2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案
全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及参考答案
全国高中数学联赛甘肃省预赛试题一.填空题(本题满分56分,每小题7分)1.已知集合{|(2)(6)3,,07}A x x x x Z x =--≥∈≤≤，则A 的非空子集的个数为.2. 若()()sin2f g x x =，()tan (0)2xg x x π=<<，则2f ⎛= ⎝⎭.3. 若底边长为2的正四棱锥恰内切一半径为12的球，则此正四棱锥的体积是 . 4. 在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A 和(4,1)B . 圆2225x y +=上的动点(,)P x y 与,A B 形成三角形，则三角形ABP 的面积的最大值为 .5.将正整数1,2,3,4,5,6,7任意分成两组，使每组至少有一个数，则第一组数的和与第二 组数的和相等的概率是 ．6. 数列满足410=a ，及对于自然数n ，n n n a a a +=+21，则∑=+2011011n na 的整数部分是 ．7. 四次多项式)(x f 的四个实根构成公差为2的等差数列，则()f x '的所有根中最大根与最小根之差是 .8.设][x 表示不超过实数的最大整数，则在平面上，由满足50][][22=+y x 的点所形成的图形的面积是 ．二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9. 已知正项数列{}n a 满足：（1）12012a =；（2）23,a a 是整数；（3）数列2{}n na n -是公比不大于10的等比数列. 求数列{}n a 的通项公式.10. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上， 若12PF F ∆的面积是，求12F PF ∠.11. 设1a ,2a ,…, n a 为正数，且121n a a a +++=，求证：()2222212121111()()()n nn a a a a a a n+++++++≥．12.设11n ≥是一正整数，由不大于n 的连续10个正整数的和组成集合A ，由不大于n 的连续11个正整数的和组成集合B 。
2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (1)
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1..函数()|1||3|,x f x x x e x R -=++++∈的最小值是 ．2.设11111,,224n n n x x x n x ---==≥+,数列}{n x 的通项公式是=n x ．3.设平面向量,αβ 满足1||,||,||3αβαβ≤+≤ ,则αβ⋅的取值范围是4.设)(x f 是定义域为R 且最小正周期π2的奇函数,并且0)4()3(==f f ,则)(x f 在]10,0[中至少有 个零点．5.设a 为实数,且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根,则实数a 的取值范围是6.给定定点)1,0(P ,动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2x y =相切,则动点Q 的轨迹方 程是7.设z x yi =+为复数,其中,x y 是实数,i 是虚数单位,其满足z 的虚部和1z iz--的实部均非负,则满足条件的复平面上的点集(,)x y 所构成区域的面积是8.设n 是正整数,把男女乒乓球选手各n 3人配成男双、女双、混双各n 对,每位选手均不兼项,则配对方式总数是 ．二、解答题:本大题共4小题,共86分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分20分)设正实数b a ,满足1=+b a ,求证:31122≥+++bb a a ．10(本小题满分22分)在如图所示的多面体ABCDEF 中,已知CF BE AD ,,都与平面ABC 垂直,设c CF b BE a AD ===，，,1===BC AC AB ．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积(用c b a ,,表示)．11(本小题满分22分)设平面四边形ABCD 的四边长分别为4个连续的正整数.证明：四边形ABCD 的面积的最大值不是整数。
甘肃省全国高中数学联合竞赛预赛试题(甘肃卷)
二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)1. 空间四点 A ，B ，C ，D 两两间的距离均为1，点P 与点Q 分别在线段AB 与CD 上运动，则点 P 与点Q 间的最小距离为____________；2.向量()()1,0,1,1,OA OB O ==为坐标原点，动点(),P x y 满足01,02OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点(),Q x y y +构成的图形的面积 为3. 设有非空集合{}1,2,3,4,5,6,7A ⊆且当a A ∈时，必有8a A -∈，这样的集合A 的个数是_____________；4.设()[](),0,1,0x x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若()()0f x kx k k =+>有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有___________个；6.若122012tan tan tan 1,x x x ⋅⋅⋅=则122012sin sin sin x x x ⋅⋅⋅的最大值是 ；7.设函数:f R R →，满足()01f =且对任意,x y R ∈都有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x = ；8.实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值为 ；二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分)9.已知数列{}n a 满足()*1111n n n n a a n n N a a +++-=∈-+，且26a =。
2015年高中数学竞赛试题及答案及答案
2015年高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．42．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是． ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④3．设0.50.320.5,log 0.4,cos 3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或25．函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()c o s 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图22（第2题图）2=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组B 组C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数1()11f x x=-+． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.43311．22011 12. 31(,),(1,0),(3,4)22--三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= …………………2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32s in ()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-E F G B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分 ACBB 1A 1C 1FGE )(x fx1O（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r =342. ……1分 由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即13AM =. ……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540k x y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分由222542621k kk -+-=+，得2322621k k -=+，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……11分 当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………13分所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点A 的横坐标取值范围是[]3,6.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由1()11f x x=-+可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11111111()(1)111(11)11x x f x x x x x x x x x x x+-=-===++++++++，……………3分 显然)(1x f x在区间(0,1]上为减函数， ∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）122121212121211111()()111111(11)x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==+++++++++.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即212111(11)2x x x x +++++>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分yO∙MAxl也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
的个数。
2015 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次．
则 OAi + OAj ≥ 1的概率为
二、解答题
9：（本题满分 16 分）数列 {an}满足 a1 = 3, 对任意正整数 m, n ，均有 am+n = am + an + 2mn （1）求 {an}的通项公式；
∑k
（2）如果存在实数 c 使得
1 < c 对所有正整数 k 都成立，求 c 的取值范围
k 1 k 3
的半径 2 ，故
2.
k2 1
结合图像，应取较小根 k 2 3 .
M(1,1) Γ
O
x
7. 在平面直角坐标系 xOy 中， P 是椭圆 y2 x2 1 上的一个动点，点 A, B 的坐标分 43
别为 (1, 1), (0, 1) ，则 PA PB 最大值为
1)
100
.
a1
a1
16
解得 kmin 34 .
6. 设 k 为实数，在平面直角坐标系 xOy 中有两个点集 A (x, y) | x2 y2 2(x y) 和
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 ． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即 ，得 VOABC abc 45 ．当 ， 故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
2
，
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan
3 ， u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中，已知 a1 2 ， a2 4 ，且 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成 解：因为 an 单调递增， a1 0 ，所以 an 0 .因为 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成等 比数列，所以 所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列， n 1, 2,3, .那么， a100 _________.
2015年全国高中数学联赛一试真题及解答(A卷)
3. 已知复数数列 {zn } 满足 z1 1, zn1 zn 1 n i (n 1, 2, ) ，其中 i 为虚数单位， zn 表示 zn 的共轭复数，则 z2015 的值为 答案： 2015 1007i ． 解：由已知得，对一切正整数 n ，有 ．
zn2 zn1 1 n 1i zn 1 n i 1 n 1i zn 2 i ，
于是 z2015 z1 1007 2 i 2015 1007i ． 4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的 最小值为 ．
解： 由条件可知， 且其中没有两个为相反数， ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 是 6 个互不相同的数， 由 此 知 ， a1 , a2 , a3 , a4 的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设 a1 a2 a3 a4 ， 则
ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 中最小的与次小的两个数分别是 a1 a2 及 a1 a3 ，最大与次大的两个
…………………12 分
1 33 2 1 ，即 y 3 时， z 的最小值为 ，符合要求） ． 2 （此时相应的 x 值为 y 4 4 2 3 3 5 …………………16 分 由于 c log 2 z ，故 c 的最小值为 log 2 2 log 2 3 ． 4 3
1. 设 a, b 为不相等的实数，若二次函数 f ( x) x 2 ax b 满足 f (a ) f (b) ，则 f (2) 的值为 答案：4． 解：由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 ．
2015高中数学全国联赛b卷试题及答案
2015高中数学全国联赛b卷试题及答案一、选择题（每题8分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2+ax+b，且f(1)=0，f(3)=0，则a+b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：根据题意，f(1)=0，f(3)=0，代入函数f(x)=x^2+ax+b得1+a+b=0，9+3a+b=0，解得a=-6，b=5，所以a+b=-1。
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a2=3，且对于任意的正整数n，有an+1=2an+Sn，则数列{an}的通项公式为（）A. an=2^n-1B. an=2^nC. an=2^(n-1)D. an=2^n+1答案：A解析：由题意可得a2=2a1+a1=3，a3=2a2+a1=7，a4=2a3+a2=17，可得an=2^n-1。
3. 设f(x)=x^3-3x，g(x)=x^2-2x+3，若方程f(x)-g(x)=0的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：f(x)-g(x)=x^3-x^2-3x-3=(x+1)(x^2-2x-3)=(x+1)^2(x-3)，所以方程f(x)-g(x)=0的实根个数为3。
4. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a^2+b^2+c^2=9，若三角形ABC的面积为S，则S的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：由余弦定理可得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2+c^2=9，可得cosA+cosB+cosC=1/2，由正弦定理可得S=1/2bcsinA=1/4*sqrt(4b^2c^2-(b^2+c^2-9)^2)≤3，当且仅当b=c=sqrt(3)时取等号。
5. 设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，若f(-2)=0，f(1)=0，f(2)=8，则a+b+c的值为（）A. 0B. -4C. 4D. 8答案：C解析：由题意可得-8+4a-2b+c=0，1+a+b+c=0，8+8a+2b+c=8，解得a=1，b=-4，c=2，所以a+b+c=-1。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
2015年全国高中数学联赛模拟试题02
( 2 Å x) Å 2 y = [2( 2 Å x) + 2 y ] = 2( 2 Å x) + [2 y ] = 2[2 2 + x] + [2 y ] = 2[ x] + 2[ y ] + 2[2 2 + {x}] + [2{ y}] ， 其中 {x}, { y} 表示 x, y 的小数部分．同理可知 ( 2 Å y ) Å 2 x = 2[ y ] + 2[ x] + 2[2 2 + { y}] + [2{x}] ．
2n 1 知 2n
a9 a10 a20 147 时，符合条件，故最小值为 147 克．
8.在同一直角坐标系中， 函数 f ( x) a 的取值范围是
1759 146 ，即 a20 147 ，又当 ak 2k 1 (k 8) ， 12
ax 4 (a 0) 与其反函数 f 1 ( x) 的图像恰有三个不同的交点， 则实数
二、简答题（本大题共 3 小题，共 56 分） 9.（16 分）设数列 an 的前 n 项和 S n 组成的数列满足
S n S n 1 S n 2 6n 2 9n 7(n 1) ，已知 a1 1, a2 5, 求数列 an 的通项公式。
10.（20 分）设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x 10 x 11 0 的三个根。 （1）已知 x1, x2, x3, 都落在区间 (5,5) 之中，
3.实数列 an 满足条件： a1 则通项公式 an 4. F1 , F2 是椭圆
2 n 1, a2 2 1, an 1 an 1 2(n 2) ， 2 an an 1 (n 1) 。
2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案
二Ｏ一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分）1．已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R s i n )2()s in (s i n 222-=-（其中a 、b 分别是A ∠、B∠的对边）. 那么C ∠的大小为___________. 答案：45°2．集合{2135}A x a x a =+≤≤+,{333}B x x =≤≤,()A A B ⊆, 则a 的取值范围是___________答案：()28,41,3a ⎡⎤∈-∞-⎢⎥⎣⎦.3．111102910111111666...61C C C ++++-被8除所得的余数是_____________.答案：54．在数列{}n a 中，122,10,a a ==对所有的正整数n 都有21n n n a a a ++=-，则2015a = . 答案：-105．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.则二面角P —BD —A 的大小为__________． 答案：60°.6．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，A 是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ,则双曲线的离心率为 .答案：27．已知,a b 两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==,则对任意的正实数t ，1||c ta b t++的最小值是____________.8．若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为____________.答案：14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭9．设x ，y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是 . 答案：1410．设()f x 是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴(1)1,(2)0f f ==；⑵对任意的,x y 都有()()(1)(1)(f x y f x f y f x f y +=-+-，则(2015)f =___________. 答案：-1二、解答题（共5小题，满分80分）11．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2sin 2(π4－x )－3cos 2x .（Ⅰ）求f (x )的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若f (x )＜m ＋2在x ∈[0，π6]上恒成立，求实数m 的取值范围．解析：（Ⅰ）∵f (x )＝1－cos(π2－2x )－3cos 2x＝－(sin 2x ＋3cos 2x )＋1＝－2sin(2x ＋π3)＋1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )．…………………7分（Ⅱ）∵x ∈[0，π6]，∴π3≤2x ＋π3≤23π，∴32≤sin(2x ＋π3)≤1，∴当sin(2x ＋π3)＝32时，f (x )取得最大值为1－3，即f (x )max ＝1－ 3.要使f (x )＜m ＋2恒成立，需f (x )max ＜m ＋2， ∴1－3＜m ＋2，解得m ＞－1－3，∴m 的取值范围是(－1－3，＋∞)．…………………14分12．（本小题满分14分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 解 (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <16，80，n ≥16(n ∈N )．…………………6分 (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②方法一 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17Y 的数学期望为E (Y )＝55×0.1Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D (X )<D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小． 另外，虽然E (X )<E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．…………………14分 方法二 花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17Y 的数学期望为E (Y )＝55×0.1由以上的计算结果可以看出，E (X )<E (Y )，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．13. （本小题满分16分）数列{}n a 满足12a =，112()1()22n nn nn a a n N n a +*+=∈++. （Ⅰ）设2nn nb a =，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设11(1)n n c n n a +=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S .解：（Ⅰ）由已知可得1112()22n n n n n a a n a ++=++，即112212n n n n n a a ++-=+，即112n n b b n +-=+而2121211111,2,,(1),222b b b b b b n -=+-=+-=-+累加得2111123(1)22n n n b b n ---=++++-+=，又22112111,122n n n b b a -+==∴=+=…………………8分 （Ⅱ）由（1）知112221n n n n a b n ++==+，2122(1)1n n a n ++=++， 222211111(1)1122121111(1)22(1)22(1)2(1)2222(1)2n n n n n n n n n n n n n n c n n n n n n n n n n ++++++⎡⎤⎡⎤++++++==⋅=+=+-⎢⎥⎢⎥++++⋅+⎣⎦⎣⎦ 231223111111111111()()()[]22222122222322(1)2n n n n S n n ++⎧⎫=++++-+-++-⎨⎬⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎩⎭21111(1)1111112221()1222(1)222112n n n n n n ++-⎡⎤+⎡⎤=⋅+⋅-=⋅-⋅⎢⎥⎢⎥+⋅+⎣⎦⎣⎦-…………………16分 14. （本小题满分18分）已知函数.1)1(ln )(+--=x x a x x f（Ⅰ）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）设2()0,:ln ln .m n m n m n m n->>->+求证解析：（I ）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++ ………………5分 因为()(0,)f x +∞在上为单调增函数，所以()0(0,)f x '≥+∞在上恒成立.22(22)10(0,).1(0,),(22)10,22.11(),(0,).() 2.1,1,() 2.x a x x x a x a x x g x x x g x x x x x x g x x+-+≥+∞∈+∞+-+≥-≤+=+∈+∞=+≥===即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值222 2.a a -≤⇒≤所以故a 的取值范围是(,2].-∞…………10分（II ）2()ln ln ,m n m n m n -->+要证只需证2(1)ln .1mm n m nn->+ 只需证2(1)ln 0.1m m n m nn-->+…………14分2(1)()ln .1x h x x x -=-+设 由（I ）知()(0,)h x +∞在上是单调增函数，又1mn>， 2(1)()(1)0,ln 0.1m m m n h h m n n n->=->+所以即成立所以.ln ln 2m n m nm n -+<-…………18分15．（本小题满分18分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点设1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.解析：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b=C 的标准方程为2211612y x +=； ……………4分 （Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y +=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① ②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8. …………………10分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得 2121||1||4NF MF =， ∴ 11||||NF MF 的值为定值12. ……………18分。
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015全国高中数学联赛一试（A卷）试题及其解答
2015全国高中数学联赛一试（A卷）试题及其解答2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)2014全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答2014全国高中数学联赛加试(A卷)试题及其解答2014全国高中数学联赛一试、加试(B卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）不等式题的解参考文献:宋庆 2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing张云华：2015全国高中数学联赛一试(A卷) 第9题解2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）第1,2题的详解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）第3题的参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）第4题的解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）8题的详解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A）解析几题的解原解有误,现修正.参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 Sqing张云华：2015全国高中数学联赛一试(A卷)第10题解2015全国高中数学联赛一试(A 卷)试题及其解答熊昌进 2015全国高中数学联赛（A ）8题的详解参考文献:宋庆2015全国高中数学联赛一试(A卷)试题及其解答 S qing张云华:求最小值2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)张云华 :2015全国高中数学联赛一试(A卷) 第10题一变式2015年全国高中数学联合竞赛一试解答(A卷)anzhenping 问题2494 2015年全国高中数学竞赛第一试第9题背景杏坛孔门 2015年全国高中数学联赛A卷试题及其解答yellow19811024 2015年全国高中数学联赛A卷第7题解答。
2015年全国重点高中数学联合竞赛一式参考参考答案及平分标准
2015年全国高中数学联合竞赛一试一．填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。
1.设a 、b 为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为2.若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为类数；若d c c b b a <><,,则称abcd 为Q 类数.用)(),(Q N P N 分别表示P 类数和Q 类数的个数，则)()(Q N P N -的值为二．解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本小题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a c b a 424,242=+=+，求c 的最小值。
10.（本小题满分20分）设4321,,,a a a a 是4个有理数，使得{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i a a j i 求4321a a a a +++的值。
11.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆2015年全国高中数学联合竞赛加试一、（本小题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得：))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i n i i i n i i a n a a ε 二、（本小题满分40分）设{}n A A A S ,,,21⋅⋅⋅=,其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不x四、（本小题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n ，1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn2015年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。
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二Ｏ一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分）1．已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a 、b 分别是A ∠、B∠的对边）. 那么C ∠的大小为___________. 答案：45°2．集合{2135}A x a x a =+≤≤+,{333}B x x =≤≤,()A A B ⊆, 则a 的取值范围是___________答案：()28,41,3a ⎡⎤∈-∞-⎢⎥⎣⎦.3．111102910111111666...61C C C ++++-被8除所得的余数是_____________.答案：54．在数列{}n a 中，122,10,a a ==对所有的正整数n 都有21n n n a a a ++=-，则2015a = . 答案：-105．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.则二面角P —BD —A 的大小为__________． 答案：60°.6．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，A 是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ,则双曲线的离心率为 . 答案：627．已知,a b 两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==,则对任意的正实数t ，1||c ta b t++的最小值是____________. 答案：7 8．若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为____________.答案：14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭9．设x ，y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是 . 答案：1410．设()f x 是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴(1)1,(2)0f f ==；⑵对任意的,x y 都有()()(1)(1)()f x y f x f y f x f y +=-+-，则(2015)f =___________. 答案：-1二、解答题（共5小题，满分80分）11．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2sin 2(π4－x )－3cos 2x .（Ⅰ）求f (x )的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若f (x )＜m ＋2在x ∈[0，π6]上恒成立，求实数m 的取值范围．解析：（Ⅰ）∵f (x )＝1－cos(π2－2x )－3cos 2x＝－(sin 2x ＋3cos 2x )＋1＝－2sin(2x ＋π3)＋1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )．…………………7分（Ⅱ）∵x ∈[0，π6]，∴π3≤2x ＋π3≤23π，∴32≤sin(2x ＋π3)≤1，∴当sin(2x ＋π3)＝32时，f (x )取得最大值为1－3，即f (x )max ＝1－ 3.要使f (x )＜m ＋2恒成立，需f (x )max ＜m ＋2， ∴1－3＜m ＋2，解得m ＞－1－3，∴m 的取值范围是(－1－3，＋∞)．…………………14分12．（本小题满分14分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 解 (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <16，80，n ≥16(n ∈N )．…………………6分 (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②方法一 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17Y 的数学期望为E (Y )＝55×0.1Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D (X )<D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小． 另外，虽然E (X )<E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．…………………14分 方法二 花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17Y 的数学期望为E (Y )＝55×0.1由以上的计算结果可以看出，E (X )<E (Y )，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．13. （本小题满分16分）数列{}n a 满足12a =，112()1()22n nn nn a a n N n a +*+=∈++. （Ⅰ）设2nn nb a =，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设11(1)n n c n n a +=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S .解：（Ⅰ）由已知可得1112()22n n n n n a a n a ++=++，即112212n n n n n a a ++-=+，即112n n b b n +-=+而2121211111,2,,(1),222b b b b b b n -=+-=+-=-+累加得2111123(1)22n n n b b n ---=++++-+=，又22112111,122n n n b b a -+==∴=+=…………………8分 （Ⅱ）由（1）知112221n n n n a b n ++==+，2122(1)1n n a n ++=++， 222211111(1)1122121111(1)22(1)22(1)2(1)2222(1)2n n n n n n n n n n n n n n c n n n n n n n n n n ++++++⎡⎤⎡⎤++++++==⋅=+=+-⎢⎥⎢⎥++++⋅+⎣⎦⎣⎦ 231223111111111111()()()[]22222122222322(1)2n n n n S n n ++⎧⎫=++++-+-++-⎨⎬⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎩⎭21111(1)1111112221()1222(1)222112n n n n n n ++-⎡⎤+⎡⎤=⋅+⋅-=⋅-⋅⎢⎥⎢⎥+⋅+⎣⎦⎣⎦-…………………16分 14. （本小题满分18分）已知函数.1)1(ln )(+--=x x a x x f（Ⅰ）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）设2()0,:ln ln .m n m n m n m n->>->+求证解析：（I ）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++ ………………5分 因为()(0,)f x +∞在上为单调增函数，所以()0(0,)f x '≥+∞在上恒成立.22(22)10(0,).1(0,),(22)10,22.11(),(0,).() 2.1,1,() 2.x a x x x a x a x x g x x x g x x x x x x g x x+-+≥+∞∈+∞+-+≥-≤+=+∈+∞=+≥===即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值222 2.a a -≤⇒≤所以故a 的取值范围是(,2].-∞…………10分（II ）2()ln ln ,m n m n m n -->+要证只需证2(1)ln .1mm n m nn->+ 只需证2(1)ln 0.1m m n m nn-->+…………14分2(1)()ln .1x h x x x -=-+设 由（I ）知()(0,)h x +∞在上是单调增函数，又1mn>， 2(1)()(1)0,ln 0.1m m m n h h m n n n->=->+所以即成立所以.ln ln 2m n m nm n -+<-…………18分15．（本小题满分18分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点设1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.解析：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b=C 的标准方程为2211612y x +=； ……………4分 （Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① ②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8. …………………10分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得 2121||1||4NF MF =， ∴ 11||||NF MF 的值为定值12. ……………18分。