常微分方程 稳定性理论

§6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的.

李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数

dt

x dV )

(的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.

为了便于理解,我们只考虑自治系统 )(x F dt

dx

=n R x ∈ (6.11)

假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{}

K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且

O O F =)(.

为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数

R G x V →:)(

满足0)(=O V ,)(x V 和

i

x V

∂∂),,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在{}

H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有

)0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数.

通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2

22

1x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2

22

1x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数222

1x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数;

函数 2

1x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =.

在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面

C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且

0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ),(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中

存在C 值可任意小的闭曲线C V =.

对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方.

对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点.

定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定;

(2)

)(1

)

11.5(x F x V

dt

dV i n

i i

∑

=∂∂=常负,

(a)

(b)

图 6-1

则(6.11)的零解是稳定的.

图 6-2

证明 对任意)(0H <>εε,记

{}

ε==Γx x

则由)(x V 正定、连续和Γ是有界闭集知

0)(min >=Γ

∈x V b x

由0)(=O V 和)(x V 连续知存在0>δ(εδ<),使当δ≤x 时, b x V <)(,于是有δ≤x 时,

,),,(00ε

0t t ≥

(6.12)

若上述不等式不成立,由εδ<≤x 和),,(00x t t x 的连续性知存在01t t >,当[)10,t t t ∈时,

,),,(00ε

b x t t x V ≥)),,((001

(6.13)

另一方面,由条件(2)知

0dt

)

) x , t ,(t x (00≤dV 在[]10,t t 上成立,即[]10,t t t ∈时,

b x V x t t x V <≤)()),,((000

自然有b x t t x V <)),,((001.这与(6.13)矛盾,即(6.12)成立. (图6-2为n=2的情况.)

例 1 考虑无阻尼线性振动方程

02..

=+x x ω

(6.14)

的平衡位置的稳定性.

解 把(6.14)化为等价系统

⎪⎩⎪⎨⎧-==x

y y

x 2

.

.ω (6.15)

(6.14)的平衡位置即(6.15)的零解.作V 函数

)1

(21),(222y x y x V ω

+=)

有

)15.5(.

2

.

)

15.5()1

(y y x x dt

dV

⋅+

⋅=ω

即),(y x V 正定, 0)

15.5(≤dt

dV

.于是由定理6.1 知(6.15)的零解是稳定的,即(6.14)的平衡

位置是稳定的.

引理 若)(x V 是正定(或负定)的李雅普诺夫函数,且对连续有界函数)(t x 有 0))((lim =∞

→t x V t

则O t x t =∞

→)(lim .

证明由读者自己完成.

定理 6.2 对系统(6.11),若区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定;

(2)

)(1

)

11.5(x F x V

dt

dV i n

i i

∑

=∂∂=负定, 则(6.11)的零解渐近稳定.

证明 由定理 6.1 知(6.11)的零解是稳定的.取-

δ为定理6.1 的证明过程中的δ,于是当-

≤δx 时, )),,((00x t t x V 单调下降.若00=x ,则由唯一性知O x t t x ≡),,(00,自然有

O x t t x t =+∞

→),,(lim 00

不妨设00≠x .由初值问题解的唯一性,对任意t , .),,(00O x t t x ≠从而由)(x V 的正定性