实数与向量相乘教案

教师姓名 学生姓名 年 级 初三 上课日期 2014/6/12

学 科

数学

课题名称

实数和向量相乘

计划时长

2h

教学目标

1．理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法．

2．对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；并能联系已学过的几何知识，正确地用已知向量表示与它平行的向量．

3．在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的数学思想．

教学重难点 教学重点：1.实数与向量相乘的意义.

2.实数与向量相乘满足的运算律.

教学难点：利用实数与向量相乘的意义解决几何中的两直线平行及线段长度问题.

一 知识点梳理

知识点1 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义

一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用n a 表示n 个a 相加；用—n a 表示n 个—a

相加，又当m 为正整数时，

m n a 表示与a

同向且长度为m

n |a |的向量. 2.实数与向量相乘的运算的规定

设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a

.

如果k 0≠，且a 0≠，那么k a 的长度|k a |=|k ||a |；k a 的方向：当k 0>时，k a 与a 同方向；当k 0<时，k a

与a

反方向.

当k =0或a

=0，那么0ka =

例1：已知非零向量a

，求作5,3,2

a a -

并指出他们的长度和方向．

例2：已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AD a BA b ==

，，试用向量a 或b

表示向量OE OF 、

，并写出图中与向量OE 相等的向量． O

H F G

E

B

A C

D

A

D

B

C

E F

例3：已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，7AD=4AB ，试用向量BC 表示向量DE

．

知识点2 实数与向量相乘满足的运算律 1.实数与向量相乘满足实数加法的分配律 设n m ,是非零实数，→

a 是非零向量，那么

a n a m a n m +=+)(

对于任意实数k 和非零向量→

a 、b

，总有

()k a b ka kb +=+

2.实数与向量相乘满足实数加法的结合律

任意的非零实数n m ,和非零向量a ，总有a mn a n m )()(= 例4：计算：

c

b a

c b a

326)4341(8)231(3⨯+-++-

知识点3 平行向量定理

如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b =m a

.

例5：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，AD=2，BC=3，设a AD =，能将向量EF BC ,用a 表示出

来吗？

A B

E C D