9-6第6讲 双曲线习题有答案
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. － ＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知 曲线 C： ＋x2＝1.
双曲线习题及答案
双曲线习题及答案双曲线习题及答案双曲线是高中数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
掌握双曲线的性质和解题技巧对于学生来说是非常重要的。
在本文中，我们将介绍一些典型的双曲线习题，并给出详细的解答。
1. 问题：给定双曲线的标准方程为$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1$，求其焦点坐标和准线方程。
解答：由双曲线的标准方程可知，$\displaystyle a^{2} >b^{2}$，因此双曲线的焦点在$x$轴上。
根据焦点与准线的定义，焦点坐标为$(\displaystyle \pm c,0)$，其中$\displaystyle c=\sqrt{a^{2} +b^{2}}$。
准线方程为$\displaystyle x=\pm a$。
2. 问题：已知双曲线的焦点坐标为$(2,0)$和$(-2,0)$，离心率为$\displaystyle\sqrt{2}$，求其标准方程。
解答：根据双曲线的离心率定义，$\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$。
由题目可知，焦点坐标为$(2,0)$和$(-2,0)$，因此$\displaystyle c=2$。
又由离心率的定义可得$\displaystyle e=\frac{c}{a}$。
将这些信息代入双曲线的标准方程$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1$中，整理得到$\displaystyle \frac{x^{2}}{4} -\frac{y^{2}}{2} =1$。
3. 问题：已知双曲线的焦点坐标为$(3,0)$和$(-3,0)$，离心率为$\displaystyle\frac{3}{2}$，求其标准方程。
解答：根据双曲线的离心率定义，$\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$。
2018年高考数学总复习课时作业第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线 Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.(·台州调研)设双曲线－＝(＞，＞)的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )＝±＝±＝±＝±解析因为＝，所以＝，因为＝，所以＝，所以＝＝，所以双曲线的渐近线方程为＝±＝±，故选.答案.(·广东卷)已知双曲线：－＝的离心率＝，且其右焦点为(，)，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析因为所求双曲线的右焦点为(，)且离心率为＝＝，所以＝，＝，＝－＝，所以所求双曲线方程为－＝，故选.答案.(·浙江卷)已知椭圆：＋＝(＞)与双曲线：－＝(＞)的焦点重合，，分别为，的离心率，则( )＞且＜＞且＞＜且＜＜且＞解析由题意可得：－＝＋，即＝＋，又∵＞，＞，故＞.又∵·＝·＝·＝＝＋＞，∴·＞.答案.已知，为双曲线：－＝的左、右焦点，点在上，＝，则∠＝( )解析由－＝，知＝＝，＝.由双曲线定义，－＝＝，又＝，∴＝，＝，在△中，＝＝，由余弦定理，得∠＝＝.答案.(·杭州调研)过双曲线－＝的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则＝( )解析由题意知，双曲线－＝的渐近线方程为＝±，将＝＝代入得＝±，即，两点的坐标分别为(，)，(，－)，所以＝.答案二、填空题.(·浙江卷)双曲线－＝的焦距是，渐近线方程是.解析由双曲线方程得＝，＝，∴＝，∴焦距为，渐近线方程为＝±.答案＝±.(·北京卷)双曲线－＝(＞，＞)的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则＝.解析取为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形为正方形且边长为，∴＝＝，又∠＝，∴＝＝，即＝.又＋＝＝，∴＝.答案.(·山东卷)已知双曲线：－＝(＞，＞).若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且＝，则的离心率是.解析由已知得＝，＝，∴×＝×.又∵＝－，整理得：－－＝，两边同除以得－－＝，即－－＝，解得＝或＝－(舍去).答案三、解答题.(·宁波十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点(，－).()求双曲线的方程；()若点(，)在双曲线上，求证：·＝.()解∵＝，∴可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠).∵双曲线过点(，－)，∴－＝λ，即λ＝.∴双曲线的方程为－＝.()证明法一由()可知，＝＝，∴＝，∴(－，)，(，)，。
双曲线习题(含答案)
课后训练1．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有惟一的交点，则直线l 的斜率等于( )．A ．1B ．－1C ．±1D ．±2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )．A ．B ．C 2D 23．双曲线22163xy-=的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )．A ．B ．2C ．3D ．64．设F 1、F 2分别是双曲线2219yx -=的左、右焦点．若P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于( )．A ．B ．C ． D5．双曲线x 2－y 2＝1左支上一点P(a ，b )到直线y ＝x a ＋b ＝________.6．过点A(6,1)作直线l 与双曲线221164xy-=相交于两点B 、C ，且A 为线段BC 的中点．则直线l 的方程为________．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线22221x y ab-= (a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．8．已知双曲线2213xymm-=的一个焦点为(2,0)．(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；(2)若已知M(4,0)，点N(x ，y )是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．设直线l ：y ＝ax ＋1与双曲线C ：3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？(2)是否存在实数a ，使O A O B =且OA OB + ＝λ(2,1)?若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．参考答案1. 答案：C解析：由题意知l 与渐近线平行，∴k l ＝b a±＝±1.2. 答案：D解析：∵双曲线一条渐近线过点(4，－2)，∴12b a =⇒2214b a=⇒22214c a a-=⇒2254c a=⇒2e =.3. 答案：A解析：双曲线的渐近线方程为2y x =±，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切可得，圆心到渐近线的距离等于r ，即r.4. 答案：C解析：由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为F 1(0)、F 20)．设点P(x ，y )，则1P F ＝(x ，－y )，2PF ＝x ，－y )，∵120PF PF ⋅=，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10.∴||21PF PF +.5. 答案：12-解析：由题意知：双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，又P(a ，b )在左支上，∴a ＜b .又P(a ，b )到直线y ＝x，=⇒|a －b |＝2即a －b ＝－2.又P(a ，b )在双曲线上，∴a 2－b 2＝1. ∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝12-.6. 答案：3x －2y －16＝0解析：设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则有2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒12121212()()()()164x x x x y y y y +--+-＝0又A 为BC 的中点，∴x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2 ∴123()4x x -＝122y y -⇒k BC ＝121232y y x x -=-∴直线l 的方程为：y －1＝32(x －6)，即3x －2y －16＝0.7. 解：设F 2(c ,0)(c ＞0)，P(c ，y 0)，则220221y c ab-=，解得20by a=±.∴|PF 2|＝2ba.在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，则|F 1F 2||PF 2|，即2c2ba，将c2＝a 2＋b 2代入，解得b 2＝2a 2，故b a =∴双曲线的渐近线方程为y =. 8. 解：(1)由题意可知，m ＋3m ＝4，∴m ＝1. ∴双曲线方程为2213yx -=.∴双曲线实轴长为2，虚轴长为(2)由2213yx -=，得y 2＝3x 2－3，∴|MN|＝.又∵x ≤－1或x ≥1， ∴当x ＝1时，|MN|取得最小值3.解：(1)由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩， 消去y 整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 依题意得3－a 2≠0，Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0， ∴a 2＜6且a 2≠3，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系 得x 1＋x 2＝223a a-，x 1x 2＝223a -，又以AB 为直径的圆过原点， 即x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， (a 2＋1)x 1·x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0， ∴a ＝±1.(2)假设存在实数a 满足条件． ∵1212y y a x x -=-，OA OB +＝λ(2,1)，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝λ(2,1)，121212y y x x +=+.又O A O B = ，故22221122x y x y +=+，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以12121212y y x x x x y y -+=--+，∴a ＝－2.故存在实数a ＝－2满足题意．。
双曲线练习题(含答案)
双曲线练习题(含答案)双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y24＝1 D.y 23－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y2＝1焦点相同，则a＝________.20．双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13.B 14. D二、填空题1. 10 2. 234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、[答案] A [解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5、[答案] C [解析]ab<0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab<0.6、[答案] C [解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、[答案] D [解析]由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x>0)8、[答案] D [解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c2a 2＝a 2＋b 2a2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2.14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案] 833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线的方程为，令，所以渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程.2.双曲线的虚轴长等于( )A．B．-2t C．D．4【答案】C【解析】由于双曲线，所以其虚轴长,故选C．【考点】双曲线的标准方程．3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B是锐【解析】根据题意，易得，由题设条件可知为等腰三角形，2角三角形，只要为锐角，即即可；所以有，即解出故选B【考点】双曲线的简单性质5.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（）A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】整理准线方程得，∴，a=4，∴=2a=8或=2a=8，∴=2或18，故选C．.【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．6.双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.7.如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
【答案】（1）（2）【解析】（1）求动点轨迹方程，一般有四步.第一步，设所求动点的坐标，第二步，将条件转化为坐标表示，本题，两边取正切，转化为斜率关系，第三步，化简关系式为常见方程形式，第四步，根据方程表示图像，去掉不满足的部分.（2）研究取值范围，首先将表示为函数关系式.因为等于,所以先求出，从而有，利用直线与双曲线有两个交点这一限制条件，得到m>1,且m2，这作为所求函数定义域，求出值域即为的取值范围是试题解析：解（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）综上可知，轨迹C 的方程为3x2-y2-3=0（x>1） 5分 (2)由方程消去y ，可得。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第九章
9．6 双曲线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2-1 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做_________．“离心率e＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2-y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质自查自纠1．(1)绝对值＜焦点焦距(2)离心率(3)等轴双曲线充要垂直2．(2)x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)(5)A1(0，-a)，A2(0，a)(7)F1(-c，0)，F2(c，0) (9)e＝ca(e＞1)(10)y＝±bax(2015·广东)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A.x24-y23＝1 B.x29-y216＝1C.x216-y29＝1 D.x23-y24＝1解：c＝5，e＝ca＝5a＝54，得a＝4，b2＝c2-a2＝52-42＝9，双曲线方程为x216-y29＝1.故选C.(2015·福建)若双曲线x29-y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|(( (解：设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM 轴于H ，则∠MBH ＝60，3a )．将点M 的坐标代入双曲线a ＝b ，所以e ＝ca＝·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若F 2最小内角的大小为的渐近线方程是( )0 B ．x ±0D ．2x ±解：由题意，不妨设|PF |>|PF |，则根据双曲线＝AE ＝1，则AD ＝BE ，双曲线实轴长为23，2a ′＝3-1，所以＝ 3.故填3. )过双曲线x 2-y 23＝轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于为坐标原点，动直线分别在第一、四象限试探究：是否存在总与直线E？若存在，求出双曲线程；若不存在，说明理由．因为双曲线E的渐近线分别为。
(浙江专用)高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线练习(含解析)
（浙江专用）高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线练习（含解析）[基础达标]1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝±2xC．y＝±12x D．y＝±22x 解析：选B.由条件e＝3，即ca＝3，得c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为( )A．x2a2－y24a2＝1 B．x2a2－y25a2＝1 C．x24b2－y2b2＝1 D．x25b2－y2b2＝1解析：选C.由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b a＝k，ca＝5k，a2＋b2＝c2，所以a2＝4b2.3．(2019·杭州学军中学高三质检)双曲线M：x2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为( )A．3＋12B．3＋22 C．3＋32D．332解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋ 3.易知△POF2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 4．(2019·杭州中学高三月考)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，OF 1为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A ． 3B ．3C ． 2D ．2解析：选D.由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a 2＝b . 设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，所以|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点，又O 是F 1F 2的中点，所以OA ∥F 1M ，所以∠F 1MF 2为直角，所以△MF 1F 2为直角三角形， 所以由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2， 所以3c 2＝4(c 2－a 2)，所以c 2＝4a 2， 所以c ＝2a ，所以e ＝2. 故选D.5．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.6．(2019·浙江高中学科基础测试)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝20x有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝17，则双曲线的离心率为( )A ． 5B ．53C ．54D ．52解析：选B.由题意知F (5，0)，不妨设P 点在x 轴的上方，由|PF |＝17知点P 的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为20×12＝415，设双曲线的另一个焦点为F 1(－5，0)，则|PF 1|＝（12＋5）2＋（415）2＝23，所以2a ＝|PF 1|－|PF |＝23－17＝6，所以a ＝3，所以e ＝c a ＝53，故选B.7．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线x 22＋y 2k 2－k ＝1，当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k 的取值范围是________．解析：当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时，k 2－k ＞2， 所以k ＜－1或k ＞2；当曲线表示双曲线时，k 2－k ＜0， 所以0＜k ＜1.答案：k ＜－1或k ＞2 0＜k ＜18．(2019·金华十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．解析：F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.答案：29．(2019·瑞安四校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<ab c c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2.答案：(2，2)10．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213.设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为12×213|y 0|＝12.故y 20＝12213，将P 点坐标代入双曲线方程得x 20＝2513，不妨设点P ⎝⎛⎭⎪⎫51313，121313，则PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－181313，－121313，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫81313，－121313，可得PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝π2. 答案：π211．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.12．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.[能力提升]1．(2019·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ． 3C ． 5D ．10解析：选C.直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A (a ，0)，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2， 因为AB →＝12BC →，所以b ＝2a ， 所以c 2－a 2＝4a 2，所以e 2＝c 2a2＝5，所以e ＝5，故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．2 6解析：选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12c ，32c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，－32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，可得e 24＋34e 2－4＝1，可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3－1.代入双曲线方程可得：c 24a 2－3c 24b2＝1，可得：e 24－34－4e 2＝1，可得：e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3＋1， 则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.3．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是__________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)4．(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两渐近线交于点A ，B ，且BM →＝2AM →，则直线l 的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b 的值为________．解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，两渐近线的方程为y ＝±b ax .其交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －a ，b b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋b ，b a ＋b .由BM →＝2AM →，得x B ＝2x A .若a b －a ＝－2a a ＋b ，得a ＝3b ，由a 2＋b 2＝10b 2＝10得b ＝1，若－aa ＋b ＝2ab －a，得a ＝－3b (舍去)．答案：y ＝x ＋1 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．解：(1)依题意，b ＝3，c a ＝2⇒a ＝1，c ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2，0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，k ≠±3，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝6 2.得k 4＋8k 2－9＝0，则k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1，0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a ，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又因为DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，所以m ＝0(舍)或m ＝2，。
【精选】2020届高考数学(鲁京津琼)专用精练：第九章第6讲 双曲线含解析
第6讲 双曲线一、选择题1.(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2.(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53B.355C.63D.62解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ，0)到y ＝ba x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355.答案 B4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5.(2017·成都调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________. 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210.答案 2107.(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4， ∴ba ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28.(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.11.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，因此可得点A 的坐标为(a ，b ).设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝⎛⎦⎥⎤1，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13.(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB →，求△AOB 的面积.解(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1， 整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ， ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。
双曲线解答题练习(含答案).doc
双曲线解答题练习1.如图，在以点。
为圆心，|AB|二4为直径的半圆ADB中，0D丄AB , P是半圆弧上一点，ZPOB = 30° ,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(I )建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(II)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F・若AOEF的血积不小于,求直线/斜率的取值范围.• • •2.双曲线的中心为原点0,焦点在兀轴上，两条渐近线分别为/卩12,经过右焦点F垂直于£的直线分别交厶于人B两点.已知|网、阿网成等差数列，且丽与丽同向.(I )求双曲线的离心率；(II)设4B被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.3.已知双曲线x2-/=2的左、右焦点分别为片，"，过点厲的动直线与双曲线相交于A, B两点.（I）若动点M满足丽二帀+丽+而（其中0为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C,使冯・质为常数？若存在，求111点C的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线c的方程为召嶋W>OQO），离心率“孕顶点到渐近线的距离为芈（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若—- —- 1AP=APB9A E[-,2],求AAOB面积的収值范围35.求一条渐近线方程是3x + 4v = 0, 一个焦点是（4,0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率.（12分）6.双曲线x2-y2=a2（a>0）的两个焦点分别为巧,的，P为双曲线上任意一点，求证:\PF^\PO\.\PF2\成等比数列（O为坐标原点）.（22分）7.已知动点P与双曲线x2~y2=l的两个焦点Fi，F2的距离Z和为定值，且cosZF^的最1小值为一亍（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M（0, —1）,若斜率为k（30）的直线/与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使\MA\ = \MB\,试求k的取值范围.（12分）8.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2= 1总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）x2 y29.设双曲线Ci的方程为=一刍= l(d>0,b>0), A、B为其左、右两个顶点，P是双曲a~ h~线Ci上的任意一点，引QB丄PB, QA丄PA, AQ与BQ交于点Q.(1)求Q点的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹为C2，Ci、C2的离心率分别为©、勺，当> V2时，幺2的取值范围(14分)10.某屮心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当吋声咅传播的速度为340m/ s湘关各点均在同一平面上）.（14分）双曲线练习题答案1.如图，在以点0为圆心，\AB\=4为直径的半圆ADB中,0D丄AB, P是半圆弧上一点，ZPOB = 30° ,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(I )建立适当的平血直角坐标系，求曲线C的方程;(II)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F. 若厶OEF的面积不小于2近,求直线/斜率的取值范围.• • •解：(I )以0为原点,AB. OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A (・2,0), B (2, 0), D(0,2),P ( V3,l ),依题意得I MA | ・ I MB \ = \ PA \・ I PB I =(2 +V3)2 +12 -V(2-V3)2+12=2A/2 < I AB I =4.・・・曲线C是以原点为中心，A、3为焦点的双曲线.设实半轴长为0,虚半轴长为b,半焦距为c, 则c=2, 20=2-72 , /.a2=2,b2=c2-a2=2.・・・曲欽的方程为于才1.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得丨MA \ - \ MB \ = \ PA \ - \ PB \ < I AB I =4.・•・曲线C是以原点为中心，&、B为焦点的双曲线.X2 y2设双曲线的方程为一^一厶~ = 1(。
双曲线习题及答案
双曲线习题及答案圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422yx -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=3. 过双曲线221916xy-=的右顶点为A ，右焦点为F 。
过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______ 4. 已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．5. 过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以M N 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______6. 已知P 是双曲线22221x y ab-=上除顶点外任意一点，12,F F 为左右焦点，c 为半焦距，21F PF ?内切圆与12F F 切于点M ，则12||||F M F M ?的值为__________7. 已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111F M F A F B F O =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使C A ·C B为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．8. 已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b ab-=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距5（1）求双曲线C 的方程；（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3A P PB λλ=∈ ，求A OB ?面积的取值范围双曲线习题解答题详细答案选择题：1. A2. B3. A4. B5. B6. D7. C8. C 填空题：9.321510. (1,1+ 11. 212. 645-13. 1614.221(3)927xyx -=<-15. ||||3F P F Q ?=16. 212||||F M F M b ?=17. 如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆AD B中，O D AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30P O B ∠=?，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△O EF 的面积不小于．．．，求直线l 斜率的取值范围.解：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜P A ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为1222=-yx.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为a by ax (12222=-＞0，b ＞0）.则由 ??=+=-411322222b a ba ）（解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ -?+-=?≠0)1(64)4(01222k k k －?1k k ≠±<<??∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=kx x kk --=-16,14212,于是｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(122212212kkkx x x x k--?+=-+?+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk kkkkEF d --=--?+?+?=若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有解得.22,022213222422≤≤-≤--?≥--k kkkk③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ 22210(4)46(1)0k k k ?≠=-+?->??－?1k k ≠±<<??.∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kkkx x x x --=-?=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示），S △OEF ＝;2 1212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?=-??当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=??ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -?=+?综上得S △OEF ＝,2121x x OD -?于是由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk--若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S.22,02213222422≤≤-≤-?≥--k kkkk解得④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.18. （Ⅰ）设O A m d =-，AB m =，O B m d =+由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b A O F a∠=，4tan tan 23A B A O B A O F O A∠=∠==由倍角公式∴22431b ab a =- ?，解得12b a=,则离心率2e =．（Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y ab-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x bb-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369xy-=。
2018年高考数学课标通用理科一轮复习配套教师用书：第
§9.6 双曲线考纲展示►1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．考点1 双曲线的定义双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当________时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当________时，P 点不存在．答案：距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)a <c (2)a ＝c (3)a >c(1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．双曲线上一点P 到F 1，F 2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．答案：x 29－y 216＝1解析：由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4，故所求方程为x 29－y 216＝1.(2)[教材习题改编]双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫62，0 解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.双曲线的定义：关注定义中的条件．(1)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P 的轨迹是________．答案：两条射线解析：因为||PA |－|PB ||＝4＝|AB |，所以动点P 的轨迹是以A ，B 为端点，且没有交点的两条射线．(2)动点P 到点A (－4,0)的距离比到点B (4,0)的距离多6，则动点P 的轨迹是________． 答案：双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)解析：依题意有|PA |－|PB |＝6<8＝|AB |，所以动点P 的轨迹是双曲线，但由|PA |－|PB |＝6知， 动点P 的轨迹是双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)．[典题1] (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．[答案] x 2－y 28＝1(x ≤－1)[解析] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[答案] 9[解析] 如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4， 则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |. 由图可得，当A ，P ，E 三点共线时， (|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5， 从而|PF |＋|PA |的最小值为9.[点石成金] 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系．考点2 双曲线的标准方程与性质双曲线的标准方程和几何性质(1)[教材习题改编]若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等答案：A解析：由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等，故选A.(2)[教材习题改编]设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．答案：a解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较可得a ＝2.双曲线的标准方程：关注实轴的位置．双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线方程为________． 答案：x 2－y 23＝1或y 29－x 23＝1解析：当实轴在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知可知b a＝3，b ＝3， 所以a 2＝1，即所求方程为x 2－y 23＝1.当实轴在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知可得b ＝3，a b＝3， 所以a 2＝9，即所求方程为y 29－x 23＝1.求双曲线的标准方程：待定系数法．对称轴为坐标轴，经过点P (3,2)，Q (－6,7)的双曲线是________． 答案：5x 233－y211＝1解析：由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ∵所求双曲线经过P (3,2)，Q (－6,7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，36A ＋49B ＝1，解得A ＝533，B ＝－111.故所求双曲线方程为5x 233－y211＝1.[考情聚焦] 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大．主要有以下几个命题角度： 角度一求双曲线的标准方程[典题2] (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 由双曲线方程知右顶点为(a,0)， 设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ， 可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16， 所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.(2)[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．[答案]y 24－x 25＝1 [解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据定义知2a ＝|15－2＋－2－15－2＋＋2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5， 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)， 由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.[点石成金] 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程，并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 角度二已知离心率求渐近线方程[典题3] 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x [答案] B[解析] 在双曲线中离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2 ＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .角度三已知渐近线求离心率[典题4] [2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近线方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．[答案]5或52[解析] 根据双曲线的渐近线方程知b a ＝2或a b＝2.则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5或52. 角度四由离心率或渐近线方程求双曲线方程[典题5] 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1[答案] C[解析] 由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A ，B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.角度五利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围[典题6] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1， 5 ]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[答案] C[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2， ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ＞1＋4＝ 5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．[点石成金] 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝a b讨论． (2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．考点3 直线与双曲线的位置关系[典题7] 若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k2－－k 2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，∴1＜k ＜ 2.故k 的取值范围为(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0， ∴k 2＝57或k 2＝54.又1＜k ＜2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. [点石成金] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程．解：设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线E 的标准方程是x 24－y 25＝1.[方法技巧] 1.双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.5．过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.[易错防范] 1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．4．要牢记在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，离心率e >1这两点是不同于椭圆的．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a －y 2b ＝1，所以y 2b ＝c 2a －1＝b 2a ，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24， 所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析： 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时， 则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时， 则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋916＝54， 综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．提醒 完成课时跟踪检测(五十二)。
高考数学大一轮复习 9.6 双曲线试题(含解析)新人教A版
9.6 双曲线一、选择题1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1解析 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选D.答案 D【点评】 本题利用双曲线的定义列出关于a 、c 的等式，从而迅速获解.2. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1答案 A3．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 C4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )．A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3.答案 B5．设F 1、F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF u u u r ·2PF u u u r的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析 设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，|y 0|＝1，x 203－y 20＝1，x 20＝3(y 20＋1)＝6，1PF u u u r ·2PF u u u r ＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.答案 B6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )． A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 5 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5.答案 B7．如图，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.45C.43D.34解析 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.答案 B 二、填空题8．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 由题意得：双曲线x 23－y 26＝1的渐近线为y ＝±2x .∴焦点(3,0)到直线y ＝±2x 的距离为322＋1＝ 6. 答案 69．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析 根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝ 2.答案 y ＝±2x10.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为____________．c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=. 答案 22154x y -= 11．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝112．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析 根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2. 答案 2 三、解答题13．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.14．求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)、⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．解析 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则因为点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1.令m ＝1a 2，n ＝1b 2，则方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧32m －9n ＝1，25m －8116n ＝1.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝116，n ＝19.∴a 2＝16，b 2＝9.所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (6，2)，∴69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.15．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解析 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解析 (1) ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6， ∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3) ∵△F 1MF 2中|F 1F 2|＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝12×43×3＝6.。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.由曲线y和直线，以及所围成的图形面积是__________________.【答案】【解析】根据题意画出草图如下如图中的阴影部分面积为.【考点】定积分在几何中的应用.2.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的虚轴长为2，焦距为，则可知b=1,c= ,而焦点在x轴上，故其渐近线方程为即为,故选C.【考点】双曲线的几何性质点评：本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力3.双曲线的渐近线为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由双曲线方程知：双曲线的焦点在x轴上，且a=1,b=1，所以渐近线方程为。
【考点】双曲线的简单性质：渐近线方程。
点评：双曲线的渐近线方程为；双曲线的渐近线方程为。
4.已知点、，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设M(x,y),则,所以.5.已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点F（5，0），∵M满足| MF |=1，∴点M在以F为圆心1为半径的圆上∵ MF • MP =0，即圆的半径FM⊥PM，即| MP |为圆F的切线长由圆的几何性质，要使| MP |最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小∵P是双曲线上一点，∴|FP|最小为c-a=5-3=2∴此时| MP |= 故选B6.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A．2<k<5 ；B．k>5 ；C．k<2或k>5；D．以上答案均不对【答案】C【解析】若方程表示双曲线，7.与双曲线有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为。
【答案】;【解析】双曲线有相同焦点是（3,0）（-3,0），c="3," 离心率为0.68.(14分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)－2<k<－．(2) k＝－．【解析】(1)直线与双曲线方程联立消y得关于x的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k的取值范围.(2)解本题的突破口是假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0再根据韦达定理解决即可.(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线方程2x2－y2＝1后，整理得：(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①解：依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故，解得－2<k<－．(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得②，假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0，解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．可得k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．9.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当的面积为2时的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】解：由题意可得 a=，b=1，c=2，故 F1（-2，0）、F2（2，0）则根据面积公式可知，| PF1 - PF2|="|" F2F1|=2c=4，利用向量的数量积公式可知的值为3，选B10.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是A．B．C．或D．以上答案均不对【答案】C【解析】解：因为方程表示双曲线，所以（k-2）(5-k)>0，解得未选项C11.已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（O为坐标原点），求k的取值范围.【答案】（1）；（2）（－1，－）（，1）.【解析】（1）由题意得，又，解得，故双曲线方程为；（2）直线方程与双曲线方程联立消去得，根据题意需满足得.由，即＞2，由韦达定理和直线方程把用表示，得关于的不等式，求出，取交集得的取值范围是（－1，－）（，1）.解：（1）由已知：双曲线过点P（，1），解得，，故所求的双曲线方程为---------------------------------4分（2）将代入得由直线与双曲线C交于不同的两点得，即①---------------------------------6分设A（），B（），由得＞2而＝＝＝，于是②---------------------------------8分由①②得故所求的的取值范围是（－1，－）（，1）---------------------------------10分12.双曲线的渐近线方程是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为.双曲线的方程为，则13.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】根据题意可知,,故应选B.14.双曲线的一个焦点坐标是，那么 _______【答案】.【解析】,.15.过双曲线的mx2－y2＝m（m>1）的左焦点作直线l交双曲线于P、 Q两点，若|PQ|＝2m，则这样的直线共有 _______条.【答案】3.【解析】由于双曲线方程为,当焦点弦的两端点在同支上时，最短的弦为2m，满足条件的有一条;当焦点弦的两端点在两支上时，最短的弦为2<2m，满足条件的两条;所以共有3条.16.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线的方程.（2）若点（3）在（2）的条件下【答案】（1）；（2）见解析；（3）6.【解析】（1）由于双曲线是等轴双曲线所以可设其方程为,然后把已知点代入方程即可.（2）用向量的坐标表示出来，利用点M在双曲线上这个条件即可得证.（3）在（2）的条件下可确定高|m|的值，面积即可求出.17.已知双曲线(1)求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不存在.【解析】（1）本题涉及到用方程来判断直线与双曲线的位置关系，一定要注意再利用判别式进行判断时，二次项系数不为零.(2)本题求出直线方程后，要注意验证二次方程的判别式是否大于零，如果不大于零，就不存在，否则存在.解：（1）解方程组消去得当，时当时由得由得由得或综上知：时，直线与曲线有两个交点，时，直线与曲线切于一点，时，直线与曲线交于一点.或直线与曲线C没有公共点.（2）不存在假设以Q点为中点的弦存在（1）当过Q点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意.（2）当过Q点的直线的斜率存在时，设斜率为K联立方程两式相减得：所以过点Q的直线的斜率为K=1所以直线的方程为y=x即为双曲线的渐近线与双曲线没有公共点即所求的直线不存在.18.双曲线的两焦点为，在双曲线上且满足，则的面积为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|="2" ①|PF1|+|PF2|="2" ②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=-，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，故选B19.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据双曲线的几何定义可得，，所以。
(word完整版)高中数学双曲线课后习题(带答案)(2021年整理)
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双曲线课后习题一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是( ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m ，n 为两个不相等的非零实数,则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ） A ．23B ．3C ．34D ．36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ )A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6,则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ) A ．28 B ．22 C ．14 D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点,则L 条数共有 ( ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0； ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ,其中与直线 y=－2x －3有交点的所有曲线是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 二、填空题（本题共4小题,每小题6分,共24分）11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ．三、解答题（本大题共6题,共76分）15．求一条渐近线方程是043=+y x ,一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－错误!。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章 第六节 双曲线 Word版含答案
第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. 5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一 双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)， 所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.。
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第6讲 双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________． 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2102．(2017·南京模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 答案 y ＝±22x3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________．解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.答案 x 216－y 29＝14．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为________． 解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝ba x 的距离为2，即|bc |a 2＋b2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝c2－b2＝5，∴离心率e＝ca＝35＝355.答案35 55．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．解析由题意可得AF＝MF，且AF＝b2a，MF＝a＋c，则b2a＝a＋c，即b2＝a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2. 答案 26．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．解析双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±ba x，即bx±ay＝0与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则2aa2＋b2＝2ac>1,2a>c，故该双曲线的离心率满足1<e＝ca<2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．答案(1,2)7．(2017·泰州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．解析由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y＝ba x上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝25，4＝3×ba，解得⎩⎨⎧a＝3，b＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1.答案x29－y216＝18．(2016·山东卷)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 2 二、解答题9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A P →＝P B →，求△AOB 的面积．解(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由A P →＝P B →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n. 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1， 整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ， ∴S △AOB ＝12OA ·OB sin 2θ＝2mn ＝2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝OB ＝22，又∠AOB ＝π4， ∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 212．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是右支上一点．若△PF 1F 2是顶角为2π3的等腰三角形，则双曲线C 的率心率是________． 解析 由题意可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，∠PF 2F 1＝2π3，则PF 1＝23c ，由双曲线定义可得PF 1－PF 2＝23c －2c ＝2a ，则(3－1)c ＝a ，则双曲线C 的离心率是e ＝ca ＝3＋12. 答案3＋1213．(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________． 解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎨⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5. 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.如图，设直线l 与x 轴相交于点C . 当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则OC ＝a ，AB ＝4a . 又因为△OAB 的面积为8， 所以12OC ·AB ＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1. 若存在满足条件的双曲线E ， 则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2， 则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12OC ·|y 1－y 2|，得 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 2－k －2m 2＋k ＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1，得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2＜0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24－y216＝1.。