拉氏变换基本性质解析
7.2拉氏变换的性质
高等数学
主讲人 宋从芝
7.2 拉氏变换的性质
本讲概要
➢拉氏变换的性质 ➢例题
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] =a1L [f1(t) ] + a2L[f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
可以先求各函数的象函数再进行计算。
性质2（平移性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[eat f (t)] = F(p-a)
此性质说明，像原函数乘以 eat 等于其像函数做位移a。
例2 求
性质3（延滞性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[f (t-a)] = e-at F(p)
常用函数的拉氏变换
例1 求函数 解
的拉氏变换 .
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的 象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，
L f (n) (t) pn F( p) pn1 f (0) pn2 f (0) L f (n1) (0)
零初始条件下：f (0) f (0) L f (n1) (0) 0
L f (n) (t) pn F( p)
性质5（积分性质） 若L[ f (t)]=F(p)(p≠0) , 且f (t)连续，则
t0 t
L
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
积分变换第6讲拉氏变换的性质
s
d
t
0
f (t) e-std t t
L
f (t) t
即
L
f
(t) t
F(s)d s
s
一般地,有L
f (t) t n
d 1s
sd s
s
s
F(s)d s
n次
12
例4 求函数
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换 的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在 这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉 氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增 长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这 些条件
2
1. 线性性质
若a,b是常数
f1(t)
f(t)
E
E
OT
T
t
2
O
Tt
f2(t) E
2
O
TT
t
2
24
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t)] L [ f1 (t )] L [ f2 (t)]
EL
si n
2
T
t u(t )
EL
2
sin
T
t
-
T 2
2s2 (s2 k 2 )2
-
s2
1
k
2
2s2 - s2 - k 2 (s2 k 2 )2
s2 - k2 (s2 k 2 )2
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
拉氏变换详解课件
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其
象
sn
函数除以
。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
t
直接按上式求原函数太复杂，一般都用 查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)12 必须是一种能直接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例1： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
F(s)
M (s) D(s)
b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
(m
n)
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s)
总能展开成如下简单的部分分式之和
F (s) c1 c2 cn
s p1 s p2
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
02第二章拉氏变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。
本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。
对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。
拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。
二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。
下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。
三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。
常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。
高等数学(下) 第3版课件-拉氏变换的主要性质
L[t2 ] L[
t
2L[t]
2xdx]
2!
0
s s3
L[tn ]
L[
t nxn1dx]
0
nL[t n1] s
n! s n 1
表 10-1
序
拉氏变换性质（设 L[ f (t)] F(s) ）
号
1
L[af1(t) bf2 (t)] aL[ f1(t)] bL[ f2 (t)] aF1[s] bF2[s]
sL[ y] 2L[ y] 1，
解得
L[ f (t)] 1 s2
5. 积分性质
L[ f (t)] F(s) （ s 0 ），且 f (t) 连续，则
L[
1
f (x)dx]
L[ f (t)]
F (s)
0
s
s
推广 ：
n次
t
t
L[0 dt 0 dt
t 0
f
(t )dt ]
F (s) sn
（ n 0,1, 2,
2
2
1 2
(1 s
s2
s
2
)
s2 2 s(s2 4)
2. 平移性质
设 a 为常数，若 L[ f (t)] F(s) ，则 L[eat f (t)] F (s a)
例 3 求函数 f (t) et cos t 及 f (t) tet 的拉氏变换。
解：由拉氏变换的平移性质及
L[cost]
dt 令t 1
s t2 1
u
0 du
1 s
1
u
2
1 s
du
0 1u2
1
arctanu s 0
arctan1 s
拉氏变换.doc
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
7.2 拉氏变换的性质
例7-13 求 L[t sin t ] 解 因为L[sin t ]
p
2 2
,由 式(7 10)可 得
d 2 p L[t si n t ] ( 1) ( 2 ) 2 2 dp p ( p 2 )2
（7-9）
性质7 若L[f(t)] =F(p)，则 （7-10）
L[t f (t )] (1) F ( p)
n n ( n)
性质8
f (t ) m 存 在, 则 若L[f(t)] =F(p) , 且 lt i 0 t
f (t ) L[ ] F ( p)dp p t
（7-11）
证明
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )]
0
[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )]e dt
0
pt
a1
0
f1 (t )e dt a2
pt
f 2 (t ) e dt
pt
a1 L[ f1 (t )] a2 L[ f 2 (t )]
L[e f (t )]
at 0
(7-3)
dt F ( p a)
e f (t ) e dt
at pt
0
f (t ) e
( p a ) t
位移性质表明：象原函数乘以 e at 等于 其象函数左右平移︱a︱个单位．
例7-6 求 L[ t eat ] , L[e -at sin ωt] 和Ｌ ［e -at cos ω t］.
pa cost ] . 2 2 ( p a)
性质3(滞后性质)若L［f(t)］=F(p) ，则
L［f(t－a)］=e-apF(p),(a > 0) 证明 L[ f (t a)]
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
十三章拉氏变换
= F (s + α )
例：求 解：
e −α t sin ωt
的象函数
ω ∵ L [sin ωt ] = 2 s + ω2
依频域平移性质： 依频域平移性质：
L e
−α t
ω sin ωt = (s + α )2 + ω 2
13-3 拉氏反变换的部分分式展开 F(s)
拉氏反变换
f(t)
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + ⋅⋅⋅ + am F ( s) = = D ( s ) b0 s n + b1s n −1 + ⋅⋅⋅ + bn
将F(s) 分解 若干简单项之和 将各简单项查表
n≥m
原函数
这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。 这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。
L t e
2 −α t
2 = ( s + α )3
（7）频域平移性质 ）
如果
L[ f (t)] = F(s)
那么 L e
∞ −α t − st 0−
−α t
f (t ) = F ( s + α )
∞ 0−
证： L e −α t f (t ) =
∫
f (t )e e dt = ∫ f (t )e − ( s +α )t dt
（2）利用上式结果及导数性质 ）
ω L [ f (t ) ] = 2 s + ω2
cos(ωt ) =
1
ω
(sin ωt )′
f (0− ) = 0
s s2 s d L (cos ωt iε (t )) = s 2 − [ cos ωt iε (t ) ]t =0 = 2 −0 = 2 − s + ω2 s + ω2 s + ω2 dt
拉氏变换
1 ：广义阻抗；运算阻抗； SC
uC (0) Useg (S)＝US (S) + LiL (S) ：等值电压源象函数。 S
Z(S)I(S)=Useg(S)
5应用拉普拉斯变换法分析线性电路 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉氏变换分析线性电路的步骤： 把电路变换成频域电路； 电路可用结点电压法、网孔法、叠加法等来求解； 利用拉氏反变换得到时域的值。
uC (0 ) 1 U C (S ) = + IC (S ) S SC
U C ( 0 ) 1 : 运算容抗; : 附加电压源； SC S
4 运算电路
duC L [iC ] = L C dt
IC(S)=SCUC(S)CuC(0)
SC : 运算容纳;CU C ( 0 ) : 附加电流源；
K13 = ( S S1 )3 N (S ) D( S )
S = S1
Q
K2 d [ K13 + K12 ( S S1 ) + K11 ( S S1 ) 2 + ( S S1 )3 ] dS S S2 ∴ K12 d 3 N (S ) = [( S S1 ) ] dS D( S ) S = S 1
1 d2 3 N (S ) K11 = 2 [( S S1 ) ] 2! dS D ( S ) S = S
K1( p j )
1
1 dj N (S ) = j [( S S1 ) p ] , j ! dS D ( S ) S = S
1
j = 0,1, 2L ( p 1) , 0! = 1,
5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源， 求 uC(t)和 iC(t)。
拉氏变换及其性质
15.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（linearity）性质
若 ℒ [f1(t)] F1(s) , ℒ [f2(t)] F2(s)
则 ℒ [a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
例1
ℒ [ A]
A s
例2
ℒ [ A(1 et )]
1 A(
f(t) ，t [0,)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。
F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。
n sn1
例 求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个
函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
s 当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
ℒ 1[ 1 ] e t
s
(t 0)
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本章重
. 点 常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
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15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
s 0
t n est e st dt n n t n1estdt
拉普拉斯变换讲解
拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。
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都为零.那么
L[df ] sF (s) dt
1 (1 e s ) 2 1
s
1 e2s
单对称方波
u(t) 2u(t 1) u(t 2)
1 (1 2es e2s ) s
抽样信号的拉氏变换
抽样序列
T (t) (t nT ) n0
抽样序列的拉氏变换
T (s)
e SnT
n0
1
1 e ST
时域抽样信号
f s (t) f (t) T (t)
设f (t) sint
sin 0t u(t)
t 0
sin0t u(t t0)
t 0 t0
sin0(t t0) u(t)
0 t0
t
sin0(t t0)u(t t0)
t 0 t0
3.时移特性的应用p250.4-2 (1)
sin t 0 t T
1. f (t)
2
0 t为其它值时
解: f (t) sin t[u(t) u(t T )] 2
抽样信号的拉氏变换
Fs (s)
f (nT )eSnT
n0
*抽样信号的拉氏变换
T (t) (t nT )
n0
L[T (t)] 0 (t nt)eStdt n0
1
1 eST
fs (t) f (t)T (t)
f (nT ) (t nT ) f (nT ) (t nT )
拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
f (at)
1 F s a a
lim f (t) f (0 ) lim SF(s)
t 0
s
终值 lim f (t) f () lim SF(s)
定理
t
s0
f1(t) * f2 (t)
卷积
定理
f1(t). f2 (t)
F1(s).F2 (s)
1
T s
(1 e 2 )
s2 2
E
*台阶函数
f
(t)
E
u(t)
E
u(t
T
)
E
u(t
T
)
E
u(t
3T
)
Eu(t
T)
4
4 44 24
4
E u(t) 4
E 4s
f (t)
E
sT
[1 e 4
4s
sT
e 2
3sT
e 4
4esT ]
*单边周期函数的拉氏变换定理:若接通的 周期函数f(t)的第一个周期的拉氏变换为F1 (s) 则函数f(t)的拉氏变换为
(t)sest dt
limest f (t) f (o ) sF (s) t
f (t)是指数阶函数lim est f (t) 0 t
L[ df (t) ] sF (s) f (0 )可以推广到高阶 dt
(见p183,4 - 29和4－31式）
*几点说明
a.如果所处理里的函数为有始函数 即 f (t) 0 t 0 则f (0 ), f ' (0 ), f (n1) (0 )
2j F1(s) * F2 (s)
P189.表4.2 拉氏变换的性质
4.时域平移 2.对t微分
f (t) f (t t0 )
3.对t积分 7.初值
重点讨论
8.终值
0
(一).时域平移特性和应用
t0
t
1.时移性
设 f (t) F(s)
则 f (t to )u(t to) est0 F (s) to o
n1
sn F (s) snr1 f (r) (0 ) r0
证明:
L[
f
' (t)]
df
(t) est dt
est df
(t )
0 dt
0
令 : u est dv df (t) v f (t) du sest
udv uv vdu
L[
f
' (t)]
est
f
(t ) 0
0
f
n0
n0
L[ fS (t)]
0
f (nT ) (t nT )eStdt
n0
f (nT )ensT
n0
抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数
(二).时域微分积分特性
1.若f (t) F (s),则df sF (s) f (0 ) dt
Res 0
和 d n f sn F (s) sn1 f (0 ) sn2 f ' (0 ) f n1(0 ) dt n
F(s) F1(s) 1 esT 0
例：周期信号的拉氏变换
LT
f1(t) F1(s)
第一周期的拉氏变换
LT
利用时移特性
f1(t nT ) esnT F1(s)
LT
f (t nT ) F1(s) eSnT
n0
n0
1
F1(s) eST
利用无穷递减等比 级数求和 s a1
1- q
例1：求全波整流周期信号的拉氏变换
四.拉氏变换的基本性质(1)
线性 微分 积分 时移
n
ki fi (t)
i1
df (t) dt
t
f ( )d
f (t t0 )u(t t0 )
n
ki.LT [ f (t)]
i 1
SF(s) f (0 )
F (s) f '(0 )
s
s
est0 F (s)
频移
f (t)eat
F(s a)
f (t)
1
0 TT
2
f0 (t)
1
t
0T
2
(1
e
T 2
)
1
S2 2
S T
t
1 e 2
sin t[u(t) u(t T )]
T
2
LT
信号加窗 第一周期
2
T
(1
e
T 2
)
S2 2
求图示信号的拉氏变换.
f (t) 包络函数 et
12
乘衰减指数 周期对称方波
1 1 es s 1 es
1 (1 e(S 1) ) (s 1) (1 e(S 1) )
＝sin tu(t) - sin tu(t - T ) 2
利用 sin( B) sin cos cossin
和T 2 sin (t T ) sin t
2
f (t) sin tu(t) sin( (t T )u(t T ) 22
L[ f (t)] L[sin tu(t) sin (t T )u(t T )] 22
设f (t) sin 0t f (t)u(t) sin 0 (t)u(t) f (t t0 )u(t) sin 0 (t t0 )u(t) f (t)u(t t0 ) sin 0tu(t t0 ) f (t t0 )u(t t0 ) sin 0 (t t0 )u(t t0 )
傅立叶变换的时移性质
若: f (t) F( j) 则: f (t t0) F( j)e jt0
这个性质表明信号在时域中的延时和频域中 的移相是相对应的.
2.四个不同的函数
a. f (t)u(t) b. f (t t0)u(t) c. f (t)u(t t0) d. f (t t0)u(t t0)