变化率与导数教案

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第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数

教学目标：

(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景

一、复习引入

1、什么叫做平均变化率；

2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率

3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0

101)

()(x x x f x f k PQ --=，

设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x

x f x x f k PQ ∆-∆+=

)

()(00

当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x

x f x x f k PQ ∆-∆+=

)

()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：

x

x f x x f k ∆-∆+=

)

()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度

(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：

t

t s t t s ∆-∆+)

()(00

(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，

t

t s t t s ∆-∆+)

()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0

时的瞬时速度

求瞬时速度的步骤：

114 1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆ 2.再求平均速度t

s v ∆∆=

3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，

t

s

∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：

t

t v t t v ∆-∆+)

()(00

(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，

t

t v t t v ∆-∆+)

()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为

t=t 0时的瞬时加速度

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用

例1、已知f(x)=x 2

，求曲线在x=2处的切线的斜率。 变式:1.求21

()f x x

=

过点(1,1)的切线方程 2.曲线y=x 3

在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________ 3.

已知曲线()f x =

P(0,0)的切线斜率是否存在?

例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么s t ∆∆为（ ）

Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=22

1gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度 (2)求t=3s 时的瞬时速度 (3)求t=3s 时的瞬时加速度

点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬

3.1.2 导数的几何意义（1）

教学目的：

1. 了解平均变化率与割线之间的关系

2. 理解曲线的切线的概率

3. 通过函数的图像理解导数的几何意义 教学重点

函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学难点

理解导数的几何意义 教学过程

的斜率探究曲线的切线及切线

115

是什么？

变化趋势时割线，趋近于点沿着曲线，，，，当点n n n n PP x f x P x f n x f x p ))(()()4321))(((00 =的斜率无限接近与切线的斜率割线PT k PP n n

)()

()(lim )()(lim '000000x f x

x f x x f x x x f x f k x n n x =∆-∆+=--=→∆→∆

注意： .01斜率处的切线的的斜率为曲线在点割线时，，那么当）设切线的倾斜角为（P PP x n →α.2点的导数的斜率可以求该）求曲线上某点的切线（ .3函数在该点的导数—）切线的斜率（ 练习

上的平均变化率为

，在区间函数]31[2.13x x y -=

=∆∆∆+∆+-=x

f

f x x x f ，则

，及附近一点，的图像上一点若函数)11()11(12)(.22

.

2021.3.32时的平均速度到）求（）求此物体的初速度；（是，其位移与时间的关系一个做直线运动的物体==-=t t t t s =

∆-∆-==→∆x

x f x x f x x x f y x )

()(lim .11)(.40000则处的导数为在已知函数

导数的几何意义：

.)(0数在该点时的导数处的切线的斜率就是函在函数x x x f y ==

曲线在某点的切线 .3.

.2.1可以有多个甚至无数个不一定只有一个交点，）曲线的切线与切线并（则不存在切线，切线且唯一；若无极限如有极限，则在此点有限位置来判断与求解）要根据割线是否有极（）与该点的位置有关（.)21(1)(.12处的切线方程，在点求曲线例P x x f y +==

练习

处的切线方程为，在点）函数（)22

1(11--=x y

=-=k A x x y 处的斜率，，求曲线上点）已知（)21(322 导函数的定义

.

)()()()()('

'''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变

当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数=

x

x f x x f y x f x ∆-∆+==→∆)

()(lim

)(0

''即

注意

.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x

.)()(30'0处的函数值在处的导数就是导函数在）函数（x x x f x x f = .]72(1.22处的斜率，的导数，及在求函数例++=x x y