上海交通大学理论力学2012-2013学年期中试卷(含答案)81学时

1. 如图所示，平衡系统由杆OA ﹑杆AB ﹑杆BD ﹑杆BC 和杆CD 组成。铰O 为固定端支座，铰D 为固定铰支座，铰A ﹑B ﹑C 为圆柱铰。图示位置AB 和CD 水平，OA 和BC 铅垂。

已知：a CD BC AB OA ====。杆CD 的中点E 作用铅垂力F v

，大小为F 。杆OA 上作用一力偶1M ，力偶矩的大小为Fa M 21=，杆BC 上作用一力偶2M ，力偶矩的大小为Fa M =2，不计各物体的重量。 求：(1) 杆BD 的内力（注明拉压力）；

(2) 固定端O 作用于杆OA 的约束力和约束力偶。(20分) 解：

由于不计各物体的重量，杆AB 和杆BD 均为两力杆。

如图建立参考基[]T

y x v v r =e ， 以杆BD ﹑杆CD 和杆BD 组成的系统为研究对象：

0)(1

=∑=i n i z D F M v

02

1

2=+−a S M aF AB （3分） 解得：2

F

S AB =（拉力）（1分）

以杆BD 为研究对象：

0)(1

=∑=i n i z C F M v

02

12=−−

M a S a S BD AB （3分）

解得：F S BD 2

2

−

=（压力）（1分）

AB

S r BD

S r

D

AB

S r

以杆OA 为研究对象：

01=∑=n

i ix

F

，0=+AB x O S F （2分）

01=∑=n i iy

F

，0=y O F （2分）

0)(1

=∑=i n

i z O F M v

01=++−O AB M M a S （3分）

解得：F F x O 21−=，0=y O F ，Fa M O 2

3

−=（2分）

2. 如图所示，梯子由杆OA 和杆AB 组成，

铰O 为固定铰支座，铰A 为圆柱铰，杆AB 搁置在地面上，接触点为端点B 。杆OA 和杆AB 的长度均为l ，图示位置杆OA 和杆AB 的倾角均为60o 。杆AB 与地面接触点B

的静摩擦因数为3

21=

s f 。人的重量为W ，

不计杆OA 和杆AB 的重量。设梯子始终保持平衡，计算

(1) 人到达的最高点P 与点B 的距离x 。 (2) 如果人能够到达的最高点A ，接触点B 的摩擦角至少应该多大？ (15分)

M

(1) 解：

取杆AB 为研究对象： 01

=∑=n

i ix

F ，021

=−m B OA F S （2分） 01=∑=n

i iy F ，

02

3

=−+W F S N B OA （2分） 0)(1

=∑=i n

i z B F M v ，02123=+−xW S l OA

（2分） 补充方程：N B m B F F 3

21

=（1分）

解得：l x 3

2

=（2分）

(2) 解：设人到达的最高点A 时，点B 即将向右滑动，此时，点B 的摩擦力为

极限摩擦力。取杆AB 为研究对象： 0)(1

=∑=i n i z A F M v ，B F r 必定过点A ，B F r 与N B F r 夹角为6/π（2分）

，根据摩擦角的定义，接触点B 的摩擦角为6/π。因此，接触点B 的摩擦角至少为6/π，人才能

到达最高点。

（2分）

S r

S r m

B

3. 如图所示，圆弧杆B 1搁置在高为h 的平台上。圆弧的半径为r ，圆心为O ，

2/r h =，o 90=∠BOA 。杆B 1的端点A 以匀速v 沿水平轴x r

向右运动。图示瞬时，

OA 铅垂，OB 水平，o 60=∠COA 。请利用刚体系矢量瞬时分析法求此瞬时 (1) 圆弧杆B 1的绝对角速度；(2) 圆弧杆B 1的绝对角加速度。(20分)

解：取点C 为动点，杆B 1的连体基11y x r r 为动基，点C 相对于动基11y x r

r 作圆周运

动，相对于定基y x r

r 不动。

01111r r r r r r =++==r

C e C e tC C C v v v v v ω（2分）

v v v A e tC ==1，11ωωr v e C =（2分） x v

：02

12111=−−e C r C v v v ω（1分）

y r ：0232311=−e

C r C v v ω（1分）

解得：

v v

r

C

=1, r

v

r v r C r ==11ω, 11e C v v r r ωω==（2分）

（

1分）

11111110e e e r r c

C C tC C C C nC C a a a a a a a a ωατ==+++++=r r r r r r r r r （2分） 01==A e tC

a a

，r

v r a e C

2

2

11==ωω，r a e C 11αα=，11r

C r a r τα=，()

2

21211r C r nC r v v a r r

r

ω==

= 211122c r C

C

v a

v

r

ω==（5分）

n r ：02

321

1111=−+−c C r C n e C e C a a a a αω（2分）

0223

212212=−+−r v r v r r v α

解得：2

2133r v −=α（1分）

4. 如图所示，刚性杆B 1的端点A 靠墙，端点B 着地，以匀速v 沿水平轴x r

向右

运动，杆B 2可沿铅垂方向y r

作直线平动，杆B 2的端点C 可以在杆B 1上滑动。

杆B 1和杆B 2的长度均为2l ，图示瞬时，杆B 1与水平线的夹角为30o ，请利用刚体系矢量瞬时分析法求此瞬时

1分）

D