留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
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复变函数 留数和留数定理讲解
另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5
1
1 z5
1
z
1 z4
1 2! z 3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,
Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0
lim
zz0
(
z
z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
个二级极点 z 0和两个一级极点 z i ,
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
留数计算规则
例3： 计算积分
c
z4
z
1
dz
，
C
为正向圆周
z
3
。
解：
f
(z)
z z4 1
四个一级极点 z1,2 1, z3,4 i 都在C 内，
由规则Ⅲ，
P zk Q zk
zk 4 zk 3
1 4zk 2
故由留数定理
c
z4
z
1
dz
2
i
1 4
1 4
解：
f
(z)
ez
z z 12
的一级极点z 0 二级极点 z 1 都在C 内
由规则Ⅰ，
Res
f
z,0
lim z z0
ez
z z 12
lim
z0
z
ez
12
1
由规则Ⅱ ，
Res
f
z,1
(2
1 lim 1)! z1
d dz
Res f
z, z0
1
m 1
lim ! zz0
d m1 dz m1
z z0 m
f
z
规则Ⅲ
设
f
z
=
P Q
z z
，其中 P(z，) Q(z)
在
z0
处解析， 且 P(z0 ) 0
，
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
第五章 留数
，即
R e s[ f ( z ), z 0 ] c 1
或 R e s [ f ( z ), z 0 ]
2 i
1
f ( z )d z
C
C是此圆环域内围绕 z 0 的任一条正向简单闭曲线.
2、留数的计算
(1) 如果 z 0 为 例如：
f (z)
的可去奇点, 则
R es[ f ( z ), z 0 ] 0 .
1、留数的定义
若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域
0 z z0
内可以展开为洛朗级数
f (z)
n
cn ( z z0 ) ,
n
上述展开式中负一次幂项的系数 c 1 称为
z0
f (z)
在
处的留数，记为
R e s f ( z ), z 0
1
f (z) ( z z0 )
n1
dz
( n 0 , 1, 2 , ),
C
c 1
2 i
1
f ( z )d z
C
C是此圆环域内围绕 z 0 的任一条正向简单闭曲线.
1、留数的定义
若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域
0 z z0
如果 z 0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 则
1 lim d
m 1
R es[ f ( z ), z 0 ]
( m 1) ! z z 0 d z
[( z z 0 ) m 1
m
f ( z )].
说明
（1）当 m=1 时，上式即为
R e s [ f ( z ), z 0 ] lim ( z z 0 ) f ( z ).
数学物理方法第4章留数定理-2016
式中
称为f(z)在bk处的留数,
它等于f(z)在bk的无心邻域的洛
朗展开中的洛朗系数
f(z) 的洛朗展开为
6
证明 首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,…,Lk,… 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,
由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,… 为边界 构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得
1 lim
(m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
( z )]
4.1.7
即
Res
f
(b)
1 lim (m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
(z)] .
10
3. 若 b 为 f (z) 的一阶极点 (1) 第 一 种 情 形 ： 若 b 为 f (z) 的 一 阶 极 点 ， 则 f (z) 在
因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或 计算积分的方法来求．
13
14
15
16
17
18
例5
求
f
(
z)
1
1 z
4
在有限远奇点的留数。
解: f(z)分母的零点由 1 z4 0 确定,易见
z k 4 1 4 e i2 k 1 e i2 k 4 1 , k 0 ,1 ,2 ,3
其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得
将式(4.1.4)代入式(4.1.3),并将
代入,即有
7
4.1.2、计算留数的方法
1 若 b 为 f (z) 的可去奇点，则 f (z) 在 0 z b R 内
留数
注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。
(非也!)
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P113 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
k 1
n
z1
C
c1
D
c2 z 2
…
证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且 互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有
zn c1
C
f (z) d z
c k 1
n
k
f ( z ) dz 2π i Res [ f ( z ) , z k ] .
sin z 1 2 sin z lim Res [ f 2 ( z ) , 0 ] lim z 3 z 0 z 0 4 z 1! 4z
z cos z sin z sin z lim lim ( 罗比达法则 ) 0. 2 z 0 z 0 8 4z
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 z0 的去心邻域
P112 定义 5.4
内展开成洛朗级数：
a 1 a0 a1 ( z z0 ) , f ( z ) a n ( z z0 ) z z0 n
(非也!)
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P113 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
k 1
n
z1
C
c1
D
c2 z 2
…
证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且 互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有
zn c1
C
f (z) d z
c k 1
n
k
f ( z ) dz 2π i Res [ f ( z ) , z k ] .
sin z 1 2 sin z lim Res [ f 2 ( z ) , 0 ] lim z 3 z 0 z 0 4 z 1! 4z
z cos z sin z sin z lim lim ( 罗比达法则 ) 0. 2 z 0 z 0 8 4z
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 z0 的去心邻域
P112 定义 5.4
内展开成洛朗级数：
a 1 a0 a1 ( z z0 ) , f ( z ) a n ( z z0 ) z z0 n
留数理论及其应用ch 6 6.1
推论6.3: 设a为f(z)的一级极点, (z) (z a) f (z),
则 Re s f (z) (a) lim(z a) f (z).
za
za
(6.4)
推论6.4:设a为f(z)的二级极点, (z) (z a)2 f (z),
则 Re s f (z) '(a) lim(z a)2 f (z).
1
z5 z6
11
z
1
1 z
1 z
n0
1n
1 z
n
1 z
n1
1n
1 z
n1
Re s f (z) 1 0 z
Re s f (z) 等于f(z)在点∞的罗朗展式中1/z这一项的系数反号 z
定理6.6 如果f(z)在C∞上只有有限个孤立点 (包括无穷远点在内),a1,a2,…，an,∞,则f(z)在各点 的留数总和为零.
Re s za
f (z)
(n1) (a)
(n 1)!
n
1
1!
lim
za
z
1n
f
(
z
)
n1
.
(6.3)
证 1 (z)
(n1) (a)
Re s f (z)
za
2 i
(z a)n dz
. (n 1)!
n 1, 2,
这里符号(0)(a)=(a) ,且有 (n1)(a) lim(n1)(z). z a
n
Res f (z) Res f (z) 0.
k1 zak
z
n
Re s f (z) Re s f (z).
k 1 zak
z
定理6.6 如果f(z)在C∞上只有有限个孤立点
《数学物理方法》第4章留数定理及其应用
法则1 如果z0为f (z)的一级极点，那么
Re
s[
f
( z ),
z0
]
lim ( z
z z0
z0
)
f
(z)
证明
f (z)
c1
z
1 z0
c0
c1 ( z
z0 )
(z z0 ) f (z) c1 c0 (z z0 ) c1(z z0 )2
例1 计算积分
C
zez z2
1
dz,
其中C为正向圆周：| z
12
3)
Re s[
tan
z,
2k 1] 2
sin (cos
z z)
z 2k 1
1
.
2
2
tan zdz 2i
Res[tan z, 2k 1] = 10i
|z|3
k 0
2
11
z sin z
例5 计算下列积分 |z|1
z6 dz.
解 z 0为f (z)的三级极点.
f (z)dz=2i Res[ f (z), 0]
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
证明 由复闭路定理得
n
f (z)dz f (z)dz
C
k 1 Ck
由留数的定义得
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
C
k 1
y C1
C
z•1 C2 o C3 • z3 •z2 x
5
三、留数的计算
z0
]
lim(
lim
z z0
P(z0 ) Q(z0 )
数学物理方法权威讲解(留数定理)
§5.2 留 数
一、留数的引入 二、留数定理及留数的求法
三、无穷远点的留数
一、有限远处孤立奇点的留数
1、引入
设 z 0 为 f (z ) 的一个孤立奇点，f (z )
在z0的某去心邻域 z z0 R内解析，C 0
.z
0
C为该邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线．
f (z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数为:
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
( z z0 )m f ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z0 ) n dz c1 ( z z0 )1 dz
三、无穷远点的留数
1.定义 如果函数f ( z )在无穷远点z 的去心邻域
R z 内解析, 则可将f ( z )在R z 内展成洛朗级数，令f ( z )= cn z
n n
则定义 f ( z ) 在 z 的留数为： 1 Res[f ( z ), ]= f ( z)dz = c1 2 i C
2、定义
f ( z) 在 z0 处的留数为：
1 Res[f ( z ), z0 ]= f ( z)dz =c1 2 i C
C为 z0 的去心邻域 0 z z0 内包围z0的 任意一条正向简单闭曲线.
一、留数的引入 二、留数定理及留数的求法
三、无穷远点的留数
一、有限远处孤立奇点的留数
1、引入
设 z 0 为 f (z ) 的一个孤立奇点，f (z )
在z0的某去心邻域 z z0 R内解析，C 0
.z
0
C为该邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线．
f (z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数为:
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
( z z0 )m f ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z0 ) n dz c1 ( z z0 )1 dz
三、无穷远点的留数
1.定义 如果函数f ( z )在无穷远点z 的去心邻域
R z 内解析, 则可将f ( z )在R z 内展成洛朗级数，令f ( z )= cn z
n n
则定义 f ( z ) 在 z 的留数为： 1 Res[f ( z ), ]= f ( z)dz = c1 2 i C
2、定义
f ( z) 在 z0 处的留数为：
1 Res[f ( z ), z0 ]= f ( z)dz =c1 2 i C
C为 z0 的去心邻域 0 z z0 内包围z0的 任意一条正向简单闭曲线.
留数及其应用对数留数与辐角原理
以(z - z0 )m 乘上式两边, 得 (z - z0 )m f (z) c-m c-m1(z - z0 ) c-1(z - z0 )m-1
c0(z - z0 )m
两边求m - 1阶导数得
d m-1 dzm-1
{(z
-
z0 )m
f
(z)}
(m
- 1)!c-1
m!(z
-
z0 )
d m-1
1
d m-1
Re
s[
f
( z ),
z0 ]
(m
-
1)!
lim
z z0
dz m -1
(z - z0 )m
f (z)
(5)
证明：由条件
f (z) c-m (z - z0 )-m c-2(z - z0 )-2 c-1(z - z0 )-1 c0 c1(z - z0 ) , (c-m 0)
f
( z )]
lim
z0
-
e-z
-1
例
函数
f(z)
1
e iz z
2在极点处的留数
解：因为函数 且
f (z)
e iz 1 z2
,有两个一阶极点
z
i
，
P(z) 1 eiz , Q'(z) 2z
有Res[ f z, i] eiz
- i
2z zi
2e
Res[ f z,-i] eiz
i e.
2z z-i 2
2z
5
-
1 10
Res[
f
z ,2]
lim( z
z2
-
2)
f
(z)
lim
z2
数学物理方法 第4章 留数定理
e
ma
2 ia
0
cos ma x a
2 2
dx i
e
ma
e
ma
2 ia
2a
y
例：
0
sin x x
dx
Cε
CR
解：如图4.9所示，
图4.9
0
x
sin x x
dx lim
R 0
R
sin x x
R e imx dx lim dx R 2i 0 x 1
1
z 1
1 2
z z 2
1
2
iz
dz
z 1
z (1 ) z
2 2
i
f (z)
dz
z 1
( z 1)( z )
1
记：
z
( z 1)( z )
它在复平面上有2个单极点
和
1
其中 z 在单位圆内，其留数为：
CR
x 图4.7
f ( x ) dx 2 i
{
f (z)
在上半平面所有奇点的留数之和}
例：
dx 1 x
2
解： 记：
z i
f (z)
1 1 z
2
,它在上半平面有单极点
其留数为：
1 zi 1 2i
Re sf ( i ) lim ( z i ) f ( z ) lim
1 z ( z 2i)
3
并求函数在这些极点的留数。
《数学物理方法》3留数定理及其应用
1 n1 zn2 z
1）
z0 1 是f（z）的单极点
Re s f（1） lim（ z 1）f（z） 1
z1
n
[解2]
Re
s
f（1）
lzim1（ zn
1 1）
lzim1
1 nz n1
1 n
[例3] 求 f（z） 1 的极点及其留数
sin z
[解] z n（n 0， 1， 2， ）
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
lim
z0
1 2！（z
2 2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
f（z）
z n 是f（z）的单极点
Re
s
f（n）
zlimn（ z
n） 1
sin
z
lim
zn
（ z n）
（sin z）
lim
zn
1 cos
z
（
1）n
[例] 求
f（z）（szin
2z 1）3
ez 的极点及其留数
z1
[解] z0 1是f（z）的单极点
z0 1 是f（z）的三阶极点
zkdz （re i）kd（re i）
C
C
ir
k
1
2
e
1）
z0 1 是f（z）的单极点
Re s f（1） lim（ z 1）f（z） 1
z1
n
[解2]
Re
s
f（1）
lzim1（ zn
1 1）
lzim1
1 nz n1
1 n
[例3] 求 f（z） 1 的极点及其留数
sin z
[解] z n（n 0， 1， 2， ）
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
lim
z0
1 2！（z
2 2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
f（z）
z n 是f（z）的单极点
Re
s
f（n）
zlimn（ z
n） 1
sin
z
lim
zn
（ z n）
（sin z）
lim
zn
1 cos
z
（
1）n
[例] 求
f（z）（szin
2z 1）3
ez 的极点及其留数
z1
[解] z0 1是f（z）的单极点
z0 1 是f（z）的三阶极点
zkdz （re i）kd（re i）
C
C
ir
k
1
2
e
《高等数学教学资料》第二节 留数与留数定理
z
z4
dz 1
,
其中C
为正向圆周 z
解： ( z 1 )4 sin 1
z 1
(
z
1 )4 [
z
1 1
3!(
1 z 1 )3
5!(
1 z 1 )5
L
]
( z 1 )3 1 ( z 1 ) 1 L
3!
5!( z 1 )
Re
s[(
z
1 )4
sin
z
1 1
,1]
c1
1 5!
1 120
。
练习： 求下列函数在有限奇点处的留数。 1 e2z
f(z)
f(1
)（记作 (
)
）， (
)
在原点
的邻域 0
1
R 解析，它的
Laurent
展开式为
(
)
f(1
) cn n
n
定义：
L
cm m
L
c1
c0
c1
L
cn
n
L
义：
1
2
f( 1 )L
cm m2 L
c1
c0
2
L
cn
n2
L
义： 它在 0 的留数恰好是c1 ，故
11
定义： Re s[ f ( z ),] c1 Re s[ f ( ) 2 ,0].
2 i
m
j1
Re s[
f ( z ),bj
],
f ( z )dz 2i{
Re s[ f ( z ),bj ] Re s[ f ( z ),]},
j1
m
义： 或 f ( z )dz 2i{ Re s[ f ( z ),bj ] Re s[ f ( z ),]}. j1
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
但是，若将 f ( z) 作Laurent 级数展开:
z sin z 1 1 3 1 5 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 3 3! z 5! z
z sin z 1 Re s[ ,0] c1 6 z 5!
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
由规则
5z 2 2 Re s[ f ( z ), 0] lim zf ( x ) lim 2 z 0 z0 ( z 1)
1 d 2 5z 2 Re s[ f ( z ) , 1 ] lim {( z 1) } 2 z 1 ( 2 1)! dz z( z 1) 5z 2 2 lim ( )' lim 2 2 z 1 z 1 z z
---显然该方法较规则 II 更简单！
(2)由规则 II的推导过程知，在使用规则II时， 可将 m取得比实际级数高，有时，这可使计算更简单。
如
z sin z 1 d 6 z sin z Re s[ ,0] [z ( )] 6 5 6 z (6 1)! dz z
5
1 d5 1 1 ( z sin z ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] c1 f ( z )dz 2i c ( 2)
第四章留数定理
l
f ( z) d z
f ( z) d z
j 1 l j
n
2 π i Res f (b j ).
j 1
n
D bn l3 b3 ln l2 b1 l1
b2
l
[证] 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,...,n)用互不包含的 正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有
-1
2 2 3 ( z - z0 ) f(z)= a -1 + a0 ( z - z0 ) + a1 ( z - z0 ) + a2 ( z - z0 ) +……
z z0
lim ( z - z 0 ) f ( z ) = a -1 =Resf( z0 )
P( z ) z 0 点是解析的， 对于 f(z)可表示为形式 f(z)= 时，且 P(z),Q(z)在 Q( z )
我们也可以下式 来求留数:
P( z ) P ( z 0 ) lim ( z - z 0 ) f ( z ) = lim( z - z0 ) = z z0 z z0 Q( z ) Q ' ( z 0 )
z ez f ( z) 2 z -1
z ez e Res f (1) ; | z 1 2z 2 z ez e -1 Res f (-1) . | 2 z z -1 2
z - np = lim =1（n 为偶数）或-1（n 为奇数） z np sin z
ze z dz 2 例 4 计算积分 C z - 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z
l
f ( z) d z
n
j 1 ze f ( z) 2 [ 解 ]由于 z - 1 有两个一阶极点 +1,-1, 而
第四章留数定理
第四章 留数定理
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
4-1留数定理
4 z / 4 cos2z
z / 4 2 sin 2z
/ 4
zdz |z|2 1/ 2 sin 2
z
2i[Re sf
(
/ 4) Re sf
(
/ 4)]
2i
例5：计算
I
z15dz |z|4 ( z 2 1)2 ( z 4 2)3
z1
z n1
1 zn2 ...
z
1
1 n
另解：
Re
sf
(1)
lim
z 1
1 (zn 1)
lim
z 1
1 nz n 1
1 n
例2：确定函数 f (z) ez 的奇点，求在奇点的留数。
1 z
解：∵ lim ez ∴ z=-1是f(z)的极点
z11 z
1 z
1 2
1 z2
...1 3
2 z4
...
则： a-1=1
Re sf () 1 I 2i[ Re sf ()] 2i
作业：P55-56：1－－（2）、（4）、（5） 2－－（2）、（3）
，l的方程是x2+y2-2x-2y=0
1)2
解：方程化为(x-1)2+(y-1)2=2
f (z)
(z2
1 1)( z 1)2
有两个单极点z0=±i和一
个二阶极点z0=1，其中z0=-i不在l内。
Re
sf
(i)
lim[(z
zi
i)
(z2
1 1)(z
1) 2
]
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( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m
当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
用2 i 除上式两边得:
3. 留数的计算规则
一般求 Res[f (z), z0] 是采用将f (z) 在 z0邻域内展开 成洛朗级数求系数 c–1 的方法,但如果能先知道奇点 的类型，对求留数更为有利。 以下就三类奇点进行讨论：
(i) 若z z0为可去奇点 , c1 0 Re s[ f ( z), z0 ] 0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
规则II 若z0是f ( z )的m级极点 , 则
(4)
1 d m1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m1 ( z z0 ) m f ( z ) (m 1)! z z0 dz
n n c ( z z ) n 0
(1)
设f ( z )
( z0是f ( z )的弧立奇点 , c包含z0在其内部 )
设f ( z )
n
n c ( z z ) n 0
对上式两边沿简单闭曲 线c逐项积分得： dz c f ( z)dz c1 c z z0 2ic1
事实上：
Q( z0 ) 0及Q' ( z0 ) 0, z0 为Q( z )的一级零点 , 1 从而 z0为 的一级极点 , Q( z )
1 1 因此, ( z ) ( ( z )在z0处解析且 ( z0 ) 0) Q( z ) z z z0
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] c1 f ( z )dz 2i c ( 2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, f ( z )在 c内有有
限个弧立奇点 z1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z )在 c内及c上解析 ，则
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
§2
留数(Residue)
1. 留数的定义
2. 留数定理
3. 留数的计算规则
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
(ii) 若z z0为本性奇点
f ( z)
展开 n c ( z z ) Re s[ f ( z), z0 ] c1 n 0
(iii) 若z z0为极点时，求Re s[ f ( z), z0 ]有以下几条规则
规则I
若z0是f ( z)的一级极点 ,则
z z0
n 1 1 f ( z )dz f ( z )dz c 2i c k 1 2i n
D
c
z3 zn
z1 z2
Re s[ f ( z ), zk ]
k 1
n
故
f ( z)dz 2i Re s[ f ( z), z ]
c k 1 k
n
得证！
求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。
z z0
p( z ) p ( z0 ) lim z z0 Q ( z ) Q ( z ) 0 Q' ( z 0 ) z z0
(Q' ( z0 ) 0)
得证！
例1
解
5z 2 计 算: dz 2 z 2 z( z 1)
5z 2 f (z) 在 z 2的 内 部 有 一 个 一 级 极 点 2 z( z 1) z 0和 一 个 二 级 极 点 z 1 ，
由规则
5z 2 2 Re s[ f ( z ), 0] lim zf ( x ) lim 2 z 0 z0 ( z 1)
两边求m 1阶导数得 d m1 m ( z z ) f ( z ) (m 1)!c1 m!( z z0 ) 0 m 1 dz
d m1 lim m1 ( z z0 ) m f ( z ) (m 1)!c1 , 移项得(5)式. z z0 dz