可得:BC2BH BE BC BH BE BH CH EHAC AB BE=+=-+=-+-=+，故（4）正确；故选D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.19．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A．201532B．201632C．2017327D．201932【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=43，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=23，B1A2=1232⨯，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：2017201513()4322⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，∵0P=PD=5=0D，∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B．。
八年级数学人教版上册全等三角形培优单元测试
八年级数学人教版上册全等三角形培优单元测试一、选择题(每题4分, 共32分)1. 若△MNP≌△NMQ且MN = 8cm, NP = 7cm, PM = 6cm, 则MQ的长是( )A. 8cmB. 7cmC. 6cmD. 5cm2. 下列四组条件中, 能使△ABC≌△DEF的条件有( )①AB = DE, BC = EF, AC = DF; ②AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF;③∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F; ④AB = DE, AC = DF, ∠B = ∠E.A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，补充下列一组条件，仍无法判定△ABC≌△DEC的是（）A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．∠B=∠E，∠A=∠DA. SSSB. ASAC. AASD. SAS4. 如图, AD是△ABC的角平分线,从点D向AB、AC两边作垂线段,垂足分别为E、F, 那么下列结论中错误．．的是( )A. DE = DFB. AE = AFC. BD = CDD. ∠ADE = ∠ADF5. 已知图中的两个三角形全等, 则∠1等于( ) .A. 72°B. 60°C. 50°D. 58°6. 如图, 正方形ABCD的边长为4, 将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处, 该三角板的两条直角边与CD交于点F, 与CB延长线交于点E. 四边形AECF的面积是( ) .A. 16B. 12C. 8D. 47. 如图, △ABC中, AB = AC, E在BC上, D在AE上. 则下列说法中正确的有( )①若E为BC中点, 则有BD = CD; ②若BD = CD, 则E为BC中点;③若AE⊥BC, 则有BD = CD; ④若BD = CD, 则AE⊥BC.A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④8. 如图, 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现, 只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线. 如图: 一把直尺压住射线OB, 另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P, 小明说: “射线OP就是∠BOA的角平分线”. 他这样做的依据是( ) .A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D. 以上均不正确二、填空题(每空4分, 共36分)9. 如图, 已知AB⊥BD, AB∥ED, AB = ED, 要说明△ABC≌△EDC, 若以“SAS”为依据, 还要添加的条件为_______________; 若添加条件AC = EC, 则依据___________判定全等.10. 如图, 已知△ABC中, AB = 5, AC = 3, 则中线AD的取值范围是______________.11. 如图, 在△ABC中, ∠C = 90°, AB = 10, AD是△ABC的一条角平分线. 若CD = 3, 则△ABD的面积为__________________.12. 如图, 已知BD是△ABC的中线, CF是△BCD的中线, AE∥CF交BD的延长线于点E, 若△ADE的面积为3, 则△ABC的面积是____________.13. 如图, AD是△ABC的角平分线, 若AB : AC = 4 : 3, 则S△ABD :S△ACD =_________, 进而BC : CD = _____________.14. 如图所示: 要测量河岸相对的两点A、B之间的距离, 先从B处出发与AB成90°角方向, 向前走50米到C处立一根标杆, 然后方向不变继续朝前走50米到D处, 在D处转90°沿DE方向再走17米, 到达E处, 使A、C与E在同一直线上, 那么测得A、B的距离为__________米.15. 在△ABC中, 高AD、BE所在直线交于H点, 若BH = AC, 则∠ABC的值为_________.三、解答题(每题8分, 共32分)16. 已知: 如图△ABC,求作: 一点P, 使P在BC上, 且点P到∠BAC的两边的距离相等.(要求尺规．．作图, 并保留作图痕迹, 不要求写作法)17. 已知: 如图, 点B, F, C, E在一条直线上, BF = CE, AC = DF, 且AC∥DF.求证: ∠B = ∠E.18. 已知: 如图, 点O是直线l上一点, 点A、B位于直线l的两侧, 且∠AOB = 90°, OA = OB,分别过A、B两点作AC⊥l, 交直线l于点C, BD⊥l, 交直线l于点D.求证: AC = OD.19. 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL”) 后, 我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】不妨将问题用符号语言表示为: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E,然后, 对∠B进行分类, 可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况: 当∠B是直角时, △ABC≌△DEF.(1) 如图①, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E = 90°, 根据_____________, 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.第二种情况: 当∠B是钝角时, △ABC≌△DEF.(2) 如图②, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是钝角.求证: △ABC≌△DEF.第三种情况: 当∠B是锐角时, △ABC和△DEF不一定全等.(3) 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B = ∠E, 且∠B、∠E都是锐角, 请你用尺规在图③中作出△DEF, 使△DEF和△ABC不全等. (不写作法, 保留作图痕迹)(4) ∠B还要满足什么条件, 就可以使△ABC≌△DEF ? 请直接写出结论: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是锐角, 若__________, 则△ABC≌△DEF.。
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．2．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为_____．53【解析】试题分析：如图所示，由△ABC是等边三角形，BC=43AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12A C•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．3．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5，M ，N 分别是射线OA 和OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值为5，则∠AOB 的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB 、OA 于M 、N ，则可证明此时△PMN 周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°. 【详解】解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°.故答案为30°.【点睛】本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③EF=AB；④12ABCAEPFS S∆=四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，∴∠PAE=∠PCF ，在△APE 与△CPF 中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC ∠=∠=∠=∠，∴△APE ≌△CPF （ASA ），同理可证△APF ≌△BPE ，∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，①②④正确； 而AP=12BC ，当EF 不是△ABC 的中位线时，则EF 不等于BC 的一半，EF=AP ， ∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．5．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案．【详解】解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴= ，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ， 16730∴∠=∠=∠=︒，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ：S △ABC ＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP ，MP ，根据SSS 定理可得△ANP ≌△AMP ，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB 的度数，再由AD 是∠BAC 的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC =60°；③根据∠1=∠B 可知AD =BD ，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD =12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP ，MP ．在△ANP 与△AMP 中，∵AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△AMP ，则∠CAD =∠BAD ，故AD 是∠BAC 的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠CAB =60°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB =30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC =60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B =30°，∴AD =BD ，∴点D 在AB 的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt △ACD中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ，S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ，∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故此选项正确． 故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．7．如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______．【答案】4．【解析】【分析】连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．【详解】解：连接BE ，BF ，∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，∴△ABD ≌△ACB ，∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，∴∠BCF=90°，∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，∴BE=BF ，在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩，∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），∴DE=CF ，设DE=x ，则CF=x ，∵AE=5，AF=13，∴AC=AD=5+x ，∴AF=5+2x ，∴5+2x=13，∴x=4，∴DE=4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．8．如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。
【精选】人教版数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷
4．如图，在平面直角坐标系中， 、 坐标为 、 ， 为线段 上的一点．
（1）如图1，若 为 的中点，点 、 分别是 、 边上的动点，且保持 ，则在点 、 运动的过程中，探究线段 、 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE．
∴ ×AF×DN=2× ×BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
综上所述：x= 或4
【点睛】
【详解】
（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：
如图1中，连接OP．
∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P为AB的中点，
∴OP= AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，
【分析】
（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；
（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA，
∴CG=CD，
人教版数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷
人教版数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】解：∵PD AB ，PE BC ∥∴四边形HBDP 是平行四边形∴PD=HB∵ABC 为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∵PE BC ∥∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE 是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE 是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．2．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm时，AOB的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC，OD，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③EF=AB；④12ABCAEPFS S∆=四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．4．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=． 故答案为：1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．5．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案．【详解】解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴=，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ，16730∴∠=∠=∠=︒，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．6．如图，点A,B,C 在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与BD,BE 交于点F,G ，连接FG ，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG ；④AD ⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．【详解】∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，∵BD BAABE DBCBE BC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；在△ABF和△DBG中，60BAF BDGAB DBABF DBG∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．7．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．【详解】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD BDDF DE⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE=12（11-5）=3．故答案为：3．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：∵M为EF中点，∴ME＝MF，在△BME和△GMF中，BM MGBME GMFME MF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BME≌△GMF（SAS），∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM，∴FG∥BE，∴∠C＝∠GFC，∵∠A+∠C＝180°，∠DFG+∠GFC＝180°，∴∠A＝∠DFG，∵AB＝BE，∴AB＝FG，在△DAB和△DFG中，AB FGA DFGAD DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△DFG（SAS），∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG，∵MG＝BM，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12， 故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．9．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD 交AC 于点E ，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC -CE=8-5=3，∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．【详解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．故答案为：64a．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．如图所示，在ABC中，AC BC=，90ACB︒∠=，AD平分BAC∠，BE AD⊥交AC的延长线F，E为垂足．则有：①AD BF=；②CF CD=；③AC CD AB+=；④BE CF=；⑤2BF BE=，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵AC BC=，90ACB︒∠=∴45CAB ABC︒∠=∠=∵AD平分BAC∠∴22.5BAE EAF︒∠=∠=∵90EAF F FBC F︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC∠=∠∴ADC BFC≅∴AD=BF，CF=CD，故①②正确；∵CD=CF，∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；∵三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．13．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴∠ABQ ＝∠EBQ ，∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠BEQ ，∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝12DE＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．14．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C【解析】【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题．【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°．∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH．∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯ B ．()20180,2(3)-⨯ C ．()20192(3),0⨯ D ．()20190,2(3)-⨯ 【答案】D【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．【详解】解：由题意可得，2242-3OB 1323322(3)⨯，OB 231= 323)⨯，…∵2018÷4=504…2，∴点B 2018在y 轴的负半轴上，∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯．故答案为：D ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．16．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且3，若点M 、N 分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．36B．33C．6 D．3【答案】D【解析】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=12OC=32，CH=3OH=3 2 ,∴CD=2CH=3．故选D．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．17．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．18．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，④由③易证△QPC是等边三角形，得到PQ=PC，等量代换得到BP=PQ，用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正确．【详解】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上．∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正确；∵PA=PA，PR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AS=AR，故②正确；∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；由③得：△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，∴PQ=PC．又∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∴BP=PQ．∵PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．19．如图, 在△DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°【答案】A【解析】【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解.【详解】解：如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，∴AB=BE，ACECD∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+∠EAC=180°∴∠BAD+∠EAC=60°∴.∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°；故选：A【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.20．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，故本题应选B.点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.。
全等三角形单元测试(能力提升卷)八年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题12.9全等三角形单元测试（能力提升卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•兴平市期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•南阳期末）如图，若AB＝AD，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠BCA＝∠DCA C．CB＝CD D．∠B＝∠D＝90°3．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D．两点之间线段最短4．（2022秋•长春期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30B．27C．35D．405．（2023秋•浉河区月考）根据下列条件，能判定△ABC≌△A'B'C'的是（）A．AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠A＝∠A'B．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，AC＝A'B'C．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，AC＝B'C'D．AB＝A'B'，BC＝B'C'，△ABC的周长等于△A'B'C'的周长6．（2023春•高青县期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2023春•渠县校级期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点8．（2023•西陵区模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，DF＝DC，△ADE和△ADF 的面积分别为a和b，则△DEC的面积为（）A ．a +bB ．a ﹣bC ．a+b 2D ．a−b 29．（2021秋•濮阳期末）如图，在△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠ABC ＝∠AEF ，∠EAB ＝40°，AB 交EF 于点D ，连接EB ．下列结论：①∠F AC ＝40°；②AF ＝AC ；③∠EBC ＝110°；④AD ＝AC ；⑤∠EFB ＝40°，正确的个数为（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．410．（2023春•桥西区期末）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，F 为BC 的延长线上一点，FG ⊥AE 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点G ，AC 的延长线交FG 于点H ．有下列结论：①∠DAE ＝∠F ；②2∠DAE ＝∠ABD ﹣∠ACE ；③S △AEB ：S △AEC ＝AB ：AC ；④∠AGH ＝∠BAE +∠ACB ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023秋•恩施市校级月考）如图，△ABO ≌△DCO ，B 、D 、A 、C 在同一直线上，AD ＝1，BC ＝9，则BD＝．12．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，若AB＝AC，AD＝AE，要判定△ABD≌△ACE，请添加一个条件．（只填一个）13．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥AB 于点E，若AC＝8，则AD+DE的值为．14．（2023春•抚州期末）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是．15．（2022秋•肇源县期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的有．（把你认为正确的序号都填上）16．（2022秋•天桥区期末）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ（不考虑PQ＝0的情况），当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．18．（2022秋•青川县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．19．（2022秋•郧阳区期中）如图，△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的对应边上的中线，AD与A'D'有什么关系？证明你的结论．20．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD 互补．（1）点D到∠ABC两边的距离是否相等？如果相等，请说明理由．（2）求证：AD＝CD．21．（2022秋•浏阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD＝DF．（Ⅰ）求证：CF＝AE；（Ⅱ）若AE＝3，BF＝4，求AB的长．22．（2021秋•新化县期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．23．（2021秋•交城县期末）如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，①BP＝厘米，CP＝厘米．（用含t的代数式表示）②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？。
【精品】人教版八年级数学上册第12章全等三角形单元测试(4)【3套】试题
人教版八年级数学上册第12章全等三角形单元测试(4)一、选择题1.下列说法中,错误的是( ) A.全等三角形的面积相等 B.全等三角形的周长相等 C.面积相等的三角形全等 D.面积不等的三角形不全等2.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ）A ．AB=3，BC=4，CA=8B ．AB=4，BC=3，∠A=30°C ．∠A=60°，∠B=45°，AB=4D ．∠C=90°，AB=63.在△ABC 和△A ′B ′C ′,如果满足条件( ),可得△ABC ≌△A ′B ′C ′ A.AB=A ′B ′,AC=A ′C ′,∠B=∠B ′ B.AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,∠A=∠A ′ C.AC=A ′C ′,BC=B ′C ′,∠C=∠C ′ D.AC=A ′C ′,BC=B ′C ′,∠B=∠B ′4．用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 5.下列四个条件中,能证明两个直角三角形全等的是( )A.两条边分别对应相等B.一条边、一个锐角分别对应相等C.两个锐角分别对应相等D.两条直角边分别对应相等6. 如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA ＝PB B ．PO 平分∠APBC ．OA ＝OBD ．AB 垂直平分OP7. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（） A ．①和② B ．②和③ C ．①和③ D ．①②③8.如图所示,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A.30° B.60° C.30°和60°之间 D.以上都不对12A BCD9.C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB ＝50º，∠ADB ＝80º,则∠CAD 为（ ）CA.15ºB.115ºC.15º或115ºD.30º或13º10.如图,∠1=∠2,∠C=∠D,AC与BD相交于点E,下面结论中错误的是( )A.∠DAE=∠CBEB.△DEA≌△CEBC.CE=DAD.△EAB是等腰三角形二、填空题11. 如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110º,∠B＝40º，则∠C1= ．12.如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是______ （写出一个即可）．13.如图，△ABC中，∠BAC＝120º,若PM、QN分别垂直平分AB、AC，那么∠PAQ＝_____,如果BC=10cm,则△APQ的周长为______cm.14.如图，已知∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,若BC=6cm，AC=5cm，AB=4cm，则CD=15.如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若BE=CF，则△ABE≌△，其依据是 .16. 已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.三、平心静气做17.如图，△ACF≌△DBE，AD＝9cm,BC=5cm,求AB的长.18. 太湖明珠”无锡要建特大城市,有人建议无锡(A)、江阴（B）、宜兴（C）三市共建一个国际机场，使飞机场到江阴、宜兴两城市距离相等，且到无锡市的距离最近.请你设计机场的位置（要保留作图痕迹哦！）.19. 如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.20.已知：如图，AB∥CD，DF交AC于E，交AB于F，DE=EF.求证：AE=EC.21.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：AD平分∠BAC．22.填空，完成下列证明过程．如图，ABC，=△中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD CE∠∠DEF B 求证：=ED EF．证明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE（），又∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠______＝∠______（等式性质）．在△EBD与△FCE中，∠______＝∠______（已证），______＝______（已知），∠B＝∠C（已知），∴EBD FCE△≌△( )．∴ED＝EF( )．23. 已知如图5，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来.（不要求说明理由）⑵小明说：欲证BE=CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE=AD，再证明△ADB•≌△AEC得到AB=AC，然后利用等式的性质即可得到BE=CD，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．⑶要得到BE=CD，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．参考答案:一、1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.C二、11.30º 12.AC=AE(或填∠C＝∠E或∠B＝∠D） 13. 60º,10 14. 4cm; 15. DCF，HL;16.7三、17.解:∵△ACF≌△DBE,∴AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.∵AD＝9cm,BC=5cm,∴AB+CD=AD-BC=4cm.∴AB=2cm.18.解:图如下,点P即为所求.19. ∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴在Rt△ABE和Rt△DCF中，AE=DF,AB=DC∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，所以∠ABC=∠DCB．20. 证明: ∵AB∥CD∴∠A=∠ECD, ∠AEF=∠CED,∴△AEF≌△CED(ASA),∴AE=CE.21.∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中，∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF,∴AD平分∠BAC(到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)22.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和，BDE，CEF，BDE，CEF，BD，CE，ASA，全等三角形对应边相等．23⑴△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOB≌△AOC，△ABD≌△ACE；⑵正确；⑶比如：可先证明△AOE≌△AOD得到OE=OD，再证明△BOE≌△COD得到BE=CD.人教版八年级数学（上）第12章《全等三角形》单元检测题(word 版有答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方法中，不能判定三角形全等的是( )A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAA 2．下列说法正确的是( )A ．两个等边三角形一定全等B ．腰对应相等的两个等腰三角形全等C ．形状相同的两个三角形全等D ．全等三角形的面积一定相等 3．如图，△ABE ≌△ACD ，∠B ＝50°，则∠C 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．25°D ．22．5°4．如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( ) A ．CB ＝CD B ．∠BCA ＝∠DCA C ．∠BAC ＝∠DAC D ．∠B ＝∠D ＝90° 5．用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则作出∠CAD ＝∠DAB 的依据是( ) A ．ASA B ．SAS C ．SSS D ．AAS6．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①，②，③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带( ) A ．① B ．② C ．①和② D ．③7．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2，AB ＝10cm ，AC ＝4cm ，则DE 的长是( ) A ．4cm B ．3cm C ．2cm D ．1cm 9．如图，△ABC 中BC 边上的高为h 1，△DEF 中DE 边上的高为h 2，下列结论正确的是( ) A ．h 1＝h 2 B ．h 1＜h 2 C ．h 1＞h 2 D ．无法确定10．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，按照图中所标注的数据，图中实线所围第3题图ABD E CD第4题图 ABC第5题图FAE DCBAE F第8题图 第6题图①② ③第9题图A2.4 65°BC 2.4115°D E F第10题图成的阴影部分面积是( )A ．56B ．50C ．38D ．32 二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，已知△ABC ≌△ADE ，若AB ＝7，AC ＝3，则BE 的长为 ．12．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1＝∠2，BC ＝EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是 (只需写出一个即可)．13．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，垂足分别为D ，E ，若BD ＝4，CE ＝2，则DE ＝ ．14．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 的值是 ．15．如图，在△ABC 中(AB ＜BC )，在BC 上截取BD ＝BA ，作∠ABC 的平分线与AD 相交于点P ，连接PC ，若△ABC 的面积为3，则△BPC 的面积为 ．16．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AC 交y 轴于点P ，已知A (m ，4)，B (5，2)，则点P 的坐标为 ． 三、解答题(共8小题，共72分)17．(本题8分)(教材变式⋅课本P 37页第1题改)如图，C 是线段AB 的中点，CD ＝BE ，CD ∥BE ．求证：∠D ＝∠E ．18．(本题8分)(教材变式⋅课本P 45第12题)如图，AB ∥CD ，E 是CD 上一点，BE 交AD 于点F ，EF ＝BF ．求证：AF ＝DF ．第13题图 BDA E C第11题图A E BDC 第12题图ABCFE12B第14题图O第15题图A BPD C第17题图ACBED19．(本题8分)(教材变式 课本P 43第2题)如图，E ，F 在AC 上，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，AD ＝CB ，AE ＝CF ，求证：AD ∥B C ．20．(本题8分)如图，在6×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点和点D ，E ，F ，G ，H ，K 均在格点上，现以D ，E ，F ，G ，H ，K 中的三个点为顶点画三角形． (1)在图1中画出一个三角形与△ABC 全等；(2)在图2中画出一个三角形与△ABC 面积相等但不全等．21．(本题8分)如图，CD ∥AF ，∠CDE ＝∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C ＝120°，∠E ＝80°，求∠F 的度数．第18题图ABFECD第19题图AF EBCD第21题图CDBAFE22．(本题10分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上一点(不与B ，C 两点重合)，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ． (1)已知∠BAC ＝90°，则∠BCE ＝90°；(2)如图2，设∠BAC ＝α，∠BCE ＝β，当点D 在线段BC 上移动时，α与β之间有怎样的数量关系?请说明理由．23．(本题10分)已知BF 平分△ABC 的外角∠ABE ，D 为BF 上一动点． (1)如图1，若DA ＝DC ，求证：∠ABC ＝∠ADC ；(2)如图2，在D 点运动过程中，试比较BA ＋BC 与DC ＋DA 的大小，并说明理由； (3)如图3，若DA ＝DC ，DG ⊥CE 于G ，且AB ＝8，BC ＝6，求GC 长．第22题图1AE第22题图2AE第23题图1AD BECF 第23题图2AD BECF 第23题图3ADBEC F24．(本题12分)在平面直角坐标系中，已知A(4，4)，B(4，0)，点D为x轴上的动点，连接AD，将AD绕A逆时针方向旋转90°到AE，连接OE交AB于点P．(1)如图1，当点D与点B重合时，求点P的坐标；(2)如图2，当点D运动到OB中点处时，求证：AP＝3BP；(3)如图3，已知点F(0，4)，当点D在x轴上运动时，连接OA，FD，在射线BA上取一点R，连接DR，FR，使得∠DFR＝∠AO B．试探究AR，DR，OD三者之间的数量关系．第24题图21-5DDBBC 6-10DCAAD11.412.CA＝FD13.614.2：3：415.1．516.(0，2)17.证明：△ACD≌△CBE(SAS)，∴∠D＝∠E．18.证：∵AB∥CD，∴∠B＝∠FED，∴△ABF≌△DEF，∴AF＝DF19.证明：△ADF≌△CBE(HL)．∴∠A＝∠C，∴AD∥B C．20.解：略．21.解：连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°．∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°．∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF．在四边形ADEF中，∠DAF＋∠EDA＋∠F＋∠E＝360°，∴∠F＋∠E＝210°，又∵∠E＝80°，∴∠F＝130°．22.解：α＋β＝180°，理由：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE．∴△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE，∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB，∴∠B＋∠ACB＝β，∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，∴α＋β＝180°．23.解：(1)过D作DM⊥BE于M，DN⊥AB于N，∵BF平分∠ABE，∴DM＝DN，∵DA＝DC，∴Rt△CDM≌Rt△ADN，∴∠DAB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠AD C．(2)BA＋BC＜DA＋DC，理由如下：在(1)中可得：BM＝BN，∴AB＋BC＝CM＋AN，∵AN＜AD，CM＜CD，∴AB＋BC＜AD＋C D．(3)过D作DH⊥AB于点H，∵BF平分∠ABE，∴DG＝DH，证Rt△ADH≌Rt△CDG(HL)，∴AH＝CG，证Rt△DGB≌Rt△DHB(HL)，∴GB＝BH，设GB＝BH＝x，则AB－x＝CB＋x，即8－x＝6＋x，解得x＝1，∴CG＝CB＋BG＝7．24.解：(1)P(4，2)；(2)过点E作EF⊥AB于F，∴△ABD≌△EFA(AAS)，∴AF＝DB＝OD＝2，EF＝AB＝4＝OB，∴△OBP≌△EFP(AAS)，∴FP＝BP＝1，∴AD＝2＋1－3，∴AP＝3PB；(3)简单的半角模型AR＋OD＝DR．人教版八年级上册《第12章.全等三角形》状元培优单元测试题一、选择题1、如图所示，△ABC与△DEF是全等三角形，即△ABC≌△DEF，那么图中相等的线段有( )．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2、如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD3、如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，得到以下结论：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP与AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）．A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE5、下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形6、如图，已知,，与交于点，于点，于点，那么图中全等的三角形有（）A.5对B.6对C.7对D.8对7、如图，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC B．AD=BC，BD=ACC．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC8、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确9、如图是两个全等三角形，则∠1=（）A．62° B．72° C．76° D．66°10、如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OAC等于( )A．65° B．95° C．45° D．100°11、数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线 B．一条高 C．一条角平分线D．不确定12、已知：如图，AB=AD，∠1=∠2，以下条件中，不能推出△ABC≌△ADE的是（）A．AE=AC B．∠B=∠D C．BC=DE D．∠C=∠E二、填空题13、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为底边AC中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=12，FC=5，EF长为．14、如图，已知，，，则．15、如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.16、如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .17、如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB.AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE.CF和EF，则下列结论中一定成立的是________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF=∠EAF；④EF⊥CD．三、简答题18、如图，在△ADF和△BCE中，AF=BE,AC=BD,∠A=∠B,∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm.求：（1）∠1的度数;（2）AC的长.19、如图，在平面直角坐标系中A.B坐标分别为（2，0），（－1，3），若△OAC与△OAB全等，（1）试尽可能多的写出点C的坐标；（2）在⑴的结果中请找出与（1，0）成中心对称的两个点。
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．
【详解】
选取①②:
在 和 中
选取①④:
在 和 中
选取③④:
在 和 中
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在等边 中取点 使得 ， ， 的长分别为3，4，5，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60 得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90 ，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的 倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝ ×32＋ ×3×4＝ ．
即得到∠DEC=α=15°，
故选C.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．
14．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
全等三角形培优单元检测卷(八年级上)
全等三角形单元检测卷一．选择题：（每小题4分，共48分）1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A ．3，5，7 B ．3，6，10C ．5，5，11D ．5，6，112．如图，△ABC 中AC 边上的高是哪条垂线段（ ） A ．AE B ．CD C ．BFD ．AF3．如图，在直角坐标系中，AD 平分∠BAO ，点D 的坐标是(0，-3)，那么点D 到AB 的距离是（ ） A ．3B ．-3C ．2D ．-24．如图，小明的三角板损坏了一角，如果他想画一个一模一样的三角形，那么他画图的依据是( )A ．SASB ．ASAC ．HLD ．SSS 5．如图，△ABC ≌△DEC ，A 和D ，B 和E 是对应点,点B ，C ，D 在同一直线上，且CE=5，AC=7，则BD 的长为( ) A ．12 B ．7 C ．2 D ．146．如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD 于D ，连接DC ，若S △ADC =18cm 2，则S △ABC = ( ) A ．18cm 2 B ．24cm 2 C ．36cm 2 D ．48cm 27．如图，∠B ＝∠C ＝90°，DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ，CB ＝10，则点M 到AD 的距离为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，垂足分别为E ，D ，AD ＝25，DE ＝17，则BE ＝（ ） A ．4B ．7C ．8D ．109．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，△ABC 的周长为16，S △ABC =24，则点O 到直线BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第2题图第3题图第4题图第5题图第6题图BA D C第7题图第9题图第8题图10．如图，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，BC ＝2，AC ＝CD ，则△BCD 的面积为（ ） A ．1.5B ．2C ．2.6D ．311．如图，BC ⊥CE ，BC =CE ，AC ⊥CD ，AC =CD ，DE 交AC 的延长线于点M ，M 是DE 中点，若AB =8，则CM 长为 （ ） A ．3.2B ．3.6C ．4D ．4.812．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，连接MD ，过点D 作DN ⊥MD ，交BM 于点N ，CD 与BM 交于点E ．下列结论：①∠ABM ＝∠ACD ；②DM ＝DN ；③∠AMD ＝45°；④S △EDN ＝S △ADM ．其中正确结论是（ ） A ．①②④ B ．①③④C ．②③④D ．①②③④二．填空题：（每小题4分，共24分）13．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 ．14．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠E ，BF =CE ，添加一个条件后，使△ABC ≌△DEF 的依据是“SAS ”，则添加的条件是 ．15．如图，在四边形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE 平分∠BAD ，且∠AED ＝90°，若CD ＝2AB ，AD ＝18，则AB ＝ ． 16．如图，在△ABC 中，D 是它的角平分线，8cm AB =，6cm AC =，则:ABD ACD S S =△△ ．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 的坐标是（0，3），把线段AP 绕点P 逆时针旋转90°后得到线段PQ ，则点Q 的坐标是__________．18．如图，△ABC 的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，PE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．若△ABC 的周长为11，PE=2，S △BPC =2，则S △ABC = ．第11题图第10题图第12题图第15题图第13题图A BC DEF第14题图第17题图第18题图第16题图三．解答题：（共78分）19．（8分）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．20．（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．21．（10分）已知，如图，△ABC为等边三角形，D是BC延长线上一点，联结AD，以AD为边作等边三角形ADE，联结CE，用你学过的知识探索AC，CD，CE三条线段之间的数量关系，试写出探究过程．22．（10分）如图所示，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动；将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a．猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为多少？简述证明主要思路．23．（12分）如图，已知△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 与点E 都在射线AP 上，且CD=CE ，∠DCE =90°． （1）说明AD=BE 的理由； （2）说明BE ⊥AE 的理由．24．（12分）以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC ，△ADE ），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD ，CE ． （1）说明BD ＝CE ；（2）延长BD ，交CE 于点F ，求△BFC 的度数； （3）若如图2放置，上面的两个结论还成立吗？请简单说明理由．25．（14分）在直线m 上依次取互不重合的三个点D ，A ，E ，在直线m 上方有AB =AC ，且满足∠BDA =∠AEC =∠BAC =α．（1）如图1，当90α=︒时，猜想线段DE ，BD ，CE 之间的数量关系是____________；（2）如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图3，在△ABC 中，∠BAC 是钝角，AB =AC ，∠BDA<∠C AE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若BC =3FB ，△ABC 的面积是12，求△FBD 与△ACE 的面积之和．。
人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷
-X八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1.已知0P平分ZAOB, ZDCE的顶点C在射线0P上，射线CD交射线0A于点F,射线 CE交射线0B于点G.（1）如图1，若CD丄OA, CE丄0B,请直接写岀线段CF与CG的数呈:关系；（2）如图2,若ZAOB=120e, ZDCE=ZAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由・【答案】（1）CF二CG；（2） CF二CG,见解析【解析】【分析】（1）结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.⑵结论：CF二CG,作CM丄0A于CN丄OB于N,证明△ CMF^ACNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：VOP 平分ZAOB, CF丄OA, CG丄0B,・・・CF=CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF二CG•理由如下:如图，TOP 平分ZAOB, CM丄OA, CN丄OB, ZAOB二220叫・・.CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）， A ZAOC=ZBOC=60^ （角平分线的性质）， VZDCE=ZAOC,••• Z AOC= Z BOC= Z DCE=605,••• ZMCO=905-605 二30签 ZNCO=905-605 =30監.•.ZMCN=305+30^=605,AZMCN=ZDCE,I ZMCF=ZMCN-ZDCN, ZNCG二ZDCE-ZDCN,AZMCF=ZNCG,在AMCF 和ZkNCG 中，ZCMF =乙 CNGCM = CN乙 MCF =乙 NCGA A MCF^A NCG (ASA),・・・CF=CG (全等三角形对应边相等)：【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等.2.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA二PE, PE 交 CD 于 F(1)证明:PC=PE；(2)求z CPE的度数：(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,苴他条件不变，当Z ABC二120。
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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12．（1）求m和n的值．（2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE．（3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．【答案】（1）42mn=-⎧⎨=⎩（2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．【解析】【分析】（1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝25，利用SAS可证△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证；（3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明△ABH≌△CAN，即可得到结论.【详解】解：（1）由题意()()218122m nn m m--=⎧⎪⎨++-=⎪⎩解得42mn=-⎧⎨=⎩；（2）如图2中，由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），∴AD＝OA ＝4，OB ＝2，∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25，∵AC ＝OC ＝2，∴AC ＝OB ，∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ，∴△DAC ≌△AOB （SAS ），∴∠ADC ＝∠BAO ，∵∠ADC +∠ACD ＝90°，∴∠EAC +∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ，∴S △ADB ＝12•AB •AE ＝12•BD •AF ， ∵AB ＝BD ，∴DE ＝AF ．（3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，∵AG ＝BG ，∴∠GAB ＝∠GBA ，∵G 为射线AD 上的一点，∴AG ∥y 轴，∴∠GAB ＝∠ABC ，∴∠ACB ＝∠EBA ，∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ，即∠ABG ＝∠ACN ，∵∠GAN ＝∠GBO ，∴∠AGB ＝∠ANC ，在△ABG 与△ACN 中，ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ），∴BF ＝CN ，∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，∵OB＝2∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．【点睛】本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE2；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE2．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM＝EM，∠AME＝90°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°∴CN=AN=12AB，∠ANC＝90°，∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，∴四边形MFNA为平行四边形，∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，∴∠EMF＝∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，∴∠FCN+∠PFC＝90°，∴∠EFM+∠PFC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE2．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE ．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，BF FAFB AFGAF AFG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，在△CGA和△CDA中，GCA DCACGA CDAAG AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．4．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．【详解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵DBG DCF BD CDBDG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．5．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB 得出△ABP ≌△CBP ，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP ，∠DAP=∠DCP ，根据PA=PE 得出∠DAP=∠E ，即∠DCP=∠E ，易得答案；(3)、首先证明△ABP 和△CBP 全等，然后得出PA=PC ，∠BAP=∠BCP ，然后得出∠DCP=∠E ，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC 是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP 和△CBP 中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ）， ∴PA=PC ，∵PA=PE ，∴PC=PE ；(2)、由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP=∠BCP ，∴∠DAP=∠DCP ，∵PA=PE ， ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E ， ∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等），∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ， 即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP ＝CE理由是：在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP ，在△ABP 和△CBP 中， 又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA=PC ，∠BAP=∠DCP ，∵PA=PE ，∴PC=PE ，∴∠DAP=∠DCP ， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴AP=CE考点：三角形全等的证明6．综合实践如图①，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为点D E 、，2.5, 1.7AD cm DE cm ==．（1）求BE 的长；（2）将CE 所在直线旋转到ABC ∆的外部，如图②，猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）如图③，将图①中的条件改为：在ABC ∆中，,AC BC D C E =、、三点在同一直线上，并且BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角．猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE ，证明见解析．【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，再根据2.5, 1.7AD cm DE cm ==，CD CE DE =-，易求出BE 的值；(2)先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，由图②ED=EC+CD ，等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系；（３）本题先证明EBC DCA ∠=∠，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅，从而得到,BE CD EC AD ==，再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系．【详解】解：(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∵90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠ 在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCEAC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==， 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∴90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠=∴180BCE ACD a ︒∠+∠=-180BCE BCE a ︒∠+∠=-∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中， ADC E a ACD BCE AC BC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．7．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示)（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53v =【解析】【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值．【详解】解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为：()122t -（2）∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得2v =．②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t = 解得3t =∴3CQ vcm =∵5AB CQ cm ==∴35v =解得53v =． 综上所述，当2v =或53v =时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．8．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12BC ． 理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝12BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC ≌△CHA ，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC 折叠（如图3），点A 与点D 重合，折痕为EF ，此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形．BE ＝DE ，CF ＝DF ．由勾股定理可知DE 2+DF 2＝EF 2，因此BE 2+CF 2＝EF 2，若图2中△ABC 也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF 绕着点D 旋转（如图5），射线DE 、DF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF 也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF 2＝BE 2+CF 2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B +∠ACB ＝90°，∴∠ACB +∠HCD ＝90°，∴∠FCH ＝90°，∴FH 2＝CF 2+CH 2，∵DF ⊥EH ，ED ＝DH ，∴EF ＝FH ，∴EF 2＝BE 2+CF 2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF 2＝BE 2+CF 2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，OC OA ∴=，OAC ACO α∴∠=∠=180EAC DCB α∴∠=∠︒=-，AC BC =，AE CD =，AEC CDB ∴∆≅∆，E D ∴∠=∠，BFE D DCF E ECA OAC α∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．10．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌，∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.。