理论力学 第2版 06静力学专题_3重心..
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2 2 A1 x1 A2 x2 πR 0 πr a ar 2 xC 2 2 2 2 A1 A2 R r πR πr
的重心位置。设三角板底边 ABD
长
BD
b
h
解: 如图，将三角板分割成一系列平行于底边
的细长条，由于每一细长条的重心均在其 中点，因此整个三角板的重心 C 必位于中
线 AE 上。 显然，只要再求出
yC ，则三角板
ABD 的重心位置即定。
建立坐标系，取任一平行于底边 BD的细长条为微元，其面积
dA b dy
[例5] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a 。
解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
图形可视为从大圆中切去了一个小圆 其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
A2 πr 2
x1 0
x2 a
R
y
I
O
a
r
II
x
根据平面图形形心坐标计算公式，得 该图形的形心坐标为
第六章
第三节
基本概念—— 重心： 物体重力的作用点
静力学专题
物体的重心
形心： 物体的几何形状中心 基本结论——
1）对于匀质物体，重心与形心位置重合 2）形心位于物体的几何对称轴上
一、物体的重心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
xC xdP P
xC
P yi Pi yC P zi Pi zC P
yC 0
以 d 表示微元弧长 dl 所对的圆心角 代入曲线段的形心坐标计算公式
y
r
xC
l
x dl l
2 r cos rd
0
2 rd
0
r sin
d
dl
x
x
若为半圆弧，即有 = / 2，则得
2r xC π
[例3] 试确定图示均质三角板
为 ，高为 。
小块的面积
五、曲线段的形心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
xC xdl l
xC
l yi li yC l zi li zC l
x l
i i
y d l yC l zd l zC l
h y b dy h
则
yC
A
ydA A
h
0
b (h y ) ydy h h 1 3 bh 2
[例4] 如图，已知 h = 12 cm、b = 8 cm、d = 1.2 cm，试确定该图形 的形心位置。 解： 选取坐标轴， 将该图形分割成两个矩形 其面积和形心坐标分别为
A1 1.2cm 12cm 14.4cm2
无限分割形式：
xC xdm
xC
m yi mi yC m zi mi zC m
x m
i i
m y d m yC m zdm zC m
其中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的质心坐标；mi 为第 i
xC
A y A i i yC A
x A
i i
xC
A yd A yC A
xd A
式中，( xi , yi ) 为第 i 小块 的形心坐标；Ai 为第 i
式中，( x , y ) 为微元 dA 的形心坐标
其中，( x , y , z ) 为微元 dm 的质心坐标。
小块的质量。
三、物体的形心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
xC xdV V
xC
V yi Vi yC V zi Vi zC V
x V
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为
式中，( x , y , z ) 为曲线 微元 dl 的形心坐标
第 i 小段曲线的长度
[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
y
xC yC
Βιβλιοθήκη Baidu
3 a 4 3 b 10
a
b
O
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧 所对的圆心角为 2 。 解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
i i
y d V yC V z dV zC V
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的形心坐标；Vi 为第 i
式中，( x , y , z ) 为微元 dV 的形心坐标
小块的体积
四、平面图形的形心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
x1 0.6cm y1 6cm
II
O
y
I
A2 6.8cm 1.2cm 8.16cm2
x2 4.6cm
y2 0.6cm
x
由平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为
A1 x1 A2 x2 14.4 0.6 8.16 4.6 xC cm 2.05cm A1 A2 14.4 8.16 yC A1 y1 A2 y2 14.4 6 8.16 0.6 cm 4.05cm A1 A2 14.4 8.16
x P
i i
y d P yC P zdP zC P
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的重心坐标；Pi 为第 i
式中，( x , y , z ) 为微元 dP 的重心坐标
小块的重力
二、物体的质心坐标计算公式 有限分割形式：
的重心位置。设三角板底边 ABD
长
BD
b
h
解: 如图，将三角板分割成一系列平行于底边
的细长条，由于每一细长条的重心均在其 中点，因此整个三角板的重心 C 必位于中
线 AE 上。 显然，只要再求出
yC ，则三角板
ABD 的重心位置即定。
建立坐标系，取任一平行于底边 BD的细长条为微元，其面积
dA b dy
[例5] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a 。
解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
图形可视为从大圆中切去了一个小圆 其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
A2 πr 2
x1 0
x2 a
R
y
I
O
a
r
II
x
根据平面图形形心坐标计算公式，得 该图形的形心坐标为
第六章
第三节
基本概念—— 重心： 物体重力的作用点
静力学专题
物体的重心
形心： 物体的几何形状中心 基本结论——
1）对于匀质物体，重心与形心位置重合 2）形心位于物体的几何对称轴上
一、物体的重心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
xC xdP P
xC
P yi Pi yC P zi Pi zC P
yC 0
以 d 表示微元弧长 dl 所对的圆心角 代入曲线段的形心坐标计算公式
y
r
xC
l
x dl l
2 r cos rd
0
2 rd
0
r sin
d
dl
x
x
若为半圆弧，即有 = / 2，则得
2r xC π
[例3] 试确定图示均质三角板
为 ，高为 。
小块的面积
五、曲线段的形心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
xC xdl l
xC
l yi li yC l zi li zC l
x l
i i
y d l yC l zd l zC l
h y b dy h
则
yC
A
ydA A
h
0
b (h y ) ydy h h 1 3 bh 2
[例4] 如图，已知 h = 12 cm、b = 8 cm、d = 1.2 cm，试确定该图形 的形心位置。 解： 选取坐标轴， 将该图形分割成两个矩形 其面积和形心坐标分别为
A1 1.2cm 12cm 14.4cm2
无限分割形式：
xC xdm
xC
m yi mi yC m zi mi zC m
x m
i i
m y d m yC m zdm zC m
其中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的质心坐标；mi 为第 i
xC
A y A i i yC A
x A
i i
xC
A yd A yC A
xd A
式中，( xi , yi ) 为第 i 小块 的形心坐标；Ai 为第 i
式中，( x , y ) 为微元 dA 的形心坐标
其中，( x , y , z ) 为微元 dm 的质心坐标。
小块的质量。
三、物体的形心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
xC xdV V
xC
V yi Vi yC V zi Vi zC V
x V
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为
式中，( x , y , z ) 为曲线 微元 dl 的形心坐标
第 i 小段曲线的长度
[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
y
xC yC
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3 a 4 3 b 10
a
b
O
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧 所对的圆心角为 2 。 解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
i i
y d V yC V z dV zC V
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的形心坐标；Vi 为第 i
式中，( x , y , z ) 为微元 dV 的形心坐标
小块的体积
四、平面图形的形心坐标计算公式 有限分割形式：
无限分割形式：
x1 0.6cm y1 6cm
II
O
y
I
A2 6.8cm 1.2cm 8.16cm2
x2 4.6cm
y2 0.6cm
x
由平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为
A1 x1 A2 x2 14.4 0.6 8.16 4.6 xC cm 2.05cm A1 A2 14.4 8.16 yC A1 y1 A2 y2 14.4 6 8.16 0.6 cm 4.05cm A1 A2 14.4 8.16
x P
i i
y d P yC P zdP zC P
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的重心坐标；Pi 为第 i
式中，( x , y , z ) 为微元 dP 的重心坐标
小块的重力
二、物体的质心坐标计算公式 有限分割形式：