高数空间几何向量典型例题

例1 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长AB =BC =3，BB 1=4，连结B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于点E ，交B 1C 于点F ．

（1）求证：A 1C ⊥平面EBD ；

（2）设A 1C ∩平面EBD =K ，求线段A 1K 的长； （3）求A 1B 与平面BDE 所成角的大小．

解法1：（1）证BE C A ⊥1，BD C A ⊥1，可得A 1C ⊥平面EBD ．

（2）在平面1BC 中用平几知识可求得4

9

=

CE ，在对角面1AC 中，设AC 与BD 交于点O ，可求得22CE OC OE +=4173=，由面积法得34

34

9=CK ，

2

121AA AC C A +=34=，34

342511=

-=CK C A K A ． （3）∵A 1C ⊥平面B DE ，∴∠A 1BK 就是所求的直线A 1B 与平面BDE 所成的角． ∴BK A 1sin ∠B A K A 11=

34345=

，∴直线A 1B 与平面BDE 所成的角为34

34

5arcsin ． 解法2：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，

z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则D (0，0，0），A (3，0，0），C (0，3，0），B (3，3，0），A 1(3，0，4），D 1(0，0，4），C 1(0，3，4），

B 1(3，3，4）．

设E (0，3，z ），则∵BE ⊥B 1C ，∴BE ·C B 1=0，BE =(-3，0，z ），B 1=(-3，0，-4），

∴·B 1C=(-3，0，z ）·（-3，0，-4）=9-4z=0，∴z=49

， ∴E(0，3，4

9)， ∴A 1·=-3×3+3×3=0，A 1·=3×3-4×4

9=0，

∴A 1⊥，A 1⊥，∴A 1⊥DB ，A 1C ⊥DE ， ∴A 1C ⊥平面BDE ． （2）DK =m +n =m (3，3，0）+n （0，3，49）=(3m ，3m +3n ，4

9n ）， ∴K (3m ，3m +3n ，49n ），∴A 1=（3m -3，3m +3n ，4

9n-4），

A 1⊥⇔A 1·=(3m -3，3m +3n ，

4

9

n -4）·(3，3，0）=0， A

B

C

D

1

A 1

B 1

C 1

D E

F

y

∴2m +n -1=0，及=A 1⊥⇔·=(3m-3，3m+3n ，49

n-4）·(0，3，4

9）=0，

∴16m +25n -16=0，∴m =34

9

，n =178， ∴K （-3475，3475，-1750）=K A 1，

∴|A 1|=

34

34

25这就是所求的线段A 1K 的长． （3）∵A 1C ⊥平面BDE ，∴∠CA 1B 就是所求的直线A 1B 与平面BDE 所成的角的余角．

A 1=（0，3，-4），|A 1|=5，∴sin

∠A 1BK =

=

34

34

5，∴sin ∠A 1BK =arcsin=

34345，

即直线A 1B 与平面BDE 所成的角的大小为arcsin 为

34

34

5． 例2．用向量法解题（请按照图形，建立坐标系）：正四棱锥S ABCD -中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点．

（1）求二面角B SC D --的大小；

（2）如果点Q 在棱SC 上，那么直线BQ 与PD 由．

解：（1）取SC 的中点E ，连结,BE DE ，SCB ∆∆Q 与角形，

∴SC BE ⊥，SC DE ⊥，∴BED ∠是二面角B SC D --的平面角， 在BED ∆中，

2223381cos 263

BE DE BD BED BE DE +-+-∠===-⋅，

∴1arccos 3BED π∠=-，故二面角B SC D --的大小为1

arccos 3

π-．

（2）设AC BD O =I ，以射线,,OA OB OS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

设CQ x =，则(0,B D ，(

()2222

P Q x x -，

(()2222

DP BQ x x ==u u u r u u u r ，30DP BQ x ⋅=-≠u u u r u u u r （∵0[∈x ，

]2，∴BQ 与PD 不可能垂直．