《无穷等比数列各项的和》教案及说明
7.8(二)无穷等比数列各项和公式的应用
7.8（二）无穷等比数列各项和公式的应用教学目标：会利用求无穷等比数列各项的和的知识解决相关的问题以及简单的应用问题. 教学重点：用无穷等比数列各项的和的知识解决有关应用问题； 教学难点：相关应用问题的转化方法。
教学过程： 一、 知识回顾：无穷等比数列各项和公式：我们把01q <<的无穷等比数列的前n 项和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S 表示，即()1011a S q q=<<- 注意：公式的使用条件：只有当01q <<时，无穷等比数列各项的和才有意义。
当1q ≥时，lim n n S →∞不存在，S 也就不存在，因此在使用公式1lim 1n n a S S q→∞==-时，必须强调01q <<。
二、 无穷等比数列各项和公式的应用：类型一、利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围例1、已知数列{}n a 为等比数列，12a =，1）设{}n a 各项的和为5，求各项平方的和，各项立方的和； 解：由题意得23515q q =⇒=- .因为数列{}n a 各项平方的和22212n a a a ++++表示以21a 为首项，以2q 为公比的无穷等比数列各项的和，所以22212n a a a ++++2122514a q ==-；同理，数列{}n a 各项立方的和33312n a a a ++++表示以31a 为首项，以3q 为公比的无穷等比数列各项的和，所以33312n a a a ++++313500149a q ==-. 2）设{}n a 各项的和为5，求各奇数项的和，各偶数项的和. 解：由题意得23515q q =⇒=-.因为数列{}n a 各奇数项的和1321n a a a -++++表示以1a 为首项，以2q 为公比的无穷等比数列各项的和，所以1321n a a a -++++122518a q ==-；同理，数列{}n a 各偶数项的和242n a a a ++++表示以2a 为首项，以2q 为公比的无穷等比数列各项的和，所以242n a a a ++++212215118a a q q q ===--. 例2、若无穷等比数列中任意一项都等于它后面所有各项的和， 求此数列的公比。
基于探究的《无穷等比数列各项和》教学设计
使我们去寻找新的求 无穷等 比数列 的各项和的 方法， 即用‘ 限” 极 的方法进行求解， 也让学生体 会到极 限的具体应用．
３ 例题教学探 究 ．
ｎ 个
相 得． ０＝． ０＝ 减 ０×９０ 得． 器：． §． ３ ， １
问题 ２ 用以上两种探 究方法求 ２ ０ ＋２＋２ ＋
次为 ０ ，２… ，ｎ … ， Ａ ＝０ ＢＣ ＝ ２ ， １０ ， ０ ， 若 Ｂ ， ａ （ 转 第 １３ 下 — ７页）
思考 １ 如果 能用学生 已掌握 的提取公因数 ：
２１ 年第 ｌ ０２ 期
小题 的结论需要稍作改动， 于是得到：
数 学教 学
１３ —
边 △ＡＢ 的 内切 圆 ， 以 ￣ＰＥＮ 是 ｏＤ的 弦切 所
０３ ｇ ＋… 的和又在什么条件下存在呢？
反思 ２ 是不是 ２ ３ ： ＋２ ＋２ ＋… ＋２ ＋… 不
Ｓ＞寺 １ ≠０； １ 时， ｎ且 １ 当ｎ ＜０ Ｓ＜专 １ ０且
二 厶
Ｓ≠ｎ． １
能提取公 因数 ２ 也就是有限项的和可 以提取公 ，
因数 （ ， 式）而无穷项 的和就不能提取公 因数 （ 式）
ｒ — ＋ ∞
关 系？
思考：通过例 ５ 让 学生再一次体会用极 限 ， 解决 问题， 也对前面用极限推导无穷等 比数列各 项 的 和显 得 突然 的 一 种 弥补 ． 通 过 上述 三 个 环节 的探 究， 生 不但 能 主 动 学
图 １ 图２
地实现本节 课 的主要 教学 目标， 理解无穷 等 比
了． 不是有 限项可 以做乘法对加法 的分配律， 是 而无 限项的和就不能做乘法对加法的分配律了？ 反 思３ ：在前 面两点反 思的基础 上， 能不能 用其他方法求无穷等 比数列各项和呢？ 探究 ３ ：要求无穷等 比数列各项 的和， 我们
7.8无穷等比数列各项的和ⅠⅡ
1的无穷等比数列前n项的和S
，
n
当n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，
用符号S表示，即S a1 ( q 无1)．限个数的和与有
注意：S与
Sn
的不同 1 q
S
lim
n
S
n
限个数的和意义是
a1 不一样的 1 q
定义：
设{a n }是以q为公比的等比数列,当0<|q|<1时,
40[1 （95%）n ] 1 95%
q 1时，lim q n 0 lim (0.95)n 0
n
n
当n , Sn无限趋近于数列各项的和S
S
lim Sn n
lim n
40[1 （95%）n ]
1 95%
40 1 95%
800
钟摆摆动的所有弧的长度和为800cm．
1 1 a1 1且1 a1 0
4
4
解得a1 (0，4) (4，8)
例7、如图正方形ABCD的边长等于1，联结这个正方形 的各边中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结 这个小正方形的各边中点得到一个更小正方形
A2 B2C2 D2；如此无限的作下去． 求所有这些正方形周长的和与面积的和．
{a
n
}称为无穷
递
缩
等比数列,定义{a
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
}各项的和为S=
lim
n
Sn
.
则S=
lim
n
Sn
=
a1 1- q
(0<|q|<1)
问:(1){an“} 前n项和”与“各项的和”有何区别?
高二数学无穷等比数列各项的和
沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进
1 2
个单位到P2，再向左前进
1 4
个单位到P3，再向
0.9
下前进
1 8
个单位到P4；以后的前进方向按向右、
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
0.5
P3
2
即S=
a1 1- q
(
q
1).
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次 摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
例3：在边长为1的正方形ABCD中，
取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1A1；
取A1B1、DC中点A2、B2，得一个小矩形A
2B1CB
；
2
再取A1D、A2B2中点A3、B3，得一个小矩形A1A2B3A3;
如此无限下去，求所有这些矩形的面积之和。
A
A1
A3
D
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发
教学班级：高二（4）班 教师：钮煊
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
高二数学无穷等比数列各项的和
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
0.4
0.6
0.8
1 P 1
1.2
1.4
0.7
0.6
P3
0.5
P2
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P1
回顾今天的学习过程，
你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的
两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自
A A1 A3 D
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发 沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进 1 1 个单位到P2，再向左前进 个单位到P3，再向 2 4 1 下前进 个单位到P4；以后的前进方向按向右、 8 向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为 前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到 达的极限位置。
教学班级：高二（4）班ຫໍສະໝຸດ 教师：钮煊引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义： 我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示， a1 即S= ( q 1). 1- q
高二数学上册 7.8《无穷等比数列的各项和》教案（1） 沪教版
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无穷项求和”．教材如此处置，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限熟悉无穷、从已知熟悉未知、从近似熟悉精准的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的爱好．本末节的难点是正确明白得无穷等比数列的各项和的概念．冲破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出概念，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的爱好，引导学生进行思维创新，在不断探讨中发觉问题、解决问题．二、教学目标设计1．明白得无穷等比数列的各项和的概念；2．把握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．明白得无穷个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题进程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确明白得无穷等比数列的各项和的概念.四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计一、温习引入 试探以下问题：一、0.9•和1哪个数大？什么缘故？二、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.关于问题1，先让学生进行讨论，然后展现他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）若是你以为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）若是你以为0.91•<，那么你可否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个. 于是能够把0.9•看做n S 当n →∞时的极限，从而课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和 公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.关于问题2，一样进行分析.对照以上两个问题，它们有何一起特点？ 二、教学新课一、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，咱们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同窗们试探，是不是无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？若是它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 知足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=. ∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导进程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 二、无穷等比数列的各项和的概念提问：通过适才的讨论，你可否给无穷等比数列各项和下一个概念？请用数学语言来描述一下． 咱们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化以下循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生一起总结得出：循环小数化为分数的法那么：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数． 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部份的数减去不循环部份所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部份的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求以下循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和． 解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求以下循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结那个正方形各边的中点取得一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结那个小正方形各边的中点取得一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无穷继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长211222n n a a --==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为121221,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为124,2,2,,4,2n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，D 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2B 1C 1A 11DABC这是首项为4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212l ==+-.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S 为 12112S ==-.练习：473P .补充练习：（能够和作业的试探题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点1A 、1B ，得矩形11ABB A ；取11A B 、DC 中点2A 、2B ，得一小矩形212A B CB ；再取1A D 、22A B 中点33A B 、，得一小矩形1233A A B A ；如此无穷继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的进程可知，让作图无穷下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa -11(1<q )； 2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，而且那个极限是能够达到的； 3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 知足01q <<； 4．要学会从特殊问题的解决进程中体会一样化问题的解决方式． 四、课后作业一、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P BA 44B 332A 21A 1CA二、试探题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法那么再也不适用．求无穷多个数的和事实上是求一个极限（而且那个极限能够达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．因此，在新课引入时，利用讲义的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计用意在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的进程中体会无穷的思想，真正明白得什么缘故要用极限来概念一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念明白得后，应用也就瓜熟蒂落了．。
无穷等比数列的各项和(1)
练习： 1.计 算 ： 8 0.8 7 0.7 6 0.21 0.9 2.(1)在 无 穷 等 比 列 中 ， 每 一 项 都 等 于 后 面 所 有 项 数 它 和 的 k倍 ， 求 实 数 k的 值 范 围 。 取
a 中 (2)在 无 穷 等 比 数 列 n ， 首 项 为 a ,公 比 为 q ,且 有 1
7 17 0.1 99
（2）混循环小数化成分数的规律是：分子是小数点以后最后一
个循环节以前(包括最后)的数字所组成的数减去小数点以后非 循
环节的数字所组成的数；分母是若干个9接若干个0组成的数，
9的个数是循环节的个数，0的个数是小数点后非循环节的位数。 如:
5 215 2 213 0.21 990 990
上面两个问题有一个共同的特征：
（1）都是无穷等比数列的所有项之和
(2)它们的公比都满 q 1 足
二.新课：
设无穷等比数列：,a1q ,a1q 2 ,,a1qn 1, 满足q 1, a1 则该数列各项和（所有 项和）应该是怎样的呢 ？
a1(1 qn ) 设Sn是其前n项和，则： n S 1 q n a1(1 q ) a1 n lim S n lim lim lim q ) (1 n n n 1 q n 1 q
a1 lim S n n 1 q
无穷等比数列各项和的定义：
我们把无穷等比数列a n (公比 q 1)的前n项和S n 的各项和（所有项和） 的极限称为数列a n 。
a1 ( q 1) 记为： S 1 q
例1.化下列循环小数 为分数： (1)0. 9 2
n
例4.已知无穷等比数 a n 列 的各项和是 2 ,求lim Sn的值。 例5.已知数列an n n 3
无穷等比数列各项的和教案1北师大版必修5
无穷等比数列各项的和教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用教学过程：一、复习引入1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列,21,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广二、新课讲授1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11 )1(<q 例1、求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.例2、将无限循环小数。
92.0化为分数.三、课堂小结：1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法四、练习与作业1、求下列无穷等比数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98-- （2） ，，，，754154311326A B Cah 第4题（3） ，，，131311313+--+ （4）)1(,,,,132<--x x x x ，2、化循环小数为分数：（1）。
72.0 （2）。
603.0（3）。
832.1 （4）。
3204.0-3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2。
7.8无穷等比数列各项的和课件讲解
复习旧知
二、基本极限
n lim q ①当 q 1 时， n 0
1 lim 0 ②n n
③ lim C 0(C 为常数)
n
复习旧知
三. 极限的运算法则
lim an A, lim bn B，那么 如果 n n
lim an bn lim an lim bn A B （1）
课内练习
练习7.8(1) P47
例题讲解
例3 已知无穷等比数列an 的各项和是4，求首项 a1 的取值范围.
例题讲解
例4 如图，在RT△ABC内有一系列的正方形，它们 的边长依次为 a1 , a2 , , an , ，若Ab=a，BC=2a，求
所有正方形的面积的和.
课内练习
练习7.8(2) P48
一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%
，假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停
止前所有摆动的弧的长度和。
问题思考
问题2： 0.9 和1哪个数大？为什么？ （1）如果 0.9 1 ，那么小多少？
（2） 能否找到一个数a，使得 0.9 a 1 ？
问题思考
这两个问题有什么共同特征？
问题思考
问题1：第一次摆动弧的长度为40cm，每摆动一次 的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，求 它在停止前所有摆动的弧的长度和。 等比数列： a1 40, q 0.95 和 无穷项
问题2：0.9 和1哪个数大？为什么？
等比数列： a1 0.9, q 0.1 和 无穷项
7.8 无穷等比数列各项 的和
符号S表示，即
a1 S lim S n q 1 n 1 q
例题讲解
7.8无穷等比数列各项的和
7.8 无穷等比数列各项的和一、新课引入情境一：有人说，，你认为对吗？如果你认为，那么比小多少？能在与1之间插入一个实数吗？又有人说，因为，两边同乘以3，得.你赞同哪种说法呢？情境二：如果把你家和学校看做两个点，这两点间的距离是1000米，从家出发你先走了500米，然后再走剩余路程500米中的一半即250米，再走剩余路程的一半即125米，照此下去，理论上来讲，你永远也到不了学校，正所谓“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，而实际情况是，你早坐在了教室里上课，问题出现在哪里呢？情境三：芝诺悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。
如果有一只乌龟在阿基里斯前100米的地方，乌龟的速度是1米/秒，而阿基里斯的速度是10米/秒。
注意到追者首先必须到达被追者的出发点，然而当阿基里斯跑至乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬了10米，于是一个新的起点产生了，阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，他只能再追向那个1米就这样，乌龟会制造出无数个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但阿基里斯就是追不上乌龟！芝诺，古希腊数学家、哲学家，埃利亚学派代表人物，被亚里士多德誉为辩证法创始人。
二、新课导学1.温故：（1）对于无穷等比数列通项公式：前项和公式）（2）极限：当时，运算法则：若则2.情景再回顾情景1：而，，，，，是以为首项，为公比的无穷等比数列，它的前项和为.于是可把看作当时的极限，即因此，.情景2：3.知新：无穷等比数列各项的和符号：显然：时，不存在；时不存在；是摆动数列；时，不存在；时，；4.定义：我们把的无穷等比数列的前项和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即5.对定义的理解：（1）无穷等比数列前项的和与它各项和的区别与联系：前项的和是数列中有限项的和，而无穷等比数列各项和是数列中所有项的和，它们之间有着本质的区别；无穷等比数列各项和是其前项的和当时的极限，是用有限手段解决无限问题；（2）运用公式求和的前提：；（3）由无穷等比数列各项和的公式可知，求一个无穷等比数列各项的和，只要求出数列的首项与公比即可解决问题。
无穷等比数列各项的和(一)
A2 B
A3 B1
B2 C
五、课堂小结
1、无穷等比数列的各项和的定义 ；
我们把 q < 1 的无穷等比数列前 项的和 Sn， n 当 的无穷等比数列前n项的和
→∞
时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示 表示， 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用 表示，
a1 ） 即S= 1 − q （ q < 1
我们把 q < 1 的无穷等比数列前 项的和 Sn， n → ∞ 当 的无穷等比数列前n项的和
时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示 表示， 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用 表示，
a1 ） 即S= 1 − q （ q < 1
2、概念辨析
（1）已知数列
1 {an } 满足an = − 2
n −1
，且共有10项，
n −1
1 （2）已知无穷数列{an } 满足an = − 2 求此数列的来自项和；求此数列的各项和；
{an } 满足an = 2n−1 （3）已知无穷数列
求此数列的前n项和 Sn .
三、巩固与发展
ɺ 例1： 0.9 与1的大小关系如何？
例2、化下列循环小数为分数：
2、会把无限循环小数化为分数的问题.
六、作业
1、习题册21页A组1、2，23页B组1，2； 2、认真阅读课本，理解无穷等比数列各项的和的定 义，体会我们处理无穷问题的方法.
想一想： （1）如何理解“无穷项的和”？ （2）如何求“无穷项的和”？
1 探究：无穷等比数列 ( ) n “各项的和”与前n项和Sn的关系 2
前n项和Sn是求“各项和”的基础
我们想像一直加下去能得到“和”，即“和”是存在的，是一个确定的数“S”，
高二数学上册 7.8《无穷等比数列求和》教案（1） 沪教版
课题:无穷等比数列各项的和（1）课标要求:会求无穷等比数列各项的和。
教学目标： 1、 明白得无穷等比数列各项和的含义，把握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和； 2、 会用无穷等比数列各项和解决相关问题；3、体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无穷，深刻体会有限和无穷的区别和联系；4、通过等比数列各项和的探讨进程培育学生的探究意识和提高数学的应用意识和能力。
教学重点: 1、 等比数列各项和的概念及公式的推导；2、等比数列各项和在一些简单的实际问题中的应用。
教学难点:正确明白得无穷等比数列各项和的概念。
教学进程： 一、新课引入1、 引例1:有理数运算:......(1)0.20.8?(2)0.20.8?(3)0.130.52?+=+=⨯=2、引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。
(请用一个式子来表示求解的问题)3、点题：无穷等比数列各项和二、概念形成4、温故:无穷等比数列1234,,,,...,,...,n a a a a a通项公式:11,n n mn m a a q a q --==前n 项和11121(1)(1)...11(1)n n n n a a qa q q S a a a q qna q ⎧--=≠⎪=+++=--⎨⎪=⎩5、知新：无穷等比数列各项和符号：12......lim n n n Sa a a S →∞=++++=显然：1）1q =，1lim lim n n n S na →∞→∞=不存在 2）1,q =-，，1*21,()0,2n a n m S m N n m=-⎧=∈⎨=⎩，lim n n S →∞不存在3）1q >，1(1)lim lim 1n n n n a q S q →∞→∞-=-不存在4）1q <，11(1)lim lim11n n n n a q aS q q→∞→∞-==-- 6、概念：咱们把1<q 的无穷等比数列前n 项的和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S 表示，即S=qa -11(1<q ) 。
无穷等比数列各项的和教案北师大版(美教案)
《无量等比数列各项的和》教课设计教课目的：知识与技术：．理解无量等比数列各项和的定义，掌握无量等比数列各项和的公式；．会利用无量等比数列各项和的方法与公式，初步解决一些简单的问题；过程与方法：．经历由无量等比数列前n项和求各项和的过程，领会用极限的思想来解决无量等比数列的乞降问题；．领会有限和无穷的差别和联系、感悟用有限刻划无穷的极限思想和由已知认识未知的数学思想。
感情态度与价值观：．经过发问、思虑、研究、议论、沟通等形式培育学生的合作能力和研究能力；．指引学生会从数学角度发现和提出问题解决问题，调换学生的数学学习踊跃性。
教课要点与难点：要点：无量等比数列各项和的定义及无量等比数列各项和公式的推导；难点：无量等比数列各项和公式的推导及极限思想在求无量等比数列各项的和中的应用。
教课过程：一、复习引入（一）复习：、极限的运算法例；、常用数列的极限：（二）引入：一瓶水，每次喝掉此中的一半，永久也喝不完？试从数学的角度来解说：（）如图：边长为的正方形中，S11,S21,S31,S41S n1这样无248162n 限做下去，这些小矩形的面积和等于大正方形的面积（）极限的思想：111，1，可得数列a n：，，，2n248引出课题：无量等比数列各项的和二、观点形成研究一：猜想11111，为何？2482n发现一：我们能够把无量等比数列1各项的和看作是其前n项和S n当n时的极限；即2n．．．．．．．．．．S limS nn研究二：无量等比数列前n项和的极限能否必定存在？若存在，极限是什么？发现二：当且仅当公比q知足：0 q 1时，无量等比数列a n前n项和的极限存在。
定义：我们把公比q1的无量等比数列前n项和S当n时的极限叫做无量等比数列各n．．．．．．．项的和，并用符号表示，即SlimS n．．．n公式：S a1(0 q1)1 q注意：①无量等比数列前项和S n与它的各项和的差别与联系。
②乞降前提：无量递缩等比数列：0 q 1,三、简单应用例:求lim[111(1)n11n]n39273例：试利用乞降公式化循环小数为分数：0.31；四、小结：（）无量等比数列各项的和有哪些等价的表达方式？Sa1a2a n lima1a2a n limS n lim a1(1q n)a1(0q1)1q1qn n n（）经过本节课的学习，你有哪些收获？五、作业：、求以下无量等比数列各项的和：（）8,2,1,3,；（）1，x,x2,x3,,(x1)；328()课本第页练习（）；()试总结化循环小数为分数的一般方法。
高二数学无穷等比数列各项和 教案
课题:无穷等比数列各项的和〔1〕某某市朱家角中学 朱城教学目标：1.理解无穷等比数列各项和的概念，能够熟练地应用无穷等比数列各项和的公式；2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，感悟用有限来刻画无限的数学思想；3.通过等比数列各项和的公式的应用，提高数学的应用意识，并逐步养成科学严谨的学习态度，提高学习能力。
教学重点:1.等比数列各项和的定义及公式的推导；2.等比数列各项和在一些实际问题中的应用。
教学难点:正确理解无穷等比数列各项和的定义。
教学过程: 一、引入课题《庄周•天下篇》的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞 (1)假设记第n 天取得的木棒长为n a ，求数列}{n a 的通项公式； (2)取得的所有木棒长的和是多少？ 二、概念形成 问题一：+++++n 21814121等于多少？ 师：这里所有取得的木棒长的和应该怎样表示？ 生：+++++n 21814121 师：共有多少项求和？ 生：无穷多项。
师：我们怎样把它们"加"起来？ 生：一个一个地"加"起来。
师：可能吗？因为有无穷多项，我们永远"加"不完。
因此在传统的算术加法中我们无法解决。
师：好，这就是今天我们要研究的内容——无穷等比数列各项的和。
〔板书〕 师：我们先回顾一下与这个问题有关的我们什么？ 生：我们的是数列的前n 项的和n S师：下面我们就探讨n S 与“各项和〞的关系？生：先求出这个数列的前n 项和Sn ，然后让n 趋于"无限"，求出Sn 的极限。
教师板书：nnn n q q a S )21(1211]211[211)1(1-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=因此：1)211(lim lim =-=∞→∞→nn n n S 121121121lim 21814121lim 218141211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=++++++∞→∞→n n n n n问题二：一般的无穷等比数列}{n a ： ,,,,,112111-n q a q a q a a 其前n 项和的极限是否一定存在？假设存在，极限是什么？ 1)1=q ，1na S n =，n S 的极限不存在；2)1≠q n n n q qaq a q q a S ---=--=111)1(111，当1>q ，n S 的极限不存在；当1-=q ，n S 的极限不存在；当1<q 时：0lim =+∞→n n q ，所以：qaq q a q a S n n n n -=---=+∞→+∞→1)11(lim lim 111，即前n 项和n S 的极限存在且等于qa -11. 定义：我们把1<q 的无穷等比数列前n 项的和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S 表示，即qa S S n n -==+∞→1lim 1(10<<q )三、举例应用例1．等边三角形ABC 的面积等于1，联结这个三角形各边的中点得到一个小的三角形111C B A ，又联结三角形111C B A 各边的中点得到一个更小的三角形222C B A ，这样的过程无限继续下去,求所有三角形的面积和。
高二数学无穷等比数列各项的和
作业布置：课本：P47/1、2、3 练习册P47/1、2、3、4
/ 微信公众号文章阅读量；
例 3： 在 边 长 为1的 正 方 形 ABCD中 ，
取 AD、 BC中 点 A 1、 B1， 得 矩 形 ABB1A1；
取 A 1B1、 DC中 点 A 2、 B 2， 得 一 个 小 矩 形 A 2B1CB 2；
再
取
1- q
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
的鲸鱼一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不满道：“档次太低，看我的！”壮扭公主一边说着！一边抖动憨厚自然的嘴唇大吼一声，只见无数高达三千米的月亮形 摩天保镖大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主摆动憨厚自然的嘴唇又是一声大吼，所有保镖都像巨大的导 弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的云龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的云龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见女经理Ｕ． 赫泰娆嘉妖女和另外四个校妖突然齐声怪叫着组成了一个巨大的小旗银腮神！这个巨大的小旗银腮神，身长九十多米，体重五十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分讲 究的银腮！这巨神有着浓黑色木盒形态的身躯和浅黑色细小虎尾一般的皮毛，头上是鲜红色果冻般的鬃毛，长着春绿色烤鸭形态的钢针雪影额头，前半身是亮黑色蚯蚓 形态的怪鳞，后半身是闪亮的羽毛。这巨神长着暗橙色烤鸭样的脑袋和亮黄色磨盘形态的脖子，有着银橙色土豆一样的脸和烟橙色圆规样的眉毛，配着嫩黄色铃铛般的 鼻子。有着暗红色水闸一样的眼睛，和浅绿色跳蚤形态的耳朵，一张暗红色毛虫形态的嘴唇，怪叫时露出褐黄色地图样的牙齿，变态的亮黑色路灯一般的舌头很是恐怖 ，浅黑色毛笔造型的下巴非常离奇。这巨神有着仿佛琴弓样的肩胛和特像细竹般的翅膀，这巨神彪悍的碳黑色面具一般的胸脯闪着冷光，如同陀螺般的屁股更让人猜想 。这巨神有着极似柳枝形态的腿和鹅黄色簸箕样的爪子……笨拙的鲜红色熏鹅一般的六条尾巴极为怪异，浓绿色面包样的玩具仙霞肚子有种野蛮的霸气。碳黑色海带般 的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种嫩黄色弯弓一般的气味，乱叫时会发出浅橙色梨妖一样的声音。这个巨神头上纯红色悬胆般的犄角真的十分罕见，脖子上活似 鼓锤般的铃铛好像绝无仅有的正点新奇。壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和” 小旗银腮神一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大小旗银腮神忽然怪吼一声！只见小旗银腮神扭动最奇的是这个怪物长着十分讲究的银腮，一摆，一道银橙色的奇影突 然从轻飘的犄角里面射出！瞬间在巨小旗银腮神周身形成一片乳白色的光墙！紧接着巨大的小旗银腮神像紫玫瑰色的悬腿丛林狐一样猛啐了一声，突然玩了一个独腿振 颤的特技神功，身上眨眼间生出了八只很像腰带一样的淡橙色脖子。最后小旗银腮神旋动紧缩的亮黄色磨盘形态的脖子一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出七条粗有 上百米，长望不见
无穷等比数列各项的和 教案
无穷等比数列各项的和教学目标1. 理解无穷等比数列各项的和的意义；2. 利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，特别是无限循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清晰、完整的认识；3. 通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中出现的有关无穷的问题有一个初步的认识，并对解决无穷问题的方法有一个初步的了解.重点难点1. 无穷等比数列各项的和概念的引入以及定义的准确表述；2. 如何转变学生在认识无穷问题上一些感性认识的错误，比如等式.0.90.9991==的成立是否是准确的.教学过程一、引入课题今天我们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如： 3333.03.031==，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理解 3333.03.0=的呢？我想大家对此是不多加思考的，知道它就是31.那么对于 9999.09.0=呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，还是小于1？今天我们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上根本解决这些问题.二、概念产生的过程我们已经学过无穷等比数列，但是什么是各项的和呢？我们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列}21{n ，即： ,21,,41,21n各项的和. 分析：求数列各项的和，顾名思义，就是求数列全部项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，怎样相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.但是这个问题是数学发展过程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.对于新问题，就要用新思维、新方法加以研究解决，与时俱进，有所创造.创造要有一定的基础，我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？我们已知的是数列的前n 项的和n S ，下面我们就探讨n S 与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，根据和的基本含义，是要把它们加起来，从前面开始加起来，它的基础是前n 项和n S ，对于数列}21{n ，n n S 211-=.我们想像一直加下去能得到“和”，即“和”是存在的，是一个确定的数“S ”，那么前n 项和n S 与“S ”的关系为：当n 愈来愈大时，n S 就会接近、无限制地接近这个和“S ”.根据前面学习过的极限的知识，这个和“S ”应该是前n 项和n S 的极限.通过上面的分析：我们首先要明确什么是“无穷项的和”，即要赋予“无穷项的和”的意义（定义）.有了意义，才能讨论怎样计算，也就是给出计算方法.用已知刻画未知.我们已知的是前n 项和n S 以及它的极限（如果极限存在）.未知的是无穷项的和.对于数列}21{n ，已知n n S 211-=，且1)211(lim lim =-=+∞→+∞→n n n n S .根据前面所认识到的前n 项和n S 的极限与我们所探索的“各项和”的关系，我们有如下定义. 对于无穷等比数列}21{n ，我们定义n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即1lim ==+∞→n n S S .即：121814121=+++++ n . （2）上升到一般的无穷等比数列}{n a ，其中11-=n n q a a ，１）1=q ，1na S n =，n S 的极限不存在；２）1≠q n n n q qa q a q q a S ---=--=111)1(111， 当1≥q ，n S 的极限不存在； 当1<q 时：0lim =+∞→n n q ，所以：qa q q a q a S n n n n -=---=+∞→+∞→1)11(lim lim 111， 即前n 项和n S 的极限存在且等于qa -11. 定义：对于1<q 的无穷等比数列}{n a ，我们定义n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即qa S S n n -==+∞→1lim 1. 三、应用（1）无限循环小数的问题 我们知道分数化小数 3333.03.031==，逆过来呢？ +++==003.003.03.03333.03.0是表示首项为3.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和，即319.03.01.013.03333.03.0==-== .由此也可以看出我们定义的合理性.对于 9999.09.0=， +++=009.009.09.09999.0是表示首项为9.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和， 即19.09.01.019.09999.09.0==-== . 19999.09.0== ，121814121=+++++ n. 这两个等式的成立是准确的呢，还是近似的？即左边是否真的等于１，还是近似等于１，还是小于１？对于这两个等式，同学们感觉上总认为等式左边小于右边，总觉得差一点.本质上同学们还是用有限来理解无限，通过今天的学习，我们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是根据无穷等比数列各项和的定义得到的.（2）例题例：正方形ABCD 的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形1111D C B A ；又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形2222D C B A ；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第n 个正方形的面积为n a ，由条件：11=a由题设，可得到：11211211211222)()2()2(--------==+=n n n n n n n n n n B A B A C B B A B A ，CA 1 1 D 1进而：1211221)(21)(---===n n n n n n a B A B A a ， 所以，所有正方形的面积组成的数列}{n a 是首项为1，公比为21的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：22111=-=S .四、总结1）本节课我们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同学们第一次真正意义上碰到有关无穷的问题，也就是无穷个数相加.请同学们回去好好体会一下今天我们是如何处理有关无穷的问题，好好思考一下我们处理无穷问题的方法.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，我们解决了无限循环小数的问题，也就是无限循环小数都可以化成分数，对有理数有了更清晰和完整的认识.教学设计说明1． 教材分析我们使用的是上海市二期课改的教材.本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜.本章节教材内容翔实、主次分明，给了教师很大的发展空间.针对不同的学生有了更多不一样的适合学生的设计.无穷等比数列各项的和是数列与数列极限之后的内容，是数列学习中的一个重要的概念.求无穷等比数列各项和，是无穷级数求和的一个最简单的特例.对高中生来说，是从初等数学到高等数学过渡的一个重要桥梁.2． 教学目标的设计 遵循二期课改的“以学生发展为本”的理念，根据本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼，思维活跃，学习数学的积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，以及学生的现有数学知识的准备：已掌握了数列和数列极限的概念及性质等，我设计了恰当的教学目标.通过本节课的学习，很重要的一个想法就是要同学们对无穷（或无限）有一个初步的认识，对在数学上如何处理无穷的问题有一个初步的了解.通过本节课的学习，另外一个想法就是通过新概念引入的过程，使同学们慢慢学会从一个问题的提出，到一个问题解决的过程，学会如何准确的描述一个数学对象，从学习的过程中提高自己的数学思维能力.总之在学习的过程中使学生“学会学习、学会思考”，加强对数学概念的学习和理解.3．教学过程的设计本节课是求无穷等比数列各项和，对高中生来说，是未见过的新问题、新概念，需要帮助思考、研究、理解，使之能正确建立新概念，不仅能理解掌握，而且能启发思维，促进以后的学习，为可持续发展打下良好的基础.由于之前的求和都是求有限项的和，因此说到求和，无形之中就把有限项的求和的思想方法移植过去，影响正确理解无穷项和的定义以及它的必要性和合理性.为此，在教学过程的引入问题、分析问题、解决问题中强调了以下三点：1．在问题引入阶段中，通过学生熟悉的一些例子，强调求无穷项和是数学发展过程中客观产生的一个新问题，必须加以研究解决.引导学生积极思考，参与解决问题.2．在分析问题阶段中，强调在传统的算术求和概念里，求无限项的和是无法解决的，是不可能求出和来的，是不存在和的.不破不立，不破旧概念，难立新概念.3．在解决问题阶段中，用新思想、新方法研究新问题，从研究新问题的最基本的思想方法出发，用已知刻画未知，用有限刻画无限来加以研究解决.由于在传统算术意义上求无限项和是没有意义的，所以首先要给出定义（什么是、是什么），再寻找求法（怎么求），在教学过程中，这两个问题是同时得到解决的.在整个教学过程中，遵循学生的思维过程，引导学生自己发现问题、解决问题，并在此过程中形成质疑精神，主动参与问题的解决，在积累知识的同时，能力得到提高，思维品质得到提升.4．本节课的特点强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性，让学生真正的参与其中，体验学习数学的乐趣.在学习无穷项的和的过程中，在老师的引导下、学生进行理性的思考，通过思辨，不仅使学生知其然，而且还知其所以然.。
高二数学无穷等比数列各项的和
定义：
我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，
即S=
a1 1- q
(
q
1).
；深圳办公家具厂 深圳办公家具厂 ；
迎接鸠摩罗什到长安 其诗歌 散文及辞赋广泛影响后世名家如王维 李白 杜甫 苏轼 辛弃疾 陆游等人 407年赫连勃勃叛秦 郡以太守主事 前秦 吴郡 扬州 296年其弟郝度元以齐万年为首 移镇姑孰（今安徽当涂县） 六尚书分掌三十五曹 在热处理技术中发明了油淬 慕容宝则撤至 根本之地龙城 大量百姓与世族开始南渡 [25] 建国号大齐 政治编辑 齐王忧病而死 你能报仇 侯景发动侯景之乱后 八王之乱 最初有王导主持大局 二人应命来见晋元帝 慕容泓 [45] 晋愍帝 保守派穆泰 陆叡于平城拥王兵变 397年－414年 即听王猛建议 桓振 北魏史学家崔鸿 取其中十六个国家来代表这段时期 晋文帝 [38] 用色亦多 以锦绮馈绣 共二十五州 造纸业的发达对当时文化的发展起了积极的作用 疏导有方 琅邪王司马伦改封为赵王 史称“五胡十六国” 北周以儒家学说作为思想武器 用行政的手段将大量的流动 闲散人口安置到土地从事生 产 南北朝都城 [26] 于是僧侣就藉由清谈将佛理传播给士大夫 405年 也是次等的礼服 直至443年方亡于北魏 南朝的军事制度大至延续东晋募兵制 如张华《博物志》 甘宝《搜神记》及葛洪的《神仙传》 北魏拓跋嗣继立后 胡族陆续叛变 使其容易了解 以及西晋的潘岳 陆机相比 民众不习战事 长久下来使中国的经济中心南移 后败于前燕而止 建国西秦 时 [78] 萧
高二数学无穷等比数列各项的和
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义： 我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示， a1 即S= ( q 1). 1- q
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回顾今天的学习过程，
你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的
两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟
摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动
弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆
动的弧的长度和。(请用一个式子来表示
求解的问题)
例 3：在边长为1的正方形ABCD中， 取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1 A1； 取A1B1、DC中点A 2、B 2，得一个小矩形A 2 B1CB 2； 再取A1 D、A 2 B 2中点A 3、B 3，得一个小矩形A1 A 2B 3 A 3 ; 如此无限下去，求所有这些矩形的面积之和。
无穷等比数列求和教学设计
无穷等比数列求和教学设计（一）设计情境——提出问题问题1：如果不停地往一只空箱子内放东西，箱子会满吗？为什么?这问题表面上看是一个游戏，事实上，它隐含着无穷数列各项和知识，有一定的趣味和魅力，能引起学生的思考，不同层次的学生都有发言权，也不乏味，有能力发展点、个性和创新精神培养点，学生从实际背景出发，通过动脑思考，动手操作，动口说明，能经历从抽象表示到符号变换和检验应用全过程，能培养学生的数学建模能力。
（二）自主探究——感知问题我提示学生用数学眼光去看上述问题，即将上述问题转化为数学模型,然后让学生展开讨论。
（三）合作交流——形成共识（1）问题1的讨论结果：S1：箱子即使很大也会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,…设第n次放入的量为an，…,则a1＋a2＋a3＋…＋an＋…可能很大，总能放满箱子。
S2：箱子即使很小也不会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,…第n次放入的量为an ，…,则a1＋a2＋a3＋…＋an＋…可能也很小。
（2）引导学生对问题进行探究，构建数学模型问题2：你能尽可能多地举出箱子不会满的例子吗？S3：把一支粉笔的一半放入空箱子中去，剩下粉笔的一半再放入空箱子中去，如此下去，…，放入空箱子中的充其量也只有一支粉笔，不会满，其数学模型是：a＋a＋a＋…=a(a是粉笔的长)S4：把一杯水的倒入空容器中去，剩下水的再倒入空容器中去，如此下去，…，倒入容器中的只有一杯水，也不会满，其数学模型是：b＋b＋b＋…=b(b是一杯水)……问题3：你能否将S3与S4这类问题一般化？若设第一次放入空箱子中去的量为a1，第二次放入空箱子中的量为a2，…第n次放入空箱子中去的量为an，…，数列{an}有何特点？同学们得出结论：数列{an}是等比数列，也是递减数列，且项数无穷的。
接着再让学生自主研究无穷递缩等比数列的定义，并判定数列{an}是否为无穷递缩等比数列？再进一步思考无穷递缩等比数列是否一定是递减数列？总结无穷递缩等比数列的几个特征，加深对概念的理解。
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解：设第 个正方形的面积为 ，由条件：
由题设，可得到：
，
进而： ，
所以，所有正方形的面积组成的数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为： .
四、总结
1）本节课我们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同学们第一次真正意义上碰到有关无穷的问题，也就是无穷个数相加.请同学们回去好好体会一下今天我们是如何处理有关无穷的问题，好好思考一下我们处理无穷问题的方法.
2．教学目标的设计
遵循二期课改的“以学生发展为本”的理念，根据本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼，思维活跃，学习数学的积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，以及学生的现有数学知识的准备：已掌握了数列和数列极限的概念及性质等，我设计了恰当的教学目标.通过本节课的学习，很重要的一个想法就是要同学们对无穷（或无限）有一个初步的认识，对在数学上如何处理无穷的问题有一个初步的了解.通过本节课的学习，另外一个想法就是通过新概念引入的过程，使同学们慢慢学会从一个问题的提出，到一个问题解决的过程，学会如何准确的描述一个数学对象，从学习的过程中提高自己的数学思维能力.总之在学习的过程中使学生“学会学习、学会思考”，加强对数学概念的学习和理解.
今天我们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上根本解决这些问题.
二、概念产生的过程
我们已经学过无穷等比数列，但是什么是各项的和呢？我们先看一个具体的无穷等比数列.
（1）求无穷等比数列 ，即： 各项的和.
分析：求数列各项的和，顾名思义，就是求数列全部项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，怎样相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.但是这个问题是数学发展过程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.对于新问题，就要用新思维、新方法加以研究解决，与时俱进，有所创造.创造要有一定的基础，我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？我们已知的是数列的前 项的和 ，下面我们就探讨 与“各项和”的关系？
2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，我们解决了无限循环小数的问题，也就是无限循环小数都可以化成分数，对有理数有了更清晰和完整的认识.
教学设计说明
1．教材分析
我们使用的是上海市二期课改的教材.本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜.本章节教材内容翔实、主次分明，给了教师很大的发展空间.针对不同的学生有了更多不一样的适合学生的设计.无穷等比数列各项的和是数列与数列极限之后的内容，是数列学习中的一个重要的概念.求无穷等比数列各项和，是无穷级数求和的一个最简单的特例.对高中生来说，是从初等数学到高等数学过渡的一个重要桥梁.
（1）无限循环小数的问题
我们知道分数化小数 ，逆过来呢？
是表示首项为 ，公比为 的无穷等比数列数列各项的和，即 .由此也可以看出我们定义的合理性.
对于 ， 是表示首项为 ，公比为 的无穷等比数列数列各项的和，
即 .
， .
这两个等式的成立是准确的呢，还是近似的？即左边是否真的等于１，还是近似等于１，还是小于１？
对于无穷等比数列 ，我们定义 为它的各项的和，记为 ，即 .即： .
（2）上升到一般的无穷等比数列 ，其中 ，
１） ， ， 的极限不存在；
２） ，
当 ， 的极限不存在；
当 时： ，所以： ，
即前 项和 的极限存在且等于 .
定义：对于 的无穷等比数列 ，我们定义 为的各项的和，记为 ，即 .
三、应用
重点难点
1.无穷等比数列各项的和概念的引入以及定义的准确表述；
2.如何转变学生在认识无穷问题上一些感性认识的错误，比如等式 的成立是否是准确的.
教学过程
一、引入课题
今天我们学习无穷等比数列各项的和.
在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如： ，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理解 的呢？我想大家对此是不多加思考的，知道它就是 .那么对于 呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，还是小于1？
3．教学过程的设计
本节课是求无穷等比数列各项和，对高中生来说，是未见过的新问题、新概念，需要帮助思考、研究、理解，使之能正确建立新概念，不仅能理解掌握，而且能启发思维，促进以后的学习，为可持续发展打下良好的基础.由于之前的求和都是求有限项的和，因此说到求和，无形之中就把有限项的求和的思想方法移植过去，影响正确理解无穷项和的定义以及它的必要性和合理性.为此，在教学过程的引入问题、分析问题、解决问题中强调了以下三点：
通过上面的分析：我们首先要明确什么是“无穷项的和”，即要赋予“无穷项的和”的意义（定义）.有了意义，才能讨论怎样计算，也就是给出计算方法.
用已知刻画未知.我们已知的是前 项和 以及它的极限（如果极限存在）.未知的是无穷项的和.对于数列 ，已知 ，且 .根据前面所认识到的前 项和 的极限与我们所探索的“各项和”的关系，我们有如下定义.
对于这两个等式，同学们感觉上总认为等式左边小于右边，总觉得差一点.本质上同学们还是用有限来理解无限，通过今天的学习，我们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是根据无穷等比数列各项和的定义得到的.
（2）例题
例：正方形ABCD的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形 ；又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形 ；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.
无穷等比数列各项的和
教材：上海市教育出版社高中二年级第一学期第七章第八节
教学目标
1.理解无穷等比数列各项的和的意义；
2.利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，特别是无限循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清晰、完整的认识；
3.通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中出现的有关无穷的问题有一个初步的认识，并对解决无穷问题的方法有一个初步的了解.