§10.5散度与高斯公式(1)

由三重积分计算法得
R dxdydz dxdy z2 (x,y) R dz
z
D xy
z1 (x, y) z
z
2
[R(x, y, z2 (x, y) R(x, y, z1(x, y)]dxdy ， 1
D xy
o
Dxy
y
x
又 Rdxdy Rdxdy Rdxdy
1
2
[R(x, y,z2 (x, y)R(x, y,z1(x, y)]dxdy ，
0
0
2y
例 4．计算曲面积分 I yln rdydz xln rdz dx zdxdy ，
其中
是
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的外侧， r
x2 y2 z2 。
解： P y ln r, Q xln r, R z ，则当(x, y, z) (0,0,0) 时，
P Q R
设 是以分片光滑曲面 为界面的空间闭区域，向量场
A(x, y, z) {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 在上具有一阶
连续偏导数，则有
AndS PdydzQdzdx Rdxdy
(
P x
Q y
R z
)dV
其中 取外侧 。此公式称为高斯公式。
证：仅证
Rdxdy
4 3
abc
4 3
3
yln
dy
dz
xln
dz
dx
zdx
dy
4 3
abc
4 3
3
(dx
dydz)
4 abc 4 3 4 3 4 abc.
3
333
二、散度的计算
设向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，其中
P、Q、R 具有一阶连续偏导数，在场中取包含点
z
)
(
xln(1 z
z
2
)))
(
y
2
e
z
2xz 1 z 2
)
，
divu
(1,1,0)
2
。
例
6．求
divu[
f
(r)r ]
，其中r
{x,
y, z}
，r
r
，
在什么情况下才有 divu[ f (r)r ] 0 。
解：
f
(r)r
{xf
(r ),
yf (r),
zf (r)} ，
[xf (r)] f (r) xf (r) x f (r) x2 f (r) ，
例
3．计算
I
2(
x 2
x
2
)dydz
8xydz
dx4x(x
z)dx
dy
，
其中 是 旋转抛物面z x2 y 2 介于z 0 和z 4 两平面间
的部分取上侧。
解：积添分补曲平面面不是1封：闭z曲4面, ，(x不 2 能y2直接4)利，用取G下au侧ss；公式计算。
则 1 是一个封闭曲面的内侧，
M (x, y, z) 的任一闭曲面 ，其所围区域 的体积
为 V ，d 为 的直径，n 为 外侧的单位法向量，
由高斯公式得
AndS
(
P x
Q y
R z
)dV
积分中值定理
(
P x
Q y
R z
)
M
V
( M )，
∴ divA
M
AndS lim
d0 V
lim (P M M x
Q y
R) z
x2 y2 z2 a2 的内侧。
解： P x3 ，Q y3 ，R z3 ，
P Q R 3(x2 y 2 z 2 ) ， x y z
由Gauss 公式得 I 3(x2 y 2 z 2 )dxdydz
球坐标
2
d
d
a
3r
2r
2
sindr
0 00
6(cos) 1 r5 a 12a5. 05 0 5
1（1）； 2 ；3 ； 5（1）（4）（5）； 6。
第一卦限内所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。
z
解：用Gauss 公式计算之，
P xz ，Q x2 y ，R y2z ，
y
1
P Q R z x2 y 2 ，
x
I
y
(z
z
x2
y
2
)dV
2 0
1
d 0
o
2
d 0
(z
2
1
)dz
x
. 8
例 2．计算 I x3dydz y3dzdx z3dxdy ， 是 球面
M
(
P x
Q y
R ) z
M
.
∵M 是场中任一点，
∴
divA
P
Q
R
。
x y z
—散度的计算公式
故
AndS
divAdV
。
Gauss 公式是一个极其重要的公式，它建立了曲 面积分与三重积分之间的联系，有着明确的物理意义， 即一区域中总散度等于通过边界的通量。
三、散度的性质
（1） div(aAbB) adivAbdivB ，其中a,b 是常数。
zz
记其所围成的空间区域为 ，
4 1
用柱面坐标 表示 ：
0 2, 0 2, 2 z 4.
Dxyoo
2
xx
2 yy
z
P 2( x x2 ) ，Q 8xy ， R 4x(x z) ， 2
4 1
P Q R 14x8x4x 1， x y z
由Gauss 公式得
Dxy o
2
x
2y
xy
xy
11.
x y z x2 y2 z2 x2 y2 z2
作球面 ： x 2 y 2 z 2 2 ，使 所包围的部分
包含在 所围的 区域 内 ，且球面 的法向量指向球心。
由Gauss 公式得
I ( )yln rdy dz xln rdz dx zdxdy
dxdydz yln rdy dz xln rdz dx zdxdy
x
r
r
同理得 [ yf (r)] f (r) y 2 f (r) ， [zf (r)] f (r) z 2 f (r) ，
y
r
z
r
divu[
f
(r)r ]3
f
(r)
(x2
y2
z
2
)
f
(Hale Waihona Puke Baidu)
3
f
(r ) rf
(r)
，
r
由
divu[
f
(r)r ]
0
，得
f
(r )
3
f
(r)
0
，
r
∴
f
(r
)
Ce
3dr r
C
。
r3
例 7．设有数量场u ln x2 y2 z 2 ，求div(gradu) 。
解： gradu {u , x
u , y
u} z
x2
1 y2
z
2
{x,
y,
z}
，
(
x
)
1
2x2
，
x x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 (x2 y 2 z 2 )2
(
y
)
1
2y2
（2）若u(x, y, z) 的梯度存在，则div(uA) udivA Agardu 。
证明：仅设证A(2{).P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
则 uA {uP, uQ, uR}，
div(uA)
(uP)
(uQ)
(uR)
x
y
z
u P P u u Q Q u u R R u x x y y z z
例．计算 I y(x z)dydz x2dzdx( y 2 xz)dxdy ，
其中 是正六面体的外侧（如图所示）。
z
a
5 2
4 o
1
a x
3
ay
6
例 1．计算 I xzdydz x2 ydzdx y 2 zdxdy ，其中 是
旋转抛物面 z x2 y 2 ，圆柱面x2 y 2 1 和三个坐标面在
一闭曲面 ，设 所围的空间域 的体积为V ，
直径为d ， 外侧的单位法向量为n 。若当d 0时 ，
比式
1 V
AndS
的极限存在，则称此极限为A 在点
M
处的散度，记为divA M （简记为divA ），即
divA
lim
d 0
1 V
AndS
下面以流量问题为背景，分析散度的物理意义。
设一稳定的不可压缩的流体速度场为v(x, y, z) ，流过
2( x x2)dydz8xydzdx4x(x z)dxdy dV 2
1
2 2
4
0 d0 d2
dz
8
。
I
( )
1 1
2(
x 2
x2
)dy
dz
8xydz
dx
4x(
x
z)dx
z
dy
8 8 (4x2 16x)dxdy
1
Dxy
4 1
84 x2dxdy16 xdxdy
Dxy
Dxy
Dxy o
2
x
84 2cos2d 23d08168.
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式 1 V
v
ndS
表示小区域
内有“源”与
有“洞”的平均状态，而
R z
dxdydz
。
设区域在 xoy 面上的投影区域为Dxy ，假定穿过
内部且平行于z 轴 的直线与 的 边界曲面 的 交点恰好
两个， 由 1与 2 组成，其方程分别为 1 ： z z1(x, y) ，(x, y)Dxy ， 2 ： z z2 (x, y) ，(x, y)Dxy ，其中z1(x, y) z2 (x, y) 。
，
y x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 (x2 y 2 z 2 )2
z
(
x
2
z y2
z2
)
1 x2 y2
z2
2z2
(x2 y2 z2)2
，
div ( gradu)
x2
3 y2
z
2
2(x2 (x2 y
y2 z 2 z2
2) )2
x
2
1 y2
z
2
.
作业
习 题 四 （P233）
divv
M
则表示在点
M
处
有“源”与有“洞”的状态。
向量场 A(x, y, z) 的散度是数量。若divA M 0 ，则表示
该点处有“源”；若 divA M 0 ，则表示该点处有“洞”；
若 divA M 0 ，则表示该点处既无“源”也无“洞”。
10.5.2 高斯（Gauss ）公式
一、高斯定理
Dxy
∴
Rdxdy
R z
dxdydz
，
同理可证
Pdydz
P x
dxdydz
，
Qdz dx
Q y
dxdydz
。
故
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
(
P x
Q y
R z
)dxdydz
。
注：
（1）Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续，
三者缺一不可。
（2）若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z，时则，添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭；
§10.5 散度与高斯公式
10.5.1 散度
一、通量
定义 1 设 A(x, y, z) 为一向量场， 为场中一有向
曲面，称
A
ndS
为向量场
A
穿过曲面
的通量
。
当 A 是电场强度E
时，
E
ndS
即为电通量；
当 A 是磁场强度H
时，
H ndS
即为磁通量。
二、散度
定义 2 设有向量场A(x, y, z) ，在场中取包含点 M 的任
u(
P
Q
R
)
(
u
P
u
Q
u
R)
udivA
A
gardu.
x y z x y z
例
5．求向量场
u(
x,
y,
z)
xy
2i
ye
z
j
x ln(1
z
2
)k
在点 P(1,1,0) 处的散度 divu 。
解：
u(
x,
y,
z
)
{xy
2
,
ye z ,
xln(1 z 2} ，
divu
( xy 2 x
)
( ye y
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx，Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应，为负号；
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV 13 xdydz ydzdx zdxdy 。
如果穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界 曲面 的交点多于两个，则可以引进几个辅助曲面把 分成有限个区域，使得每个区域满足上述条件，并 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值 相等而符号相反，相加正好抵消，所以高斯公式对这 样的区域仍成立。