统编人教A版高中必修第二册《9.2 用样本估计总体》名校精品导学案
人教A版数学必修第二册第九章《9.2 用样本估计总体》同步讲义
人教A 版数学必修第二册第九章《统计》同步讲义9.2 用样本估计总体一.总体取值规律的估计（一）作频率分布直方图的步骤1.求极差：2.决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.3.将数据分组4.列频率分布表：各小组的频率＝5.画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝ ＝频率.（二）频率分布直方图的性质1.因为小矩形的面积＝ ＝ ，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.3.频数相应的频率＝样本容量.二．常见统计图表的特点与区别1.扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小2.条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据。
3.直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，直方图适用于描述连续型数据.4.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势.三．总体百分位数的估计1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p %的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p )%的数据大于或等于这个值.2.常用的百分位数(1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数.(2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数.3.计算一组n 个数据的第p百分位数的一般步骤如下：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i ＝n ×p %；第3步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数.四．总体集中趋势的估计（一）众数、中位数、平均数1.众数：一组数据中出现次数最多的数.2.中位数：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数．3.平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.（二）频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x 轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 五．总体离散程度的估计1.假设一组数据为x 1，x 2，…x n ，则这组数据的平均数＝ ，方差为标准差2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，总体平均数为，则称为总体方差，S ＝S 2为总体标准差.3.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.4.分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x 1，x 2，…，x n ，方差分别为s 21，s 2，…，s 2n ，相应的权重分别为w 1，w 2，…，w n，则这个样本的方差为x s =Y n22i i 11S (Y Y)N ==-∑n222ii i i 1S w [S(x x)]==+-∑题型一 总体取值规律的估计【例1-1】（2023·全国·高一专题练习）在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：（单位：万元）.统计后制成的频率分布直方图如图所示.在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（ ）A ．800B ．600C ．700D ．750【例1-2】（2023天津）从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为（ ）A ．45B ．46C ．54D ．70【例1-3】（2023·江苏）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）[)[)[)[)[)5,1010,1515,2020,2525,30，，，，[)10,2050350kW h ⋅:[100,200)A ．16B ．30C ．32D ．62【例1-4】（2023云南）下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：‰），根据下图，则（ ）A ．这10年的人口出生率逐年下降B ．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45%C ．这10年的人口出生率的80%分位数为13.57‰D ．这10年的人口出生率的平均数小于12‰题型二 总体百位分数的估计【例2-1】（2023·辽宁）某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（ ）A ．290B ．295C ．300D ．330【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（）[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]A ．55B ．57.25C ．58.75D ．60题型三 总体集中趋势的估计【例3-1】（2023上海徐汇）军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图（成绩的十位数为“茎”，个位数为“叶”），并给出下列三个结论：①甲的成绩的极差是29；②乙的成绩的中位数是18；③乙的成绩的众数是22．则三个结论中，正确结论个数为（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0【例3-2】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（ ）A ．B ．C ．D ．【例3-3】（2023春·浙江温州）（多选）《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质a b c <<b a c <<a c b <<b<c<a量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，．则下列说法正确的是（ ）A ．估计该样本的众数是B ．估计该样本的均值是C ．估计该样本的中位数是D ．若测试成绩达到分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为人题型四 总体离散程度的估计【例4-1】（2023·高一课时练习）两名运动员在某次测试的6次成绩如图所示，则两人平均数与方差的关系是（ ）A ．甲的平均数大，方差小B ．平均数相等，甲方差大C ．平均数相等，甲方差小D ．平均数和方差都相等【例4-2】（2023 浙江湖州 ）（多选）为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车､自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（）4000[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)87.58086852200A ．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B ．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟C ．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值D ．坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值【例4-3】（2023内蒙古赤峰·）甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高B ．甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低C ．乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高D ．乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低【例4-4】（2023 北京·高一校考期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）A ．若数据，方差，则所有的数据都为0B ．若数据，的平均数为，则的平均数为6C ．若数据，的方差为，则的方差为12D ．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于9012,,,n x x x 12,,,n x x x x 2s 12,,,n x x x 20s =()1,2,,i x i n = 12,,,n x x x 3x =()211,2,,i i y x i n =+= 12,,,n x x x 23s =()211,2,,i i y x i n =+= 12,,,n x x x 25%75%答案解析一.总体取值规律的估计（一）作频率分布直方图的步骤1.求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.2.决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.3.将数据分组4.列频率分布表：各小组的频率＝小组频数样本容量.5.画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.（二）频率分布直方图的性质1.因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.3.频数相应的频率＝样本容量.二．常见统计图表的特点与区别1.扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小2.条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据。
高中数学必修二 9 2 2 总体百分数的估计 导学案
【新教材】9.2.2 总体百分数的估计（人教A版）1.理解百分位数的统计含义．2.会求样本数据的第p百分位数.1．数学抽象：百分位数的统计含义；2．数学运算：求样本数据的第p百分位数.重点：①百分位数的统计含义；②求样本数据的第p百分位数.难点：求样本数据的第p百分位数.一、预习导入阅读课本201-203页，填写。
1.第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．2.计算第p百分位数的步骤第1步，按从到排列原始数据．第2步，计算i＝.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的．3.四分位数常用的分位数有第百分位数、第百分位数、第百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成份，因此称为四分位数．其中第百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．1．一组数据的中位数相当于是()A．第25百分位数B．第50百分位数C．第75百分位数D．第95百分位数2．求下列一组数据1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的第30 百分位数()A．2B．3C．4 D．2.53．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的数据如下：27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36.则他的最大速度的第一四分位数是()A．27.5 B．28.5C．29.5 D．30.54．下表所给数据的第85百分位数为________.2 3 4 5 62 9503 0502 8802 7552 710891011123 1302 9403 3252 9202 880题型一百分位数在具体数据中的应用例1有一样本的数据为3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925,求这组数据的第50百分位数和第75百分位数.跟踪训练一1.某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．题型二百分位数在统计表或统计图中的应用例2根据表1或图1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．分组频数累积频数频率[1.2,4.2)正正正正230.23[4.2,7.2)正正正正正正320.32[7.2,10.2)正正130.13[10.2,13.2)正90.09[13.2,16.2)正90.09[16.2,19.2)正50.05[19.2,22.2)30.03[22.2,25.2)40.04[25.2,28.2]20.02合计100 1.00表1跟踪训练二1.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?1．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是()A. 这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数2．高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170,168,172,172,175,176,180，求这7人的第40的百分位数为()A．168B．170C．172 D．1713.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的第80百分位是()A．90B．90.5C．91D．91.54．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为．5.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数．(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．答案小试牛刀1. B.2．A.3．C.4.3130自主探究例1【答案】第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.【解析】(1)∵i=50%×11=5.5,∴第50百分位数是第6项的值3520.= 8.25,(2)∵i=0.75×11=334∴第75百分位数是第9项的值,即3650.所以第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.跟踪训练一1.【答案】学生甲的第25,50的百分位数为76,88.学生乙的第25,50的百分位数为86,98.【解析】把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.可得数据的第25,50百分位数为第4,7项数据，即学生甲的第25,50的百分位数为76,88.学生乙的第25,50的百分位数为86,98.例2【答案】月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.【解析】由表1可知，月均用水量在13.2 t 以下的居民用户所占比例为23%＋32%＋13%＋9%＝77%. 在16.2 t 以下的居民用户所占的比例为 77%＋9%＝86%.因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内．由 13.2＋3×0.80－0.770.86－0.77＝14.2，可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2. 类似地，由22.2＋3×0.95－0.940.98－0.94＝22.95，可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95. 跟踪训练二1.【答案】第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm .. 【解析】 由题意知分别落在各区间上的频数为在[80,90)上有60×0.15=9, 在[90,100)上有60×0.25=15, 在[100,110)上有60×0.3=18, 在[110,120)上有60×0.2=12, 在[120,130]上有60×0.1=6.从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,由100+10×0.5-0.40.7-0.4=100+103≈103.3;第75百分位数一定落在区间[110,120)上,由110+10×0.75-0.70.9-0.7=110+104=112.5;综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm . 当堂检测1-3. CCB 4.1009. 5．【答案】 (1)第25百分位数是8.15，第75百分位数是8.75，第95百分位数是9.9.(2)产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.(3)质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于8.5 g 且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 g 的珍珠为特优品． 【解析】(1)将所有数据从小到大排列，得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4， 则第25百分位数是8.0＋8.32＝8.15，第75百分位数是8.6＋8.92＝8.75，第95百分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9. 即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g ，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于8.5 g 且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 g 的珍珠为特优品．。
9.2.2--总体百分位数的估计--教案-高中数学人教A版
9.2.2总体百分位数的估计一、内容和内容解析内容：总体百分位数的估计．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第九章第2节第2课时的内容．本节内容是抽样的基础上，对统计的数据进行分析，同时，利用样本数据估计总体情况，主要针对频率分布表和频率分布直方图进行统计分析的学习．通过对百分位数概念的学习，让学生尝试运用总体百分位数的估计来解决实际问题，体会总体百分位数的估计的意义和作用，体会用样本估计总体的思想与方法。
从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养．二、目标和目标解析目标：（1）理解百分位数的统计含义．（2）会求样本数据的第p百分位数．目标解析：（1）百分位数直观上比较容易理解，它把一组按大小排列的数据分成相应百分比的两部分．不管是对有限总体，还是从总体中抽取的样本，观测得到的都是一组数据.（2）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节的教学中，利用电子表格进行求解百分位数，同时在具体问题中学习百分位数，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：结合实例，能用样本估计百分位数．三、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、实践理解并会求百分位数，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用情境教学．既可以帮助学生理解，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视百分位数统计含义，让学生体会到应用知识解决问题的基本过程，同时，求具体问题百分位数的过程其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．四、教学过程与设计估计参赛学生的成绩的25%,90%分位数．[课堂练习1]某中学从高一年级中抽取了30名男生，测量其体重，数据如下(单位：千克)：62 60 59 59 59 58 58 57 57 5756 56 56 56 56 56 55 55 55 5454 54 53 53 52 52 51 50 49 48(1)求这30名男生体重的25%,75%分位数；(2)估计本校高一男生体重的第80百分位数．[课堂练习2]为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?教师10：提出问题7．学生10：学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.C 2.8.4 3.100 9排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 2.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________. 3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________.答案：1.C 2.8.4 3.1009。
9.2.2总体百分数的估计(教案)-2022-2023学年人教A版(2019)高中数学必修第二册
9.2.2总体百分数的估计一、教学目标1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.2.掌握求一组数据的百分位的基本步骤：3.通过对总体百分数的估计的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点1.理解百分位数的概念及其简单应用2.求样本数据的第p百分位数.三、教学过程：（1）创设情景阅读课本，完成下列填空。
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有_________的数据大于或等于这个值.（2）新知探究问题1:计算一组n个数据的第p百分位数有哪些具体步骤?学生回答,教师点拨并(提出本节课所学内容)（3）新知建构第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.计算第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第项与第(i+1)项数据的平均数.（4）数学运用例1.现有甲、乙两组数据如下表所示．组试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．【解析】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15. 因此，甲组数的25%分位数为x 5＋x 62＝2＋32＝2.5；甲组数的75%分位数为x 15＋x 162＝9＋102＝9.5.乙组数的25%分位数为x 5＋x 62＝1＋12＝1，乙组的75%分位数为x 15＋x 162＝10＋142＝12.变式训练1:某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（ ）A ．12.25%B ．16.25%C ．11.25%D ．9.25%【答案】B【解析】由图2知，水、电支出占水、电、交通支出的比例为2004501320045015016+=++，由图1知，水、电、交通支出占学校一个学期总开支的比例为15，因此，该学期的水电费开支占总开支的百分比为1311316.25%16580⨯==，故选：B 。
2024-2025学年新教材高中数学第九章统计9.2用样本估计总体(1)教案新人教A版必修第二册
将学生分成若干小组，每组选择一个与样本估计总体相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5. 课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对样本估计总体的认识和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。
在讲解基础知识时，我详细介绍了样本估计总体的方法和原理，并通过图表和示意图帮助学生理解。但课后我发现，部分学生对于如何应用这些方法仍然感到困惑。针对这一点，我计划在课堂上增加更多的实际案例分析，让学生在实践中掌握这些方法。
在案例分析环节，我选择了几个典型的案例进行讲解，但课后反馈显示，学生对于如何将所学知识应用到实际问题中仍然有些迷茫。因此，我计划在未来的教学中，增加更多的互动环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和解决方案。
（2）鼓励学生参加数学建模竞赛或统计学竞赛，将所学知识应用于实际问题解决，培养创新意识和实践能力。
（3）引导学生关注生活中的统计学应用，如购物时的折扣计算、健康饮食的统计分析等，提高对统计学的认识和兴趣。
（4）推荐学生阅读统计学相关的科普书籍，如《大数据时代》、《数据的奇幻之旅》等，拓宽视野，培养数据素养。
4. 利用数学软件或工具辅助教学，如计算器、统计软件等，帮助学生更直观地展示样本数据和估计结果，增强实践操作能力。
教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
目标：引起学生对“用样本估计总体”的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道什么是样本估计总体吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于统计学应用的图片或视频片段，如彩票中奖概率、天气预报等，让学生初步感受统计学的魅力或特点。
9.2.2总体百分位数的估计+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
9.2.2总体百分位数的估计一、教学目标1．结合实例，理解百分位数的定义，会求一组数据的第p百分位数，发展数据分析的核心素养．2．让学生体会用样本百分位数估计总体百分位数的思想，提高分析问题和解决问题的能力．3．通过具体实例，让学生体会百分位数在实际生活中的应用．引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．4．学会利用Excel软件计算百分位数的方法，体会信息技术是学习统计的有效辅助手段．二、教学重点用样本百分位数估计总体百分位数．三、教学难点百分位数的统计含义，以及统计图、表中百分位数的计算方法．四、教学过程（一）创设情境，引入新知师：同学们，你们知道家里每月用多少吨水吗？你们知道家里的水费按照什么标准收取吗？课后大家可以去调查一下。
平时打开水龙头用水很方便，但实际上，我国是世界上严重缺水的国家之一，为了减少水资源的浪费，很多地方都实施阶梯水价制度。
问题：如果某市政府希望使80%的居民用户生活用水支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？追问：如何理解使80%的居民用户生活用水支出不受影响？师生活动：教师引导，学生思考.根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，超过a的占20%．如何确定这个数a呢？【设计意图】结合前面的学习，继续对居民用户月均用水量的样本数据进行分析处理，引导学生经历分析一个案例的完整过程，进一步发展学生的数据分析意识与能力．思考1：在前面的100个样本数据中，怎么去找这个数a呢？在我们以往的学习过程中遇到过类似的问题吗？（中位数）思考2：一组数据的中位数怎么找？举例：求1，2，4，5 和1，2，2，4，5的中位数．师生活动：教师引导学生思考分析，求相应的中位数．【设计意图】通过问题链的形式将原问题转化为求100个数据的某个位置的数，利用已有的知识探究新知．（二）独思共议，探究新知师：中位数是有50%的数据不超过这个数，50%的数据超过这个数.中位数又称为第50百分位数，或者50%分位数.对于前面问题中要找的数a，即有80%的数据不超过这个数，20%的数据超过这个数，数a称为第80百分位数，或者80%分位数.进一步，你能归纳第p百分位数的定义吗？师生活动：教师板书“1.百分位数的定义”，学生小组讨论，归纳第p百分位数的定义，由学生在黑板上展示想法．预设：学生可能不会想到百分位数定义中的“至少”，师生活动：提示学生1，2，2，4，5的中位数为2，小于等于2的有60%，大于等于2的有80%，引导学生得到百分位数定义中“至少”的概念．百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值．【设计意图】结合实例，在学生理解中位数所在位置的基础上，引出第80百分位数，进一步归纳第p百分位数的定义，体会由特殊到一般的数学思想.追问：除了中位数外，还有哪些重要的百分位数呢?师生活动：教师引导给出结论.在实际应用中除了中位数外，常用的百分位数还有第25百分位数和第75百分位数．这三个百分位数把一组由小到大排列的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第九章 统计 总体取值规律的估计 总体百分位数的估计
角度1扇形图
【例2】 下图是A,B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统
计图:
(1)从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多?为什么?
(2)已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件,收到的书法作品比B学校
的少100件,请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件?
提示 不一定,如微思考第1题中的百分位数都不在该组数据中.
,第75百
重难探究•能力素养全提升
问题1:收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息.然而,在实际问题中的数据
往往杂乱无章,很难直接从原始数据中发现规律.那么如何对数据进行整
理、直观描述以及数据分析,以发现总体取值规律?
探究点一 频率分布直方图的绘制
规律方法
在条形图中,各个矩形图的高度必须以数据为准,它直观反映了
各部分在总体中所占比重的大小.
角度3折线图
【例4】 小明同学因发热而住院,下图是根据护士为他测量的体温所绘制
的体温折线图.
根据图中的信息,回答以下问题:
(1)护士每几小时给小明测量一次体温?
(2)近三天来,小明的最高体温、最低体温分别是多少?
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分的比例.
解 在这100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.取组距
55
为5,则组数为 5
=11.
(1)频率分布表如下:
分组
频数累计
频数
频率
频率/组距
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
6
《9.2 用样本估计总体》教学导学案(统编人教A版)
9.2.1总体取值规律的估计知识点一频率分布表与频率分布直方图1．一般地，当总体很大或不便获取时，用□01样本的频率分布估计□02总体的频率分布．把反应总体频率分布的表格称为□03频率分布表．2．把表示□04样本数据分布规律的图形称为□05频率分布直方图．3．制作频率分布表与频率分布直方图的一般步骤：(1)求极差，即计算□06最大值与最小值的差．(2)决定□07组距与组数．(3)将数据□08分组．(4)列□09频率分布表．(5)画频率分布直方图．知识点二常用的统计图1．条形图条形图能清楚地表示出每个项目的□01具体数量．2．折线图折线图能够清晰地反映数据的□02变化趋势或情况．3．扇形图扇形图能直观、生动地反映各部分在总体中所占的□03比例情况．1．频率分布直方图能够直观、形象地反映样本的分布规律，可以大致估计出总体的分布，但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．在频率分布直方图中，由于长方形的面积S＝组距×频率组距＝频率，所以各个小长方形的面积表示相应各组的频率，这样频率分布直方图就以面积的形式反映了数据在各个小组的频率的大小，各个小长方形的面积总和等于1.2．一般地，样本量越大，这种估计就越精确．总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；(2)“图”(频率分布直方图)．提醒：直方图的纵轴(小长方形的高)一般是频率除以组距的商，横轴一般是数据的大小，小长方形的面积表示频率．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)频率分布直方图的纵轴表示频率．()(2)数据落在各小组内的频率用各小组频数样本量来表示．()(3)频率分布直方图把样本数据落在各小组的比例大小直观化，更有利于我们从整体上把握数据分布的特点．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：组号12345678频数1013x 141513129 则第A．0.03 B．0.07C．0.14 D．0.21(2)一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频率和频数分别为0.125和40，则n的值为()A．640 B．320C．240 D．160(3)一个容量为20的样本，分组后，组距与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则样本在[10,50)上的频率为()A.120 B.14 C.12 D.710(4)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的底部周长小于100 cm.答案(1)C(2)B(3)D(4)24题型一频率分布直方图的画法例1从某校高一年级1002名新生中随机抽取一个容量为100的身高样本，数据如下(单位：cm)，试作出该样本的频率分布表和频率分布直方图．168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174171165179163172180174168164174171165179163169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166[解](1)在全部数据中找出最大值180，最小值151，计算极差＝180－151＝29.(2)取组距为3，则组数为293≈10.(3)从第一组[150.5,153.5)开始，统计出各组的频数，再计算各组的频率，并将结果填入下表：频率分布直方图如图．绘制频率分布直方图的注意事项(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65，52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51，54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70.(1)将数据分为7组，列出频率分布表，并画出相应的频率分布直方图；(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．解(1)以4为组距，列频率分布表如下：分组频数频率[42,46)20.0444[46,50)70.1555[50,54)80.1778[54,58)160.3556[58,62)50.1111[62,66)40.0889[66,70]30.0667合计45 1.0000画出相应的频率分布直方图，如图所示．(2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁及45岁以下和65岁以上就任的总统所占的比例相对较小.题型二频率分布直方图的应用例2为了迎接某市作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人进行问卷调查，调查项目是自己对该市各方面卫生情况的满意度(假设被问卷的路人回答是客观的)，以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于50分的分成五段：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：(1)求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数；(2)估计全市市民满意度在60分及以上的百分比．[解](1)因为各组的频率之和等于1，故低于50分的频率为f＝1－(0.015×2＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.1，故低于50分的人数为60×0.1＝6.(2)依题意，60分及以上的频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽样满意度在60分及以上的百分比为75%.于是，可以估计全市市民满意度在60分及以上的百分比为75%.频率分布直方图的应用频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，其中：(1)频率分布直方图中纵轴表示频率组距；(2)频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于频率，各个小长方形的面积之和为1；(3)长方形的高的比也就是频率之比．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．答案0.030 3解析因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由图可知身高在[120,150]内的学生人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为1860×10＝3.题型三统计图表的应用例3某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？[解](1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对50名学生进行了抽样调查．(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的1850×100%＝36%.(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1000(人)，850×100%×1000＝160(人)，所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.(1)柱形图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成高度不同的小矩形，然后把这些小矩形按照一定的顺序排列起来．其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即柱形图能清楚地表示出每个项目的具体数目．(2)扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数．总之，用图表来表示数量关系更生动形象、具体，使人一目了然．下表给出了2018年A，B两地的降水量(单位：mm)：(1)根据统计表绘制折线图；(2)根据折线图比较A，B两地的降水量，分析哪个地方的降水量较大？解(1)建立直角坐标系，用横坐标上的点表示月份，用纵坐标上的点表示降水量，描出每个月份对应的点，然后用直线段顺次连接相邻的点，得到折线统计图如图表示．(2)观察折线图，从整体上看，B地降水量较大．1．反映某种股票的涨跌情况，应选择()A．条形图B．折线图C．扇形图D．三种图均可答案 B解析条形图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数，折线图主要用于描述数据随时间变化的趋势，扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例．故选B.2．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18答案 C解析志愿者的总人数为20(0.24＋0.16)×1＝50，所以第三组的人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12.3．一个频率分布表(样本量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为()A．14 B．15C．16 D．17答案 B解析∵样本中数据在[20,60)内的频率为0.8，∴样本数据在[20,60)内的频数为30×0.8＝24，∴样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为24－4－5＝15.4．某电子商务公司对10000名网络购物者2019年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．答案(1)3.0(2)6000解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2.0×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.0，消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2.0×0.1＋3.0×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000.5．从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；(4)估计成绩在80分以下的学生比例．解(1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合计50 1(2)频率分布直方图如图所示．(3)样本中成绩在[60,90)分的学生比例为0.20＋0.30＋0.24＝0.74＝74%.由样本估计总体，成绩在[60,90)分的学生约占74%.(4)样本中成绩在80分以下学生比例为1－(0.24＋0.16)＝1－0.4＝0.6＝60%.由样本估计总体，成绩在80分以下的学生约占60%.。
9.2.3 总体集中趋势的估计 导学案(1)-人教A版高中数学必修第二册
那么x=1那么x=19.2.3总体集中趋势的估计1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．2.会求样本数据的众数、中位数、平均数．3.理解集中趋势参数的统计含义.重点：会求样本数据的众数、中位数、平均数．难点：理解集中趋势参数的统计含义.一、温故知新1、定义:一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤:第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i=n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3、根据频率分布直方图（频率分布表）计算样本数据的百分位数：首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．（①唯一；②不一定是样本数据中的某个数）平均数：一般地，如果有n个数,x,x,...x，12nx+x+...+x2n n叫这n个数的平均数.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．g平均数：一般地，如果有n个数,x,x,...x，12nx+x+...+x2n n叫这n个数的平均数.1∑nx(x f+x f+L x f)=1∑k x fn n1122k k若其中x出现的频率为p,则x=x p+x p+L x p=∑k x pi i1122k k.（1）算术平均数：=x+x+...+x12n=n ni=1xi（2）加权平均数：如果n个数据中，不同的值有k(k≤n)个，记为x,x,...x,其中x出现的频数为f,12k i i则x=1i=1i ii ii=1做一做1．判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数一定会改变．()(2)改变一组数据中的一个数，则其中位数也一定会改变．()(3)在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标．()2、求下列各组数据的众数（1）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9（2）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，93、求下列各组数据的中位数（1）、1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，4，8，8，8，9，94.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：成绩(米)人数1．5021．6031．6521．7031．7541．8011．8511．901分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数。
【新教材精创】9.2.3 总体集中趋势的估计 导学案(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】9.2.3 总体集中趋势的估计（人教A版）1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．2.会求样本数据的众数、中位数、平均数．3.理解集中趋势参数的统计含义.1．数学运算:求样本数据的众数、中位数、平均数;2. 数据分析:频率分布直方图中的众数、中位数、平均数.重点:求样本数据的众数、中位数、平均数.难点:求样本数据的众数、中位数、平均数.一、预习导入阅读课本203-207页,填写。
1．众数、中位数、平均数定义(1)众数:一组数据中重复出现次数的数．(2)中位数:把一组数据按的顺序排列,处在位置(或中间两个数的)的数叫做这组数据的中位数．(3)平均数:如果n个数x1,x2,…,x n,那么x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)叫做这n个数的平均数．2.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数①在频率分布直方图中,众数是最高矩形中点的横坐标;②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等;③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．1．判断下列说法是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)改变一组数据中的一个数,则这些数据的平均数一定会改变．()(2)改变一组数据中的一个数,则其中位数也一定会改变．()(3)在频率分布直方图中,众数是最高矩形中点的横坐标．()2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是() A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．众数＝中位数＝平均数3．已知一组数据为－3,5,7,x,11,且这组数的众数为5,那么该组数据的中位数是()A．7 B．5C．6 D．114．如果5个数x1,x2,x3,x4,x5的平均数为7,那么x1＋1,x2＋1,x3＋1,x4＋1,x5＋1这5个数的平均数是________．题型一平均数、中位数、众数在具体数据中的应用例1 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征?(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征?跟踪训练一1.某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩统计如下:选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．题型二在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数例2某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数;(2)求这次测试数学成绩的中位数;(3)求这次测试数学成绩的平均分．解题技巧(知频率分布直方图中求平均数、中位数、众数)(1)众数:频率分布直方图中,最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数:在频率分布直方图中,把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数:平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．跟踪训练二1.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间分别是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]．(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均数、众数和中位数(要求写出计算过程,结果保留一位小数)．1．期中考试以后,班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么M∶N的值为（）A．4041B．1 C．4140D．22．在某次考试中,共有100个学生参加考试,如果某题的得分情况如表:得分0分1分2分3分4分百分率37.0 8.6 6.0 28.2 20.2那么这些得分的众数是（）A．37.0% B．20.2% C．0分D．4分3．一组样本数据10,23,12,5,9,a,21,b,22的平均数为16,中位数为21,则a b-=________．4．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…[90,100]后画出如下频率分布直方图．估计这次考试的平均分为________．5．一次数学测验中,全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下,已知分数在110~120的学生数有14人.（1）求总人数N和分数在120~125的人数n;（2）利用频率分布直方图,估算该班学生数学成绩的众数和中位数,平均数各是多少?答案小试牛刀1. （ 1）√ (2)×（ 3）√ . 2． D. 3． B. 4. 8 自主探究例1 【答案】(1)甲中位数为15岁,众数为15岁．都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)中位数为5.5岁,众数为6岁．中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差． 【详细解析】(1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁),中位数为15岁,众数为15岁．平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差． 跟踪训练一1. 【答案】见详细解析【详细解析】甲班平均数79.6分,乙班平均数80.2分,从平均分看成绩较好的是乙班; 甲班众数为90分,乙班众数为70分,从众数看成绩较好的是甲班;按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后,甲班的第25个和第26个数据都是80,所以中位数是80分,同理乙班中位数也是80分,但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人,占全班学生的62%,同理乙班有27人,占全班学生的54%,所以从中位数看成绩较好的是甲班．如果记90分以上(含90分)为优秀,甲班有20人,优秀率为40%,乙班有24人,优秀率为48%,从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见,一个班学生成绩的评估方法很多,需视要求而定．如果不考虑优秀率的话,显然以中位数去评估比较合适．例2 【答案】(1) 75.(2) 73.3.(3)72. 【详细解析】(1)由图知众数为70＋802＝75.(2)由图知,设中位数为x ,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5,因此中位数位于第四个矩形内,得0.1＝0.03(x －70),所以x ≈73.3. (3)由图知这次数学成绩的平均分为:40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72. 跟踪训练二1.【答案】(1)a ＝0.005.(2)平均数73(分),众数65(分)．中位数71.7(分)．【详细解析】 (1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,得10(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)＝1,解得a ＝0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均数为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分), 众数为60＋702＝65(分)．∵这100名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005＋0.04)×10＝0.45, 这100名学生语文成绩在[70,80)的频率为0.03×10＝0.3,∴这100名学生语文成绩的中位数为70＋10×0.5－0.450.3≈71.7(分)．当堂检测1-2. BC 3. 0 4. 71分.5．【答案】（ 1）40,4（ 2）众数为107.5,中位数分别是110,平均数为111【详细解析】（ 1）分数在110~120内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=, 所以该班总人数为14400.35N ==. 分数在120~125内的学生的频率为:21(0.010.040.050.040.030.01)50.10P =-+++++⨯=,分数在120~125内的人数为400.104n =⨯=.（ 2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标,即为105110107.52+=. 设中位数为a ,∵0.0150.0450.055=0.50⨯+⨯+⨯,∴110a =. ∴众数和中位数分别是107.5,110.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯平均数为[97.50.01102.50.04107.50.05112.50.04117.50.03 +⨯+⨯⨯=.122.50.02127.50.01]5111。
9.2.2总体百分位数的估计+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计课题名称9.2.2 总体百分位数的估计教学理念以生为本，以学定教。
内容出处人教版高中数学必修第二册9.2.2 总体百分位数的估计适用对象高一年级学生教材与学情分析这节课起到了承上启下的作用。
学生在9.2.1总体取值规律的估计中，掌握了列频率分布表和画频率分布直方图方法，会利用图表解决实际问题。
本节课则是在此基础上对样本数据和图表的进一步探究。
本节课知识也为后面学习总体集中趋势的估计奠定了基础。
该阶段学生求知欲强，思维活跃但逻辑推理和数据处理能力还有所薄弱。
教学目标1.结合实例，理解百分位数的定义，会求一组数据的第p百分位数，发展数据分析的核心素养。
2 .让学生体会用样本百分位数估计总体百分位数的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
3.通过具体实例，让学生体会百分位数在实际生活中的应用。
引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。
教学重点及难点重点：总体百分位数的概念及估计。
难点：①理解百分位数的统计意义；②估计总体百分位数。
教法学法教法：启发引导法、合作交流发学法：学生课前自主预习，课上自主探究教学过程一、知识回顾提问：1.画频率分布直方图的步骤？2.频率分布直方图的性质？教师引导学生共同回答。
回顾上节课的“确定月均用水量标准”的问题引入本节课。
设计意图：复习上节所学知识，为本节课的知识奠定基础。
通过生活中常见的实例，顺应学生认知基础和好奇心理，既吸引学生的注意，激发学生兴趣和探究的欲望，又让学生感悟“数学来源于生活又服务于生活”。
二、探究新知问题: 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？教师：（实际问题数学化）就是要寻找一个数 a ，使全市居民用户用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%。
下面我们通过样本数据对 a 的值进行估计。
人教A版高中数学必修第二册教学学案：9.2用样本估计总体
9．2用样本估计总体9．2.1总体取值规律的估计9．2.2总体百分位数的估计考点学习目标核心素养频率分布表、频率分布直方图会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图直观想象、数据分析用样本估计总体会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计直观想象、数据分析总体百分位数的估计掌握求n个数据的第p百分位数的方法数学抽象、数学运算问题导学预习教材P192－P202的内容，思考以下问题：1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？2．频率分布直方图有哪些特征？3．如何求n个数据的第p百分位数？1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义2．百分位数(1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直方图的高表示取某数的频率．()(2)直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率．()(3)直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值．()(4)直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．()解析：要注意频率分布直方图的特点．在直方图中，纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为()A．10组B．9组C．8组D．7组解析：选B.极差为140－51＝89，而组距为10，故应将样本数据分为9组．将容量为100的样本数据按由小到大排列分成8个小组，如表所示，但第3组被墨汁污染，则第三组的频率为()组号 1 2 3 4 5 6 7 8频数10 13 14 15 13 12 9A.0.14C．0.03 D．0.10解析：选A.第三组的频数为100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝14.故第三组的频率为14100＝0.14.(2019·四川省绵阳市教学质量测试)某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间[90，110)的约有____________辆．解析：由图可知，时速在区间[80，90)，[110，120)的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，所以时速在区间[90，110)的频率为1－0.3＝0.7.所以时速在区间[90，110)的车辆数为400×0.7＝280.答案：280频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制角度一频率分布表、频率分布直方图的绘制为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48 将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．【解】以4为组距，列表如下：分组频率累计频数频率[41.5，45.5) 2 0.045 5[45.5，49.5) 7 0.1591[49.5，53.5) 8 0.181 8 [53.5，57.5)16 0.363 6 [57.5，61.5)5 0.1136 [61.5，65.5)4 0.090 9 [65.5，69.5) 2 0.0455(1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：①若极差组距为整数，则极差组距＝组数； ②若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数． (2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．角度二 频率分布直方图的应用为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？(3)样本中不达标的学生人数是多少？(4)第三组的频数是多少？【解】 (1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08. 又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本量， 所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150. (2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. (3)由(1)(2)知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．(4)第三小组的频率为172＋4＋17＋15＋9＋3＝0.34. 又因为样本量为150，所以第三组的频数为150×0.34＝51.频率分布直方图的应用中的计算问题(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； (2)各小长方形的面积之和等于1；(3)频数样本量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本量，样本量×频率＝频数．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86]．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是( )A ．12B ．18C ．25D ．90解析：选D.净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90.条形统计图为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．请根据统计图提供的信息回答以下问题：(1)求抽取的学生数；(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．【解】 (1)从统计图上可以看出，喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．(2)喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为106300，由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有106300×3 000＝1 060(人)．(3)该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为45300×100%＝15%.(1)绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．(2)在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层随机抽样调查，测得身高情况的统计图如图所示．(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的学生占总人数的百分比是多少．解：(1)样本中男生人数为40，由分层随机抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以在样本中学生身高在170～185cm 之间所占比例为3570＝50%，故可估计该校学生身高在170～185 cm 之间的学生占总人数的50%.折线统计图小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．根据图中的信息，回答以下问题：(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？【解】 (1)根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．(2)从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．(3)从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．(4)9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．(1)绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．(2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．据报道，去年某咨询公司对1 500个家庭进行了关于奶粉市场的调查，下图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据，则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉的比率合计为()A．79.9%B．70.9%C．38.8% D．32.1%解析：选B.根据折线图，每月购买1袋奶粉和每月购买2袋奶粉的比率分别为38.8%和32.1%，故所求为38.8%＋32.1%＝70.9%.扇形统计图下图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：(1)从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？(2)已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？【解】 (1)不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．(2)设A 学校收到艺术作品的总数为x 件，B 学校收到艺术作品的总数为y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧10%x －5%y ＝20，50%y －40%x ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝500，y ＝600，即A 学校收到艺术作品的总数为500件，B 学校收到艺术作品的总数为600件．(1)绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．(2)扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．如图是2019年各级学校每10万人口中平均在校生的人数扇形统计图，则下列结论正确的是( )A ．2019年有6%的高中生升入高等学校B ．2019年全国高等学校在校生6 000人C ．2019年各级学校10万人口平均在校生数在高等学校学生中占6%D ．2019年高等学校的学生比高中阶段的学生多解析：选C.由扇形统计图可以看出，2019年各级学校每10万人口中平均在校生的人数所占的百分比分别为幼儿园占8%，高等学校占6%，高中阶段占12%，初中阶段占26%，小学占48%，A 项中应是高等学校在校学生．B项中6 000人应是平均数，D项显然错误．百分位数的计算现有甲、乙两组数据如下表所示．序号1 2 3 4 5 6 7 8 9111121314151617181920 甲组1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 911121313 乙组0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 711414141415【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15.因此，甲组数的25%分位数为x5＋x62＝2＋32＝2.5；甲组数的75%分位数为x15＋x162＝9＋102＝9.5.乙组数的25%分位数为x5＋x62＝1＋12＝1，乙组的75%分位数为x15＋x162＝10＋142＝12.求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数，75%分位数，90%分位数．解：因为数据个数为10，而且10×25%＝2.5，10×75%＝7.5，10×90%＝9.所以该组数据的25%分位数为x 3＝3，75%分位数为x 8＝8，90%分位数为x 9＋x 102＝9＋102＝9.5.1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )解析：选D.用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B 选项中的图不能称为统计图．2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g 的频率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解析：选C.由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g 的频率为0.001×300＝0.3，故选C.3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙两校女生人数无法比较解析：选D.图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．4．(2019·广西钦州市期末考试)为了了解某城市居民用水量情况，我们抽取了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)并对数据进行处理，得到该100位居民月均用水量的频率分布表，并绘制了频率分布直方图(部分数据隐藏)．组号分组频数频率1 [0，0.5) 4 0.042 [0.5，1) 0.083 [1，1.5) 154 [1.5，2) 225 [2，2.5) x6 [2.5，3) 14 0.147 [3，3.5) 6 y8 [3.5，4) 4 0.049 [4，4.5] 0.02合计100(1)确定表中的x与y的值；(2)在上述频率分布直方图中，求从左往右数第4个矩形的高度；(3)在频率分布直方图中画出频率分布折线图．解：(1)因为总数是100，区间[0.5，1)内的频率为0.08，区间[4，4.5)内的频率为0.02，所以区间[0.5，1)内的频数为8，区间[4，4.5)内的频数为2.则x＝100－(4＋8＋15＋22＋14＋6＋4＋2)＝25，y＝6100＝0.06.(2)因为左数第4个矩形对应的频率为0.22，且表中的数据组距为0.5,所以它的高度为0.22÷0.5＝0.44.(3)由频率分布直方图，画出折线图如图所示：[A基础达标]1．某地农村2004年到2019年间人均居住面积的统计图如图所示，则增长最多的5年为()A．2004年～2009年B．2009年～2014年C．2014～2019年D．无法从图中看出解析：选C.2004年～2009年的增长量为3.1，2009年～2014年的增长量为3.2，2014年～2019年的增长量为3.8.2．下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是()A．甲户比乙户大B．乙户比甲户大C．甲、乙两户一样大D．无法确定哪一户大解析：选B.条形统计图反映具体数值，则由图甲可知，甲户教育支出占全年总支出的百分比为1 200÷(1 200＋2 000＋1 200＋1 600)＝20%；从扇形统计图乙可知，乙户教育支出占全年总支出的百分比为25%.所以乙户比甲户大．3．为了解某地区高一学生身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图(如图所示)．可得这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是()A．20 B．30C．40 D．50解析：选C.由频率分布直方图易得到体重在[56.5，64.5)的学生的频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，那么学生的人数为100×0.4＝40，故选C.4．某工厂对一批元件进行抽样检测，经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93，95)，[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)，[103，105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97，103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是()A．80% B．90%C．20% D．85.5%解析：选A.由频率分布直方图可知元件长度在[97，103)内的频率为1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%.5．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是()A．25 B．30C．50 D．75解析：选A.抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2500.依题意知抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.6．巴西世界杯足球赛门票面向全球发行时，某售票窗口在3月1日至8日的售票情况如图所示，由图可知，售票最多的日期是__________；售票最少的日期是__________；前4天共售票为__________张．解析：由题图可知，售票最多的日期是3月2日；最少的日期是3月3日与3月7日；前4天共售票8＋14＋7＋12＝41(张)．答案：3月2日3月3日与3月7日417．某校为了了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用如图所示的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为______h.解析：法一：要确定这50名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间．总睡眠时间为 5.5×0.1×50＋6×0.3×50＋6.5×0.4×50＋7×0.1×50＋7.5×0.1×50＝27.5＋90＋130＋35＋37.5＝320.故平均睡眠时间为320÷50＝6.4(h)．法二：根据图形得平均每人的睡眠时间为t＝5.5×0.1＋6×0.3＋6.5×0.4＋7×0.1＋7.5×0.1＝6.4(h)．答案：6.48．某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70，80)的家庭有______户．解析：根据频率分布直方图得该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70，80)的家庭有10 000×0.012×10＝1 200 (户)．答案：1 2009．为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：分组(单位：岁) 频数频率[20，25) 5 0.05[25，30) ①0.20[30，35) 35 ②[35，40) 30 0.30[40，45] 10 0.10合计100 1.00(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数．解：(1)设年龄在[25，30)岁的频数为x，年龄在[30，35)岁的频率为y.法一：根据题意可得x100＝0.20，35100＝y，解得x＝20，y＝0.35，故①处应填20，②处应填0.35.法二：由题意得5＋x＋35＋30＋10＝100，0．05＋0.20＋y＋0.30＋0.10＝1，解得x＝20，y＝0.35，故①处填20，②处填0.35.(2)由频率分布表知年龄在[25，30)岁的频率是0.20，组距是5.所以频率组距＝0.205＝0.04. 补全频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数为500×0.35＝175.10．为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择：A ．1.5小时以上B ．1～1.5小时C ．0.5～1小时D ．0.5小时以下下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答以下问题：(1)本次一共调查了多少名学生；(2)在图(1)中将选项B 对应的部分补充完整；(3)若该校有3 000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？解：(1)由图(1)知，选A 的人数为60，而图(2)显示，选A 的人数占总人数的30%，故本次调查的总人数为60÷30%＝200.(2)由图(2)知，选B 的人数占总人数的50%，因此其人数为200×50%＝100，图(1)补充如图所示：(3)根据图(2)知：平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5%，以此估计得3 000×5%＝150(人)．[B 能力提升]11．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的14，且样本容量为200，则第8组的频数为______．解析：设最后一个小长方形的面积为x ，则其他7个小长方形的面积为4x ，从而x ＋4x ＝1，所以x ＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.答案：4012．90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的75%分位数为______，80%分位数为______．解析：10×75%＝7.5，10×80%＝8，所以75%分位数为x 8＝96，80%分位数为x 8＋x 92＝96＋992＝97.5.答案：96 97.513．(2019·山西省大同市铁路一中期末考试)为了解某校高三学生的身体状况，用分层随机抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3∶2，则全校抽取学生数为________．解析：根据图可知第四与第五组的频率和为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，因为从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12，所以前三个小组的频数为36，从而男生有361－0.25＝48(人)． 因为全校男、女生比例为3∶2，所以全校抽取学生数为48×53＝80.答案：8014．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？解：(1)x ＝[1－(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋0.005＋0.0025)×20]÷20＝0.007 5.(2)由频率分布直方图知，月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的共有[(0.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.0025)×20]×100＝55(户)，其中在[220，240)中的有0.012 5×20×100＝25(户)，因此，在所抽取的11户居民中，月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取2555×11＝5(户)．[C 拓展探究]15．某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：组号 分组 频数 频率第1组 [160，165) 50.05 第2组 [165，170) ①0.35 第3组 [170，175) 30② 第4组 [175，180) 200.20 第5组 [180，185] 100.10 合计100 1.00 (1)的频率分布直方图；(2)为了选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试．解：(1)由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为30100＝0.30，故①处填35，②处填0.30.频率分布直方图如图所示．(2)因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为660＝110，故第3组应抽取30×110＝3(名)学生，第4组应抽取20×110＝2(名)学生，第5组应抽取10×110＝1(名)学生，所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.。
新教材高中数学第9章统计9.2.3总体集中趋势的估计学案含解析新人教A版必修第二册9
9.2.3 总体会合趋向的预计学习目标核心素养1.联合实例 , 能用样本预计总体的会合趋向．(要点、难点)2.明白会合趋向参数的统计寄义．(要点、难点) 1.经过对数据均匀数、中位数、众数观点的进修 , 造就数学抽象素质.2.经过利用均匀数、中位数、众数预计总体的会合趋向 , 造就直观想象素质.现从甲、乙、丙三个厂家出产的统一种耐用家电产物中 , 各抽取8件产物 , 对其利用寿命进行跟踪视察 , 其效果以下 : (单元 : 年)甲 : 3,4,5,6,8,8,8,10 ; 乙 : 4,6,6,6,8,9,12,13 ; 丙 : 3,3,4,7,9,10,11,12.题目 : 三家告白中都称其产物的利用寿命为8年 , 利用初中所学的知识点 , 你能申明为何吗？1．众数、中位数宁静均数的界说(1)众数 : 一组数据中泛起次数最多的数．(2)中位数 : 一组数据按巨细次序分列后 , 处于中心地址的数．假设是个数是偶数 , 那么取中心两个数据的均匀数．(3)均匀数 : 一组数据的和除以数据个数所获得的数．2．众数、中位数宁静均数的比较名称长处弱点均匀数与中位数比较 , 均匀数反应出样本数据中更多的信息 , 对样本中的极度值越发敏感任何一个数据的改变都市引起均匀数的改变．数据越〞离群〞 , 对均匀数的影响越大中位数不受少量几个极度数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极度值不敏感众数表达了样本数据的最大会合点众数只能通报数据中的信息的极少一局部 , 对极度值不敏感3.众数、中位数、均匀数与频率漫衍直方图的干系(1)均匀数 : 在频率漫衍直方图中 , 样本均匀数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似取代．(2)中位数 : 在频率漫衍直方图中 , 中位数左边和右边的直方图的面积应该相称．(3)众数 : 众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．思索1 : 中位数必然是样本数据中的一个数吗 ？[提醒] 纷歧定．一组数据按巨细次序分列后 , 假设是有奇数个数据 , 处于中心地址的数是中位数 ; 假设是有偶数个数据 , 那么取中心两个数据的均匀数是中位数．思索2 : 一组数据的众数可以有几个 ？中位数能否也具有相似的结论 ？[提醒] 一组数据的众数大概有一个 , 也大概有多个 , 中位数只有唯逐一个．1．思索辨析(精确的画〞√〞 , 错误的画〞×〞)(1)一个样本的众数、均匀数和中位数都是独一的． ( )(2)样本的均匀数是频率漫衍直方图中最高长方形的中点对应的数据．( )(3)假设改变一组数据中个中的一个数 , 那么这组数据的均匀数、中位数、众数都市产生改变． ( )[提醒] (1)错误．一个样本的均匀数和中位数是独一的．假设数据中有两个或两个以上泛起得最多 , 且泛起次数一样多 , 那么这些数据都是众数．(2)错误．样本的均匀数即是每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．(3)错误．假设改变一组数据中的一个数 , 那么这组数据的均匀数必然会改变 , 而中位数与众数大概稳定．[谜底] (1)× (2)× (3)×2．一组样本数据为 : 19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27 , 那么这组数据的众数和中位数划分为( )A ．14,14B ．12,14C ．14,15.5D ．12,15.5A [把这组数据按从小到大分列为 : 10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27 , 那么可知其众数为14 , 中位数为14.]3．已知甲、乙两组数据按从小到大分列后以下所示 :甲 : 27 , m,39 ;乙 : n,32,34,38.假设这两组数据的中位数相似 , 均匀数也相似 , 那么m n＝________.3328 [因为两组数据的中位数相似 , 以是m ＝12(32＋34)＝33 , 因为两组数据的均匀数相似 , 以是13(27＋33＋39)＝14(n ＋32＋34＋38)．解得n ＝28 , 故m n ＝3328.] 4．已知一组数据4,6,5,8,7,6 , 那么这组数据的均匀数为________．6 [4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.]均匀数、中位数和众数的盘算【例1】 已知10名工人出产统一零件 , 出产的件数划分是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13 , 设其均匀数为a , 中位数为b , 众数为c , 那么有( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a D [由题意得a ＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7 , 中位数为16 , 众数为18 , 那么b ＝16 , c ＝18 , ∴c ＞b ＞a .]1求样本数据的中位数和众数时 , 把数据凭据从小到大的次序分列后 , 凭据其求法进行.2求样本数据的均匀数的难点在于盘算的精确性.[跟进练习]1．某篮球队甲、乙两名运发动练习罚球 , 每人练习10组 , 每组罚球40个 , 掷中个数以下所示 :甲 : 20,22,27,8,12,13,37,25,24,26乙 : 14,9,13,18,19,20,23,21,21,11那么下边结论中精确的选项是________(填序号)．①甲的极差是29 ; ②乙的众数是21 ; ③甲的均匀数为21.4 ; ④甲的中位数是24. ①②③ [把两组数据按从小到大的次序分列 , 得甲 : 8,12,13,20,22,24,25,26,27,37乙 : 9,11,13,14,18,19,20,21,21,23故甲的最大值为37 , 最小值为8 , 那么极差为29 , 以是①精确 ; 乙中泛起最多的数据是21 , 以是②精确 ; 甲的均匀数为x －甲＝110(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4 , 以是③精确 ; 甲的中位数为12(22＋24)＝23 , 故④不精确．] 均匀数、中位数和众数的现实应用【例2】 下边是某快餐店全部事情职员一周的收益表 :老板大厨二厨采购员杂工效劳生管帐3 000元450元350元400元320元320元410元(1)盘算全部职员的周均匀收益．这个均匀收益能反应打工职员的周收益的一样平常程度吗？为何？(2)去掉老板的收益后 , 再盘算均匀收益 , 这能代表打工职员的周收益的程度吗？[解] (1)周均匀收益x1＝17(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．这个均匀收益不可以反应打工职员的周收益程度 , 可以看出打工职员的收益都低于均匀收益 , 因为老板收益特殊高 , 这是一个非常值 , 对均匀收益产生了较大的影响 , 而且他不是打工职员．(2)去掉老板的收益后的周均匀收益x2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．这能代表打工职员的周收益程度．利用样本数字特性进行决议时的两个存眷点1均匀数与每一个数据都有关 , 可以反应更多的总体信息 , 但受极度值的影响大 ; 中位数是样本数据所占频率的平分线 , 不受几个极度值的影响 ; 众数只能表达数据的最大会合点 , 没法客观反应总体特性.2当均匀数大于中位数时 , 申明数据中存在很多较大的极度值.[跟进练习]2．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练 , 两群市民的年事以下(单元 : 岁) : 甲群 : 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17 ;乙群 : 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年事的均匀数、中位数和众数各是几多岁？个中哪个统计量能较好地反应甲群市民的年事特性？(2)乙群市民年事的均匀数、中位数和众数各是几多岁？个中哪个统计量能较好地反应乙群市民的年事特性？[解] (1)甲群市民年事的均匀数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁) ,中位数为15岁 , 众数为15岁．均匀数、中位数和众数相称 , 因此它们都能较好地反应甲群市民的年事特性．(2)乙群市民年事的均匀数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁) ,中位数为5.5岁 , 众数为6岁．因为乙群市民大大都是小孩 , 以是中位数和众数能较好地反应乙群市民的年事特性 , 而均匀数的靠得住性较差.凭据频率漫衍直方图求均匀数、中位数和众数[探讨题目]1．频率漫衍直方图中每个小矩形的面积代表什么？[提醒] 频率漫衍直方图中每个小矩形的面积是样本数据落在这一组的频率．2．在频率漫衍直方图中 , 怎样确立众数和中位数？[提醒] 在频率漫衍直方图中 , 众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据 ; 中位数左边和右边的直方图的面积应该相称．【例3】某校从到场高二年级学业程度测试的门生中抽出80名门生 , 其数学效果(均为整数)的频率漫衍直方图以以下列图．(1)求这次测试数学效果的众数 ;(2)求这次测试数学效果的中位数．[思绪探讨] (1)最高的小长方形的底边中点的横坐标即为样本数据的众数 ;(2)判定中位数地点的区间 , 设出中位数 , 凭据中位数的阁下双方的频率相称列出方程求解．[解] (1)由题干图知众数为70＋802＝75.(2)由题干图知 , 设中位数为x , 因为前三个矩形面积之和为0.4 , 第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5 , 因个中位数位于第四个矩形内 , 得0.1＝0.03(x－70) , 以是x≈73.3.1．假设例3的前提稳定 , 求数学效果的均匀分．[解]由题干图知这次数学效果的均匀数为: 40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72.2．假设例3前提稳定 , 求80分以下的门生人数．[解] [40,80)分的频率为 : (0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7 ,以是80分以下的门生人数为80×0.7＝56.众数、中位数、均匀数与频率漫衍直方图的接洽1众数 : 众数在样本数据的频率漫衍直方图中 , 就是最高矩形的底边中点的横坐标.2中位数 : 在样本中 , 有50%的个别大于或即是中位数 , 因此 , 在频率漫衍直方图中 , 中位数左边和右边的直方图的面积应该相称 , 由此可预计中位数的值.3均匀数 : 用频率漫衍直方图预计均匀数时 , 均匀数即是频率漫衍直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.一、知识点比背1．均匀数、中位数和众数的盘算及应用．2．一组数据中的众数大概不止一个 , 中位数是独一的 , 求中位数时 , 必需先排序．二、要领比背利用频率漫衍直方图求数字特性 :(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数阁下双方直方图的面积应相称．(3)均匀数即是每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．1．一组视察值4,3,5,6泛起的次数划分为3,2,4,2 , 那么样本均匀值为( )A ．4.55B ．4.5C ．12.5D ．1.64 A [由题意得x －＝111(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.] 2．以下数字特性必然会在原始数据中泛起的是( )A ．众数B ．中位数C ．均匀数D ．都不会A [众数是在一组数据中泛起次数最多的数 , 以是必然会在原始数据中泛起．]3．已知一组数据按从小到大的次序分列 , 获得－1,0,4 , x,7,14 , 中位数为 5 , 那么这组数据的均匀数为________．5 [∵－1,0,4 , x,7,14的中位数为5 , ∴4＋x 2＝5 , ∴x ＝6. ∴这组数据的均匀数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5 , ] 4．某中学进行电脑知识点比赛 , 现将高一参赛门生的效果进行清算后分成五组绘制成以以下列图的频率漫衍直方图 , 已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率划分是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求 : (1)高一参赛门生效果的众数、中位数 ;(2)高一参赛门生的均匀效果．[解] (1)用频率漫衍直方图中最高矩形地点的区间的中点值作为众数的近似值 , 得众数为65 , 又∵第一个小矩形的面积为0.3 , 设第二个小矩形底边的一局部长为x , 那么x ×0.04＝0.2 , 得x ＝5 , ∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意 , 均匀效果为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67 , 以是均匀效果约为67分．。
新教材高中数学第九章统计总体取值规律的估计教学用书教案新人教A版必修第二册
新教材高中数学教学用书教案新人教A版必修第二册：9.2 用样本估计总体9.2.1总体取值规律的估计素养目标·定方向素养目标学法指导1．能选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.(数据分析)2．结合实例，能用样本估计总体的取值规律.(数据分析)1．在初中条形图作图的基础上，进一步感受数据处理过程中，用频率分布直方图的必要性.2．通过具体的案例感受制作频率分布表和频率分布直方图的全过程(流程).3．通过具体案例感受分组与组数对数据整理后信息分析的影响.必备知识·探新知知识点1画频率分布直方图的步骤1．求极差：极差是一组数据中__最大值__与__最小值__的差.2．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成__5～12__组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.3．将数据分组.4．列频率分布表：一般分四列，即分组、__频数累计__、频数、__频率__.其中频数合计应是样本容量，频率合计是__1__.5．画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距.小长方形的面积＝组距×频率组距＝__频率__.各小长方形的面积和等于1．知识点2其它统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势[频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1．2．条形图、折线图及扇形图(1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图.(2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图.(3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图.关键能力·攻重难题型探究题型一频率分布直方图作法典例1为了检测某种产品的质量，抽取了一个样本量为100的样本，数据的分组如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图.[分析]题目要求列出样本的频率分布表、画出频率分布直方图，应注意到已知条件中虽未提供原始数据，但组距、组数及频数都已给出，可由此来列表、画图.[解析](1)频率分布表如下：分组频数频率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)90.09[10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25)260.26[11.25,11.35)200.20[11.35,11.45)70.07[11.55,11.65]2 0.02 合计1001.00(2)频率分布直方图如图[归纳提升] 绘制频率分布直方图应注意的问题(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“频率组距”所占的比例来定高.如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的频率组距为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推.(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1．【对点练习】❶ 在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：分组 频数 频率 [1.30,1.34) 4 [1.34,1.38) 25 [1.38,1.42) 30 [1.42,1.46) 29 [1.46,1.50) 10 [1.50,1.54] 2 合计100(1)(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？ [解析] (1)频率分布表如下：分组 频数 频率 [1.30,1.34) 4 0.04 [1.34,1.38)250.25[1.42,1.46) 29 0.29 [1.46,1.50) 10 0.10 [1.50,1.54] 2 0.02 合计1001.00频率分布直方图如图所示.(2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38,1.50)的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%. 题型二 频率分布直方图的应用典例2 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x 的值；(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100,250)内的户数.[解析] (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x ＝0.2250＝0.004 4．(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7， ∴所求户数为0.7×100＝70． [归纳提升] 频率分布直方图的性质(1)因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1． (3)样本量＝频数/相应的频率.【对点练习】❷ 如图是样本量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计，下列说法正确的是( A )A ．样本数据落在[6,10)内的频数为64，数据落在[2,10)内的百分比为0.4B ．样本数据落在[6,10)内的频数为16，数据落在[2,10)内的百分比为0.1C ．样本数据落在[10,14)内的频数为18，数据落在[6,14)内的百分比为0.68D ．样本数据落在[14,22]内的频数为48，数据落在[10,18)内的百分比为0.12[解析] 根据样本的频率分布直方图，样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，所以频数为0.32×200＝64；样本数据落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08，所以频数为0.08×200＝16，故数据落在[2,10)内的百分比约为64＋16200＝0.4．故选A ．题型三 折线图、条形图、扇形图及应用典例3 如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图和条形统计图.[解析] 该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最低气温(℃)－3－2－112－122其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%，最低气温为－2 ℃的有1天，占10%，最低气温为－1 ℃的有2天，占20%，最低气温为0 ℃的有2天，占20%，最低气温为1 ℃的有1天，占10%，最低气温为2 ℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示.条形统计图如下图所示：[归纳提升] 1．条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.2．扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.3．在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.【对点练习】❸ 如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为( A )A ．250B ．150C ．400D ．300[解析] 甲组人数是120，占30%，则总人数是12030%＝400．则乙组人数是400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250．易错警示误将频率分布直方图中的纵坐标当作频率典例4 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图.从左至右五个小组的频率之比为5︰7︰12︰10︰6，则该市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)内的学生约有多少人？[错解] 由图可知，第五小组的频率为0.5，所以第一小组的频率为0.5×56＝512.所以该市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)内的学生约有60 000×512＝25 000(人).[错因分析] 造成错解的原因是将该频率分布直方图中的纵坐标(频率与组距的比)看成频率.[正解] 由图可知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15， 所以第一小组的频率为0.15×56＝0.125．所以该市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)内的学生约有60 000×0.125＝7 500(人). [误区警示] 频率分布直方图中的纵轴上所标数据是小矩形的高，表示频率组距，计算频率时不要忘了乘组距.【对点练习】❹ 如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为( B )A ．20B ．30C ．40D ．50[解析] 样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30．。
人教A版新教材高中数学第二册优质学案：9.2.3总体集中趋势的估计
9.2.3 总体集中趋势的估计学习目标 1.掌握求样本数据的众数、中位数、平均数.2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势．知识点一 众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现次数最多的数．2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．3．平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数．思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 『答 案』 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出样本数据中的更多信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大． 知识点二 总体集中趋势的估计1．平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．2．一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．知识点三 频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法1．样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替． 2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等． 3．将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值．1．中位数是一组数据中间的数．( × ) 2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )3．平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( √ )4．一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( √ )一、众数、中位数、平均数的计算例1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数23234111分别求出这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)． 故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m ，1.70m,1.69m. 反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定，众数是看出现次数最多的数． 跟踪训练1 某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( ) A ．85,85,85 B ．87,85,86 C ．87,85,85 D ．87,85,90『答 案』 C『解 析』 平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85.二、平均数、中位数、众数的应用例2 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？ 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？ 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？解 (1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．反思感悟 众数、中位数、平均数的意义(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大． (2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．跟踪训练2 某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？ (2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？解 (1)在这10天中，该公司用水量的平均数是x ＝110×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t)．每天用水量的中位数是41＋442＝42.5(t)．(2)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势例3 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段『40,50)，『50,60)，…，『90,100』后画出如图所示的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的物理成绩的众数m 与中位数n (结果保留一位小数)； (2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分．解 (1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m ＝75.0. 前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5， 前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5， 所以中位数n ＝70＋0.5－0.40.03≈73.3.(2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以，估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.利用组中值估算抽样学生的平均分45×f 1＋55×f 2＋65×f 3＋75×f 4＋85×f 5＋95×f 6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 估计这次考试物理成绩的平均分是71分．反思感悟 利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中．中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数)．平均数为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积乘积之和．(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数．跟踪训练3 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照『0,0.5)，『0.5,1)，…，『4,4.5』分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．估计居民月均用水量的中位数．解由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.设中位数为x吨．由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．1．在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据，下列说法错误的是()A．众数是83 B．中位数是83C．极差是30 D．平均数是83『答案』 D『解析』由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；把数据66,83,87,83,77,96按从小到大排列为66,77,83,83,87,96，中间两个数为83,83，所以中位数是83，故B说法正确；极差是96－66＝30，故C说法正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D 说法错误，故选D.2．(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是()A．中位数可以准确地反映出总体的情况B．平均数可以准确地反映出总体的情况C．众数可以准确地反映出总体的情况D ．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 『答 案』 ABC3．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x ,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( )A ．21B ．22C ．20D ．23 『答 案』 A『解 析』 根据题意知，中位数22＝x ＋232，则x ＝21.4．已知一组数据0,2，x ,4,5的众数是4，那么这组数据的平均数是________． 『答 案』 3『解 析』 ∵数据0,2，x ,4,5的众数是4，∴x ＝4， ∴这组数据的平均数是15×(0＋2＋4＋4＋5)＝3.5．某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是________分．『答 案』 68『解 析』 平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分)．1．知识清单：中位数、众数、平均数的计算及应用． 2．方法归纳：数据分析统计．3．常见误区：求中位数时需先把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再找中间位置的数或中间两数的平均数．。
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9.2.4总体离散程度的估计知识点一一组数据的方差与标准差知识点二总体方差与总体标准差知识点三 样本方差与样本标准差知识点四 标准差、方差描述数据的特征标准差刻画了数据的□01离散程度或□02波动幅度，标准差越大，数据的离散程度□03越大；标准差越小，数据的离散程度□04越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．知识点五 分层随机抽样估计总体方差设层数为2层的分层随机抽样，第1层和第2层包含的样本变量由x 1，x 2，…，x n 及y 1，y 2，…，y n 表示．样本数 总体数 方差 平均数 第1层 m M s 2x x －第2层 nNs 2yy －则总体方差s 2＝M [s 2x ＋(x －－z －)2]＋N [s 2y＋(y －－z －)2]M ＋N1．方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x －2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．2．平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x －＋a .(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么 ①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也是s 2； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差是a 2s 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方差越大，数据的稳定性越强．( )(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．( )(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．一般地，绝大部分数据落在[x －－2s ，x －＋2s ]内．( )(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．做一做(1)下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：①平均命中环数为________； ②命中环数的标准差为________．(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________．答案 (1)D (2)①7 ②2 (3)2题型一 样本的标准差与方差的求法例1 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40； 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．[解] x －甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， s 2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，s 甲＝104.2≈10.208.x －乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， 同理s 2乙＝128.8， s 乙＝128.8≈11.349.对标准差与方差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示：求这次考试成绩的平均数和标准差．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫注：标准差s ＝ 1n [(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝ 1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x －2] 解 设第一组数据为x 1，x 2，…，x 20，第二组数据为x 21，x 22，…，x 40，全班平均成绩为x －.根据题意，有x －＝90×20＋80×2040＝85，42＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20×902)，62＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240－20×802)，∴x 21＋x 22＋…＋x 240＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.再由变形公式，得s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40x －2)＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40×852)＝140×(291040－289000)＝51， ∴s ＝51.题型二 样本标准差、方差的实际应用例2 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲：95 82 88 81 93 79 84 78 乙：83 92 80 95 90 80 85 75 (1)试比较哪个工人的成绩较好；(2)甲、乙成绩位于x －－s 与x －＋s 之间有多少？[解] (1)x －甲＝18×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85， x －乙＝18×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.s 2甲＝18×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，s 2乙＝18×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.∵x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定． 综上可知，甲的成绩较好． (2)∵s 甲＝s 2甲＝35.5≈5.96，x －甲－s 甲＝79.04，x －甲＋s 甲＝90.96， ∴甲位于[x －－s ，x －＋s ]之间的数据有4个． 又s 乙＝s 2乙＝41≈6.4，x －乙－s 乙＝78.6，x －乙＋s 乙＝91.4，∴乙的成绩位于[x －－s ，x －＋s ]之间的有5个．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙 10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为 x －甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，乙的平均数为x －乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋8)＝8， 甲的标准差为 s 甲＝110×[(8－8)2＋(9－8)2＋…＋(6－8)2]＝2，乙的标准差为 s 乙＝110×[(10－8)2＋(9－8)2＋…＋(8－8)2]＝305，故甲的平均数为8，标准差为2，乙的平均数为8，标准差为305. (2)∵x －甲＝x －乙，且s 甲>s 乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛. 题型三 标准差、方差的图形分析例3 样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组[解析] 第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．[答案] D由图形分析标准差、方差的大小从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案 C解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为12×2＋12×2)5×(2＝2，乙的成绩的方差为12×3＋32)＝2.4.故C正确．5×(11．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A．平均数B．中位数C．方差D．众数答案 C解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为()A．40 B．8C ．210D ．2 2答案 D解析 x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为15×[(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2]＝2 2. 3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)答案 丙解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 这组数据的平均数x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)25＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x －甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x －乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s 2甲>s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.。