人教版高中数学必修五基本不等式公开课教学课件
(人教版)数学必修五:3.4《基本不等式(1)》ppt课件
(2)也可以直接将1x+1y的分子 1 代换为 x+2y,和乘以“1”是 相同的.
已知 x>0,y>0,且1x+9y=1,求 x+y 的最小值.
∵x+1x≤-2,∴-12≤x+1 1x<0,当且仅当 x=-1 时,等号 成立,
∴-1≤y<0;当 x=0 时,y=0.综上所述,该函数的值域 为[-1,1].
一变形技巧:“1”的代换
已知正数 x,y 满足 x+2y=1,求1x+1y的最小值. [分析] 灵活应用“1”的代换.在不等式解题过程中,常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替.本例中可将分子中的 1 用 x+2y 代替,也可 以将式子1x+1y乘以 x+2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a+2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明 暗使它看上去像一个风车,代表中国人民的热情好客.那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?
[解析] ∵x,y 为正数,且 x+2y=1. ∴1x+1y=(x+2y)(1x+1y)=3+2xy+xy≥3+2 2,当且仅当2xy =xy,即当 x= 2-1,y=1- 22时等号成立. ∴1x+1y的最小值为 3+2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1=x+2y≥2 2xy,得 1xy≥2 2,
基本不等式公开课课件完整版
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时,经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分,其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用,如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1,有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i,其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻,如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时,学生有时会忽视定义域的限制,导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式,应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法,导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数,求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$,求$a +
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案?
创设情境、体会感知:
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1:在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2:Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形,它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究,问题解决
探究二:若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到: ( a )2 ( b )2≥2 a b
即: a b≥2 ab
即: ab a b (a 0,b 0) 2
(当且仅当a=b时,等号成立)
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系? x
学案72页例1、2
变式:若x<0,求f(x)=4x+ 9 的最值,并求取得最值时x的值. x
(2)求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
(3)已知:x 3,求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容:
2. 数形结合,换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用:求最值。特别要注意公式适用 的条件。
人教版必修五数学PPT课件基本不等式PPT
当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即
+
≤ ,当且仅当a=b时,等号成立.
2. 基本不等式
(3)几何意义:
半弦不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则
OD=
+
,DC=
= DE,则DC≤OD.
(4)变形:
ab≤
a+b 2
,a+b≥2
2
等号成立).
x−1
x
,所以函数f(x)的最小值是2
x−1
x
.由
x−1
是一个与x有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是忽视了基本不等式中ab与a+b有一个是定值.
x−1
2. 基本不等式
三相等:
等号能够成立,即存在正数a,b使基本不等式两边相等.如果忽视这一点,就会得出错误的答案.例如,当x≥2时,
1
1
1
式求出最值.
《基本不等式》
·人教版必修五数学PPT课件·
①若x2+y2=S(平方和为定值),则xy≤,当且仅当x=y时,积xy
取得最大值;
②若xy=P(积为定值),则x2+y2≥2P,当且仅当x=y时,平方和
x2+y2取得最小值2P.
3. 有关常用理论
(2)已知x>0,y>0,
S2
①若x+y=S(和为定值),则xy≤ 4 ,当且仅当x=y时,积xy
a2 +b2
2
2
(2)公式中a +b ≥2ab常变形为ab≤
或a2+b2+2ab≥4ab或
2
2(a2+b2)≥(a+b)2等形式,要注意灵活掌握。
人教版高中数学必修五3.4基本不等式二 课件(共15张PPT)
解:当x 0时,y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 2时等号成立
当x 0时
y
x
4 x
x
4 x
2
x 4 4
x
当且仅当x 2时等号成立
综上所述函数的值域为 ,44,
基本不等式成立的条件:二定(积定和最小)
例2 已知x 1,求x 4 的最小值 x 1
解: x 1 x 1 0 4 0
2
2x 1
解: x 1 2x 1 0 8 0
2
2x 1
y x 8 1 2x 1 8 1
2x 1 2
2x 1 2
y x 8 2 1 2x 1 8 1 2 2 1 9
2x 1 2
2x 1 2
22
当且仅当1 2x 1 8 时,即x 5 时等号成立
2
2x 1
2
基本不等式成立的条件:二定(和定积最大)
2
当且仅当a b时等号成立
基本不等式成立的条件:二定(和定积最大)
变式4
若0
x
1 3
,
则x1
3x取最大值时x的值是B
A. 1
B. 1
C. 1 D. 1
4
6
8
10
基本不等式成立的条件:三相等
例4 求函数y x2 2 1 的最小值 x2 2
解: x2 2 0
1 0
x2 2
二定
y x2 2 1 2 x2 2 1 2
适用条件
复习回顾
已知x 0,求y x 4的最小值;
x
二定
解 x 0, y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时原式有最小值4 x
高中数学人教版必修五:基本不等式(共23张PPT)
ab
a
b 2
(第一课时)
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会(ICM2002)的会标
问题 :你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗?
二、自主探究 推导公式
问题 1:在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b,正方形ABCD的面积为 S ,4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看:
把
ab 2
看做两个正数a,b 的等差中项,
ab 看做正数a,b的等比中项,
那么上面不等式可以叙述为:
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究:如图,AB 是圆的直径,点 C 是 AB上一点,
显然,④是成立的.当且仅当 a b 时,④中的等号成立.
2019/10/5
析 : a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
(2)设矩形的长、宽分别为x(m),y(m),
依题意有2(x+y)=36,即x+y=18, 因为x>0,y>0,所以, xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方,得xy≤81, 当且仅当x=y时,式中等号成立,此时x=y=9,
因此,当这个矩形的长与宽都是9m时,它的 面积最大,最大值是81m2。
人教版高中数学必修五第三章3.4.1 基本不等式公开课教学课件 (共21张PPT)
问题探索
b a
a2 b2
问1:在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2: Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形,它们的面积和是S’=——— 问3:S与S’有什么样的关系? 从图形中易得,S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己,这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的,但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业:
课本习题练习 1,2,3,
21
(1)a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
(2) a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时,等号成立
注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
3.4基本不等式 课件(人教A版必修5)
由容积为4800m3,可得:3xy=4800
因此
xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
即 z 240000 720 2 1600
z 297当60x0=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形 时总造价最低,最低总造价为297600元.
(1)a,b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0),当且仅当a b时,等号成立。 2
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
3x y 6 0,
2.(2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 若目标函数
x 0, y 0,
a z ax by(
>0, b
>0)的最大值为12,则
2 a
b3的最小值为(A)
A. 25 6
8
B.
3
11
C.
D. 4
3
略解:
y
把点(4,6)代入z = ax + by得4a + 6b = 12,
0,求x
1
x 的最值;
x
(3)若x 3,函数y x
1
,当x为何值时,函数
x3
有最值,并求其最值。
解: x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1即x 1时原式有最小值2. x
2、解: x 1 [(x) ( 1 )] 2 ( x) ( 1 ) 2
高中数学基本不等式新人教A版必修5 精品优选公开课件
令 yx(242x)
则 y 2 4 x 2 x 2 2 ( x 6 ) 2 7 2 (0x12)
当x=6时,函数y取得最小值为72 因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 花园面积最大,最大面积是72m2
小结:
1. 两个重要的不等式
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
1. 求函数 f(x)=x+ x1+1(x> -1) 的最小值.
解: ∵ x>-1, ∴x+1>0. ∴ f(x)=x+ x1+1 =(x+1)+ x1+1 -1
≥2 (x+1)∙ x1+1 -1 =1, 当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号. ∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则 ab__≥___2 ab
通常我们把上式写作:
ab≤ ab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围: a>0,b>0
在数学中,我们把
ab 2
叫做正数a,b的算术平均数,
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a>0,b>0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人,总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__,
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____,
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形,
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式: 注意:(1)a,b均为正数; (2)当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径,C
是AB上任一点,
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE,连接
AD,BD,
E
则CD=__,
半径为__.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合,即当a=b 时,等号成立. 几何意义:半径不小于半弦.
∴1x+1y≥2 x1y= 2xy≥4 2则是错误的,因为此时等号取 不到:前一个不等式成立的条件是 x=2y=12,后一个不等式则 是在 x=y 时成立.
(2)也可以直接将1x+1y的分子 1 代换为 x+2y,和乘以“1” 是相同的.
3.4 基本不等式 人教版高中数学必修5课件(共20张PPT)
等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为10 m时,所用篱笆最短,最 短篱笆为40 m;
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,大面积是多少?
解 设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2(x+y)=36,x+y=
跟踪训练1 已知a,b,c为不全相等的正数,
求证:a+b+c> ab+ bc+ ca.
例 2 已知 x、y 都是正数.
求证:(1)yx+xy≥2; (2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
跟踪训练2 已知a、b、c都是正实数,求证:(a+b)(b+c)· (c+a)≥8abc.
跟踪训练 3 已知 a,b,c 都是正实数,且 a+b+c=1, 求证:1a+1b+1c≥9.
例 3 (1)若 x>0,求函数 y=x+4x的最小值,并求此时 x 的值;
(2)设 0<x<32,求函数 y=4x(3-2x)的最大值;
(3)已知 x>2,求 x+ 4 的最小值; x-2
(4)已知 x>0,y>0,且 1x+9y=1,求 x+y 的最小值.
1 x·
6x00=297
600(元),
当且仅当 x=1 6x00,即 x=40 时,y 取得最小值 297 600.
答 水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低,最
低总造价为297 600元.
课堂小结
1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最 大值,即若a,b∈R+,且a+b=M,M为 定值,则ab≤
谢谢观看
为120元,问怎样设计水池才能使总造价最低?最低总造价是
多少元?
解 设水池底面一边的长度为x m,则另一边的长度为 4 800m. 3x
《基本不等式》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
适用范围: a>0,b>0
ab
在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数,
2
ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
课程讲解
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
D
如图, AB是圆的直径, O为圆心,点
C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C
第二章·第2课
基本不等式
课程导入
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式:
一般地,∀, ∈ ,有
a2+b2≥2ab,
当且仅当a=b时,等号成立.
特别地,如果a>0,b>0,我们用 , 分别代替上式中的a,b,
可得
≤
+
2
当且仅当a=b时,等号成立.
①
课程导入
通常称不等式(1)为基本不等式(basic inequality).其
+
中,
叫做正数a,b的算术平均数,
2
叫做正数a,b的
几何平均数.
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的
几何平均数.
课程讲解
思考: 上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等
式,能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢?下
面我们来分析一下.
课程讲解
ab
1)类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式 ab
的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项
的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项
均相等,取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三
人教版高中数学必修五3.4.2基本不等式公开课教学课件
2.凑项 :使积成为定值
拓展延伸:
已知x 5 , 求函数y 4x 2 1 的最大值
4
4x 5
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究3:已知0 x 1, 求x(1 x)的最大值
解析: 0 x 11 x 0
(x 1 x)2 1
x(1 x)
ab ( a+b )2 , 2
自主探究:
下列函数中,最小值是2的是 ( )
A.y=x2+2x
B.y=
x2+2+
1 x2+2
C.y=7x+7-x
D.y=x+8x(x>0)
解析:A中x可能为负值,B中等号不成 立,D中最小值不是2.
答案:C
总结归纳:
利用基本不等式求最值需要注意什么?
总结归纳:
应用基本不等式求最值时,要把握三个条件:
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2 =
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即
x=
1 4
时,
取“=”号.
∴当 x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
课堂小结:
1、本节课你学到了哪类题型? 能够利用基本不等式求最值问题 2、求解过程中需要注意什么? 一正、二定、三相等 3、如果条件不满足该如何处理? 正不满足,提负号;积为定不满足, 凑系数;和为定不满足,凑项
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究2: 已知x
1, 求y
x
1 的最小值 x 1
解析:(1) x 1 x 1 0 思考:取到最值时x的值呢?
高中数学新人教A版必修5课件:第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式
ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能 应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必 须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.
人教版高中数学必修五第三章第四节基本不等式(一)公开课教学课件 (共24张PPT)
解: ab a b
2 ab 2 18 2 ab ( ) ( ) 81 2 2 (当且仅当a b 9时取等) 故ab的最大值为81
ab 2 ) 2 当和a b为定值时,可以求积 ab的最大值 常用变形:ab (
1 例2、( 1 )已知 x 0, 求函数 f ( x ) x 的最小值 x
2
1 x 2
2
能否用基本不等式求最 小值?
解: 由基本不等式知
2
x 2
2
1 x 2
2
2
x 2
2
1 x 2
2
2
当且仅当 x 2
1
x2 2 能的,故此函数不能用 基本不等式求最小值。
即x 2 2 1时取等,而这是不可
三相等
利用基本不等式求最值的条件:一正、二定、三相等。
高中数学《必修5》(人教版)
三国时期吴国的数学家赵爽, 用来证明勾股定理。
1 2 2 证明: 4( ab) (b a ) c 2 2 2 2 2ab (b 2ab a ) c a b c
2 2 2
2002年在北京召开的国际 数学家大会会标
1 ∴y=x(1-2x)= 2∙2x∙(1-2x) 1 ∙[ 2x+(1-2x)]2 1 = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1 ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 . 8 4
≤
二定
3 练习:设 0 x , 求函数 y 4 x (3 2 x )的最大值。 2
(4)S与S’可能相等吗?满足什么条件时相等?
b
2024版人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高:含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法,能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程,培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性,培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟,新课部分30分钟,巩固练习部分15分钟,小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法;难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”,用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时,a<b,b>a 同时成立,反之亦然。
若a>b 且b>c ,则a>c ;若a<b且b<c ,则a<c 。
同向不等式可以相加,即若a>b 且c>d ,则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0,则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b,有√(ab)≤(a+b)/2,当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn,有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2,当且仅当ai/bi为常数时取等号。
高中数学必修五基本不等式人教A版必修市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
C.a>a+2 b>b> ab
D.a>
a+b ab> 2 >b
第12页
[解析] 本题的关键在于比较a+2 b,b, ab的大小,因 为 ab> b2, ab>b,又由推论知a+2 b> ab,∴a>a+2 b > ab>b,故选 B. [答案] B
第13页
迁移变式 1 以下结论中,错用基本不等式作依据的是 ()
a2+2 b2时,可
先证平方成立,然后开方.
第20页
[证明] ∵a>0,b>0,∴1a>0,1b>0,∴1a+2 1b≥
a1b= 1ab>0,
∴1a+2 1b≤ ab,∴1a+1 1b≤ 2ab≤ ab.
又a+4 b2=a2+b42+2ab≤a2+b2+4 a2+b2=a2+2 b2,∴a+2 b
,
∴lga+2 lgb<lg(a+2 b),即 Q<R,∴P<Q<R.
第16页
[点评] 依据均值不等式与对数运算法则, 利用不等式传递性,即可得到三个式子大 小关系.
第17页
迁移变式 2 设 m=12logax,n=loga1+2 x,p=loga12+xx,其
中 0<a<1,x>0 且 x≠1,则下列结论正确的是( )
A.x,y 均为正数,则yx+xy≥2 B.a∈R,则(1+a)(1+1a)≥4 C.若 x>1,则 lgx+logx10≥2 D. xx2+2+21≥2
第14页
解析:A、C符合基本不等式,能够利用基
本不等式作理论依据.D拆项后为
,
符合基本不等式,只有B,因给出a∈R,
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知识回顾:
1、重要不等式: a2 b2 2ab
2.基本不等式:
3、常用不等式:当a 0, b 0 时
a b 2 ab
ab ( a+b )2 , 2
自主探究:
下列函数中,最小值是2的是 ( )
A.y=x2+2x
B.y=
x2+2+
1 x2+2
C.y=7x+7-x
D.y=x+8x(x>0)
x(1 x)
4
4
思考:取到最值时x的值呢? (2)x=1/2
变式:若 0<x<12 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
3.凑系数 :使和成为定值
变式:若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析: 2x+(1-2x) 不=1是为 常数.
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
人教版高中数学必修五 基本不等式公开课教学
课件
2020/9/19
第三章 不等式
3.4 基本不等式: ab≤a+ 2 b
(第 2 课时)
利用基本不等式求最值
课程 标准
会用基本不等式解决简单最大(小)值问题
学习目标:
1、进一步掌握基本不等式 ab≤a+2 b ,
会应用此不等式及其变形求某些函数的 最值
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究1:
求f
(x)
4x
1 x
(x
0)的最大值
解:
1.提负号,化为正
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究2:已知x
1, 求y
x
1 的最小值 x 1
解析:(1) x 1 x 1 0 思考:取到最值时x的值呢?
y x 1 (x 1) 1 1
x 1
x 1
2、通过自主探究,进一步认识利用基本 不等式求最值的三个条件,能够对式子 适当变形,配凑出“一正”,“二定” 即和为定值,积为定值解题。
问题检测:
• 1.若a,b为正数,且ab=25,则a+b的最小值为
()
• A.2
B.5
C.10 D.25
• 2.已知正数x,y满足x+y=10,则xy的最大值为
()
解析:A中x可能为负值,B中等号不成
立,D中最小值不是2. 答案:C
总结归纳:
利用基本不等式求最值需要注意什么?
总结归纳:
应用基本不等式求最值时,要把握三个条件:
一、正数条件,即a、b都是正数;
二、定值条件,即和是定值或积是定值;
三、相等条件,即a=b时取等号;
简称“一正,二定,三等” 忽略了任何一个条件,都会导致解题失败,若有 条件不满足时,应该怎样处理呢?
• A.15
B.10 C.25 D.不存在
问题检测:
• 1.若a,b为正数,且ab=25,则a+b的最小值为
()
• A.2
B.5
C.10 D.25
• 2.已知正数x,y满足x+y=10,则xy的最大值为
()
• A.15
B.10 C.25 D.不存在
1. 解析:a+b≥2 ab=2 25=10.
当且仅当 a=b=5 时“=”成立,所以 a+b 的最小
∴y=x(1-2x)= 12∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即 x=
1 4
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
(1)x=2
2 (x 1) 1 1 3 x 1
2.凑项 :使积成为定值
拓展延伸:
已知x 5 , 求函数y 4x 2 1 的最大值
4x 5
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究3:已知0 x 1, 求x(1 x)的最大值
解析: 0 x 11 x 0
(x 1 x)2 1
值为 10.
答案:C
问题检测:
• 1.若a,b为正数,且ab=25,则a+b的最小值为
()
• A.2
B.5
C.10 D.25
• 2.已知正数x,y满足x+y=10,则xy的最大值为
()
• A.15
B.10 C.25 D.不存在
2.
解析:xy≤x+ 2 y2=25,当且仅当
x=y=5
答案:C
时“=”成立,所以 xy 的最大值为 25.