函数与方程的思想

第一编 讲方法

第1讲 函数与方程的思想

「思想方法解读」 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．

方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题.

热点题型探究

热点1 函数与方程思想在不等式中的应用

例1 (1)(2019·新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( )

A ．－13

B ．1

3

C ．23

D ．1

答案 B

解析 1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2

3(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不

等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧

4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0

⇒－13≤a ≤1

3.故选B. (2)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－2]

B ．[2，＋∞)

C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 D

解析 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4

＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立．构造函数g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨

⎪

⎧

g (1)＞0，g (4)＞0，

即

⎩⎪⎨⎪⎧

x －2＋(x －2)2＞0，

4(x －2)＋(x －2)2＞0，

解得x ＜－2或x ＞2.

(3)(2019·山东省烟台市高三一模)若函数f (x )＝e x －e －x ＋sin2x ，则满足f (2x 2－1)＋f (x )>0的x 的取值范围为( )

A.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，12 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，＋∞

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D ．⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)

答案 B

解析 函数f (x )＝e x －e －x ＋sin2x 的定义域为R ，且满足f (－x )＝e －x －e x ＋sin(－2x )＝－(e x －e －x ＋sin2x )＝－f (x )，

∴f (x )为R 上的奇函数；又f ′(x )＝e x ＋e －x ＋2cos2x ≥2＋2cos2x ≥0恒成立，∴f (x )为R 上的单调增函数；又f (2x 2－1)＋f (x )>0，得f (2x 2－1)>－f (x )＝f (－x )，∴2x 2－1>－x ，即2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >1

2，所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，＋∞.故选B.

函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．

1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0

答案 B

解析 把不等式变形为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数f (t )＝2t －5－t ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，故选B.

2．已知a ，b ，c 依次为方程2x ＋x ＝0，log 2x ＝2和log 12

x ＝x 的实根，则a ，

b ，

c 的大小关系为( )

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞a ＞c

C ．c ＞b ＞a

D ．b ＞c ＞a

答案 D

解析 由log 2b ＝2，得b ＝4，由2x ＋x ＝0，log 12

x ＝x ，得2x ＝－x ，log 2x ＝

－x ，在同一坐标系中分别作出函数y ＝2x ，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b ＞c ＞a .

3．(2019·宁夏银川一中高三二模)已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞)

B ．[－1,4)

C ．[－1，＋∞)

D ．[－1,6]

答案 C

解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x －2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫y x 2

，对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝y

x ，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成

立，令s ＝－2t 2

＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋1

8，∴t ＝1时，s max ＝－1，∴a ≥－1，a 的取值范

围是[－1，＋∞)，故选C.

热点2 函数与方程思想在数列中的应用

例2 (1)(2019·衡水市第十三中学高三质检)已知定义域为R 的函数f (x )满足

f (x )＝4f (x ＋2)，当x ∈[0，2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋x ＋1，x ∈[0，1)，

⎝ ⎛⎭

⎪⎫12 |x －3

2|

，x ∈[1，2)，设f (x )在[2n

－2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *)，且{a n }的前n 项和为S n ，若S n

数n 均成立，则实数k 的取值范围为( )