高考数学二轮总复习专题五综合测试题 理

∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D 9．(2011·广东广州模拟)p＝ ab＋ cd，q＝ ma＋nc· 均为正数)，则 p、q 的大小关系为( )
2
b d ＋ (m、n、a、b、c、d m n
A．p≥q C．p>q 解析：q＝ 答案：B
B．p≤q D．不确定
mad nbc ab＋ ＋ ＋cd≥ ab＋2 abcd＋cd＝ ab＋ cd＝p，故选 B. n m
n－1 n
*
n
*
a b
n－1
.
(n∈N )．
a b n－1
*
(2)由 an＝4(5＋k) n n，an＝4·3
和 k＝－2，得 bn＝ ＋ bn ＝
n－1
4·3
n－1
，
∴ Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ „ ＋ bn ①
－ 1
1 2 n－2 n－1 ＋ 2 ＋ „ ＋ n－2 ＋ n－1 4·3 4·3 4·3 4·3
2 2007 2005 2 2008 ＝－2008. 答案：C 7．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( 1 A．ab≤ 2 C．a ＋b ≤3
2 2
)
1 B．ab≥ 2 D．a ＋b ≥2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
解析： ∵a≥0， b≥0， 且 a＋b＝2， ∴4＝(a＋b) ＝a ＋b ＋2ab≤2(a ＋b )， ∴a ＋b ≥2. 答案：D 8．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A．(－∞，－1] C．[3，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) )
4
定义域中任意 x 都成立． (1)求函数 f(x)的解析式；
2
2 1 (2)正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝ 3－ ，求证：数列{an}是等差数 fan 4 列． 解：(1)由 ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，得 f(x)(ax－1)＝b，若 ax－1＝0，则 b＝0， 不合题意，故 ax－1≠0， ∴f(x)＝
b
(2011·山东青岛十九中模拟)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前 n 项和为 Sn，等 比数列{bn}中，b1＝1，b2S2＝64，{ban}是公比为 64 的等比数列． (1)求 an 与 bn； 1 1 1 1 3 (2)证明： ＋ ＋ ＋„＋ < . S1 S2 S3 Sn 4
5
)
解析：如图，由图可知目标函数 z＝5x＋y 过点 A(1,0)时 z 取得最大值，zmax＝5.
答案：B 12．{an}为等差数列，若 值时，n＝( A．11 C．19 ) B．17 D．21
a11 <－1，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，那么当 Sn 取得最小正 a10
பைடு நூலகம்
解析：等差数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值，则公差小于零．又
解：(1)设{an}的公差为 d，d 为正数，{bn}的公比为 q，则
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
bb ＝q q ＝q ＝64＝2 依题意有 S b ＝6＋dq＝64
a
3＋nd－1
n＋1 a n
d
6
3＋n－1d－1
，
2 2
由(6＋d)q＝64 知 q 为正有理数， 6 又由 q＝2 d 知，d 为 6 的因数 1,2,3,6 之一，解之得 d＝2，q＝8.故 an＝2n＋1，bn＝ 8
解析：∵a≠0，b≠0，故有 b(b－a)≤0⇔ 答案：C
x ＋4x， x≥0 4．已知函数 f(x)＝ 2 4x－x ， x<0
2
b－a a a ≤0⇔1－ ≤0⇔ ≥1.故选 C. b b b
)，若 f(2－a )>f(a)，则实数 a 的取值范围是
2
(
) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1) B．(－1,2)
a11 <－1，则有 a11<0， a10
3
a10>0，a10＋a11<0，即 S19>0，S20<0，则当 Sn 取得最小正值时，n＝19.
答案：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，将答案填在题中的横线上． 13．在公差为 d(d≠0)的等差数列{an}中，若 Sn 是{an}的前 n 项和，则数列 S20－S10，S30 －S20，S40－S30 也成等差数列，且公差为 100d.类比上述结论，在公比为 q(q≠1)的等比数列 {bn}中，若 Tn 是数列{bn}的前 n 项之积，则有____________________________． 答案：
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
2
解析：由题知 f(x)在 R 上是增函数，可得 2－a >a，解得－2<a<1，故选 C. 答案：C
1
5．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝a －1(a 是不为 0 的实数)，那么{an}( A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．可能是等差数列，也可能是等比数列 D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 答案：C 6．(2011·保定)等差数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，a1＝ －2008， － ＝2，则 S2008 的值为( 2007 2005 A．－2006 C．－2008 B．2006 D．2008
n
≤
1 64 1 ＝ ，当且仅当 n＝ ，即 n＝8 时取等号，即 f(n)max＝f(8)＝ . 50 n 50 2 64＋34 答案：D
1
x－y≥0 11． 设变量 x， y 满足约束条件x＋y≤1 x＋2y≥1
A．4 C．6 D．7 B．5
， 则目标函数 z＝5x＋y 的最大值为(
b . ax－1 b ，得 2a－2＝b， a－1 b
① ＝－ ， ax＋2－1 a2－x－1
由 f(1)＝2＝
由 f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意 x 都成立， 得 1 由此解得 a＝ ， 2 把②代入①，可得 b＝－1， －1 2 ∴f(x)＝ ＝ (x≠2)． 1 2－x x－1 2 2 2 2 1 (2)证明：∵f(an)＝ ，Sn＝ 3－ ， 2－an 4 fan 1 1 2 2 ∴Sn＝ (an＋1) ，a1＝ (a1＋1) ，∴a1＝1； 4 4 1 2 当 n≥2 时，Sn－1＝ (an－1＋1) ， 4 1 2 2 ∴an＝Sn－Sn－1＝ (an－an－1＋2an－2an－1)， 4 ∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵an>0， ∴an－an－1－2＝0，即 an－an－1＝2， ∴数列{an}是等差数列． 18．(本小题满分 12 分) ②
10．设 Sn＝1＋2＋3＋„＋n，n∈N ，则函数 f(n)＝ 的最大值为( n＋32Sn＋1 A. 1 20 1 B. 30 2 1 C. 40 1 D. 50
*
Sn
)
解 析 ： 由 Sn ＝
nn＋1
得 f(n) ＝
n
n＋32n＋2
＝
n ＝ n ＋34n＋64
2
1 64 n＋ ＋34
1 2 3 n－2 n－1 3Tn＝ ＋ ＋ 2＋„＋ n－3＋ n－2 4 4·3 4·3 4·3 4·3
解析：∵等比数列{an}中，a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝
a2 ＋1＋q＝1＋q＋ .当公比 q>0 时，S3＝1＋q＋ ≥1＋2 q q q
1 1 1 1 时，S3＝1－－q－ ≤1－2
q· ＝3，当公比 q<0 q
1

q
1 －q·－ ＝－1， q
2 2 2 2 2 2 2 2
44＋14×2＋1 2 2 2 2 ，„，根据上述规律可得 1 ＋2 ＋3 ＋„＋n 6
nn＋12n＋1
6
.
nn＋12n＋1
6
15．已知数列{an}为等差数列，则有等式 a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2 ＋6a3－4a4＋a5＝0， (1)若数列{an}为等比数列，通过类比，则有等式_______ _________． (2)通过归纳，试写出等差数列{an}的前 n＋1 项 a1，a2，„„，an，an＋1 之间的关系为 ____________________． 解析：因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类 比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的 系数与二项式系数相同，解出第(2)问． 答案：(1)a1a2 a3＝1，a1a2 a3a4 ＝1，a1a2 a3a4 a5＝1 (2)Cna1－Cna2＋Cna3－„„＋(－1) Cnan＋1＝0 16．若不等式 4 －2
专题五综合测试题
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有( A. < C. > )
a4 a6 a6 a8 a4 a6 a6 a8
2
a4 a6
a6 a8
)
解析：由题意知，数列{an}为等差数列，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，由 5<2k－10<8，k∈N ， 得到 k＝8. 答案：B 3．对于非零实数 a、b，“b(b－a)≤0”是“ ≥1”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
*
a b
)
D．既不充分也不必要条件
n－1
. (2)证明：由(1)知 Sn＝n(n＋2)， 1
S1 S2 S3
＝
1 1 1 ＋ ＋ ＋„＋
Sn
1 1 1 1 ＋ ＋ ＋„＋ 1·3 2·4 3·5 nn＋2
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ 1－ ＋ － ＋ － ＋„＋ － 3 2 4 3 5 n n＋2 2 1 1 3 1 1 － ＝ 1＋ － < . 2 n＋1 n＋2 2 4 19．(本小题满分 12 分) (2011·山东青岛模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2·3 ＋k(k∈R，n∈N )． (1)求数列{an}的通项公式和 k 的值； (2)设数列{bn}满足 an＝4(5＋k) n n，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，试比较 3－16Tn 与 4(n ＋1)bn＋1 的大小，并证明你的结论． 解：(1)由 Sn＝2·3 ＋k(k∈R，n∈N )，得当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝4·3 ∵{an}是等比数列，∴a1＝S1＝6＋k＝4，∴k＝－2， 故 an＝4·3
x x x＋1
0 1 2 －2 －3 3 －1 －4 6 －4
n n
－a≥0 在[1,2]上恒成立，则 a 的取值范围为________．
x＋1
解析：由题得 a≤4 －2 答案：(－∞，0]
在[1,2]上恒成立，即 a≤(4 －2
x
x＋1
)min＝[(2 －1) －1]min＝0.
x
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)满足 ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，f(1)＝2 且 f(x＋2)＝－f(2－x)对
T20 T30 T40 100 ， ， 也成等比数列，且公比为 q T10 T20 T30
14．(2011·陕西省高三诊断)观察下列等式： 22＋12×2＋1 2 2 1 ＋2 ＝ ， 6 33＋12×3＋1 2 2 2 1 ＋2 ＋3 ＝ ， 6 1 ＋2 ＋3 ＋4 ＝ ＝________. 解析：通过观察前三个等式可得 1 ＋2 ＋3 ＋„＋n ＝ 答案：
n
)
S2007
S2005
)
解析： 由已知 － ＝2 的结构， 可联想到等差数列{an}的前 n 项和 Sn 的变式， ＝ 2007 2005 n
S2007
S2005
Sn
d S2007 S2005 d S2008 a1＋ (n－1)，故由 － ＝2，得 ＝1， ＝－2008＋(2008－1)·1＝－1，∴S2008
D. ≥
B. ≤
a4 a 6 a6 a8
a4 a6 a 6 a8
2 2 2 2 2 2
解析： a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a1＋10a1d＋21d ，a6＝(a1＋5d) ＝a1＋10a1d＋25d ，故 ≤ . 答案：B 2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n －9n，第 k 项满足 5<ak<8，则 k＝( A．9 C．7 B．8 D．6